Contoh Solusi PR 2 Statistika & Probabilitas 1. Semesta dari kejadian adalah: pemilihan 5 soal dari 10 soal. Jumlah kemungkinannya 252.
10 5
=
(a) Kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih 5 soal tes dari 6 soal yang anak tersebut 6 . ketahui. Banyak kemungkinannya adalah 65 = 6. Jadi, peluangnya adalah 252 (b) Jika siswa tersebut berhasil menjawab tepat 4 soal, kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih 4 soal tes dari 6 soal yang diketahui dari 1 soal tes dari 4 soal yang tidak diketahui. Banyak kemungkinannya adalah 64 × 41 = 60. Jadi peluang yang diminta 66 pada soal adalah 6+60 525 = 252 . (Catatan (!): Urutan kemunculan soal pada tes boleh masuk ke dalam perhitungan. Perbedaannya hanya pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan 5! = 120, namun nilai ini saling menghilangkan, sehingga memberikan hasil yang sama persis.) Poin:
(a) 5 poin (b) 5 poin
Perhitungan salah / tidak selesai:
maksimal 3
Nilai 0 untuk cara hitung yang salah Mohon baca Catatan (!)
sebelum memeriksa TOTAL: 10 poin
1
2. Definisikan kejadian: A: pesawat yang hilang ditemukan, B: pesawat yang hilang memiliki emergency locator. Semua informasi mengenai kejadian ini adalah sebagai berikut: P (A) = 0.7 (dan juga P (Ac ) = 0.3) P (B|A) = 0.6 (dan juga P (B c |A) = 0.4) P (B c |Ac ) = 0.9 (dan juga P (B|Ac ) = 0.1). Peluang pesawat yang tidak memiliki emergency locator berhasil ditemukan adalah P (A|B c ) =
P (B c |A)P (A) P (B c |A)P (A) 0.4 × 0.7 28 = = = . c c P (B ) P (B |A)P (A) + P (B c |Ac )P (Ac ) 0.4 × 0.7 + 0.9 × 0.3 55 Mendefinisikan kejadian dan probabilitas (kondisional) masing-masing kejadian: 5 poin Menggunakan aturan Bayes dengan benar:
5 poin
TOTAL: 10 poin
2
3. Misalkan kejadian A: terambil kotak pertama, B: terambil kelereng biru. Berdasarkan pengambilan acak, diperoleh informasi-informasi berikut: P (A) = 0.5 (dan juga P (Ac ) = 0.5) P (B|A) = 0.5 dan P (B c |A) = 0.5 P (B|Ac ) = 0.333 . . . dan P (B c |Ac ) = 0.666 . . . . (a) Peluang terambil kelereng biru adalah P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac )P (Ac ) = 0.5 × 0.5 + 0.333 · · · × 0.5 = 0.41666 . . . . (b) Diketahui terambil kelereng merah, peluang terambil kotak pertama adalah P (A|B c ) =
P (B c |A)P (A) P (B c |A)P (A) 0.5 × 0.5 = = = 0.4286 . . . . c P (B ) 1 − P (B) 1 − 0.41666 . . .
Mendefinisikan kejadian dan probabilitas (kondisional) kejadian:
5 poin
Menggunakan aturan yang benar untuk (a):
5 poin
Menggunakan aturan yang benar untuk (b):
5 poin
TOTAL: 15 poin
3
4. (a) Misalkan X1 adalah hasil pelemparan pertama dan X2 hasil pelemparan kedua. Perhatikan tabel daftar jumlah X1 dan X2 sebagai berikut: X1 + X2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 5 6 7 6 7 8 7 8 9 . 8 9 10 9 10 11 10 11 12
Kita tahu bahwa X = X1 + X2 dan tabel pmf untuk X adalah a P (X = a)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
others . 0
Ekspektasi untuk X adalah X 1 1 252 E[X] = aP (X = a) = 2 × + · · · + 12 × = = 7. 36 36 36 a (b) Misalkan X1 dan X2 berturut-turut hasil pelemparan dadu pertama dan kedua, maka diperoleh tabel berikut max{X1 , X2 } 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 . 6 6 6
Dari daftar tersebut, karena Y = max{X1 , X2 }, diperoleh pmf sebagai berikut: a P (Y = a)
1
2
3
4
5
6
1 36
3 36
5 36
7 36
9 36
11 36
.
Ekspektasi untuk Y adalah X 7 161 1 + ··· + 6 × = ≈ 4.4722 . . . . E[Y ] = aP (X = a) = 1 × 36 36 36 a (c) Dari kedua daftar, kita peroleh joint pmf untuk X dan Y sebagai berikut Y :X 1 2 3 4 5 6
2 1 36
0 0 0 0 0
3 0
4 0
2 36
1 36 2 36
0 0 0 0
0 0 0
5 0 0
6 0 0
2 36 2 36
1 36 2 36 2 36
0 0
0
7 0 0 0
8 0 0 0
2 36 2 36 2 36
1 36 2 36 2 36
9 0 0 0 0
10 0 0 0 0
2 36 2 36
1 36 2 36
11 0 0 0 0 0
12 0 0 0 . 0 0
2 36
1 36
Dari tabel (a), (b), dan (c), jelas bahwa X dan Y bukan variabel acak yang independen karena P (X = 2)P (Y = 2) = 3632 6= 0 = P (X = 2, Y = 2). (d) Kita tahu bahwa Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]. Nilai E[XY ] perlu dicari, yaitu E[XY ] =
X
xyP (X = x, Y = y) = 1 × 2 ×
x,y
1 1 + · · · + 6 × 12 × = 34.222 . . . . 36 36
Akibatnya Cov(X, Y ) = 34.222 · · · − 7 × 4.47222 · · · = 2.9166666 . . . . 4
Bagian (a): Tabel:
5 poin, Ekspektasi:
5 poin
Nilai parsial untuk masing-masing maksimal 3 Bagian (b): Tabel:
5 poin, Ekspektasi:
5 poin
Nilai parsial untuk masing-masing maksimal 3 Bagian (c): Tabel:
10 poin, Penjelasan yang benar bahwa tidak independent:
5 poin
Nilai parsial untuk tabel dipilih dari 8, 5, atau 1. Menjawab independent mendapat 0 poin Penjelasan yang parsial maksimal 3 poin Bagian (d): Menghitung kovariansi dengan benar:
5 poin
TOTAL: 10+10+15+5=40
5
5. Diberikan cdf demikian, diperoleh pdf sebagai berikut 0 ≤ x ≤ 1.
fX (x) = a + 2bx,
(a) Syarat pdf adalah selalu non-negatif dan integral seluruh daerahnya adalah 1. Dari syarat integral, diperoleh Z fX (x) = FX (1) = a + b = 1. Karena ekspektasi dari variabel acak adalah 0.6, maka diperoleh Z
1
Z
1
xfX (x)dx = 0
ax + 2bx2 dx =
0
Dari kedua persamaan terakhir, diperoleh variabel acak X adalah 2 fX (x) = + 5 Jelas bahwa pdf ini selalu non-negatif.
a 2 2b 3 x + x 2 3
1 = 0
a 2b + = 0.6. 2 3
b = 0.6 dan a = 0.4. Jadi, diperoleh pdf dari 6 x, 5
0 ≤ x ≤ 1.
(b) Kita tahu bahwa V ar(X) = E[X 2 ] − E[X]2 , di mana E[X] = 0.6. Sekarang, E[X 2 ] =
Z
1
x2 fX (x)dx =
0
Jadi, V ar(X) =
13 30
Z
1
0
1 2 3 6 13 2 2 6 3 x + x dx = x + x4 = . 5 5 15 20 30 0
− 0.62 = 0.07333 . . . .
(c) Kita peroleh Z
0.5
P (0.1 ≤ X ≤ 0.5) = 0.1
0.5 2 6 2 2 6 + xdx = x+ x = 0.35 − 0.046 = 0.304. 5 5 5 10 0.1
(d) Misalkan A dan B adalah variabel acak yang menyatakan kedua bilangan yang dihasilkan. Karena A dan B dihasilkan secara independen, maka joint cdf untuk A dan B adalah FA,B (a, b) = FA (a)FB (b). Kejadian bahwa maksimum dari A dan B lebih dari 0.6 berkomplemen dengan kedua nilai A dan B kurang dari 0.6. Dengan kata lain P (max{A, B} > 0.6) = 1 − P (A ≤ 0.6, B ≤ 0.6) = 1 − FA (0.6)FB (0.6) ≈ 0.792.
Bagian (a): Mendapatkan a + b = 1:
2 poin
Mendapatkan persamaan ... = 0.6:
2 poin
Memperoleh nilai a dan b:
2 poin
Bagian (b): menghitung ekspektasi X 2 :
5 poin
menghitung variansi:
2 poin
Bagian (c): Menghitung dengan benar: 6
5 poin
Nilai parsial maksimal 3 poin Bagian (d): Mendapatkan joint pdf (atau joint cdf) karena independence:
2 poin
Melakukan perhitungan dengan benar:
5 poin
TOTAL: 6 + 7 + 5 + 7 = 25 poin
7
