Probabilitas
Probabilitas • P( A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi 0 < P(A) < 1 • P(A) = 0 artinya A pasti terjadi • P(A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi
ARTI PROBABILITAS • Jika sebutir mata uang logam kita lemparkan dengan bebas ke-mungkinannya adalah kita akan memperoleh kepala (K) atau ekor (E). Kemungkinan timbul atau tidak timbulnya sesuatu kejadian itu disebut probabilitas kejs u adian. • Kemungkinan timbul disebut s u k s e s dan kemungkinan tidak timbul disebut g a g a l. • Jika kemungkinan sukses kita beri simbul p dan kemungkinan gagal kita beri simbul q, dan kemungkinan timbulnya p dan q adalah sama, maka kita batasi p = q. Dari seluruh kejadian yang mungkin batasan itu dapat juga dinyatakan sbb : • Prs =P= 1-q = PrG =q = 1-p. dalam mana PrS dan PrG masing-masing adalah probabilitas sukses dan probabilitas gagal.
ARTI PROBABILITAS • Misalnya, jika mata uang masih baik dan dilemparkan dengan bebas 10 kali, maka jika tidak ada faktor "kebetulan" yang turut campur tangan, probabilitas untuk keluar K adalah 5 kali dan probabilitas untuk keluar E adalah 5 kali. Atau separo adalah K dan separo adalah E. Dinyatakan dengan simbul
p = 0,5 dan q = 0,5
PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS •
Umumnya ada faktor-faktor "kebetulan" di luar kekuasaan tangan manusia yang mengubah keadaan probabilitas teoritik itu, sehingga dalam kenyataannya perbandingan antara K dan E menjadi 4: 6, 7: 3, dan sebagainya. • Probabilitas yang diobservasi ini disebut observed probability, dan dinyatakan dalam bilangan pecahan seperti 0,4 : 0.,6 atau 0,7 : 0,3 dengan jumlah keseluruhan = 1,000.
PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS Jika frekwensi observasi kita tambah terus-menerus, misalnya melemparkan mata uang tersebut menjadi 100 kali, maka perbedaan antara probabilitas teoritik dengan observed probability akan menjadi semakin kecil. Jadi jika misalnya kita lemparkan mata uang 100 kali dan keluar 57K, dan kita lemparkan lagi mata uang itu 100 kali dan keluar 45 K, maka probabilitas ke luarnya K dari 200 kali lemparan bebas itu menjadi :
57 45 : 2 = (0,57) + (0,45) : 2 = 0,51 100 100
PROBABILITIAS TEORETIS DAN PROBABILITAS EMPIRIS • p r o b a b i l i t a s e m p i r i k dari sesuatu kejadian adalah probabilitas timbulnya kejadian itu dari sejumlah besar observasi. • jika observasi dilakukan tak terhingga kali, maka secara praktik dapat dikatakan bahwa probabilitas empirik akan sangat dekat atau sama dengan probabilitas teoretik. • misalnya jika terus - menerus melemparkan mata uang dan kita observasi keluarnya K, maka probabilitas dari K akan sangat mendekati 0,5 , yaitu probabilitas teoretik dari satu kali melemparkan mata uang tersebut.
PERMUTASI Definisi : Suatu permutasi r unsur, yang diambil dari n unsur yang berlainan, yaitu penempatan r unsur itu dalam satu urutan (r n)
PERMUTASI • Pandang 3 unsur yang berlainan, misal a, b, dan c. • Kita dapat mengurut- kannya sebagai abc, acb, bac, bca, cba, dan cab. Tiap urutan disebut dengan permutasi 3 unsur dari ketiganya dinyatakan dengan simbol 3P3 dan 3P3 = 6. • Jika hanya diambil 2 unsur saja, kita mendapatkan permutasi ab, ba, ac, ca, bc, dan cb. Banyaknya permutasi 3 unsur diambil dari 3P2 =6
PERMUTASI
n! nPr = n (n - 1) (n – 2) . . . (n – r + 1) = (n r )! n Pn = n !
KOMBINASI Definisi : Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan, adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r n)
KOMBINASI • Pandang 3 unsur a, b dan c . • Sekarang diambil 2 unsur tanpa mengindahkan urutannya, jadi ab sama dengan ba, ac sama dengan ca. • Pilihan ab, ac, dan bc adalah 3 kombinasi 3 unsur diambil 2.
KOMBINASI
n n! n Pr = nCr = ( ) = r r!(n r )! r!
KOMBINASI
3! 6 = = 3 3C2 = 2 ! 1! 2 .1 4! 24 = = 6 4C2 = 2! 2! 2 .2
contoh Kita hendak mengirimkan surat per pos dan biayanya Rp 2300. Kantor pos memberikan 4 perangko yang berlainan, yaitu 100, 300, 800, 1100. Dengan berapa permutasi kita dapat menempelkan 4 perangko ini pada surat kita ? Jawab : Banyaknya permutasi 4 unsur diambil 4 unsur adalah 4P4 = 24
contoh
Ada berapa cara satu panitia terdiri atas 3 orang dapat dipilih dari 4 pasangan suami istri. a. Jika semua orang ini dipilih b. Jika panitia ini harus terdiri dari 2 pria dan 1 wanita ?
Jawab :
8 8! 6 . 7 .8 336 a. Ada 8 orang dan diambil 3; jadi ada ( ) = = = = 56 3 6 3! 5! 1. 2 . 3 4 4! b. Dua pria dipilih dari 4 suami, jadi ada ( ) = = 6 cara 2 2! 2! 4 4! dan seorang wanita dari 4 istri, jadi ada ( ) = = 4 cara 1 1! 3! sehingga ada 6 x 4 = 24 cara
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT • Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu distribusi dari gejala G yang mempunyai penampakan G1.. ,G2..,…….Gn dengan probabilitas masing - masing pl, P2,…….pn dalam mana jumlah pl + p2 + ... + pn atau p= 1 • Perlu ditambahkan bahwa sungguhpun observasi dilakukan N kali, probabilitas dari G1 , G2, ..., Gn akan tetap pl , p2 ,..., pn yang jumlahnya = 1. • Akan tetapi dengan observasi N kali itu maka frekwensi dari GI , G2,………..Gn akan menjadi Npl , Np2, ..., Npn dengan jumlah frekwensi = N Jumlah ini dengan mudah dapat kita lihat : N P 1 + NP 2 + . . . . + Np n = N ( P 1 + P 2 + . . . + p n ) = N (1)= N.
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT • Jika dua buah mata uang yang masih baik kita lemparkan dengan bebas bersama - sama, kita akan memperoleh keluarnya KK, KE, EK, dan EE dalam perbandingan 1: 1: 1: 1, atau dalam bentuk probabilitas ¼ : ¼ : ¼ : ¼ . • Jumlah seluruh probabilitas adalah 1. • Oleh karena KE dan EK pada dasarnya adalah satu kombinasi yang sama maka probabilitasnya akan menjadi : 2K = 0,25 1K1E = 0,50 2E = 0,25 • Total probabilitas = P = 1,00
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT Jika kita tambahkan lagi sebutir mata bang yang kita lemparkan, maka probabilitas timbulnya KKK, EKK, KKE, EEK, EKE, KEE, dan EEE adalah 1/8: 1/8: 1/8 : 1/8 : 1/8:1/8 : 1/8. Atau jika kombinasi yang sama kita kumpulkan, akan kita jumpai distribusi probabilitas sebagai berikut : GEJALA
PROBABILITAS PG1 =
G2
= 3K = 2KIE
PG2 =
1/8 3/8
G3
= 1 K2E
PG3 =
3/8
G4
= 3E
PG4 =
1/8
G1
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA DISKRIT
G1
G2
G3
G4
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA KONTINU
DISTRIBUSI PROBABILITAS GEJALA KONTINU • Dinyatakan dalam grafik poligon : • Dimana G1, G2, ..., Gn diubah menjadi X 1, X2, ..., Xn dan dinyatakan pada absis, • sedang p1, p2, ..., pn diganti dengan fl, f2, ,.. . . , f n dan dinyatakan pada ordinat Y. • Pada poligon semacam itu frekwensi dari score X 1 sampai XZ dicerminkan dalam luas daerah kurve yang dibatasi oleh dua ordinat pada X1 dan X2 dan absis serta kurve di antara X 1 dan X 2itu
Contoh pada distribusi normal Dengan table distribusi normal , cari dibawah z pada kolom kiri cari 2,1dan diatas sekali angka 5. Dari 2,1 maju ke kanan dan dari 5 menurun didapat 4842 luas yang dicari lihat daerah yang diarsir = 0,4842
