BAB 6
TEORI PROBABILITAS (TEORI KEMUNGKINAN) Kompetensi Menjelaskan konsep dasar teori probabilitas
Indikator 1. Menjelaskan probabilitas 2. Menjelaskan peristiwa mutually exclusive 3. Menjelaskan peristiwa mutually exclusive 4. Menjelaskan peristiwa independent 5. Menjelaskan peristiwa dependent A. Pendahuluan Teori
probabilitas
membahas
tentang
ukuran
atau
derajat
kemungkinan suatu peristiwa dapat terjadi. Dalam teori probabilitas ada dua dasar perumusan, yaitu: 1. Perumusan Klasik Perumusan klasik disebut juga dengan pendekatan matematis, dengan rumus:
Ρ(Ε ) =
h n
102
Keterangan: P(E)
: probabilitas peristiwa E
h
: jumlah kejadian tertentu yang diamati
n
: sejumlah kejadian yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi
Contoh: a. Apabila kita melempar sebuah dadu: 1) berapa kemungkinan akan tampak mata 2? 2) berapa kemungkinan akan tampak mata ganjil? b. Sebuah kotak berisi 20 bola, 10 bola berwarna biru, 6 bola berwarna merah dan 4 bola berwarna putih, jika diambil sebuah bola: 1) berapa probabilitas akan terambil bola biru? 2) berapa probabilitas akan terambil bola merah? 3) berapa probabilitas akan terambil bola putih? 2. Perumusan Frekuensi Relatif Perumusan
Frekuensi
Relatif
disebut
juga
pendekatan
empiris.
Pendekatan ini digunakan pada kejadian-kejadian yang informasinya tidak bisa diketahui sebelum kejadian dari hasil observasi berlangsung. Misalnya probabilitas terjadinya kecelakaan di jalan raya tidak dapat dihitung secara matematis. Pendekatan ini mendasarkan diri pada data yang sudah terjadi sebelumnya. Rumus:
h Ρ(Ε ) = lim n n →≈
103
Keterangan P(E): kemungkinan peristiwa E terjadi h
: jumlah kejadian khusus
n
: jumlah percobaan yang mendekati tak terhingga kali
Contoh: Hasil produksi semacam barang diambil 1000 unit dan diperiksa, hasilnya terdapat 10 yang rusak, kemudian diambil lagi sebanyak 500 unit dan diperiksa, hasilnya terdapat 6 unit yang rusak. Jika proses ini dilakukan berkali-kali untuk jumlah yang mendekati tak terhingga kali maka akan dicapai suatu limit tertentu yang dapat digunakan untuk menentukan probabilitas kerusakan produk tersebut di masa mendatang. 3. Pendekatan Lain : Pendekatan Subyektif Selain dua perumusan di atas, dalam teori probabilitas juga dikenal pendekatan lain yaitu pendekatan subyektif. Kadang-kadang kita tidak mengetahui informasi awal tentang suatu jenis kejadian tertentu, juga tidak mungkin melakukan observasi ataupun eksperimen atas kejadian tersebut. Dengan demikian, pendekatan yang digunakan adalah pendekatan subyektif yaitu berdasarkan derajat keyakinan masing-masing penilai. Contoh: Probabilitas tertutupnya semburan lumpur panas PT Lapindo. Misalnya: Warga mengatakan probabilitasnya 0,25 atau 25% Ahli geologi mengatakan probabilitasnya 0,8 atau 80% Paranormal mengatakan probabilitasnya 0,5 atau 50%
104
B. Aturan Probabilitas 1. Probablitas suatu peristiwa berkisar antara 0 hingga 1 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. Probabilitas suatu peristiwa atau P(E) saling komplemen dengan probabilitas tidak terjadinya peristiwa tersebut atau P( E ) P( E ) = 1 – P(E) Contoh: 1. Jika probabilitas untuk menjadi presiden 0,7, berapa probablitas tidak menjadi presiden? 2. Probabiltas kelompok marching band UMY menang dalam lomba di Jakarta adalah 0,6, berapa kemungkinan bahwa kelompok tersebut tidak menang?
C. Probabilitas Peristiwa-Peristiwa Lebih Dari Satu Macam Bila percobaan dilakukan sekali: 1.
Peristiwa Mutually Exclusive
2.
Peristiwa Non Mutually Exclusive
Bila percobaan dilakukan lebih dari satu kali: 3.
Peristiwa Independent
4.
Peristiwa Dependent
1. Peristiwa Mutually Exclusive Peristiwa mutually exclusive
terjadi jika terjadinya peristiwa yang satu
menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.
105
Jadi kedua peristiwa
Jika A dan B merupakan dua peristiwa yang mutually exclusive, maka kemungkinan terjadinya
peristiwa A atau B dilambangkan dengan (A U B)
adalah: P(A U B) = P(A) + P(B) Keterangan: P(AUB)
: probabilitas terjadinya peristiwa A atau B
P(A)
: probabilitas terjadinya peristiwa A
P(B)
: probabilitas terjadinya peristiwa B
Contoh: a. Kita melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. Berapa probabilitas tampaknya angka 2 atau angka 6? b. Dalam satu kartu bridge, kita cabut satu kartu, berapa kemungkinan tercabut kartu As atau kartu dengan angka 2?
2. Peristiwa Non Mutually Exclusive Peristiwa ini terjadi jika dalam satu kali percobaan kedua peristiwa yang diamati dapat terjadi bersamaan. Jika A dan B merupakan peristiwa non mutually exclusive, maka probabilitas bahwa salah satu akan terjadi adalah: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Keterangan: P(AUB)
: probabilitas terjadinya peristiwa A atau B
P(A)
: probabilitas terjadinya peristiwa A
P(B)
: probabilitas terjadinya peristiwa B
P(A ∩ B)
: probabilitas terjadinya peristiwa A dan B
106
Contoh: Sekumpulan mahasiswa terdiri dari 30 mahasiswa pria dan 20 mahasiswa wanita yang rata-rata berusia 24 tahun. Dari perkumpulan tersebut diketahui bahwa terdapat 10 mahasiswa FE pria dan 15 mahasiswa FE wanita, sedangkan sisanya dari fakultas lain.
Bila dipilih satu orang mahasiswa
secara random, maka: a. berapa kemungkinan seorang mahasiswa tersebut adalah mahasiswa pria atau mahasiswa dari fakultas ekonomi? b. berapa kemungkinan seorang mahasiswa tersebut adalah mahasiswa wanita atau mahasiswa dari fakultas lain?
Bila percobaan dilakukan lebih dari satu kali:
3. Peristiwa Independent (Bebas) Dua peristiwa dikatakan independent jika terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Bila A dan B adalah dua peristiwa yang independent, maka probabilitas bahwa keduanya akan terjadi bersama-sama, adalah: P(A ∩ B) = P (A) x P (B) Keterangan: P(A ∩ B)
: probabilitas terjadinya peristiwa A dan B
P(A)
: probabilitas terjadinya peristiwa A
P(B)
: probabilitas terjadinya peristiwa B
Contoh: a. Berdasarkan 100 peserta test TOEFL untuk mendaftar sebagai dosen UMY, 40 orang dinyatakan tidak memenuhi syarat. Jika dari 100 peserta
107
tersebut dipilih secara acak 3 orang (setiap orang hanya mempunyai kesempatan satu kali untuk terpilih): 1) Berapa probabilitas akan diperoleh peserta yang memenuhi syarat semua? 2) Berapa probabilitas akan diperoleh hanya 1 orang yang memenuhi syarat dan 2 orang tidak memenuhi syarat? b. Apabila diketahui bahwa kemungkinan si A akan hidup 25 tahun lagi adalah 0,75 dan kemungkinan si B akan hidup 25 tahun lagi adalah 0,40. Berapa kemungkinan bahwa si A dan si B akan hidup 25 tahun lagi?
4. Peristiwa Dependent (Bersyarat) Dua peristiwa dikatakan dependen jika terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas bahwa B akan terjadi bila diketahui bahwa A telah terjadi, dilambangkan: P (B/A) dibaca: B setelah A Probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah: P(A ∩ B) = P (A) x P (B/A) Keterangan: P(A ∩ B)
: probabilitas terjadinya peristiwa A dan B
P(A)
: probabilitas terjadinya peristiwa A
P(B/A)
: probabilitas terjadinya peristiwa B yang didahului peristiwa A
Contoh: a. Kotak A berisi 30 bola biru dan 20 bola putih. Apabila akan diambil dua bola secara berturut-turut tanpa pengembalian, maka berapa probabilitas bahwa dalam pengambilan pertama akan diperoleh bola putih dan pengambilan kedua bola biru?
108
b. 100 mahasiswa mengaku suka nonton sinetron.
Perincian jumlah
mahasiswa berdasarkan jenis sinetron yang disukai adalah:
sinetron
komedi 35 orang, sinetron romantika 45 orang dan sisanya suka sinetron horror.
Kalau kita memilih dua orang mahasiswa secara berturut-turut
secara random dimana setelah dipilih tidak diikutsertakan dalam pemilihan berikutnya, berapa kemungkinannya dalam pemilihan tersebut terdapat seorang mahasiswa suka sinetron horror dan seorang lagi suka sinetron komedi?
D. Dalil Bayes Dalam peristiwa dependen yang terjadi berurutan, kita dapat menggunakan dalil Bayes untuk mengetahui probabilitas suatu peristiwa jika telah diketahui terdapat peristiwa lain yang mendahuluinya.
Probabilitas bahwa B akan
terjadi jika A telah terjadi dirumuskan:
Ρ (Β Α) =
P( A ∩ B ) Ρ(Α )
Keterangan: P(B/A)
: probabilitas terjadinya peristiwa B yang didahului peristiwa A
P(A ∩ B)
: probabilitas terjadinya peristiwa A dan B
P(A)
: probabilitas terjadinya peristiwa A
Contoh: a. Dalam audisi Indonesian Idol, terdapat 10 orang yang lolos mewakili Yogyakarta mengikuti seleksi berikutnya. Selain itu juga terdapat 15 orang yang mewakili Semarang. Peserta dari Yogya terdiri dari 6 siswa SMU dan 4 mahasiswa, sedangkan peserta dari Semarang, 8 siswa SMU dan 7
109
mahasiswa. berapa
Jika pemenang pertamanya diketahui berasal dari Yogya,
probabilitas
bahwa
pemenang
tersebut
adalah
seorang
mahasiswa? b. Sebuah turnamen catur yang diikuti pria dan wanita telah mencapai babak semi final dan menyisakan 4 semi finalis. Empat orang tersebut berasal dari DIY dan Jawa Tengah. Dari kedua propinsi tersebut masing-masing berisi satu pria dan satu wanita. Jika ternyata kemudian juara pertamanya adalah seorang pria, berapa probabilitas bahwa pria tersebut berasal dari DIY?
E. Latihan Soal 1. Penelitian yang dilakukan terhadap sejumlah responden diketahui 30 responden menyukai jus durian, 25 responden menyukai jus apokat, 25 responden menyukai jus tomat, dan 12 responden menyukai jus durian dan jus apokat. a. Berapa probabilitas responden yang menyukai jus durian atau jus tomat? b. Berapa probabilitas responden yang menyukai jus apokat atau jus tomat? c. Berapa probabilitas responden yang menyukai jus durian atau jus apokat? 2. Misalkan di dompet Anda terdapat 4 lembar uang sepuluh ribuan dan 6 lembar uang lima ribuan. a.
Jika diambil satu lembar 3 kali, setiap pengambilan uang tidak dikembalikan ke dompet, hitunglah probabilitas terambil berturutturut 1 lembar sepuluh ribuan, 1 lembar lima ribuan dan terakhir satu lembar sepuluh ribuan.
b.
Jika diambil satu
lembar 3 kali, setelah pengambilan uang
dikembalikan ke dompet, hitunglah probabilitas terambil berturut-
110
turut 1 lembar sepuluh ribuan, 1 lembar lima ribuan dan terakhir satu lembar sepuluh ribuan. 3. Komposisi dari beberapa tingkatan manajemen dari 150 eksekutif ditunjukkan sebagai berikut: Pria
Wanita
Eksekutif puncak
14
4
Eksekutif menengah
26
23
Eksekutif bawah
22
61
a.
Jika dari 150 eksekutif tersebut diambil secara random seorang eksekutif, berapa probabilitasnya akan didapatkan eksekutif pria atau wanita?
b.
Jika dari 150 eksekutif tersebut diambil secara random 2 orang eksekutif (without replacement), berapa probabilitasnya bahwa kedua eksekutif tersebut berbeda tingkatannya?
c.
Jika dari 150 eksekutif tersebut dipilih seorang eksekutif pria, berapa probabilitasnya bahwa dia adalah eksekutif puncak?
4. Probabilitas bahwa seseorang yang memasuki sebuah rumah makan akan memesan bakso adalah 0,60, probabilitas akan memesan soto adalah 0,40 dan probabilitas akan memesan es kopyor adalah 0,50. Tentukan probabilitas seseorang akan memesan bakso dan es kopyor? 5. Pada pendaftaran mahasiswa baru tahun ini, UMY menerima 3000 mahasiswa yang diperoleh dari test gelombang I, II dan III. Berikut ini adalah data mahasiswa tersebut yang dibedakan berdasarkan asal daerahnya: Berdasarkan 3000 mahasiswa tersebut, 70 %-nya berasal dari Jawa, dan sisanya dari Luar Jawa.
111
Dari 3000 mahasiswa tersebut, 50 %-nya adalah dari gelombang I. Sedangkan dari seluruh mahasiswa yang dari Jawa, terdapat sejumlah 1300 mahasiswa dari gelombang I, dan 400 mahasiswa dari gelombang II. Dari jumlah total, mahasiswa yang berasal dari gelombang III hanya 500 orang. Berdasarkan data tersebut, kerjakan perintah-perintah berikut ini: a. Jika dipilih satu orang secara random, berapa probabilitas terpilih seorang mahasiswa yang berasal dari Jawa atau dari gelombang III? b. Jika
akan
dipilih
2 orang berturut-turut tanpa pengembalian,
berapa probabilitasnya terpilih mahasiswa dari gelombang I dan seorang lagi dari gelombang II? c. Jika
dipilih
acak
seorang
mahasiswa Luar
Jawa, berapa
probabilitasnya bahwa dia berasal dari gelombang I? 6. Berdasarkan rekruitmen tenaga kerja, diketahui bahwa dari 100 pelamar terdiri dari lulusan S1 dan SMU.
Pelamar yang diterima adalah 30%,
terdiri dari 20 S1 dan sisanya lulusan SMU. Dari pelamar yang ditolak, 55 orang adalah lulusan SMU. Bila dipilih secara random satu orang pelamar yang diterima berapa probabilitas bahwa yang yang terpilih tersebut adalah pelamar yang diterima dari lulusan S1? 7. Sebuah perusahaan memberikan kebijakan bahwa mahasiswa yang diperbolehkan magang di perusahaannya berjumlah 10 orang yang terdiri dari 60% dari PTN dan 40% dari PTS. Kalau kita mewawancarai 2 orang mahasiswa secara bersama-sama: a. Berapa probabilitas bahwa satu orang dari PTN dan satu orang dari PTS? b. Berapa probabilitasnya jika kedua orang tersebut berasal dari PTS?
112
