Contoh Solusi PR 4 Statistika & Probabilitas 1. Nilai probabilitas pada masing-masing soal mengacu pada tabel Standard Normal Distribution. (a) X := curah hujan satu tahun. X : N (42, 16). Dit: P(X > 50). Jwb: 50 − 42 P(X > 50) = P Z > √ 16 = P (Z > 2) = .0228. (b) Definisi dan jenis distribusi X sama dengan (a). Dit: P(40 < X < 43). Jwb: 40 − 42 43 − 42 √ P(40 < X < 43) = P
x) = 0.975. Jwb: Akan dicari x sehingga P(X < x) = 0.025. Nilai z sehingga P(Z < z) = 0.025 adalah −1.96. Jadi x harus memiliki nilai-z sebesar −1.96. x = µ + zσ = 42 − 1.96(4) = 34.16. (d) Definisikan Xi sebagai curah hujan tahun ke-i, i = 1, 2, 3, 4, 5. Definisikan X = X1 + X2 + · · · + X5 yaitu jumlah curah hujan 5 tahun ke depan. X : N (5µ, 5σ 2 ). Dit: P(X > 200). Jwb: 200 − 210 √ P(X > 200) = P Z > 4 5 = P(Z > −1.12) = 1 − P(Z < −1.12) = 1 − .1314 = .8686. (e) Definisi Xi sama dengan (d). Definisikan X = 15 (X1 + X2 + · · · + X5 ) yaitu rata-rata curah hujan 5 tahun ke depan. X : N (µ, σ 2 /5).
1
Dit: P(40 < X < 43). Jwb:
40 − 42 43 − 42 √
P(40 < X < 43) = P
= P(Z < 0.56) − P(Z < −1.12) = .7123 − .1314 = .5809. (f) Definisikan X banyak tahun dari 5 tahun ke depan yang curah hujannya di atas 50 inchi. X : Bin(5, 0.0228) berdasarkan (a). Dit: P(X ≥ 1). Jwb: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) 5 = 1− (0.0228)0 (0.9772)5 0 = .109. Bobot: 30 angka Skema Penilaian: (a) Setiap sub-soal (a), (b), ..., (f) masing-masing berbobot 5 angka. (b) Untuk masing-masing sub-soal, 5 angka diberikan dengan komposisi sebagai berikut: i. 2 angka untuk mendefinisikan variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan baik ii. 1 angka untuk memformulasikan yang ditanyakan pada sub-soal dengan baik iii. 2 angka untuk perhitungan yang benar (termasuk pembacaan tabel-z) (c) Penggunaan variabel acak yang sama dan tidak ditulis ulang tidak apa-apa.
2. Ini adalah permasalahan pemilihan sampel dari populasi berhingga. (a) X :=jumlah laki-laki yang merokok dari 300 orang laki-laki µ = 300(.284) = 85.2. σ 2 = 300(.284)(1 − .284) = 61.0032. X : (µ, σ 2 ). Dit: P(X ≤ 100). Jwb: 100 − 85.2 P(X ≤ 100) = P Z < √ 61.0032 = P(Z < 1.89) = .9706. (b) X := jumlah perempuan yang jarang sarapan dari 300 perempuan. µ = 300(.42) = 126. σ 2 = 300(.42)(1 − .42) = 73.08. X : N (µ, σ 2 ). Dit: P(X ≥ 100).
2
Jwb: 100 − 126 P(X ≥ 100) = P Z ≥ √ 73.08 = P(Z ≥ −3.04) = .9988. (c) L := jumlah laki-laki yang tidur kurang dari 6 jam dari 300 laki-laki. P := jumlah perempuan yang tidur kurang dari 6 jam dari 300 perempuan. µL = 300(.227) = 68.1. µP = 300(.214) = 64.2. σL2 = 300(.227)(1 − .227) = 52.6413. σP2 = 300(.214)(1 − .214) = 50.4612. Definisikan S := L − P yaitu jumlah laki-laki dikurangi jumlah perempuan yang tidur kurang dari 6 jam. µS = µL − µP = 3.9. σS2 = σL2 + σP2 = 103.1025. S : N (µS , σS2 ). Dit: P(S ≤ 0). Jwb: 0 − 3.9 P(S ≤ 0) = P Z ≤ √ 103.1025 = P (Z ≤ −0.38) = .352. Bobot: 25 angka Skema Penilaian: (a) Sub-soal (a) dan (b) masing-masing berbobot 6 angka dengan komposisi: i. 3 angka untuk mendefinisikan semua variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan benar. ii. 1 angka untuk memformulasikan yang ditanyakan dengan benar. iii. 2 angka untuk perhitungan yang benar. (b) Soal (c) berbobot 13 poin dengan komposisi sebagai berikut: i. 5 poin mendefinisikan semua variabel acak yang digunakan dan parameternya dengan baik. ii. 2 poin memformulasikan yang ditanyakan dengan benar. iii. 3 poin untuk perhitungan yang benar (termasuk pembacaan tabel-z).
3. Jika S2 adalah variansi sampel berukuran n dan σ 2 adalah variansi populasi, maka X : (n − 1)S2 /σ 2 memiliki distribusi Chi-Square dengan degree of freedom (df) n − 1. Tabel Chi-Square menunjukkan probabilitas P(X ≥ χα2 ) = α. Kita ingin mencari n terkecil sehingga (n − 1)S2 P ≤ 2.25(n − 1) σ2 sedikitnya 0.99. Dengan demikian, kita perlu mencari pada kolom α = 0.1, nilai χα2 lebih kecil dari 2.25 × d f . Untuk d f = 10, diperoleh χα2 = 23.209 > 22.5. Untuk d f = 11, diperoleh χα2 = 24.725 < 24.75. Jadi, ukuran sampel yang dibutuhkan adalah n = d f + 1 = 11 + 1 = 12 bungkus. 3
Bobot: 10 angka Skema Penilaian: (a) 4 angka untuk memformulasikan yang ditanya dengan baik. Mahasiswa dapat menghubungkan apa yang ditanyakan dengan distribusi Chi-Square, menyederhanakan apa yang ditanya dalam istilah/parameter pada distribusi Chi-Square. (b) 4 angka untuk pembacaan Tabel Chi-Square dengan benar. (c) 2 angka untuk memperoleh nilai n yang benar.
4. Maximum Likelihood Estimator digunakan untuk mengestimasi parameter yang belum diketahui dari suatu distribusi (populasi) yang jenisnya sudah diketahui. (a) Likelihood function-nya adalah f (x1 , x2 , . . . , x20 |p) = f (x1 |p) f (x2 |p) . . . f (x20 |p) = (1 − p)x1 −1 p· (1 − p)x2 −1 p· . . . · (1 − p)xn −1 p 20
= (1 − p)∑i=1 xi −20 p20 . Di sini, n = 20 dan ∑20 i=1 xi = 47. f (x1 , x2 , . . . , x20 |p) = (1 − p)27 p20 . (b) Log-likelihood function-nya adalah log f = 27 log(1 − p) + 20 log p. (c) Nilai maksimum log f dapat diperiksa pada nilai p yang membuat −
Dapat diperiksa bahwa nilai p =
20 47
d dp
log f = 0:
27 20 + =0 1− p p 47p − 20 =0 p(1 − p) 20 p= . 47
≈ 0.426 membuat nilai f di atas maksimum.
Bobot: 20 angka Skema Penilaian: (a) 5 angka untuk mendapatkan ekspresi untuk Likelihood Function. Jika masih dinyatakan dalam n, x1 , x2 , . . . , xn , tidak apa-apa. (b) 5 angka untuk mendapatkan Log-likehood function. (c) 10 angka untuk berhasil mendapatkan parameter p yang memaksimumkan fungsi Likelihood.
5. 100(1 − 0.1)% −CI yang two-sided: • α = 0.1. • zα/2 = 1.65. 4
11.3 = 2.072. • zα/2 √σn = 1.65 √ 81
• CI: σ σ x − zα/2 √ , x + zα/2 √ = (74.6 − 2.072, 74.6 + 2.072) n n = (72.528, 76.672) . 100(1 − 0.1)% −CI yang one-sided: • α = 0.1. • zα = 1.28. 11.3 = 1.607. • zα √σn = 1.28 √ 81
• CI lower: σ −∞, x + zα √ = (−∞, 74.6 + 1.607) n = (−∞, 76.207). • CI upper: σ x − zα √ , ∞ = (74.6 − 1.607, ∞) n = (72.903, ∞). Bobot: 15 angka Skema Penilaian: (a) Ada tiga interval estimate yang diminta pada soal. (b) Masing-masing interval estimate membawa 5 angka dengan komposisi: i. 3 angka untuk menentukan nilai x, ¯ √σn , α, zα/2 , atau zα yang benar. ii. 2 angka untuk perhitungan yang benar hingga mendapatkan interval estimates yang sesuai. (c) Penggunaan nilai yang sama dan tidak ditulis ulang tidak apa-apa.
5
