BAB V TEORI PROBABILITAS

BAB V TEORI PROBABILITAS

Probabilitas disebut juga dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Oleh karena itu, probabilitas dapat dikatakan sebagai suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Manfaat dari mempelajari probabilitas adalah dapat membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Nilai Probabilitas antara 0 s/d 1. Jika nilainya semakin mendekati 0, maka kemungkinan terjadinya kejadian akan semakin kecil. Jika nilainya semakin mendekati 1, maka kemungkinan terjadinya kejadian akan semakin besar. A. Pengertian Probabilitas 1. Probabilitas Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. 2. Percobaan Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi. 3. Hasil (outcome) Suatu hasil dari sebuah percobaan. 4. Ruang sampel Himpunan dari semua hasil yang mungkin dalam suatu percobaan. Dinotasikan dengan “S”. 5. Peristiwa (event) Himpunan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan yang merupakan himpunan bagian dari “S”.

Contoh:

Pada eksperimen/percobaan di atas, secara matematis ruang sampel dapat dituliskan. S = {Persis Solo menang, Persis Solo kalah, Seri} Dan kemungkinan dari kejadian-kejadian/peristiwa dapat dituliskan. A= {Persis Solo menang} B= {Persis Solo kalah} C= {Seri} D= {Persis Solo menang, Persis Solo kalah} E= {Persis Solo menang, Seri} F= {Persis Solo kalah, Seri} G= {Persis Solo menang, Persis Solo kalah, Seri} H={ } Sehingga dapat disimpulkan bahwa banyaknya himpunan peristiwa yang mungkin terjadi dari suatu percobaan adalah 2n dengan n sebagai banyaknnya anggota ruang sampel.

B. Pendekatan Probabilitas 1. Pendekatan Klasik Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Kejadian A dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara.

Contoh

Peristiwa A merupakan peristiwa munculnya mata dadu genap dari pelemparan sebuah dadu, berapakah peluang terjadinya peristiwa A? 2. Pendekatan Relatif Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi. Rumus : P(E) =

𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒘𝒂 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒕𝒆𝒓𝒋𝒂𝒅𝒊 𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒐𝒃𝒂𝒂𝒏

Contoh: Penelitian yang dilakukan terhadap 40 mahasiswa Pendidikan T. Informatika terhadap nilai mata kuliah Struktur Data. Berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai 50 dan berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai 70 berdasarkan tabel berikut?

P( x  50) 

f n

2



4  0,08 50

P( x  70) 

f n

4



15  0,3 50

Berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai paling sedikit 70 berdasarkan tabel berikut? 3. Pendekatan Subyektif Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan. Didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan Biasanya dalam bentuk opini atau pendapat. Contoh: Berdasarkan analisis pengamat sepakbola, peluang Manchester United untuk menjadi juara Liga Inggris di musim ini sangatlah kecil.

C. Hukum Probabilitas 1. Aturan Penjumlahan  Jika peristiwa terjadi dalam 1 observasi/eksperimen 

Peristiwa mutually exclusive (saling lepas) Apabila dua atau lebih peristiwa tidak dapat terjadi bersama-sama / peristiwa yang satu dapat meniadakan peristiwa yang lain. Peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan, peristiwa saling asing.

“Peristiwa A” atau “Peristiwa B” dapat dituliskan dengan 𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Contoh: o Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peristiwa-peristiwanya adalah : A = peristiwa mata dadu 2 muncul B = mata dadu lebih dari 4 muncul. Tentukan probabilitas kejadian P (A U B). 1

2

P (A) = 6 dan P (B) = 6 1

2

3

P ( A ∪ B ) = 6 + 6 = 6 = 0,5 o Berapakah peluang tertariknya kartu A dan Q dalam satu kali tarikan pada setumpuk kartu bridge? 

Peristiwa non exclusive (tidak saling lepas) Peristiwa dapat terjadi secara bersamaan. Dua peristiwa dikatakan non exclusive, bila dua peristiwa tidak saling lepas atau kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi bersamaan.

Dirumuskan: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Contoh. o Tentukan probabilitas pengambilan kartu Ace atau kartu Diamond dalam setumpuk kartu bridge. Misal A = kartu Ace D = kartu Diamond Maka P(A∪D) = P(A) + P(D) – P(A∩D) 4 52

13

1

16

+ 52 - 52 = 52

o Tentukan probabilitas munculnya mata dadu ganjil dan mata dadu kurang dari 5 dari percobaan pelemparan sebuah mata dadu. 2. Aturan Perkalian  Jika peristiwa terjadi tidak dalam 1 observasi/eksperimen 

Peristiwa bersyarat (tidak bebas) Terjadi jika peristiwa yang satu mempengaruhi/merupakan syarat terjadinya peristiwa yang lain. o Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B sudah terjadi.

𝑃(𝐴|𝐵) =

𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵)

o Peristiwa B terjadi dengan syarat A sudah terjadi, dirumuskan: 𝑃(𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴)

Contoh. Dua buah tas berisi sejumlah bola. Tas pertama berisi 4 bola putih dan 2 bola hitam. Tas kedua berisi 3 bola putih dan 5 bola hitam. Jika sebuah bola diambil dari masing-masing tas tersebut, hitunglah probabilitas: a. Keduanya bola putih b. Keduanya bola hitam c. Satu bola putih dan satu bola hitam Jawab. Misal, A1 = peristiwa terambilnya bola putih dari tas pertama dan A2 = peristiwa terambilnya bola putih di tas kedua, Maka  P(A1∩A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 4/6 X 3/8 = 1/4 Misal, A1 = peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas pertama (berarti terambilnya bola hitam) dan, A2 = peristiwa tidak terambilnya bola putih dari tas kedua (berarti terambilnya bola hitam) maka : P(A1∩A2) = P(A1) x P(A2/A1) = 2/6 x 5/8 = 10/48 = 5/24 Probabilitas yang dimaksud adalah : P(A1∩B2) U P(B1∩A2)



Peristiwa tidak bersyarat (bebas) Peristiwa terjadi atau tidak terjadi tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi peristiwa lainnya. Dua kejadian atau lebih yang tidak saling mempengaruhi P(A dan B) = P(A∩B) = P(A) * P(B) Contoh: pelemparan sebuah dadu, jika A adalah lemparan ke 1 dan B lemparan ke 2, tentukanlah probabilitas munculnya mata dadu 3 dan mata dadu 5. 1

1

1

6

6

36

P(A∩B) = P(A) * P(B) = x = 3. Prinsip Dasar Menghitung

Andaikan suatu prosedur terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dalam m cara dan tahap kedua dalam n cara, maka keseluruhan prosedur tersebut dapat dilakukan dalam m.n cara yang mungkin. Jika suatu prosedur terdiri dari r tahap dan tahap pertama dalam n1 cara, tahap kedua dalam n2 cara dan seterusnya tahap ke r dalam nr cara, maka keseluruhan prosedur tersebut dapat dilakukan dalam n1.n2….nr cara yang mungkin.

4. Permutasi Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Apabila seluruh peristiwa (n) diamati sebanyak r peristiwa dapat dirumuskan dengan: n𝑃𝑟

𝑛!

= P(n,r) = (𝑛−𝑟)!

Contoh: berapa banyak permutasi untuk membuat elemen huruf yang setiap elemennya terdiri dari 2 huruf, yang dibuat dari suatu set huruf (x,y,z). 3𝑃2

3!

= P(3,2) = (3−2)! =

3.2.1 1

= 6  (xy,yx,xz,zx,yz,zy)  (xy ≠ yx)

5. Kombinasi Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan

Mirip dengan permutasi, tetapi untuk kombinasi “susunan/urutan’ elemennya tidak diperhatikan. Jadi (xy = yx) n𝐶𝑟

= C(n,r) = 𝑟! .

𝑛! (𝑛−𝑟)!

Contoh: berapa banyak kombinasi untuk membuat elemen huruf yang setiap elemennya terdiri dari 2 huruf, yang dibuat dari suatu set huruf (x,y,z) 3𝐶2

= C(3,2) = 2! .

3! (3−2)!

3. 2.1

= 2.1 .1! = 3  (xy,yx,xz)

LATIHAN 1. Tentukan probabilitas dari setiap kejadian berikut: a. Munculnya mata dadu ganjil pada pelemparan sebuah dadu. b. Munculnya paling sedikit satu gambar pada pelemparan dua keping mata uang logam. c. Munculnya dua mata dadu yang berjumlah 7 pada pelemparan dua buah dadu secara bersamaan. 2. Sebuah kotak memuat 9 tiket dengan nomor 1 sampai 9. Jika 3 tiket diambil satusatu, tentukan probabilitas bahwa ketiganya membentuk formasi: a. Ganjil – genap – ganjil b. Genap – ganjil – genap 3. Tiga laki-laki dan tiga perempuan duduk dalam sebuah baris. Tentukan probabilitas. a. Ketiga perempuan selalu duduk bersama-sama. b. Laki-laki dan perempuan duduk berselang-seling. 4. Sebuah bola diambil secara acak dari sebuah kotak yang berisi 6 buah bola merah, 4 buah bola putih dan 5 buah bola biru. Tentukan probabilitas bola yang terambil berwarna: a. Merah b. Putih c. Tidak merah d. Merah atau putih

5. A dan B adalah dua kejadian dengan P(A) = ¼. P(A U B) = 1/3 dan P(B) = p. Carilah nilai p jika. a. A dan B saling lepas (mutually exclusive) b. A dan B tak bersyarat (bebas) c. A himpunan bagian dari B

Tim Penyusun: •

Sukirman

•

Sri Rejeki

Sumber: •

Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta

•

N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS

•

Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS