Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1

PROBABILITAS Tujuan belajar : 1. Mengerti konsep probalitas 2. Mengerti hukum-hukum probabilita 3. Mengerti konsep mutually exclusif dan non exclusive, serta konsep bebas dan tak bebas 4. Memahami permutasi dan kombinasi

1

Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Dalam mempelajari probabilitas, ada 3 kata kunci : 1. Eksperimen 2. Hasil

3. Kejadian atau peristiwa (event) Nilai Probabilitas berkisar antara 0 dan 1.

2

Ada 2 pendekatan dalam penghitungan probabilitas :

•

Pendeketan yang bersifat objektif

Pendekatan klasik

Pendekatan frek. relatif 2. Pendekatan yang bersifat subjektif

PENDEKATAN KLASIK Perhitungan probabilitas secara klasik didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama. n = banyaknya eksperimen atau observasi x

P  A 

A sukses

n

x = banyaknya nilai yang diharapkan muncul 3

   1

P A

x n

A gagal

Contoh : Sebuah kotak berisi 4 bola merah, 6 bola putih,7 bola hijau,3 bola biru. Semua bola sama bentuk,besar dan bobotnya. Apabila Sebuah bola diambil secara random berapa probabilitasnya bahwa

a. bola itu merah

b. bola itu hijau

Jawab :

a. P(M) = 4/20 = 2/10 = 0,2

b.

P(H) = 7/20 = 0,35

4

Contoh :

Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 75 yang bagus. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut bagus.

n  100

x 7525

75 25 0,75 P A  0 ,25 100

75 % % atau 25

5

Pendekatan frekuensi relatif  ei Frekuensirelatif  n

  dari peristiwa (hasil) e i 

Frekuensi relatif tidak mungkin lebih dari 1 (satu), jadi

ei 0  n

1

6

Diketahui bahwa nilai ujian statistik mahasiswa STT adalah sebagai berikut : Nilai Ujian < 25 25 - 50 51 - 76 > 76

f 10 30 45 15 100

Kalau kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa dari sekelompok mahasiswa tersebut berapa probabilitasnya bahwa dia mendapat nilai 25 < X < 50, 50 < X < 75

30 P 25  X  50   0.3 100 45 P 50  X  76   0.45 100 7

Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji / upah bulanan, yang digambarkan sebagai berikut :

X 55 65 75 85 95 105 115 f 8 10 16 14 10 5 2 Kalau di jalan kita bertemu dengan salah seorang karyawan tersebut, berapakah besarnya prabilitas bahwa upahnya Rp 65 ribu dan Rp Rp.105 ribu

f 2 10 P( X  65)    0,15 n 65 p(X  105) 

f6 5   0,08 n 65 8

PROBALITAS DENGAN DUA ATAU LEBIH PERISTIWA • Peristiwa Mutually Exclusive Mutually Exlusive (disjoint)  apabila kedua peristiwa tersebut tidak terjadi bersama-sama

Artinya : peristiwa yang satu muncul sekaligus menghilangkan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain

Pr( A atau B)  Pr A  B  Pr A  PrB

9

Contoh: Apabila kita menarik satu dari setumpuk kartu ‘bridge’,peristiwa(hasil) kartu A dan hasil kartu K adalah mutually exclusive. Maka probabilitas memperoleh salah satu kartu A dan kartu K dalam satu kali tarikan adalah :

Pr A atau K   Pr( A)  Pr( K ) 4 4 8     0,15 52 52 52

10

Contoh: Hasil produksi suatu pabrik diketahui 10% nya tidak memenuhi standar kualitas. Diambil sampel random 50 unit dari hasil produksi pabrik itu. Berapa probabilitasnya bahwa yang terambil adalah sebuah produk yang memenuhi standar ? 50 x 10% = 5 buah produk tidak memenuhi standar 50 – 5 = 45 buah produk memenuhi standar

Pr A atau K   Pr( A)  Pr(K ) 45 5 50    1 50 50 50 11

Non Exclusive (joint)  apabila kedua peristiwa tersebut terjadi bersamasama

Pr( A atau B)  Pr A  PrB  Pr A  B Probabilitas bahwa pabrik batik ‘Damar Kencana’ akan berlokasi disurakarta adalah 0,7, Probabilitas akan berlokasi di yogyakarta adalah 0,4, dan probabilitas akan berlokasi di surakarta dan Yogyakarta atau dikedua kota itu adalah 0,8. Berapa probabilitasnya bahwa pabrik batik itu akan berlokasi di kedua kota itu ?

P( S  Y )  P( S )  P(Y )  P( S  Y )  0,7  0,4  0,8  1,1  0,8  0,3 12

Sebuah lembaga kursus yang mempunyai 90 siswa diketahui bahwa 42 siswa mengambil kursus jaringan , 48 siswa mengambil kursus multimedia dan 35 siswa mengambil kursus jaringan dan kursus multimedia. Bila seorang siswa dipilih secara random, berapa probailitas bahwa siswa yang terambil mengambil kedua jenis kursus tersebut. JAWAB :

42 48 35   90 90 90  0,47  0,53  0,39

Pr( J )  Pr(M )  Pr( J  M ) 

 0,61

13

Peristiwa Tak bebas (bersyarat) Peristiwa tak bebas  Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi

P A / B  

P A  B  P B 

P B / A 

P A  B  P  A

14

Contoh Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan uang logam 100 rupiah, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut: a. Berapa probabilitas anak yang kedua akan memperoleh bola merah juga, bila anak pertama memasukkan uang logam 100 rupiah dan mendapatkan bola merah

99 P( A2 | A1 )   0,248 399

15

Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bola putih, 100 bola merah, dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan uang logam 100 rupiah, mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 orang anak bermain-main dengan mesin tersebut:

b. Misalnya anak yang kedua mendapat bola merah. Anak yang ketiga tidak menghendaki mendapatkan bola merah. Berapa probabilitasnya anak yang ketiga akan mendapatkan bola bukan berwarna merah ?

300 P rM ' / M1 dan M 2    0,754 398 16

Peristiwa bebas Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi.

Pr( A  B)  Pr( A)

.

Pr(B)

Contoh : Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1 adalah lemparan 1 yang mendapat gambar burung (A), dan A2 adalah lemparan kedua yang mendapatkan rumah (B), berapa P(A1  A2) P ( A1 )  P ( A) 

1 dan 2

P ( A2 )  P ( B ) 

1 2

P ( A  B )  P ( A1 ) . P ( A2 ) 

1 1 1 .  2 2 4

17

Dari 38 lembar undian dengan nomor 1, 2,3, 4,……..38 terdapat 4 nomor yang berisi hadiah. Apabila kita diberi kesempatan mengambil lembar undian 3 kali berturut – turut berapa probabilitasnya kita akan mendapatkan lembar undian yang berisi hadiah ketiga - tiganya

Pr(U1  U 2  U 3 )  Pr(U1 )  Pr(U 2 )  Pr(U 3 ) 

4 3 2    0.11* 0.08 * 0.06 38 37 36  0,00052

18

PERMUTASI Permutasi  Suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau obyek dimana urutan itu penting (AB  BA) Banyaknya permutasi dari m elemen adalah jumlah maksimum cara-cara yang berbeda dalam mengatur atau membuat urutan dari m elemen tersebut. mPm

=m!

Permutasi m obyek diambil m setiap kali m Px 

m! m - x  !

Permutasi m obyek diambil x setiap kali 19

Contoh : 1. Banyaknya permutasi dari satu set huruf (a,b,c) yang diambil dua huruf diantaranya adalah : 3 P2 

3! 3.2. 1   3. 2  6 3 - 2 ! 1

2. Misalnya suatu daftar memuat 10 rencana investasi yang dikemukakan Oleh direksi perusahaan kepada suatu dewan komisaris, dimana setiap anggota dewan koisaris diminta memberikan rank atau penilaian terhadap 5 rencana investasi tersebut yang dianggap feasible. Ada berapa cara ranking dari 10 rencana investasi kalau diambil 5 setiap kali. Dari soal diketahui m = 10 dan x = 5 

10! 10!  10  5 ! 5! 10  9  8  7  6  5!  5!  10  9  8  7  6

10 P5



 30.240

20

Sembilan orang yang terdiri dari 5 pria dan 4 wanita akan diurutkan dalam satu baris dan dikehendaki wanita menempati urutan bernomor genap. Ada berapa banyak caranya ?

5

P5  4 P4  5!  4! 12024  2880

21

KOMBINASI Kombinasi  Susunan dari beberapa elemen dimana urutan tidak diperhatikan (AB = BA) m Cx 

m! x ! m - x  !

Kombinasi m obyek diambil x setiap kali

22

Ada berapa banyak cara dari suatu panitia yang terdiri dari 5 orang dan harus dipilih dari 9 orang 9! 9!  9 C5  5!9  5! 5! 4! 9  8  7  6  5 15120    126 5  4  3  2 1 120

23