Contoh Solusi PR 5 Statistika & Probabilitas 1. X = proporsi pelanggan yang menggunakan layanan penerbangan untuk keperluan bisnis. n = ukuran sampel, p = proporsi sampel yang menggunakan layanan penerbangan untuk keperluan bisnis. Dengan level kepercayaan 100(1 − 0.1)%, diperoleh: • estimasi X = p • margin of error = z0.05
q
p(1−p) . n
Agar dijamin margin of error 2%, maka r z0.05
p(1 − p) ≤ 0.02 n
untuk semua 0 ≤ p ≤ 1. Jadi, 2 z0.05 p(1 − p) ≤n 0.022
untuk semua p. Diperoleh z0.05 = 1.65 dan nilai maksimum p(1 − p) adalah 14 . Jadi, n≥
1.652 × 0.022
1 4
= 1701.5625.
Ukuran sampel terkecil agar margin of error dijamin kurang dari 2% adalah 1702. Bobot: 10 angka Skema Penilaian: (a) Mengetahui margin of error bernilai 2 angka. (b) Menuliskan syarat yang diinginkan (untuk n) bernilai 3 angka. (c) Menggunakan nilai z dan p(1 − p) yang benar dan mendapatkan nilai n yang sesuai bernilai 5 angka. (d) Akurasi perhitungan mungkin terlalu sensitif, sehingga mohon lebih ditekankan kepada konsep perhitungan yang benar.
1
2. A = berat benda yang sesungguhnya (konstanta), = eror timbangan. ¯ untuk A + =3.1502. Rata-rata sampel (X) 2 Variansi sampel (S ) untuk A + = 8.47 × 10−5 . Variansi populasi tidak diketahui, berarti gunakan Tabel-T untuk mengestimasi A dan TabelChi untuk mengestimasi varianse . (a) CI-90 two-sided untuk A adalah ¯ + t0.1,4 √S ¯ − t0.1,4 √S , X = X n n
√
! √ 8.47 × 10−5 8.47 × 10−5 √ √ 3.1502 − 1.533 , 3.1502 + 1.533 5 5
= (3.1439, 3.1565) . CI-90 upper one-sided untuk A adalah ! √ −5 S 8.47 × 10 ¯ − t0.05,4 √ , ∞ = 3.1502 − 2.132 √ X ,∞ n 5 = (3.1441, ∞) . CI-90 lower one-sided untuk A adalah ¯ + t0.05,4 √S −∞, X = n
√
8.47 × 10−5 √ −∞, 3.1502 + 2.132 5
!
= (−∞, 3.1590) . (b) CI-95 two-sided untuk variansi eror timbangan adalah ! (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 4 × 8.47 × 10−5 4 × 8.47 × 10−5 , = , χ2α/2,n−1 χ21−α/2,n−1 11.143 0.484 = 3.04 × 10−5 , 7 × 10−4 . CI-95 one-sided upper untuk variansi eror timbangan adalah ! (n − 1)S 2 4 × 8.47 × 10−5 , ∞ , ∞ = χ2α,n−1 9.488 = 3.57 × 10−5 , ∞ . CI-95 one-sided lower untuk variansi eror timbangan adalah ! (n − 1)S 2 4 × 8.57 × 10−5 0, 2 = 0, χ1−α,n−1 0.711 = 0, 4.77 × 10−4 . Bobot: 20 angka Skema Penilaian: (a) Nilai estimasi µ dan S 2 yang benar bernilai 2 angka. (b) Perhitungan masing-masing interval bernilai 3 angka (total 3 × 6 = 18 angka). Perhatikan: i. nilai z, t, atau χ yang digunakan. ii. nilai variabel lain dan hasil akhir.
2
¯ = 2.825, S 2 = 0.6253. 3. Dari sampel, n = 10, X Langkah-langkah uji hipotesis: • Langkah 1: Nyatakan hipotesis H0 : µ = 2.89 Ha : µ 6= 2.89. • Langkah 2: Hitung test statistics ¯ − µ0 X √ S/ n 2.825 − 2.89 √ =√ 0.6253/ 10 = −0.2559.
t=
• Langkah 3: Hitung tcv tα/2,n−1 = t0.05,9 = 1.833. • Langkah 4: Daerah penolakan H0 ditolak jika t < −tα/2,n−1 atau t > tα/2,n−1 . Karena −1.833 < −0.2559 < 1.833, maka hipotesis diterima. Jadi, kesimpulannya adalah nilai rata-rata IPK mahasiswa Fasilkom termasuk ’rata-rata’ dengan level signifikansi 10. Bobot: 13 angka Skema Penilaian: (a) Untuk setiap langkah uji hipotesis bernilai 3 angka. (b) Menyatakan kesimpulan bernilai 1 angka.
3
4. Sebelum menguji hipotesis untuk rata-rata, kita uji dulu variansi kedua populasi (karena tidak diketahui apa variansi kedua populasi sama atau tidak). Kita notasikan µ1 dan σ12 adalah rata-rata dan variansi harga kos di Pemukiman Y , dan µ2 , σ22 untuk Pemukiman X. 1 Perhatikan bahwa n1 = 11, X¯1 = 768182, s21 = 63636000 dan n2 = 10, X¯2 = 765000, s22 = 56694000. Langkah-langkah uji variansi adalah sebagai berikut: • Langkah 1: Nyatakan hipotesis. H0 : σ12 = σ22 . Ha : σ12 6= σ22 . • Langkah 2: Hitung F max test. s2 F = s12 = 63636000 56694000 = 1.122. 2
• Langkah 3: Hitung critical value. Fcv = F0.05,10,9 = 3.1373. • Langkah 4: Kriteria Penolakan. Karena s21 > s22 , maka H0 akan ditolak jika F > Fcv . Karena 1.122 < 3.1373, maka hipotesis diterima. Jadi, berikutnya kita uji hipotesis untuk µ1 − µ2 dengan asumsi variansi kedua populasi sama. Perhatikan bahwa X¯1 − X¯2 = 3182 dan s r 1 (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 1 + sX¯1 −X¯2 = n1 n2 n1 + n2 − 2 r r 1 1 10 × 63636000 + 9 × 56694000 = + 11 10 19 = 3394. Sekarang, kita lakukan uji hipotesisnya: • Langkah 1: Nyatakan hipotesis. H0 : µ1 − µ2 = 0 Ha : µ1 − µ2 > 0. • Langkah 2: Hitung test statistics. (X¯1 − X¯2 ) − (µ1 − µ − 2) sX¯1 −X¯2 3182 − 0 = 3394 = 0.9375.
t=
• Langkah 3: Hitung nilai kritis. tα,n−1 = t0.1,19 = 1.328 • Langkah 4: Daerah penolakan. H0 ditolak jika t > tα,n1 +n2 −2 . Karena 0.9375 < 1.328, maka H0 diterima. Jadi, secara rata-rata harga kos-kosan di Pemukiman X dan Y adalah sama.
1 Mengapa bukan µ , σ 2 bukan untuk X? Hal ini hanya karena kita menginginkan pembacaan tabel F yang mudah 1 1 nantinya.
4
Bobot: 28 angka Skema Penilaian: (a) Uji variansi: i. Masing-masing langkah hipotesis uji variansi bernilai 3 angka. ii. Pengambil kesimpulan uji variansi bernilai 1 angka. (b) Perhitungan variansi gabungan bernilai 2 angka. (c) Uji selisih: i. Masing-masing langkah uji hipotesis selisih bernilai 3 angka. ii. Pengambilan kesimpulan uji hipotesis selisih bernilai 1 angka.
5
5. Ini adalah kasus bergantung. P sampel P yang Kita hitung d dan d2 . Responden 1 2 3 4 5 P ulse Rate Awal 74 86 98 102 78 P ulse Rate Akhir 70 85 90 110 71 d 4 1 8 −8 7 d2 16 1 64 64 49 Perhatikan bahwa s
6 84 80 4 16
P
sd¯ = s =
7 8 79 70 69 74 10 −4 100 16 P
d2 − ( nd) n−1
326 − 7
P
22 326
2
22 8
= 6.1586.
Kita lakukan uji hipotesis sebagai berikut: • Langkah 1: Nyatakan hipotesis. H0 : µ1 − µ2 = 0 Ha : µ1 − µ2 > 0. • Langkah 2: Hitung test statistic. d¯ − (µ1 − µ2 ) sd¯ 22 − 0 = 6.1586 = 3.5722.
t=
• Langkah 3: Hitung critical value t. tα,n−1 = t0.05,7 = 2.365. • Langkah 4: Daerah penolakan. H0 ditolak jika t > tα,n−1 . Karena 3.5722 > 2.365, maka H0 ditolak. Jadi, Ha diambil → jogging menurunkan pulse rate seseorang.
Bobot: 16 angka Skema Penilaian: (a) Perhitungan variansi dan rata-rata selisih bernilai 3 angka. (b) Masing-masing langkah uji hipotesis bernilai 3 angka. (c) Kesimpulan yang diambil bernilai 1 angka.
6
6. (a) Berikut adalah diagram scatter-nya.
Terlihat terdapat kecenderungan linear. (b) Misalkan Y adalah kecepatan baca dan X adalah lama mengikuti program tersebut. Dari data, X Xi = 61 X Xi2 = 443 X Yi = 746 X Xi Yi = 5387. Jika hubungannya dimodelkan dengan regresi Y = α + βX, maka P P P Xi Yi Xi Yi − 1 β = P 2 n1 P 2 Xi − n ( Xi ) =
1 5387 − 10 (61)(746) 1 443 − 10 (61)2
= 11.8 1X α= Yi − n 1 = (746) − 10 = 2.62.
1 X β Xi n 1 (11.8)(61) 10
Jadi, diperoleh persamaan Y = 2.62 + 11.8X. (c) Untuk X = 7, diperoleh Y = 2.62 + 11.8(7) = 85.22. Bobot: 13 angka Skema Penilaian: (a) Diagram scatter bernilai 4 angka. (b) Perhitungan regresi bernilai 7 angka. (c) Perhitungan estimasi bernilai 2 angka.
7
