Pertemuan 2 Hukum Probabilitas
Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk S
S A
B
A
B
Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk (2) Untuk 3 kejadian maka : S A
B C
Maka Probabilitas majemuknya adalah :
P(AB C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(AB C)
PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan) Contoh 1 : Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah P(AB) Jawab : 4 13 1 PA , PB , PA B (kartu As wajik) 52 52 52 M aka PA B PA PB PA B 4 13 1 16 4 52 52 52 52 13
Contoh 2 : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?
5
Jawab Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka : Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah : P(M B) = P(M) + P(B) – P(M B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36
DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku AB = 0, maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas. Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan. S
A
B
Dengan demikian probabilitas AB adalah :
PA B PA PB
DUA KEJADIAN SALING LEPAS (lanjutan) Contoh : Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11! Jawab : Misal A = kejadian munculnya jumlah 7 B = kejadian munculnya jumlah 11 Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh : A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5), (1,6), (3,4)} B = {(6,5),(5,6)} Maka P(AB) = 0 yang berarti A dan B saling lepas. P(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehingga P A B P A P B
6 2 8 2 36 36 36 9
Dua Kejadian Saling Komplementer Bila AB, maka Ac atau A’ adalah himpunan S yang bukan anggota A. S
A’
A
Dengan demikian A A' 0 dan A A' S Rumus probabilitasnya : P A'
1 PA
Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 Sehingga, Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36
Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A B) P( A) . P( B)
Contoh: Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)} P(A B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas. 12
Contoh: Sebuah sistem sembarang seperti terlihat pada gambar di bawah tersusun atas tiga tingkat. Sistem ini akan bekerja dengan baik jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Misal seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas dan masing-masing berjalan baik. Diketahui P(A) = 0,7; P(B) = 0,7 ; P(C ) = 0,9 ; P(D) = 0,8 ; P(E) = 0,6 ; P(F) = 0,6 ; dan P(G) = 0,6. Hitunglah probabilitas sistem berjalan dengan baik.
Jawab: P(T1) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = 0,7 + 0,7 – (0,7)(0,7) = 0,91 P(T2) = P(C D) = P(C).P(D) = (0,9)(0,8) = 0,72 P(T3) = P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EF G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(E).P(F) – P(E).P(G) – P(F).P(G) + P(E).P(F).P(G) = 0,6 + 0,6 + 0,6 – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) – (0,6)(0,6) + (0,6)(0,6) (0,6) = 0,936 Jadi, P(sistem berjalan baik) = P(T1 T2 T3) = P(T1).P( T2).P( T3) = (0,91).(0,72).(0,963) = 0,613. Artinya sistem tersebut secara keseluruhan memiliki 61,3% kemungkinan dapat berjalan dengan baik. 14
LATIHAN 1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukan probabilitas terpilihnya: a. Bola merah b. Bola putih c. Bola biru d. Tidak merah e. Merah atau putih 2. Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?
3. Tiga buah bola diambil secara acak dari sebuah kantong yang terdiri dari 8 bola merah dan 6 bola biru. Berapa peluang mendapatkan sedikitnya satu bola biru? 4. Peluang regu A untuk memenangkan pertandingan bola volley dengan regu B adalah 0,3. berapa peluang regu A akan kalah? 5. Dari setumpuk kartu bridge (52 lembar) diambil secara acak. Berapa peluang terambilnya kartu bernomor 10 atau kartu AS?
6.Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah, 7 kelereng putih dan 5 kelereng hijau. Jika sebuah kelereng diambil secara acak berapa peluang yang terambil adalah merah atau hijau? 7. Sebuah kotak didalamnya terdapat 12 bola yang 5 diantaranya berwarna merah dan lainnya biru. Diambil sebuah bola secara acak kemudian bola itu dikembalikan lagi, setelah itu mengambil sebuah bola lagi. Berapa peluang bahwa : a) pengambilan pertama dan kedua berwarna biru b) pengambilan pertama biru dan kedua merah 8. Apabila A dan B merupakan dua kejadian saling bebas dan jika P (A) = 0,3 dan P (B) = 0,4, tentukan peluang kejadian A dan B.
