Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL ♦ Persamaan Garis Singgung melalui titik ( x1 , y1 ) y - y1 = m (x -x1 ) ♦ Persamaan Garis Normal melalui titik ( x1 , y1 ) 1 y - y1 = − m (x - x1 )
♦ Panjang Subtangens =
Y1 m
♦ Panjang subnormal =
m Y1
♦ Pemakaian Diferensial di bidang Mekanika ARTI DERIVATIF SECARA GEOMETRI DAN EKSTREM FUNGSI 1. Arti Derivatif Secara Geometri 1. Garis singgung g Q ∆y
y = f(x)
P
T ∆x
α
x
β
Gb.4.1
Kita perhatikan hal-hal berikut pada Gb. 4.1
P(x, y) di kurva y = f(x) Q(x + ∆x, y + ∆y) P tetap/diam akibatnya : ∆ x → 0 Q bergerak ke P
∆y → 0 β tg β → tg β =
→ α
∆y ∆x
karena ∠QPT = β maka tg β =
∆y ∆x
Pada saat Q berimpit dengan P garis g menjadi garis singgung kurva di P, maka tg β =
∆y 0 → tg α = tidak tertentu. Padahal tg α itu ada dan tertentu, karena merupakan ∆x 0 ∆y gradien garis singgung di P, harga itulah merupakan limit . Maka dapat kita ambil ∆x →0 ∆x pengertian sebagai berikut : karena ∆y = yQ – yP = (y + ∆y) – y = f(x + ∆x) – f(x) maka tg α = limit tg β = limit ∆x →0
tg α =
∆x →0
∆y f(x + ∆x) − f(x) = limit ∆x → 0 ∆x ∆x
dy f(x + ∆x) − f(x) = limit dx ∆x →0 ∆x
Bentuk tersebut sesuai dengan definisi derivatif fungsi secara kalkulus, yang berarti turunan pertama suatu fungsi merupakan gradien garis singgung di setiap titik dari kurva tersebut (dalam selang kontinu). Contoh. 1. Tentukan gradien garis singgung grafik y = x2 – 5x + 6 di titik yang absisnya = 2 dan persamaan garis singgung tersebut. Jawab. y’ = 2x –5 , m = 2x – 5 x= 2 → m = -1 → gradien garis singgung x = 2 → y = 4 – 10 + 6 = 0 y=0 Jadi persamaan garis singgung : y – 0 = -1(x – 2) y = -x + 2 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva x2 + y2 = 25, di titik yang absisnya = 3 dan ordinatnya positif. Jawab. x = 3 → 9 + y2 = 25 → y = ±4 yang memenuhi ketentuan y = 4
x2 + y2 = 25 → 2x + 2y. y’ = m = -
x y
x = 3 3 → m=y = 4 4 Jadi persamaan garis singgung kurva : y – 4 = -
3 (x –3) atau 3x + 4y – 25 = 0 4
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva x2 – 2xy + y2 – x + 3y + 2 = 0 di titik (0,2). Jawab. 2x – 2y – 2xy’ + 2y.y’ – 1 + 3y’ = 0
x=0 → 4 – 4 y' = m = 3 y = −2 Jadi persamaan garis singgung : y + 2 = 3(x-0) atau y = 3x – 2
x = 4t − 3
4. Tentukan garis singgung kurva :
2 y = t
, di t = 2
Jawab. t=2 →
x = 5 dan y = 4
dy y 2t 1 1 = = = t → m= t dx x 4 2 2 t=2 → m=1 Jadi persamaan garis singgung : y – 4 = 1
2. Garis Normal
I g P
y =f(x)
x A
g = garis singgung di P l ⊥ g di P
B Gb.4.2
C
l disebut garis normal di P Bila g dan l memotong sumbu X di A dan C, sedang B proyeksi P pada sumbu X, maka :
AP = panjang garis singgung di P atau panjang tangen di P
AB = panjang sub tagen di P PC = panjang normaldi P BC = panjang sub normal di P Contoh.
y = x 2 − 5x + 7
1. Titik P dengan absis = 3 terletak di kurva
Tentukan : a). persamaan garis singgung di P b). persamaan garis normal di P c). panjang tangen dan sub tagen di P d). panjang normal dan subnormal di P Jawab. a). x = 3 → y = 9 − 15 + 7 → P(3,1)
dy = 2x − 5, m = tgα = 2 x − 5 dx
x = 3 → m =1 garis singgung di P : y − y 1 = m( x − x 1 )
y −1 = x − 3 → y = x − 2 b). garis normal di P : y − y 1 = −
1 (x − x 1 ) m
y − 1 = −( x − 3 ) → y = − x + 4 c).
g 1 P
(3,1) Gb.4.3
A
B
C
misalkan grafik seperti di atas g: y=x−2
potong → A ( 2, 0 )
y=0 l:
y = −x + 4 potong → C ( 4 , 0 ) y=0
maka panjang tangen = |AP| = (3 − 2) 2 + (1 − 0) 2 = 2 panjang sub tangen =
|AB| = |xB _ xA | = 1
d). Selanjutnya : panjang normal = | PC | = panjang sub normal = | xC - xB|
(3 − 2)2 + (1 − 0)2
= 2
= 1
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = -6 + 5x - x2 yang bergradien m = 3 Jawab.
dy = -2x + 5 = -3 → 2x = 8 dx x=4
→
y = -2 P (4,-2)
Jadi garis singgung tersebut y + 2 = -3(x – 4) → 3x + y –10 = 0 3. Tentukan persamaan normal kurva y2 = 4x yang gradiennya = 2 Jawab. y2 = 4x → 2y.
dy dy 2 4 → = → ini gradien garis singgung, karena garis dx dx y
normal ⊥ garis singgung, maka gradien garis singgung = -
2 1 = − → y = −4 y 2 y2= 4x → 16 = 4x → x= 4 → P(4,-4) Jadi garis normal : y + 4 = 2(x –4 ) Y= 2x –12
1 2
4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y2= 2(x+2) yang sejajar garis x -2y = 0 Jawab. x-2y = 0 → m=
1 2 = 2 → y = 2 2 2 y = 2( x + 2) → x = 0
y 2 = 2( x + 2) → 2 yy ' = 2 → 2 y.
Jadi garis singgung : y –2 =
1
P (0,2)
1 x → x − 2y + 4 = 0 2
5. Tentukan persamaan garis singgung kurva y =
1 3 x yang melalui A(0, -2). 8
Jawab. Perhatikan istilahnya “garis singgung melalui A”, berarti A tidak pada kurva; tetapi kalau “garis singgung pada /di A” titik A pada kurva. g P
Misal g: y +2 = m (x –0)
x y 1
y =mx-2 → garis singgung melalui A
1
1 3 3 y = x 3 → y ' = x 2 → m = x 12 sedang P pada g dan pada kurva. 8 8 8 A(0,-2)
Maka y 1 =
3 3 x1 8
y 1 = mx 1 − 2 → y 1 =
3 2 x 1 .x 1 − 2 8
1 y 1 = 3. x 13 − 2 8 y 1 = 3y 1 − 2 → y 1 = 1 dan x 1 = 2 m= Jadi g: y =
3 2
3 x−2 2
Catatan : Bila secara analisis telah dimengerti, maka indeks pada x dan y tidak perlu ditulis, seperti contoh berikut.
6. P(-1,0) dan kurva : y2 = 4x , Tentukan persamaan garis melalui P menyinggung kurva. Jawab. y2 = 4x → 2 yy ' = 4 → y.m = 2 → y =
Garis malalui P → y = m(x + 1) →
2 m
2 = m(x + 1) m 2 x = 2 −1 m
2
2 2 y = 4x → = 4 2 − 1 m m 2 2 4 = 8 − 4m → m = 1 → m 1 = 1 2
m 2 = −1 Jadi garis singgung ada 2 → g 1 : y = x + 1 g 2 : y = −x − 1 Catatan: ada 2 garis singgung bila titik di pihak luar kurva ada 1 garis singgung bila titik pada kurva ada 0 garis singgung bila titik di pihak dalam kurva.
2. Ekstrem Fungsi 1. Pengertian Kita anggap turunan pertama, kedua, dan ketiga suatu fungsi masih merupakan fungsi juga. y = F(x), y' = F' (x) = f(x), y'' = F'' (x) = f ' (x) = g(x), y2 = g (x) y1 = f (x)
y''' = F''' (x) = f '' (x) = g' (x) = h(x) y3 = h (x)
↔ grafik/kurva fungsi ekstrem ↔ puncak maksimum ↔ tertinggi Kaitan istilah : minimum ↔ terendah harga nol ↔ titik potong dengan sumbu X dll dll
Kita bicarakan fungsi y = f(x) dengan gambarnya. Yang akan kita bicarakan hanya titik –titik puncak (stasioner), belok datar dan belok miring (disebut titik belok karena arah berubah grafik fungsi turunan pertama mencapai ekstrem, yaitu : Q1 ,B1 ,C1 ). Q
P B
A
C
y = F (x)
C +
y1= f (x)
1
+
+
Q B
1
+
y2= g (x)
y3= h (x)
+
gb. 4.4
1
+
+
+
+
A−P 1 naik, y > 0 T − C − Q P-B-T turun, y1 < 0 P= Titik tertinggi relatif T= Titik terendah relatif Q= Titikbelok mendatar B,C = Titik belok miring Pada P, T, Q → y1 = 0 , dan
pada P → y '' < 0 '' pada T → y > 0 '' pada Q → y = 0 '' ' y ≠ 0 y '' = 0 Pada B dan C → ''' y ≠ 0 xP x T diperoleh dari y1 = 0, dan y1 = 0 x Q xB '' diperoleh dari y = 0 xC
(a) = grafik fungsi yang dicari ekstrem dan titik beloknya (b) = grafik fungsi turunan pertama (c) = grafik fungsi turunan kedua (d) = grafik fungsi turunan ketiga Ciri-ciri titik-titik tersebut (lihat gambar) sebagai berikut : P titik tertinggi/maksimum, y1 = 0 , y' ' <0 T titik terendah/minimum, y1 = 0 , y' ' >0 Q titik belok datar, y1= 0 , y' ' = 0 , y' ' ' >0 B titik belok miring ke kiri, y1< 0 , y' ' = 0 , y' ' ' > 0 C titik belok miring ke kanan, y1< 0 , y' ' = 0 , y' ' ' < 0
Sebenarnya masih ada lagi titi-titik khusus yaitu : D
y' = +∞ → titik tertinggi / maksimum
E
y' = - ∞ → titik terendah / minimum
y' = tak tentu → titik terasing
Tetapi titik D, E, dan F di sini tidak di bicarakan. Dari uraian dapatdi simpulkan : Syarat perlu ekstrem / belok datar y' = 0 Syarat cukup : maksimum bila y' ' < 0 y = F( x ) → min imum bila y' ' > 0 y' ' = 0 belok datar bila ''' y ≠ 0 Syarat perlu b elok miring y '' = 0 y = F(X) → miring kiri y' < 0 ''' y ≠ 0 Syarat cukup : miring kanan y ' > 0 2. Aplikasi Ekstrem Fungsi Yang baru saja kita bicarakan adalah tentang ekstrem fungsi, kita kenakan pada grafik fungsi tersebut yangdi gambarkan sebagai ordinat puncak dan titik belok. Pengertian ekstrem fungsi banyak di gunakan dalam bidang fisika, kimia, biologi, ekonomi, kerekayasaan dan sebagainya. Biasanya masalah-masalah/persoalan yang bersifat kuantitatif yang dapat di fungsikan, dengan demikian dapat di cari ekstremnya. Dala hal ini arti ekstrem aplikasinya dapat berarti terbanyak- tersedikit, terjauh- terdekat, terbesar-terkecil, dan sebagainya. Berikut ini bebrapa contoh kegunaan pengertian ekstem. Contoh.
1. Petruk dan bagong membagi uang Rp 1000,-. Bila bagian petruk dan bagong dikalikan mencapai ekstem. Berapakah bagian masing-masing ? Dan berapakah ekstrem tersebut ? Ekstrem maksimum atau ekstrem minimum ? Jawab. Masalah tersebut kita matematikkan demikian : misalnya uang petruk = p dan uang bagong = b , maka p + b = 1000 kalau p . b = z berarti z = (1000-b).b = -b2+1000b . z sebagai fungsi dari b. z mencapai ekstrem bila
dZ = 0 → −2b + 1000 = 0 db
b = 500 d2z db 2
p = 500
=−2<0
Jadi uang masing-masing adalah Rp. 500,Ekstrem dasil kali uang mereka adalah Rp. 250.000,Dan jenis ekstrem adalah maksimum karena z' ' = -2 < 0 Catatan : Dengan sendirinya bila pengertian fungsi dan ekstrem fungsi sudah di pahami benar-benar, maka untuk menyelesaikan persoalan tersebut tidak sepanjang itu. 2. Kawat sepanjang seratus meter di potong menjadi dua, yang satu di bentuk lingkaran dan yang lain di bentuk bujur sangkar. Tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum ( π = 22 ). 7 Jawab. A
C
B
- Potongan x
R x (b)
(a) Gb. 4.5
kawat
AC
di
bentuk
lingkaran Gb. 4.5 (a) - Potongan kawat CB dibentuk bujur sangkar Gb. 4.5 (b)
P1 = 2 π R
P2 = 4 x
L 1 = πR 2
L2 = x2
P1 + P 2 = 2 π R + 4 x = 100 x = 25 −
1 πR 2
1 L = L 1 + L 2 → L = π R 2 + x 2 → L = π R 2 + 25 − π R 2 dL 1 1 = 2 π R + 2 25 − π R . − π = 0 dR 2 2 4 R − 50 + π R = 0 R =
50 4+π
→
2
R =7 x = 14
Jadi panjang masing-masing P1 = 2πR = 44 m dan P2 = 4x = 56 m 3. Sebuah container, volumenya 72 m3 , panjang = 2 . lebar. Tentukan ukuran container tersebut agar bahan yang digunakan sehemat-hematnya. Jawab . misal container seperti Gb. 4.6 V = 2x 2 y = 72 → y =
y
Bahan sehemat-hematnya kita artikan
x
luas minimum.
2x
L = 2.2x 2 + 2.xy + 2.2xy
GB. 4.6 L = 4 x 2 + 2x. L1 = 8x −
216 =0 x2
36 x2
→
x 3 = 27
216 36 36 + 4x. 2 → L = 4 x 2 + 2 x x x
→ x =3
Jadi ukuran container te rsebut panjang = 6 meter lebar tinggi
= 3 meter = 4 meter
;
y=4
4. Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas silinder = 924 cm2. Tentukan ukuran silinder, agar isi silinder tersebut sebanyak-banyaknya Jawab : misalnya silinder seperti Gb. 4.7 Luas = 2πR2 + 2πRt = 924 t= t
462 − πR 2 πR
V = πR 2 t = π R 2 .
462 − πR 2 πR
V = 462 R − πR 3
R
Gb. 4.7
154 = 49 → R=7 π 462 − 49 π t= → t = 14 7π
V 1 = 462 − 3π R 2 = 0 →
R2 =
Jadi ukuran silinder tersebut R = 7 cm dan tinggi 14 cm. 5. Tentukan koordinat puncak grafik dengan persamaan y = Jawab : y ' =
2x 2 − 3x + 1 x2 − x −2
( x 2 − x − 2)(4x − 3) − (2x 2 − 3x + 1)(2x − 1) =0 ( x 2 − x − 2) 2 Pembilang bila disederhanakan = x 2 – 10x + 7 x 2 – 10x + 7 = 0 → x 1 = 5 + 3 2
y1 = 1 −
2 P 5 + 3 2 , 1 − 3
2
2 2 3
x2 = 5−3 2 y 2 = 1+
2 Q = 5 − 3 2 , 1+ 3
2 2 3
2
Bila ditanyakan tertinggi / terendah, ditinjau : y’’ nya.
6. Tentukan maksimum / minimum
x2 − x −2 f (x) = 2x − 6
22 π = 7
.
(2x − 6) (2x − 1) − ( x 2 − x − 2) . 2
Jawab : f ' ( x ) = 0 →
(2x − 6) 2
=0
4x 2 − 14x + 6 − 2x 2 + 2x + 4 = 0 2x 2 − 12x + 10 = 0 → x 2 − 6x + 5 = 0 → x 1 = 1 , f (1) =
1 2
,
x2 = 5
f (5) = 4
1 2
2x 2 − 12x + 10 4 , bila dicari f ' ' = 2 (2x − 6) ( x − 3) 3 1 1 x 1 = 1 → f ' ' (1) = − < 0 → f ( x ) maksimum = 2 2 1 1 x 2 = 5 → f ' ' (5) = > 0 f ( x ) min imum = 4 → 2 2
f ' (x) =
7.
D
y
x
C
jari R dibuat empat segi panjang, seperti
R
A
Pada daerah setengah lingkungan dengan jari-
M
B
Gb.4.8. Tentukan luas maksimum daerah empat segi
Gb. 4.8
panjang tersebut.
Jawab : misal sisi-sisi empst segi panjang tersebut x dan y 2
1 Maka x 2 + y = R 2 2 Luas = x . y = 2x. R 2 − x 2
→
y = 2 R2 − x2
dL dx
1
−
1
= 0 → 2 R 2 − x 2 + 2x. (R 2 − x 2 ) 2 .(−2 x ) = 0 2 R2 − x2 =
x2 R2 − x2
→ R2 − x2 = x2 x=
1 2 1
R 2
1 Jadi L ABCD maksimum = 2. R 2 . R 2 − R 2 2 2 L ABCD maksimum = R 2
Dapat dibayangkan bahwa luas mencapai maksimum bila y = 2x atau panjang = 2 kali lebar. C
8.
Pada lingkaran berjari-jari R` dibuat segitiga singgung
N
ABC sama kaki (AC=BC) seperti Gb. 4.9. Tentukan
Q
R
luas minimum segitiga tersebut.
R
x
A
B
Gb. 4.9
Jawab. misal AB = 2x dan CP = t, maka CN = t-R ∆ CQN ∞ ∆ CPB
R x = → CQ t R t 2 − 2 tR
=
R (t − R ) 2 − R 2
=
x t
x t
R 2 t 2 = x 2 ( t 2 − 2 tR ) → t =
2xR x −R2 2
2x 3 R x2 −R2 ( x 2 − R 2 ).6x 2 R − 2x 3 R.2 x L1 = 0 → (x 2 − R 2 ) 2
L ∆ ABC = x.t =
x 2 = 3R 2 → x = R 3 Jadi L =
2.3R 3 3.R = 3R 2 3 2 2 3R − R
→ L.∆ABC = 3R 2 3
Dapat juga sudut segitiga diambil sebagai variabel. 9.
D b Q α
α
A
Lingkaran berjari-jari R, dibuat trapesium
C R
singgung sama kaki seperti Gb. 4.10.
N
Tentukan luas minimum daerah trapesium tersebut.
R a
P
B
Gb. 4.10
Jawab : diambil variabel-variabel seperti pada gambar, berarti : a=
R dan b = R tgα tg α
1 .2 R ( 2 a + 2 b ) = 2 R ( a + b ) 2 R 1 + R tg α = 2R 2 + tg α L trapesium = 2R tg α tg α L trapesium =
cos α sin α 4R 2 − 4R 2 .2 cos 2α 1 = + L trapesium = 2R →L = =0 sin 2 2α sin α cos α sin 2α cos 2α = 0 → α = 45 o 2
Jadi L minimum = 4R2 (trapesium berupa bujur sangkar).
10. Segitiga ABC, sisi c sama dengan jari-jari lingkaran luarnya (R). Tentukan luas maksimum ∆ ABC tersebut.
Jawab.
c = 2R sin γ R = 2R sin γ → sin γ =
1 2
γ = 30o , α + β = 150o Luas ∆ABC = 2R 2 sin α .sin β .sin γ (rumus) 1 Luas ∆ABC = 2R 2 sin α .sin β . 2 Luas ∆ABC = R 2 sin α .sin β Luas ∆ABC = R 2 sin α .sin (1500 − α) dL = 0 → R 2 sin α . cos (1500 − α) . (−1) + R 2 cos α .sin (1500 − α) = 0 dα sin α . cos (1500 − α ) − cos α .sin (1500 − α) = 0 sin (α − 150o + α) = 0 → 2α − 150o = 0 α = 750 Jadi L ∆ABC maksimum = R 2 sin 75o .sin 75o = R 2 sin 2 75o L= L=
1 2 1 4
R 2 (1 − cos 150 o ) =
1 4
R 2 (2 + 3 )
R 2 (2 + 3 )
segitiga sama kaki (AC = BC)
