Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
KEGIATAN BELAJAR 13
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan
persamaan garis singgung elips bergradien , persamaan garis singgung melalui titik , pada elips, dan persamaan garis singgung melalui titik , di luar elips. Untuk menentukan persamaan garis singgung elips
pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini. A.
Menentukan Persamaan Garis Singgung elips yang berpuncak di ,
dan , dengan gradien .. Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di
0,0 dan , dengan gradien lakukanlah kegiatan 13.1 dan perhatikan Gambar 13.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.
Gambar 13.1 Elips yang berpusat di , dan sebuah garis [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Kegiatan 13.1. Gradien garis singgung diketahui dan elips yang berpusat di , Langkah-langkahnya: 1.
2.
3.
Potonglah antara persamaan elips
+ sebagai berikut.
+
= 1 dan persamaan garis =
+ = 1 dipotongkan = +
Subsitusikan garis = + + ke persamaan elips
diperoleh: + + =1 + + 2 + = + + 2 + − = 0 + + 2 + − = 0
+
= 1 sehingga
….(1)
Persamaan (1) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .
Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai:
• Diskriminan . positif atau . > 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis = + memotong elips
+ = 1 pada dua titik.
• . < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis = + tidak memotong ellips
di luar elips.
+ = 1 atau garis = berada
• . = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis = 4.
+ menyinggung parabola
+ = 1 pada suatu titik.
Agar garis = + menyinggung elips
yaitu:
+
= 1, maka ambil . = 0,
+ + 2 + − = 0 2 − 4 + − = 0 2 4 − 4 + 4 2 − 4 2 + 4 2 = 0 −4 + 4 2 + 4 2 = 0 − − = 0 = + = ±4 +
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
2
3
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Sehingga persamaan garis singgung elips
sejajar dengan garis = + adalah:
+
= 1 dengan gradien atau
5 = 6 ± 478 + 98 8
26
Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di :;
tentukan persamaan garis singgung elips
+
:<
= 1 dengan gradien .
Geser titik puncak elips 0, 0 ke titik , . Akibatnya persamaan garis
singgung
− ± √ + .
= ± √ + bergeser menjadi − =
Sehingga persamaan garis singgung elips
:;
+
gradien atau yang sejajar dengan garis = + adalah:
:<
= 1 dengan
5 − = 6 − ± 478 + 98 8 27 Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung pada elips + = 1dengan gradien adalah
5 = 6 ± 498 + 78 8
Dan persamaan garis singgung elips adalah
:;
+
:<
=1
5 − = 6 − ± 498 + 78 8
28 dengan gradien 29
Masalah 13.1
Tentukan persamaan garis singgung elips 6 + 10 = 60 dengan gredien = √3!
Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah
persamaan elips 6 + 10 = 60 menjadi,
+ =1 10 6 Dengan = ±√10, = ±√6 dan @ = ±2
Persamaan garis singgung elips yang berpusat 0, 0 dengan gradien = √3 adalah, = ± 4 +
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
= √3 ± A10 + 6B√3C = √3 ± √10 + 18
= √3 ± √28
= √3 ± 2√7 Jadi, persamaan garis singgung elips adalah = √3 + 2√7 dan = √3 − 2√7
Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik 6F , 5F Pada Elips yang berpusat di , dan , Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di 0,0 dan , yang melalui titik , , lakukanlah kegiatan 13.2 dan
perhatikan Gambar 13.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.
Gambar 13.2. Elips melalui titik singgung Kegiatan 13.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada elips yang berpusat di , 1.
Misalkan persamaan elips terletak pada elips.
2.
+ = 1 dan titik , dan G , yang
Sehingga persamaan garis G adalah − − = − − 58 − 5F 6 − 6F 5 − 5F = 68 − 6F 5 − 5F = 6 − 6F … … F
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
4
5
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
3.
Karena titik , dan G , berada pada elips maka berlaku
persamaan berikut:
+ = 1 I J + = 2 + = 1 I J + = 3 Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan − − + =0 − + − = 0 − + = − − + − + = − + −
= −
4.
5.
78 68 + 6F 98 58 + 5F
… . L
Subsitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: y − y = m x − x 78 68 + 6F Q − QF … . R P − PF = − 8 9 58 + 5F Apabila titik G , bergerak mendekati titik , , sehingga titik
G , dan , berimpit, dan garis S akan menjadi garis singgung elips di titik , , akibatnya = dan = .
Sehingga persamaan (5) menjadi: + x − x y − y = − + 2 y − y = − x − x 2 − = − −
kalikan semuanya dengan
− = − +
+ = + Berdasarkan persamaan (2) diperoleh,
+ = + =1 Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik , pada elips + = 1 adalah:
6F 6 5F 5 + 8 =F 98 7
30
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
6
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Bentuk persamaan garis singgung di titik , pada persamaan elips :;
+
:<
= 1 adalah:
6F − 6 − 5 − 75F − 7 + =F 98 78
Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung elips
+ = 1 melalui titik , adalah 6F 6 5F 5 + 8 =F 78 9
Dan persamaan garis singgung elips adalah
:;
+
:<
31
= 1 melalui titik ,
6F − 6 − 5 − 75F − 7 + =F 78 98
32
Masalah 13.2 Tentukan persamaan garis singgung di titik yang berordinat 2 pada elips yang persamaannya
+ Y = 1! XY
Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita cari nilai x dengan cara mensubstitusikan nilai = 2 ke persamaan elips adalah,
+ =1 36 16 4 + =1 36 16 1 =1− 36 4 3 = 36 4 = 27 → = ±3√3 Jadi, titik singgungnya adalah B3√3, 2C dan B−3√3, 2C
Persamaan garis singgung elips yang melalui titik B3√3, 2C adalah + =1 36 16 3√3 2 + =1 36 16 [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
16B3√3C + 362 = 576 48√3 + 72 = 567
2√3 + 3 = 24 Jadi, persamaan gari singgung elips yang melalui titik singgung B3√3, 2C adalah 2√3 + 3 = 24
Persamaan garis singgung elips yang melalui titik B3√3, 2C adalah + =1 36 16 −3√3 2 + =1 16 36 16B−3√3C + 362 = 576 -48√3 + 72 = 567
−2√3 + 3 = 24 Jadi, persamaan gari singgung elips yang melalui titik singgung B−3√3, 2C adalah
-2√3 + 3 = 24 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh.
C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik \6F , 5F di Luar Elips Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik , di luar
elips, maka diskusikan kegiatan 13.3 dengan memperhatikan Gambar 13.3 di
bawah ini. Kegiatan 13.3. 13.3. Menentukan Titik 6F , 5F dan Garis Polar Jika titik , terletak di luar elips yang berpusat di 0, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 13.3 di bawah ini:
Gambar 13.3 Titik di Luar Elips [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
7
8
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Persamaan garis singgung yang melalui titik , tersebut dapat ditentukan
dengan cara sebagai berikut: Langkah-langkahnya: 1. 2.
3.
Titik , berada di luar elips
+
= 1.
Dari titik dapat dibuat 2 buah garis singgung elips yaitu ] dan S. Garis ]
menyinggung elips di G , ; garis S menyinggung elips di ^X , X . Jadi, titik merupakan titik potong garis singgung ] dan S.
Tentukan persamaan garis singgung G dengan menggunakan persamaan
garis singgung yang melalui titik yaitu
G, sehingga diperoleh _
4.
+
_
_
= 1….(1)
_
+
_
persamaan
+
_
_ a
+
_ a
= 1….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis G^ (garis penghubung antara titik G dan ^) yaitu
_
Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: Persamaan :;
+
:<
Persamaan
3.
= 1. Titik , pada
= 1. Itu berarti bX , X pada +
garis
titik
+
= 1 yang juga di sebut
_
= 1 adalah
,
6F − 6 − 5F − 5 − F + =F 98 98 garis polar dari titik , terhadap
35
6F 6 5F 5 + 8 = F 78 9
Persamaan garis polar dari titik , terhadap elips
adalah
34
elips
= 1 adalah
dari
terhadap
+ = 1 adalah
polar
_
_
6F 6 5F 5 + 8 = F 98 7
2.
= 1. Itu berarti ` , pada garis
garis polar dari titik , terhadap ellips
1.
_
Tentukan persamaan garis singgung ^ dengan menggunakan persamaan
garis singgung diperoleh 5.
+
_
:;
6F − 6 − 5F − 5 − + =F 78 98
+
elips
:<
36
=1 37
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
9
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Menentukan persamaan garis singgung dari titik , di luar elips baik
yang berpusat di 0, 0 maupun yang berpusat di , . diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 2.
Membuat garis polar dari titik terhadap elips.
3.
Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar
1.
Mencari koordinat titik potong garis polar dengan elips. dan elips tersebut.
Masalah 13.3 Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik c1, 3 pada elips d
+
2
= 1!
Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu, + =1 3 + =1 9 4 4 + 27 = 36 36 − 4 = … 1 27 Subsitusikan persamaan (1) ke + =1 9 4
sehingga diperoleh,
persamaan
elips
36 − 4 27 g = 1 4 36 − 4 4 + 9 h i = 36 27 1296 − 288 + 16 4 + 9 j k = 36 729 1296 − 288 + 16 4 + = 36 81 324 + 1296 − 288 + 16 = 2916 340 − 288 − 1620 = 0 85 − 72 − 405 = 0 17 − 455 + 9 = 0 f + 9
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
Substitusikan nilai = nilai
= m Y
atau
fm , mg dan f− l , lg. 2l Y
d n
2l m
45 9 atau = − 17 5 d atau = − l ke persamaan (1) sehingga diperoleh
=
= l. n
Sehingga
titik
singgung
elips
adalah
Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan + 2 = 1 dengan titik fm , mg adalah: d + =1 16 45 17 + 17 = 1 9 4 45 16 + =1 153 68 3060 + 2448 = 10404 180 + 144 = 612 5 + 4 = 17
persamaan garis singgung elips
2l Y
Dan persamaan garis singgung elips d + 2 = 1 dengan titik f− l , lg adalah: + =1 9 8 −5 +5 =1 9 4 −9 8 + =1 45 20 −180 + 360 = 900 − + 2 = 5 Coba anda perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang anda
d n
peroleh.
Rangkuman 1.
Persamaan garis singgung pada elips
2.
Persamaan garis singgung pada elips
+
= 1 dengan gradien adalah:
5 = 6 ± 478 + 98 8
adalah: 3.
:;
+
:<
5 − = 6 − ± 478 + 98 8
Persamaan garis singgung pada elips
= 1 dengan gradien
+ = 1 dengan gradien adalah:
5 = 6 ± 498 + 78 8
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
10
11
Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom
4.
Persamaan garis singgung pada elips adalah:
5.
:<
= 1 adalah:
:<
5 − = 6 − ± 498 + 78 8
= 1 dengan gradien
6F 6 5F 5 + 8 =F 98 7
6F − 6 − 5 − 5F − + =F 98 78
:;
+
Persamaan garis singgung yang melalui titik , pada elips + = 1
adalah:
8.
+
Persamaan garis singgung yang melalui titik , pada elips
7.
Persamaan garis singgung yang melalui titik , pada elips + = 1
adalah:
6.
:;
6F 6 5F 5 + 8 =F 78 9
Persamaan garis singgung yang melalui titik , pada elips :<
= 1 adalah:
6F − 6 − 5F − 5 − + =F 78 98
:;
+
[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
