Kumpulan
pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)
Diskrit
Seragam Binomial Hipergeometrik Poisson
Kontinu
Normal T-Student Chi-Kuadrat
Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x) - f ( x) ≥ 0 -
n
∑ f ( x) = 1 x =1
Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah : F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f (t ) untuk − ∞ < x < ∞ t≤x
Nilai harapan X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
E ( X ) = ∑ xi . f ( xi ) 5
Diketahui data penjualan mobil selama 50 puluh hari. Hitunglah : a. probabilitas terjual 3 mobil dalam 1 hari b. Nilai Harapan dan standar debiasi Penjualan (x)
Jumlah Hari (f)
0
2
1
3
2
5
3
10
4
20
5
7
6
3
Probabilitas (P(X))
Bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai x1, x2, …, xk, dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskritnya adalah : 𝑓𝑓 𝑥𝑥; 𝑘𝑘 =
1 , 𝑘𝑘
untuk x = x1, x2, …, xk
Contoh : 1. Pelemparan dadu, maka distribusi 1 seragamnya adalah 𝑓𝑓 𝑥𝑥; 6 = 6 2.
Dari 4 orang mahasiswa akan dipilih 2 orang perwakilan, maka distribusi seragamnya adalah?
Percobaan
Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
Percobaan itu terdiri dari n pengulangan Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat
diidentifikasi sukses atau gagal Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.
Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n b( x; n, p ) = C p q n x
x
n− x
9
90% produk yang dihasilkan sebuah perusahaan berkualitas baik. Kepala bagian produksi mengambil 5 produk, berapa probabilitas bahwa sebuah produk tidak berkualitas baik? Jawab: p = 0.1 q = 1-p = 0.9 n = 5; x = 1 Cara 1: P(X=1) = b (1; 5, 0.1) = Cara 2: Melihat Tabel Probabilitas binomial 1.
90% produk yang dihasilkan sebuah perusahaan berkualitas baik. Kepala bagian produksi mengambil 5 produk, berapa probabilitas sekurang-kurangnya 3 produk tidak berkualitas baik? Jawab: p = 0.1 q = 1-p = 0.9 n = 5; x = 3,4,5 Cara 1: P(3 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 5) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = b(3; 5,0.1)+b(4;5,0.1)+b(5;5,0.1) = hitung manual 2.
Cara 2: P(3 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 5) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = b(3; 5,0.1)+b(4;5,0.1)+b(5;5,0.1) = melihat Tabel Probabilitas Binomial Cara 3: P(3 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 5) = ∑5𝑥𝑥=3 𝑏𝑏 𝑥𝑥; 𝑛𝑛, 𝑝𝑝 = ∑5𝑥𝑥=0 𝑏𝑏 𝑥𝑥; 5,0.1 − ∑2𝑥𝑥=0 𝑏𝑏 𝑥𝑥; 5,0.1 = melihat Tabel Jumlah Probabilitas Binomial
a.
b.
Tentukan distribusi seragam bagi contoh acak panitia yang terdiri atas 4 orang yang dipilih dari 6 orang! Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa probabilitas seseorang memperoleh 5 sampai 10 jawaban benar!
Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :
f ( x) ≥ 0, untuk semua x ∈ R ∞
∫ f ( x) dx = 1
−∞
b
P(a < x < b) = ∫ f ( x) dx a
14
Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah : x
F ( x) = P( X ≤ x) =
∫ f (t ) dt ,
untuk − ∞ < x < ∞
−∞
P(a < x < b) = F (b) − F (a )
15
Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X. Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
E ( X ) = ∫ x. f ( x)dx
16
Kurva
Normal dan Variabel Random Normal
Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting
adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.
σ
σ µ
σ x 17
Kurva mencapai maksimum pada x = µ Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui x = µ Kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1
18
Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas 1 − ( x − µ ) 2 ( 2σ 2 ) n( x; µ , σ ) = e σ 2π
−∞ < x < ∞
19
luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : = P ( x1 < X < x 2 )
X1
P( x1 < X < x 2 ) =
x2
∫ n(x;µ, σ)dx = σ
x1
x
µ
1
X2 x2
∫e
− ( x − µ ) 2 ( 2σ 2 )
2π x 1
dx
∞
1 − ( x − µ ) 2 ( 2σ 2 ) P( −∞ < X < ∞ ) = e dx = 1 ∫ σ 2π − ∞ 20
• apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi Z = x − µ σ
maka : 1 P ( z1 < Z < z 2 ) = σ 2π
z2
∫e
−
1 2 z 2 σdz =
z1
Ternyata substitusi
Z=
1 2π
z2
∫e
−
1 2 z2 z 2 dz = n ( z;0,1)dz
z1
∫
z1
x−µ σ
menyebabkan distribusi normal n (z; µ, σ) menjadi n( z;0,1), yang disebut distribusi standar.
normal 21
Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai P ( x1 < X < x 2 )
ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.
22
Dari hasil engamatan terhadap 500 daun the yang dipetik dari kebun XYZ menunjukkan bahwa rata-rata panjang daun-daun the tersebut 151 mm dengan standar deviasi sebesar 15 mm. Dengan asumsi bahwa panjang daun-daun yang diamati tersebut berdistribusi normal, maka hitunglah a. Peluang daun memiliki panjang kurang dari 128 mm b. Peluang daun memiliki panjang lebih dari 185 mm c. Berapa daun yang memiliki panjang antara 120 mm sampai 155 mm
a.
Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat ◦ kurang dari 53 kg ◦ di antara 53 kg dan 57 kg
