BAB I Pokok Bahasan Pertemuan TIU
: Pendahuluan :1 : Mahasiswa dapat memahami peran fisika dalam kehidupan sehari-hari Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Menentukan besaran-besaran dalam fisika, baik besaran dasar maupun besaran turunan. Menentukan satuan dari setiap besaran fisika. Menentukan dimensi dari besaran dasar & besaran turunan. Fisika adalah ilmu yang mempelajari keadaan dan sifat-sifat benda serta perubahannya, mempelajari gejala-gejala alam serta hubungan antara satu gejala dengan gejala lainnya. Fisika berhubungan dengan materi dan energi, dengan hukum-hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang, dengan interaksi antar partikel, dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan inti atom, dan dengan sistem-sistem berskala lebih besar seperti gas, zat cair, dan zat padat. Dalam bidang sains dan teknologi sering kali dilakukan riset-riset yang tidak lepas dari berbagai macam pengukuran yang memerlukan beberapa macam alat ukur. Dalam pengukuran ini sering melibatkan besaran-besaran penting yang memiliki satuan dan dimensi. Besaran-besaran dalam fisika tidak hanya memiliki satuan melainkan ada beberapa di antaranya yang memiliki arah. Besaran yang memiliki satuan dan arah disebut besaran vektor. Oleh sebab itu, dalam bab ini dibahas beberapa macam besaran beserta sat uan dan dimensinya. Selain itu, dibahas pula beberapa macam alat ukur beserta penggunaannya dan analisis matematika suatu vektor.. Besaran dan Dimensi Besaran adalah keadaan dan sifat-sifat benda yang dapat diukur. Besaran fisika dibedakan menjadi dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan. a. Besaran pokok. Besaran pokok adalah besaran yang paling sederhana yang tidak dapat dinyatakan dengan besaran lain yang lebih sederhana. Dalam fisi ka dikenal tujuh macam besaran pokok yaitu panjang, massa, waktu, arus listrik, suhu, jumlah zat dan intensitas cahaya. Untuk memudahkan pernyataan suatu be saran dengan besaran pokok, dinyatakan suatu simbol yang disebut dimensi. Untuk besaran pokok mekanika (panjang, massa, dan waktu) berturut-turut mempunyai dimensi [L], [M], dan [T]. Besaran pokok ini hanya memiliki besar dan tidak memi- liki arah. b. Besaran turunan. Besaran turunan adalah besaran yang dapat ataubisa diturunkan dari besaran pokok. Besaran turunan ini memiliki besar dan arah. Tabel 1. Besaran-besaran pokok
BAB II Pokok Bahasan : Vektor, Operasi Vektor dan Vektor Posisi Pertemuan : 2 dan 3 TIU : Mahasiswa dapat menjelaskan perbedaan vektor & skalar Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Menentukan besaran fisika yang termasuk besaran vektor maupun skalar. Menggambarkan vector dalam 2 dan 3 dimensi. Menentukan hasil penjumlahan komponen vektor. Menerapkan dan menghitung hasil perkalian dua buah vektor. Menentukan vektor posisi Vektor adalah besaran fisika yang mempunyai besar dan arah. Besaran fisika yang mempunyai besar tanpa mempunyai arah disebut Besaran scalar. Sebagai contoh besaran vector adalah kecepatan,percepatan, Gaya,momentum dan lain-lain.sedangkan suhu,massa,volume dan energy Termasuk besaran skalar. Vektor dapat di tuliskan dengan huruf yang di atasnya diberi Anak panah, misalnya F dan besar vektor di tuliskan atau F saja. Untuk melukiskan sebuah vector biasanya digambarkan dalam bentuk anak panah dan besar vektor dinyatakan dengan panjang aAnak panah (lihat gambar 1.) = 4 satuan Gambar .1 1. PENJUMLAHAN VEKTOR Jumlah atau resultan dari beberapa vektor yang terletak dalam Satu garis lurus adalah jumlah aljabar dari vektor-vektor itu. Bila ada 4 buah vector masing-masing , , dan berturut-turur 2,5,-3 Dan 7 satuan maka resultan dari ke empat vektor tersebut adalah R Yaitu : ( lihat gambar 2 ) F3 -3 = + + +( =2+5–3+7 = 14 - 3 = 11 Satuan
0
F1 2
F2 5
F4 7
R 11
)+
Jumlah atau resultan dari dua vektor yang membentuk sudut Q, (lihat Gambar 3) dapat di tentukan dengan menggunakan persamaan cosinus Yaitu : R= 2 1
F12+F22+2F1F2 cos Arah vector ditentukan oleh persamaan: F1 sin 1= F2 sin 2
1.2
PERKALIAN SKALAR DARI DUA VEKTOR Perkalian scalar disebut juga perkalian titik dari dua vector F1 dan F2(lihat gambar 4 ) dapat dituliskan dalam bentuk F1 F2 Gambar 4 . = F1. F2 cos Untuk 0 < < II 1.3 PERKALIAN VEKTOR DARI DUA VEKTOR. Perkalian Vektor ( disebut juga perkalian silang ) dari dua Vektor F1 dan F2 (lihat gambar 5 ) dapat dituliskan dalam bentuk R 1 X 2 = F1 F2 sin .n dimana 0<= <= 2 n = vektor satuan arah normal 1 Gambar 5 Hasil perkalian Vektor merupakan sebuah Vektor yang tegak lurus terhadap Vektor 1 dan 2 Jika Vektor F 2 dikalikan silang dengan 1 (gambar 6 ) hasilnya adalah : 2 1X 2= R = - F1 F2 sin . Untuk 0<= <= 1 jadi 1. 2= 2. 1 atau operasi vector dari dua vector adalah komutatif 1.4 VEKTOR SATUAN Sebuah Vektor dapat dituliskan sebagai jumlah Vektor-Vektor komponen dalam arah sumbu X dan sumbu Y dalam ruang berdimensi ruang ( lihat gambar 7 ). Vektor komponen dari F pada arah sumbu X adalah iFx dan Pada sumbu Y adalah jFy y . jFy . iFx Dimana I adalah Vektor satuan pada arah Sumbu x dan j adalah Vektor satuan Pada sumbu Y jadi : F= iFx + jFy
F = (Fx)2 + (Fy)2 Dari gambar 7 diperoleh : x = r Cos Y= r sin Maka : r = x2 + y2 dimana tg Untuk i = j = 1 dan I L i . i = j .j =1 i.j=0
=y/x
Contoh soal Diketahui vector F1 = 2i + 5j dan Vektor F2 = 3i + 6j . perkalian titik Vektor F1 dan F2 adalah : F1 .F2 = ( 2i + 5j) . (3i + 6j) =6+30 = 36 Untuk ruang tiga dimensi , Vektor F dapat dituliskan sebagai : F = iFx + jFy + kFz , besarnya Vektor F adalah
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
jF
Gambar 8 memperlihatkan Vektor satuan dalam tiga dimensi . Dari gambar 8 diperoleh : kF X = r sin Cos Ø F Y = r sin cos Ø Z =r cos dimana : r = x2 +y2 + z2 tg =x2 + y2 /z2
x
tg Ø = y/x
5. VEKTOR POSISI Posisi suatu titik materi dalam ruang berdimensi dua dapat di gambarkan dengan Vektor kedudukan atau jari-jari r dari titik 0 ke titik F (X ,Y), seperti dilukiskan pada gambar Vektor kedudukan r dapat ditulis y jy (x,y) r 0 x ix Sebagai r = iX + jy Dimana , I = j = 1 dan i ⊥ j Akibatnya , i.i = j.j =1 r = x2 + y 2
Dalam ruang berdimensi tiga (gambar 10 ) , Vektor kedudukan dapat dituliskan sebagai : r = ix + jy + kz z kz P(x,y,z) ix X
jy Gambar : 10
y Dimana i = j = k = 1 dan i ⊥ j ⊥ k ⊥ i Akibatnya i.i = j.j = k.k =1 i.j = j.k = k.i =0 Besar Vektor kedudukan r adalah SOAL-SOAL LATIHAN 1. Tiga buah vector :
a = 3i + 3j – 2k b = -i – 4j + 2k c = 2i + 2j + k
Hitunglah : a x ( b + c ) . 2. Dua kakas ( gaya ) yang setitik tangkap arahnya satu sama lain membentuk sudut 30 0 dan
besar masing-masing 5 newton dan 10 newton Hitunglah besar perkalian skalar( titik ) antara kedua kakas tersebut ? 3. Dua gaya, yang satu 40 N dan lainnya 24 N bekerja pada suatu benda. Arah gaya – gaya tidak diketahui a. berapa besaran minimum resultante gaya – gaya ini ? b. berapa besaran maksimum 4. Seorang pria berjalan 20 km ke utara dan kemudian 40 km ke timur. Berapa besar dan arah perpindahan ( panjang lintasan ) dari titik permukaan ?
BAB III Pokok Bahasan Pertemuan TIU
: Gerak Lurus : 4 dan 5 : Mahasiswa dapat memahami & menjelaskan tentang benda yang bergerak konstan & bergerak lurus berubah beraturan. Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Memahami pengertian dari jarak, kecepatan & percepatan. Menentukan syarat pada benda yang bergerak lurus beraturan maupun bergerak lurus berubah beraturan sehingga dapat menentukan jarak, kec. & percepatannya. Memahami pengertian gerak vertikal
1. KECEPATAN. Suatu benda bergerak dari titik A ke titik B. Titik A berada sejauh x0 dari titik asal 0 dan titik B berasal pada jarak x dari titik asa 0. Jika benda mencapai titik A pada waktu t 0 dan mencapi titik B pada waktu t maka kecepatan rata-rata benda itu dari titik A ke B adalah : ( Lihat gambar 1 ) Perpindahan
x
v=
x−x t − to
v=
∆x ∆t
x0 0
t
x
waktu
Gambar : 1 Contoh soal : 30
Lihat grafik X – T pada gambar 2
x(m)
B
C
Kecepatan rata-rata dari titik A ke B adalah :
v=
20
10
=
A
30 − 10 20 − 5 20 15
= 1,33 m/dot
0
10
20
30
40
50 waktu ( detik )
Dan kecepatan rata-rata dari C ke D adalah : 15 − 30 v= 50 − 30 − 15 = 20 = 0,75 m/det Kecepatan pada saat t dinyatakan sebagai kecepatan rata-rata dalam selang waktu ∆t di sekitar saat t dan selang waktu ∆t di perkecil terus hingga menjadi nol. Dengan kata lain kecepatan sesaat merupakan harga limut dari kecepatan rata-tata jikan selang waktu ∆t mendekati nol. Hal ini dapat dituliskan sebagai : v = lim v= Contoh soal.
∆x ∆t
dx dt
Jarak perpindahan merupakan fungsi waktu ,x ( t ) = 2t 2 + 3t, dimana x dalam meter dan t dalam detik. Kecepatan pada saat t = 3 detik adalah : v=
II.2. PERCEPATAN
dx =4t+3 dt = 4.3 + 3 = 15 m/dat.
Pada umumnya kecepatan benda berubah dengan waktu. Laju perubahan kecepatan itu disebut percepatan. Jika pada saat t1 benda mempunyai kecepatan sesaat v1 dan pada saat t 2 kecepatannya v2 maka percepatan rata-rata dinyatakan oleh :
a=
v 2− v1 t 2− t1
a=
∆v ∆t
Analog dengan pengertian kecepatan sesaat maka percepatan sesaat dituliskan : a = lim ∆t
∆v ∆t 0
a=
dv . dt
Contoh soal : Perpindahan suatu benda merupakan fungsi waktu yang dinyatakan oleh x = 2t 3 – 6t 2 +5 dimana x dalam meter dan t dalam detik. Hitungan kecepatan dan percepatan pada saat t = 3 detik ! dx Penyelesaian : Kecepatan sesaat, v= = 6 t 2 – 12t dt = 6.(3) 2 – 12. (3) = 18 m/det. Percepatan sesaat,
a=
dv = 12t – 12 dt = 12. (3) – 12 = 24 m/ det 2 .
II.3. PERSAMAAN GERAK. Dari persamaan sesaat percakapan, a a=
dv dt
dv dapat diturunkan persamaan untuk kecepatan yaitu : dt dv = a dt v
v0
t
dv = a dt t0
v- v0 =a (t- t0 ) untuk t0 = 0 maka v - v0 = a t atau v = v0 + a t Dengan menggunakan persamaan kecepatan sesaat, v =
dx dt
Dapat diturunkan persamaan untuk jarak perpindahan yaitu : a=
dx dt
dx = v dt x
x0
t
dx = v dt t0
x
dx =
x0
t
( v0 + at ) dt t0
x – x0 = v0 ( t – t0 ) + 1/2a ( t 2 – t 02 ) untuk x0 = 0 dan t0 = 0 maka x = v0 t + ½ at 2 Dari persamaan a =dv/dt dan v = dx/dt dapat diturunkan persamaan gerak lurus berubah beraturan yaitu :
a=
dv dt
dv = a dt dx ) v v dv = a dx dv = a (
v
x
v dv = a dt
v0
2
x0
2 0
1/2 ( v – t ) = a ( x – x0 )
v 2 – v02 = 2 a ( x – x0 ) Untuk x0 = 0 maka diperoleh : v 2 = v02 + 2 as Contoh soal : Sebuah bola dilemparkan keatas dengan kecepatan 20m/det. a. Berapa lama waktu diperlukan untuk mencapai titik tertinggi yang dapat dicapainya ? Penyelesaiannya : Pada titik tertinggi, kecepatn bola itu menjadi nol. Jadi,
v = v0 + at 0 = v0 + ( -g ) t =
v0 g
t =
20 9,8
t = 2,05 detik b. Berapa dinggi bola itu terlempar keatas ?
y = v0 t + 1/2 at 2 = v0 + ½( -g ) t 2
= (20). (2,05) – ½(9,8). (2,05) 2 = 20,45 meter c. Pada saat mana benda berada pada jarak 8 meter diatas tanah ? Penyelesaian :
y = v0 t + 1/2 at 2 8 = 20.t - ½ (9,8) t 2 4, 89 t 2 - 20 t + 8 =0
Akar dari persamaan kuadrat ini adala :
t1 = 0,45 detik, dan t 2 = 3,64 detik benda berada pada ketinggian 8 meter waktu naik dan pada saat t 2 = 3,64 detik, bola berada pada ketinggian tersebut waktu sedang turun. SOAL-SOAL LATIH sebuah partikel bergerak p-ada suatu garis lurus.Percepatan gerak beubah dengan waktu sebagai fungsi a(t) = 12 t2 m/det2. a.
Hitung kecepatan sesaat pada t = 2 detik,jika diketahui benda dalam keadaan berhenti pada sesaat t = 0 ?
b.
Hitung persamaan gerak benda, jika diketahui pada saat t = 2 detik benda ada pada posisi x = 1 meter?
c.
Tentukanlah laju benda setelah menempuh jarak 66 meter?
BAB IV Pokok Bahasan Pertemuan TIU
: Gerak dalam Bidang Datar dan Melingkar : 6 dan 7 : Mahasiswa dapat menjelaskan tentang benda yang bergerak dalam bidang datar dan melingkar Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : ! #%
#
"# "
& "
!
$" # ! "# " ' $ # "(
GERAK PARABOLA Gerak parabola disebut juga lintasan peluru terdiri dari dua gerak lurus yaitu : 1. Gerak lurus beraturan ( a x = 0 ) pada arah horizontal. 2. Gerak lurus berubah beraturan ( a y = -g ) pada arah vertical. Komponen vector kecepatan awal pada arah sumbu X yaitu vox = vo cos sumbu Y yaitu voy = vo sin
o.karena
dan sepanjang
tidak ada percepatan pada arah horizontal (ax = 0) maka vx
adalah tetap.Jadi dapat di tulis yaitu vox = vo cos o.karena
o
o
dan sepanjang sumbu Y yaitu voy = vo sin
tidak ada percepatan pada arah horizontal (ax = 0) maka vx adalah tetap.jadi dapat di
tuliskan : vx = vo cos
o…………………………….
(8)
Komponen y dari vector kecepatan vy akan berubah dengan waktu sesuai dengan gerak lurus vertikal dengan percepatan tetap ay = -g.
Gambar : 3
Jadi di peroleh : vy = vo sin
o
– gt
Besarnya kecepatan resultant pada tiap saat di berikan oleh : v =
vx2 + vy2
sedang sudut ` yang di bentuk oleh vector v dg sumbu X di berikan oleh : tg
= vy vx
Absis dari partikel pada setiap saat adalah: x = (vo cos
o)t
Sedang koordinatnya adalah : y =(vo sin
o)t
– ½ gt2
Dengan mengganti waktu t dari kedu persamaan di atas, di peroleh persamaan lintasan, y =(tg
o)x
-
2(vo cos Karena
o
x2
g 2 o)
, vo dan g masing-masing adalah tetap maka persamaan (12) diatas dapat ditulis sebagai :
y= bx – cx2 yang merupakan bentuk parabola.
Contoh soal : Sebuah bomber terbang horizontal dengan kecepatan tetap sebesar 385 km/jam pada ketinggian 300 meter menuju ke suatu titik tepat diatas sasaran.Berapa sudut penglihatan agar bom yang dilepaskan mengenai sasaran, percepatan gravitasi g = 10 m/det2.Gerak bom pada saat dilepaskan adalah sama dengan gerak pesawat terbang.Kecepatan awal bom sama dengan kecepatan pesawat terbang yaitu
y = voyt – ½ gt2 -300 = 0 – ½ (9,8)t2 t = 600 9,8 Jarak horizontal yang ditempuh bom adalah :
= 7,83 detik.
x = voxt = (106,94) . (7,83) = 837,34 meter Sudut penglihatan dapat dihitung yaitu : Tg = x/-y atau = arc tg (x/-y) = arc tg ( 837,34) -300 o
= -70 17` GERAK LINGKAR 1. PERCEPATAN RADIAL Suatu partikel yang bergerak pada suatu lingkaran dengan laju tetap, mempunyai percepatan yang senantiasa mengarah ke pusat lingkaran (percepatan radial) atau percepatan sentripetal.Besarnya percepatan tersebut ditentukan dengan cara sebagai berikut (lihat gambar 1).Sebuah partikel di titik P setelah t detik partikel di titik
Gambar : 1 Q.
adalah besar sudut perpindahan partikel itu.Karena laju partikel tetap maka terjadi perubahan
vektor kecepatan.Oleh karena itu didapat hubungan : =
S , untuk t sangat kecil S=v t R S=R . v v S=R . v t v t dS = R . dv dt v dt v = R . ar atau ar = v2 …………………………..(1) v R dimana : ar = percepatan radial Dalam gerak melingkar terdapat dua vektor kecepatan yaitu : 1) Vektor kecepatan tangensial (linier) yang arahnya menyinggung lingkaran. 2) Vektor kecepatan sudut (angular) yang arahnya sumbu lingkaran (lihat gambar 2)
Kecepatan sudut ( w ) rata-rata pada saat terjadinya perubahan besar sudut dari
1
ke
2
setelah
perbedaan waktu selama t dapat dituliskan sebagai : w=
2
-
1
t2 – t1 w=
…………………………(2) t
Dan harga kecepatan sesaat adalah : w = lim t 0
t
w=
d …………………….(3) dt hubungan antara kecepatan tangensial (v) dengan kecepatan sudut (w) yaitu, v = R . w ………………………………………………(4) Dengan demikian percepatan radial dapat juga di tulis dalam bentuk : ar = w . v atau ar = w 2. R Contoh soal 1 Bulan berputar mengelilingi bumi dengan laju dianggap tetap buat satu putaran dalam 27,3 hari.Jika lintasan orbit dapat dianggap lingkaran dengan jari- jari 385 x 106 meter, hitunglah percepatan bulan menuju bumi ?
Penyelesaian : v = 2 R = 2 .(3,14) . (385 x 106) 23,6 x 105
T
= 1024,5 m/det 2
ar = v
= (1024,5)2
R
385 x 106 = 0,003 m/det2
2. PERCEPATAN SUDUT. Apabila pada maktu to kecepatan sudut wo dan pada waktu t kecepatan sudutnya adalah w maka percepatan sudut rata-rata adalah (lihat gambar 3), = w - wo …………………………………..(5) t - to Dan percepatan sudut sesaat adalah : = lim t
0
w = dw ...……………………….(6) t
dt
3 .PERSAMAAN GERAK LINGKAR Pada gerak lingkar berubah beraturan dimana percepatan sudut tetap maka persamaan untuk kecepatan sudut yaitu : = dw dt
dw = dt w t dw = wo to
dt
Untuk to = 0 maka di peroleh : W = Wo = Wo + t Besar sudut yang di tempuh dinyatakan dengan persamaan : W= do = W dt =
w
Untuk =0 dan to = 0 maka di peroleh : = Wo t + ½ t Persamaan untuk gerak lingkar dapat di jabarkan sebagai berikut :
= Untuk = 0, maka diperoleh :
=
wt2 = wo2 + 2αθ
Apabila partikel bergerak membentuk lingkaran dengan laju yang tidak tetap maka terdapat 2 vektor yaitu : 1. Vector percepatan tangensial yang arahnya merupakan garis singgung pada lingkaran 2. Vector percepatan radial yang mengarah ke pusat lingkaran Kedua vector percepatan itu menghasilkan percepatan total Berdasarkan persamaan V =Vo + at maka kecepatan tangensial at at = = =R( Percepatan tangensial sesaat at = R ( =R Sehingga Percepatan total : a= . =
)= R.
)
Contoh soal Sebuah partikel bergerak pada lingkaran jari – jari 6 m. kecepatan sudut berubah dengan waktu menurut fungsi T = 2t2 + 3t . pada saat t = 0 partikel ada dalam keadaan berhenti di titik paling atas pada lingkaran. berapa besar percepatan radial dan percepatan total pada saat t = 1 detik ( lihat gambar 5) Penyelesaian : Pada saat t = 1 detik W = 2 ( 1 ) + 3 ( 1 ) = 5 rad/detik ar = W2R = 150 m/det2 = = 4 (1 ) + 3 = 7 rad/det2 Percepatan total , a= = 155,77 m/det2 Besar sudut yang di tempuh setelah t = 1 detik adalah : w2 = o2 + 2 25 = 0 + 2 . 7 . maka =1,7857 rad= 102o 18,45
4. GAYA SENTRIPETAL Sebuah benda yang bergerak melingkar mempunyai massa m dengan laju tetap dengan yang percepatan benda itu selalu ke arah pusat lingkara yang besarnya Ar = dari hokum newton II.. F = m.Ar = Persamaan II disebut gaya sentripetal . dan kebalikan dari gaya tersebut di namakan gaya sentrifugal , arahnya selalu berlawanan
soal soal latihan 1. Seorang pemain bola, menendang bola sehingga bola terpental denag sudut 37o dari horizontal dengan laju awal 20 m/s.Anggap bola melambung dalam bidang vertical. b) Tentukan waktu t1,ketika bola mencapai titik tertinggi dari lintasannya? c) Berapakah ketinggian melambungnya bola? d) Berapakah jangkauan bola dan berapa lama bola melambung di udara? e) Berapakah kecepatan bola ketika tiba kembali ditanah? 2.
Sebuah peluru yang massanya 5 gram diembakkan dari atas tanah dengan sudut elevasi 30o.Jika peluru tersebut kembali ke tanah setelah 4 detik,hitunglah besarnya energi potensial yang dialami peluru pada saat tinggi maksimum, g = 10 m/det2?
3.
Sebuah piringan seragam berputar mengelilingi sebuah sumbu tetap mulai dari keadaan diam dan di perrcepat dengan percepatan sudut konstan . pada suatu saat piringan berputar 10 putaran/detik setelah menempuh 60 putaran lagi, laju sudutnya menjadi 15 put/s hitunglah: a. percepatan sudut b. waktu yang di butuhkan untuk menempuh 60 putaran c. waktu yang dibuthkan untuk mencapai laju sudut 10 put/s
BAB V : Hk. Newton : 8 dan 9 : Mahasiswa dapat menjelaskan tentang konsep hukum Newton I, II & III.. Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Memahami pengertian gaya dan massa. Membedakan dan menentukan macam gaya yang terdapat pada suatu benda Menentukan besar gaya pada benda yang bergerak berdasar-kan hukum Newton 1, 2, 3. Dan gaya gesekan
Pokok Bahasan Pertemuan TIU
Hukum - hukum Newton 1. Hukum I. "Benda berada pada kondisi tetap seperti keadaan awalnya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama (kecuali jika benda dipengaruhi oleh gaya yang tidak seimbang atau gaya eksternal neto) pada kerangka acuan yang tetap seperti keadaan awalnya pula (diam atau bergerak dengan kecepatan sama)". Gaya neto yang bekerja pada sebuah benda disebut juga gaya resultan yaitu jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda: Fneto = F. Sementara pada hukum pertama ini besar gaya resultan adalah nol F=0
2. Hukum II. "Percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan massanya dan sebanding dengan gaya eksternal neto yang bekerja" a = Fneto./m ; atau
F = ma
3. Hukum III. "Gaya - gaya selalu terjadi berpasangan. Jika benda A memberikan gaya pada benda , gaya yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan diberikan oleh benda B kepada benda A (Faksi = Freaksi)" 1. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau terus bergerak dengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang bekerja pada benda itu. Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempunyai kelembaman. Sehubungan dengan itu, hukum pertama Newton sering disebut dengan hukum kelembaman. 2. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton Hukum pertama dan kedua Newton dapat dianggap sebagai de_nisi gaya. Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya (dipercepat atau diperlambat). Arah gaya adalah arah percepatan. yang disebabkannya jika gaya itu merupakan satu -
satunya gaya yang bekerja pada benda tersebut. Besarnya gaya adalah hasil kali massa benda dan besarnya percepatan yang dihasilkan gaya. Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada benda bermassa m1, dan menghasilkan percepatan a1, maka F = m1 a1. Jika gaya yang sama dikerjakan pada benda kedua yang massanya m2, dan menghasilkan suatu percepatan a2, maka F = m2 a2. Dengan menggabungkan persamaan - persamaan ini didapatkan atau
F = m1 a1 = m2 a2 m2/m1 = a1 a2
Benda standar internasional adalah sebuah silinder campuran platinum yang disimpan di Bureau of Weights and Measures di Severes, Perancis. Satuan SI untuk massa benda adalah 1 kilogram. Gaya yang diperlukan untuk menghasilkan percepatan 1 m/s2 pada benda standar adalah 1 newton (N). 3.Gesekan Gaya gesek statik disebabkan oleh ikatan molekul - molekul lemari dan lantai di daerah terjadinya kontak yang sangat erat antara kedua permukaan. Gaya ini berlawanan arah dengan gaya luar yang dikerjakan. Gaya gesek statis agak mirip dengan gaya pendukung yang dapat menyesuaikan dari nol sampai suatu gaya maksimum fsmaks, bergantung seberapa kuat Anda mendorong. Jika benda meluncur, ikatan molekuler secara terus - menerus dibentuk dan dipecah, sementara potongan potongan kecil permukaan berpecahan. Hasilnya adalah sebuah gaya gesek kinetik fk (gesekan luncuran) yang melawan gerakan. Untuk mempertahankan benda agar meluncur dengan kecepatan konstan, Anda harus mengerjakan gaya yang sama besar dan berlawanan arah dengan gaya gesek kinetik ini. Gaya gesekan statis maksimum fs,maks sebanding dengan gaya normal antara permukaanpermukaan : fs,maks = µs Fn ; dengan µs dinamakan koesien gesek statis. Koefisien gesek statis ini bergantung pada sifat permukaan benda dan lantai. Jika Anda mengerjakan gaya horizontal yang lebih kecil dari fs,maks pada benda maka gaya gesek akan tepat mengimbangi gaya yang Anda kerjakan pada benda tersebut. Secara matematis, dapat kita tulis fs,maks µs N :
Selain itu, gaya gesek kinetik juga berlawanan arah dengan arah gerakan. Seperti gaya gesek statis, gaya gesek kinetik merupakan gejala yang kompleks dan sulit untuk dimengerti secara utuh. Koefisien gesek kinetik µk didefenisikan sebagai rasio antara besar gaya gesek kinetik fk dan gaya normal Fn atau kita tulis sebagai berikut: fk = µkN
Secara eksperimen dibuktikan bahwa: (1) µk lebih kecil dari µs (2) µk bergantung pada kelajuan relatif permukaan, akan tetapi untuk kelajuan sekitar 1 cm/s hingga beberapa meter per sekon µk hampir konstan (3) µk (seperti _s) bergantung pada sifat permukaan - permukaan yang bersentuhan akan tetapi tidak bergantung pada luas kontak (makroskopik)
BAB VI Pokok Bahasan : Energi dan Usaha Pertemuan : 10 dan 11 TIU : Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian kerja dan energi Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Memahami definisi kerja & energi Menentukan jenis energi Memahami penggunaan hokum kekekalan energi Memahami definisi daya 1 ENERGI MEKANIK. Energi dapat diubah dari satu bentuk energy menjadi energy lain, contohnya : energy kimia didalam batre di ubah menjadi energy listrik dan di dalam bola lampu senter di ubah menjadi energy cahaya.. Untuk memahami pengertian energy dalam mekanika , ambilah contoh sederhana yaitu sebuah benda di lemparkan vertical keatas dengan masa benda m dan kecepatan awal vo ( lihat gambar 1) bila benda itu naik setinggi y di atas posisi mula mula , maka kecepatannya menjdi V V2 = vo2 – 2 gy Jika kedua ruas persamaan ini di kalikan dengan ½ m m maka diperoleh . Y ½ MV2 = ½ MVo2 = mgy Vo Atau m ½ mv2 + mgy = ½ mvo2 Gambar .1.
Dari pers.(1) besaran ½ mv2 disebut energy kinetic dan besaran mgy disebut energy potensial . dan jumlah keduanya merupakan energy mekanik , juga dari pers (1) jumlah ½ mv2 + mgy adalah konstan. Hal ini merupakan hokum kekekalan energy mekanik. Kekekalan energy ini tidak terbatas pada gerak vertical , tettapi berlaku juga pada gerak parabola. Sebagai contoh ( gambar 2) , benda yang masanya m bergerak dalam lintasan parabola dengan kecepatan awal Vo dititik setinggi y pada lintasan berlaku. Gambar. 2. voy vo vox
Vy y
v vx
Vx2 = Vox2 Vy2 = Voy2 – 2 gy Vx2 + Vy2 = Vox2 + Voy2 – 2 gy V2 = Mvo – 2 gy X½m ½ Mv2 = ½ Mvo2 – mgy
2 KERJA Untuk menjelaskan pengertian kerja atau usaha dalam fisika maka perhatikan suatu benda yang berada diatas bidang datar yang di anggap sebagai sumbu x , lihat gambar 3
y F
O
X1
F cos
X
X2
Gambar. 3.
Gaya f yang membentuk sudut dengan arah gerak bekerja pada benda sehingga benda berpindah sejauh dx , maka gaya f melakukan kerja sebesar , dw = f cos . dx Jika benda berpindah dari x1 ke x2 maka kerja yang dilakukan adalah : W = f cos ( x2 – x1 ) Jika gaya itu konstan dan searah dengan perpindahan dimana : Sudut = 0 dan cos = 1 ,maka W = f ( x2 – x1 ) Dari persamaan di atas dapat dikatakan bahwa kerja yang di lakukan oleh gaya adalah hasil kali besar gaya dengan jarak perpindahan… 3.HUBUNGAN ANTARA ENERGI DAN KERJA Untuk menggambarkan hubungan antara energy mekanik dan kerja, perhatikanlah sebuah benda yang berada di atas bidang miring (gambar 4 ) F X
Wsin h
Gambar. 4. Dari gambar 4 diatas menunjukan, gaya F yang konstan sejajar bidang miring menarik benda yang massanya m keatas ( sudut kemiringan ). Benda melewati titik yang tingginya h1 denga kecepatan v1 dan lewat titik kedua yang tingginya h2 dengan kecepatan v2.
Jika x1 dan x2 masing-masing adalah absis titik pertama dan kedua yang sejajar bidag miring maka resultan gaya yang menggerakan benda ke atas sepanjang bidang miring itu adalah : F – mg sin = m.a a = f/m – g sin v22 = v12 + 2 a(x2 – x1 ) v22 – v12 = 2 (F/m – g sin ) (x2 –x1 ) mv22 - mv12 = F (X2 – X1 ) – mg (x2 sin – x1 sin ) F (X2 – X1 ) = mv22 - mv12 + mgh2 – mgh1 W = EK + EP Terlihat bahwa kerja suatu usaha adalah sama dengan jumlah perubahan energy kinetik dan perubahan energy potensial. 4. DAYA Jika sejumlah kerja w di lakukan selam selang waktu t2 – t4 maka daya rata-rata adalah : P = w / t2 – t4 Jika kecepatan melakukan kerja berubah-ubah maka gaya sesaat di nyatakan sebagai perbandingan antara kerja yang di lakukan dengan selang waktu jika kedua-duanya amat kecil sekali. Jadi, daya sesaat adalah : P = dw/dt Satuan untuk daya adalah joule perdetik atau watt. 5. DAYA DAN KECEPATAN Gaya F yang konstan di kerjakan pada suatu benda sehingga benda itu berpindah sejauh x2 – x1 dalam arah gaya, maka kerja yang dilakukan adalah : W= F (X2 – X1) Dan daya yang di hasilkan dalam selang waktu t2 – t1 adalah P= – t1 =F Oleh karena (X2 – X1) / (t2 – t1 ) adalah kecepatan rata-rata V, maka : P=F.V Jika selang waktu dt sangat singkat sekali maka daya sesaat, P=F P=F.V Contoh soal 1. 1.sebuah maesin mempunyai daya 2,5 tenaga kuda pada putaran rotor 2400 rpm. Jika rotor di lekatkan baling-baling dengan jari-jari 0,4 m berapa besar gaya dapat di timbulkanny dan berapa besar kerja yang di lakukan mesin jika di hidupkan selama 20 menit ? penyelesaian : 1 HP = 746 Waat, 2400 rpm (rpm = rotasi permenit ) F = P/wR
=
= 18,64 newton
P = , maka W = P . t= 1865 . 1200 joule = 2238000 joule.
SOAL-SOAL LATIHAN. 1.Sebuah perahu perahu motor memerlukan 60 kw menggerakan pada kecepatan konstan 16 km/jam. Berapa gaya resistip yang di pergunakan air terhadap perahu pada kecepatan ini? 2.Sebuah mobil 1000 kg mendaki dengan kemiringan 100 v =45 km/jam bila efesiensi keseluruhan 70% berpa keseluruhan daya pada mesin mobil? 3.Suatu pengungkit di beri daya oleh motor 15 kw yang di pakai menaikan ember beton ke tinggi 80 meter. Bila efefiensinya 80%, tentukan waktu yang di perlukan ? 4.Bumi mempergunakan gaya 2 x 1020 N kepada bulan dan bulan menempuh perjalanan 2,4 x 109 meter tiap waktunya mengorbit bumi. Berapa kerja yang di lakukan bumi kepada bulan dalam tiap orbit ? 5.Electron dalam gambar televisi yang mengenai layar menghasilkan kilatan cahaya yang membuat bayangan dengan massa 9,1 x 10-31 kg dan kecepatan khusus 3 x 107 m/det. Berapa energy kinetik dari electron ? 6.Sebutir peluru 10 gr memepunyai kecepatan 600 m/det bila peluru meninggalkan pucuk senapan. Bila panjang pucuk 60 cm tentukan gaya rata-rata pada peluru ketika peluru berada dalam pucuk ? 7.Bom 5 kg mempunyai kecepatan 60 m/det bila geranat meninggalkan pucuk 3m, tentukan gaya rata-rata pada bom ketika bom berda dalam pucuk ? 8.Sebuah martil dengan kepala 1 kg di pakai memukul palu secara horizontal kedalam dinding. Suatu gaya 1000 N di perlukan untuk menembus dinding dan ini di ingin kan oleh tiap pemukul martil dengan gaya paku 1 cm kedalam dinding. Berapa kecepatan kepala martil bila martil mengenai paku ?
BAB VIII Pokok Bahasan Pertemuan TIU
: Inpuls, Momentum dan Tumbukan : 13 dan 14 : Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian inpuls, momentum dan tumbukan Tujuan Instruksional Khusus : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Menerangkan pengertian momentum, impuls dan tumbukan.. Memahami penggunaan hukum kekekalan Momentum. Dapat menentukan tumbukan dalam satu, dua atau tiga dimensi. Implus dan momentum Besaran-besaran impulus dan momentum termasuk besaran vektor jka suatu benda yang masanya m bekerja gaya F yang konstan maka menurut hokum Newton kedua : F = m . a dan di ketahui : a maka diperoleh : F=m F . dt = dv dt = dv F ( t – t0 ) = m ( v – v0 ) F t = mv – mv0 Besaran F t disebut implus dan besaran mv disebut momentum. Contoh soal 1. Sebuah mobol 1200 kg mengenai pagar kepada 10 m/det dan dating ke pemberhentian dalam 1 detik. Berapa gaya yang di kerjakan terhadap mobil? Kecepatan awal dan akhir mobil 10 m/det dan 0. Penyelesaian : implus = perubahan momentum F t = m (v2 – v1 ) F = = 12000 newton HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM. Perhatikanlah dua benda yang massanya m1 dan m2 saling menddekat dengan kecepatan v1 dan v2 ( lihat gambar * *
) ' ! " *(
Kedua benda itu berada di atas bidang datar yang licin tanpa gesekan. Setelah terjadi tumbukan kedua benda itu saling menjauh, masing-masing dengan kecepatan v1 dan v2 ( lihat gambar V.2 )
*+
*+
) ' ! " *( Jika t1 adalah waktu sesaat tumbukan terjadi dan t2 adalah waaktu saat keduabenda itu berpisah maka ’ ’ dt = dv dan dt = dv F ( t2 – t1 ) = mv dan F’ ( t2 – t1 ) = m’ v2’ – m’ v1’ Berdasarkan hokum newton ketiga diketahui bahwa : F = -F’, jadi, ’ dt = dt mv2 – mv1 = - m’ v2’ + m’ v1’ atau mv1 + m’ v1’ = mv2 + m’ v2’ jelaslah jumlah momentum sebelum dan sesudah tumbukan adalah sama. Keadaan inlah yang di sebut hokum kekekalan momentum.
TUMBUKAN LENTING SEMPURNA. Apabila dua benda atu lebih saling bertumbukan akan terjadi kekekalan momentum tetapi ada kalanya energi kinetik yang timbul tidak konstan. Jika energi kinetik dari benda yang bertumbukan itu tetap konstan maka dikatakan tumbukan itu lenting sempurna. Perhatikanlah dua benda yang massanya m dan m’ terletak diatas bidang yang licin ( tanpa gesekan ). Benda yang bergerak satu kekanan dengan kecepatan v1 dan yang satu lagi bergerak kekiri dengan kecepatan v2 ( lihat gambar V.3a ) *
*
,-
* +
) ' ! "*( (
* +
,!-
Jika tumbukan benda itu llenting sempurna maka setelah tumbukan, benda yang satu bergerak kekiri dengan kecepatan v1’ (lihat gambar V.3b ). Dalam keadaan ini terdapat kekekalan energi dan kekekalan momentum yaitu : mv12 + m’v22 = mv1’2 + m’v2’2 Mv1’2 – mv12 = -m’v2’2 + m’v22 m ( v1’ – v1 ) ( v1’+ v1 ) = - m’( v2’ – v2 ) (v2’ + v2 ) kekekalan momentum : mv1 + m’v2 = mv1’ + m’v2’ m (v1’ – v1 ) = - m’( v2’ – v2 ) dari kedua persamaan itu diperoleh :
v1’ + v1 = v2’ + v2
atau ( v1 - v2 ) = - (v1’ – v2’ ) –
=1
harga negatip dari perbandingan kecepatan relatip sesudah tumbukan disebut koefesien tumbukan ( restitusi ), di beri symbol e. untuk tumbukan lenting sempurna harga e = 1. TUMBUKAN TIDAK LENTING SEMPURNA. Ua benda dengan massa m dan m’ bergerak saling mendekati dengan kecepatan v1 dan v1’ V1
v1’
m
m’
v
(m + m’)
(a)
(b) GambarV.4.
Setelah tumbukan kedua benda itu saling melekat dan bergerak bersama dengan kecepatan v (gambar V.4b). Dalam peristiwa ini terdapat kekekalan momentum tetapi terjadi perubahan energy kinetiknya. Kekekalan momentum : mv1 + m’v1’ = (m + ?’)v Energi kinetik sebelum tumbukan : Ek = ½ mv1kuadrat + ½ m’v1’kuadrat Energi kinetik sesudah tumbukan : Ek’ = ½ (m + m’)vkuadrat = ½ (mv1 + m’v1’)v Maka : Ek’ = v Ek (mv1 + m’v1’) Ternyata Ek’ < Ek berarti jumlah energi kinetik berkurang setelah tumbukan. Koefisien restitusi untuk tumbukan tidak lenting sempurna : ( v1’ – v2’) e==0 (v1 – v2) Karena v1’ = v2’ = v . SOAL-SOAL LATIHAN 1.Pemain skate 40 kg menempuh perjalanan pada 4 m/detik menyusul pemain skate 60 kg yang menempuh perjalanan pada 2 m/detik dalam arah sama dan bertumbukan dengannya. a. Bila 2 pemain skate, dibiarkan dalam keadaan kontak, berapa kecepatan akhirnya? b. Berapa energy kinetiknya yang hilang?
BAB VIII Pokok Bahasan Pertemuan TIU
: Kesetimbangan dan Pusat Massa : 12 : % . ' $ # " : ' #% # ' " ! " Tujuan Instruksional Khusus Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa dapat : Menerangkan pengertian momentum, impuls dan tumbukan.. Memahami penggunaan hukum kekekalan Momentum. Dapat menentukan tumbukan dalam satu, dua atau tiga dimensi.
"
'!
#
Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan mempunyai banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, khususnya bidang teknik. Suatu benda disebut sebagai bendategar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda bisa kita anggaptersusun dari partikel-partikel atau titik-titik, di mana jarak antara setiap titik yang tersebar di seluruh bagian benda selalu sama. Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itudikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok,bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya). Dalam hal ini benda-benda itu mengalami perubahan bentuk. Jikabentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja berubah alias bendamenjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor-faktor apa sajayang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar. Kesetimbangan Translasi Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada benda = 0. Secara matematis dapat ditulis :: F=0 Perjumlahan gaya tersebut ditinjau secara horizontal dan vertikal.
Fx = 0 Fy = 0
Kesetimbangan Rotasi Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda(benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian,agar benda tidak berotasi (baca : tidak bergerak), maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semuatorsi yang bekerja pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut : Persamaan Hk. Newton II untuk gerak rotasi : =I
; =0
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut (alfa). Karena percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi =0
MOMEN INERSIA Jika sebatang tongkat ringan dan kaku yang massanya diabaikan (lihat gambar 7.1) dimana ujung yang satu dilekatkan titik materi bermassa m dan ujung tongkat yang lain diengselkan pada sumbu tegak lurus pada panjang tongkat. F Poros
a.Pandangan samping
N
mg
F
R
d0
F ds=rd0 F
.Pandangan atas
Sistem ini terletak diatas permukaan datar tanpa gesekan, sehingga gaya gravitasi diimbangi oleh tekanan keatas dari permukaan. Misalkan sistem ini berputar dengan kecepatan sudut w terhadap poros. Selama selang waktu di tongkat berputar melalui sudut dO dan kecepatan sudutnya bertambah sebesar dW. Kerja dW yang dilakukan gaya F adalah dW = F.ds = F.R.d0. Oleh karena F.R adalah momen putar terhadap poros, maka, dW =TdO Kecepatan massa m adalah v = r w Energy rotasi kinetic adalah : Ek = ½ mvkuadrat = ½ mrkuadrat wkuadrat Bila kecepatan ssudutnya bertambah dengan dW, maka tambahan energy kinetiknya adalah : dEk = mrkuadrat wdw Karena kerja yang diberikan sama dengan tambahan energy kinetik, maka : dW = dEk TdO = mr2 wdw T = mr2(w dw/do) T = mr2 Besaran mr2 disebut momen kelembapan (momen inersia) massa terhadap poros dan biasa diberi symbol I.. Persamaan momen putar diatas dapat dituliskan dalam bentuk, T=I Dan energy kinetic rotasi dapat dinyatakan dalam bentuk, Ek = ½ I w2 Untuk sistem yang terdiri dari sejumlah titik bermassa yang satu sama lain saling dihubungkan,
maka momen inersia sistem itu adalah jumlah momen inersia dari masina-masing titik (lihat gambar dibawah), jadi : I = I1 + I2 +I3 + . . . . .In I = m1r1kuadrat + m2r2kuadrat + m3r3kuadrat. . . . . .mnrnkuadrat I = > mr2 r4 r1
r2
m1
m3 m2 r3
m4
TITIK PUSAT MASSA Apabila sejumlah gaya bekerja pada suatu benda sehingga resultan gaya-gaya itu melalui titik pusat massa benda maka benda itu akan bergerak dengan kecepatan translasi murni tanpa rotasi. Titik pusat massa ini dapat ditentukan letaknya dalam sistem koordinat . Sebagai contoh, sebuah sistemb yang terdiri dari dua yang massanya diabaikan. Demikian pula gaya-gaya gesekan dan gravitasi diabaikan. y
f
f1=m.a1
f2=m.a2
X1 F’ 1 x
f’ 2
x2 Gambar 6.1.
Gaya luar F bekerja melalui pusat massa yang koordinatnya akan ditentukan, misalnya x . koordinatnya m1 dan m2 berturut-turut adalah x1 dan x2. Tongkat melakukan gaya f1 terhadap m1 dan gaya f2 terhadap m2. Oleh karna gaya f bekerja melalui titik pusat massa maka sistem bergerak dengan percepatan translasi murni, a. berdasarkan hokum Newton kedua, f1 = m1.a dan f2 = m2.a. Gaya f1’ dan f2’ merupakan gaya reaksi terhadap gaya f1 dan f2 yang dikerjakan oleh massa m1 dan m2 terhadap tongkat. Oleh karena : F = f1 +f2 maka F = m1.a + m2.a = (m1 + m2).a atau : a =
F m1=m2 Sistem itu bergerak translasi murni tanpa berotasi, maka moment gaya pada tongkat harus sama dengan nol. Jika dihitung moment gaya terhadap titik pusat koordinat, diperoleh : F.x = f1’ .x1 + f2’ .x2 Oleh karena f1’ = f1 = m m1.a dan f2’ = f2 = m2.a Maka F.x = m1.x1.a + m2 .x2.a = (m1x1 + m2x2) .a F.x = (m1x1 + m2x2) F (m1 + m2) x = m1x1 + m2x2 . m1 + m2 dengan cara yang sama dapat diperoleh : y = m1y1 + m2y2 . m1 + m2 Persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk : x = > mx > m
dan
y = > my >m
Untuk benda benda yang tidak tertentu bentuknya maka benda itu dapat dibagi menjadi unsur-unsur dengan massa dm yang tak terhingga banyaknya dan koordinat dari unsur dm itu adalah x dan y maka titik pusat massa benda itu adalah : x =
x dm m
y =
y dm m
Contoh soal : Tentukanlah letak titik pusat massa dari tiga pertikel dengan massa m1 = 8 kg , m2 = 3 kg , m3 = 6 kg yang terletak pada titik-titik sudut sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 0,8 m. Pilihlah sumbu x pada salah satu sisi dari segitiga seperti pada gambar dibawah ini y
.
m1
m2
m3
x
Penyelesaian : x = mx = (8)(0) + (3)(0,4) + (6)(0,8) = 6/17 m m 8 + 3 + 6 y = my = (8)(0) + (3)(0,7) + (6)(0) = 2,1/17 m m 8 + 3 + 6 . SOAL-SOAL LATIHAN 1. Sebuah bobot digantungkan dari bagian tengah tali yang mempunyai ujung berada pada ketinggian yang sama. Apakah mungkin dengan ketegangan dalam tali yang cukup besar untuk menghindarkan tali dari lenturan pada seluruh bagian ? 2. Sebuah blok panjang 4 m mempunyai berat 250 N pada satu ujung dan balok lainnya pada 100 N pada ujung lain. Berat balok sendiri diabaikan. Tentukanlah titik keseimbangan pada balok . !!! 3. Panggung kayu 4 m digantungkan dari atas sebuah rumah dengan tali dihubungkan ke ujungnya. Tukang cat dengan berat 800 N berdiri 1,5 m dari ujung sebelah kiri dari panggung yang beratnya 200 N. tentukan tegangan dalam tiap tali..!!! Dengan ujung sebelah kiri dari panggung sebagai titik pusat (lihat gambar) T1A 4m T2 2m 1,5m
w2 = 200 N W1 = 800 N
