Persamaan Garis Singgung
Disusun Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
www.matikzone.wordpress.com April 2012
Download juga Galeri Soal Lingkaran, 71 soal beserta penyelesaiannya dan 235 soal latihan. Gratis tanpa mbayar… Hanya di www.matikzone.co.cc
Persamaan Garis Singgung LINGKARAN Email :
[email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only) Hak Cipta Dilindungi Undang- undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Persamaan Garis Singgung Sebuah Lingkaran (PGSL) No.
Bahasan
Persamaan Garis Singgung
1.
PGSL melalui titik PADA lingkaran gs
L: x 2 + y 2 = r 2 PGSL: x1 x + y1 y = r 2 L: ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 PGSL: ( x1 − a )( x − a ) + ( y1 − b)( y − b ) = r 2
T(x1, y1)
L: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 A B PGSL: x1 x + y1 y + ( x1 + x ) + ( y1 + y ) + C = 0 2 2 2.
PGSL dengan gradien m diketahui
L: x 2 + y 2 = r 2 PGSL: y = mx ± r 1 + m 2
g1
L: ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 L
g2
PGSL: y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 L: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 PGSL: 1 1 y + B = m x + A ± 2 2
3.
PGSL melalui sebuah titik di LUAR lingkaran
A
g1 P
T (x1, y1 ) g2
B Garis polar/kutub
A2 B 2 + − C ⋅ 1 + m2 4 4
Dengan mencari persamaan garis polar/kutub (PGP). Langkah2: ü Tentukan PGP, dengan rumus seperti rumus PGSL melalui titik pada lingkaran. ü Tentukan titik singgung A dan B (subtitusi PGP dalam y = mx + c ke persamaan lingkaran). ü Tentukan PGSL menggunakan PGSL melalui titik pada lingkaran. Dengan mencari gradien PGSL, kemudian gunakan rumus persamaan garis jika diketahui gradien dan titik yang dilaluinya. Setidaknya ada 5 cara yang bisa kita pakai, meski dalam soal tertentu akan mengalami masalah di tengah jalan. Lihat contoh soal.
www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Singgung Persekutuan 2 Lingkaran (PGSP) No
Banyak PGSP
Keadaan 2 Lingkaran
Dalam
Luar
2
2
1
E
Cara menentukan PGSP Dalam Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong: Rx Q + rx P RyQ + ryP E , R+ r R+ r
S
Saling Asing Luar
Luar Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:
Rx Q − rx P Ry Q − ry P S , R−r R− r
Dengan:
(contoh soal no 9)
L1 : Pusat P , jari-jari R L2 : Pusat Q, jari-jari r
Jika jari-jari lingkaran sama mk mgs = mPQ
(contoh soal no 8)
(contoh soal no 10)
Cara 1: PGS ≡ L1 − L2 = 0
2 1
2
Bersinggungan Luar
Cara 2: Menentukan titik singgung, kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
-- Sda --
(contoh soal no 11)
3 0
2
-
-- Sda --
Berpotongan Cara 1: PGS ≡ L1 − L2 = 0
4 0
1
-
Bersinggungan Dalam 5
Cara 2: Menentukan titik singgung, kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
0
0
-
Saling Asing Dalam
www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal: 1.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 13 di titik T(2, -3). Jawab: Persamaan garis singgung di titik (2, -3) pada lingkaran x 2 + y 2 = 13 adalah: 2 x + ( −3) y = 13 ⇒ 2 x − 3 y − 13 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya 2 x − 3 y − 13 = 0 2.
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = 25 di titik T(1, -2). Jawab: Titik (1, -2) pada lingkaran ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = 25 karena (1 − 1)2 + (− 2 − 3)2 = 0 + 25 = 25 Persamaan garis singgung di titik (1, -2) pada lingkaran ( x − 1)2 + ( y − 3)2 = 25 adalah:
(1 − 1)( x − 1) + (− 2 − 3 )( y − 3 ) = 25 − 5 y + 15 = 25 y = −2 Jadi persamaan garis singgungnya y = −2 3.
Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = 0 . Jawab: Titik (4, -1) pada lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = 0 karena
4 2 + (− 1) + 6.4 − 4(− 1) − 45 = 16 + 1 + 24 + 4 − 45 = 45 − 45 = 0 2
Persamaan garis singgung di titik (4, -1) pada lingkaran x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 45 = 0 adalah:
4 x + (− 1) y +
6 (4 + x ) + − 4 (− 1 + y ) + −45 = 0 2 2 4 x − y + 12 + 3x + 2 − 2 y − 45 = 0 7 x − 3 y − 31 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya 7 x − 3 y − 31 = 0 4.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 dengan gradien 2. Jawab: Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25 dengan gradien m = 2 adalah: y = 2x ± 5 1 + 2 2 = 2x ± 5 5 Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y = 2 x + 5 5 dan y = 2 x − 5 5
www.matikzone.wordpress.com
5.
Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x + 2 y − 4 = 0 pada lingkaran
( x − 4 )2 + ( y − 2) 2
= 5.
Jawab: Persamaan garis singgung lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b )2 = r 2 dengan gradien m adalah: y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 Cara 1: Misalkan gradient garis singgung adalah m1 dan gradient garis x + 2 y − 4 = 0 adalah m2 . 1 1 Garis x + 2 y − 4 = 0 ⇒ y = − x + 4 ⇒ m2 = − 2 2 Garis dengan gradient m1 dan tegak lurus dengan x + 2 y − 4 = 0 mempunyai hubungan: m1 . m2 = – 1 1 m1 . − = – 1 2 m1 = 2 Jadi persamaan garis singgung:
y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2 ⇒ y − 2 = 2( x − 4 ) ± 5 1 + 2 2 ⇒ y − 2 = 2x − 8 ± 5 5 ⇒ y = 2x − 6 ± 5 Diperoleh 2 persamaan garis singgung, yaitu: y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 6.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 4 x + 10 y + 21 = 0 yang sejajar dengan garis − 6 x + 2 y − 17 = 0 . Jawab: Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 dengan gradien m adalah: y+
1 1 1 1 2 B = m x + A ± r 1 + m atau y + B = m x + 2 2 2 2
A ±
A2 B 2 + − C ⋅ 1 + m2 4 4
Misalkan gradient garis singgung adalah m1 dan gradient garis − 6 x + 2 y − 17 = 0 adalah m2 . 17 Garis − 6 x + 2 y − 17 = 0 ⇒ y = 3x + ⇒ m2 = 3 2 Garis dengan gradient m1 dan sejajar dengan − 6 x + 2 y − 17 = 0 mempunyai hubungan: m1 = m2 = 3 Jadi persamaan garis singgung: y+
1 1 B = m x + A ± 2 2
A2 B 2 + − C ⋅ 1 + m 2 ⇒ y + 5 = 3(x + 2) ± 4 + 25 − 21 1 + 3 2 4 4 ⇒
y = −5 + 3 x + 6 ± 8 ⋅ 10
⇒
y = 3x + 1 ± 4 5
Diperoleh persamaan garis singgung y = 3 x + 1 ± 4 5
www.matikzone.wordpress.com
7.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 4 yang melalui titik T(3, 2). Jawab: Cara 1: Persamaan garis polar lingkaran x 2 + y 2 = 4 yang melalui titik T(3, 2) adalah 3 3x + 2 y = 4 ⇒ y = − x + 2 2 Subtitusi ke persamaan llingkaran 2 9 3 2 x + − x + 2 = 4 ⇒ x 2 + x2 − 6x + 4 − 4 = 0 4 2 13 2 ⇒ x − 6x = 0 4 13 ⇒ x x − 6 = 0 4 24 ⇒ x = 0 atau x = 13 Subtitusi nilai x yang diperoleh ke persamaan garis (bukan ke persamaan lingkaran): 3 Untuk x = 0 ⇒ y = − .0 + 2 = 2 ⇒ T1 (0, 2) 2 24 3 24 36 26 10 24 10 Untuk x = ⇒ y = − . +2= − + =− ⇒ T2 , − 13 2 13 13 13 13 13 13 Titik-titik tersebut adalah titik singgung lingkaran, gunakan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik PADA lingkaran. PGS 1: 0x + 2 y = 4 ⇒ 2 y = 4 ⇒ y=2 PGS 2: 24 10 x− y=4 ⇒ 24 x − 10 y = 52 13 13 ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0 Cara 2: Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah y = mx ± r 1 + m 2 Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2 Maka m( x − 3) + 2 = mx ± r 1 + m 2 mx − 3m + 2 = mx ± 2 1 + m 2 − 3m + 2 = ±2 1 + m2
(
9m 2 − 12m + 4 = 4 1 + m 2
)
9m 2 − 12m + 4 = 4 + 4m 2 5m 2 − 12m = 0 m(5m − 12) = 0 m=0
atau
m=
12 5 www.matikzone.wordpress.com
Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan garis y = m (x – 3) + 2 (bukan ke y = mx ± r 1 + m 2 ): Untuk m = 0 ⇒ y = 0( x − 3) + 2 = 0 + 2 = 2 12 12 12 26 Untuk m = ⇒ y = ( x − 3) + 2 ⇒ y = x− 5 5 5 5
⇒ y=2 ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0 Cara 3: Misalkan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien m adalah y = mx ± r 1 + m 2 Garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 4 melalui titik T(3, 2) maka: y = mx ± r 1 + m 2 ⇒
2 = 3m ± 2 1 + m 2
⇒
2 − 3m = ±2 1 + m 2
⇒ 4 − 12m + 9 m2 = 4 + 4m 2 ⇒ ⇒
5m 2 − 12m = 0 m(5m − 12) = 0
⇒
m = 0 atau m =
12 5
Persamaan garis dengan gradien m melalui T(3, 2) adalah y – 2 = m (x – 3) atau y = m (x – 3) + 2 Subtitusi m yang diperoleh ke persamaan y Untuk m = 0 ⇒ y = 0( x − 3) + 2 = 0 + 2 = 2 12 12 12 26 Untuk m = ⇒ y = ( x − 3) + 2 ⇒ y = x− 5 5 5 5
⇒ y=2 ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0 Cara 4: Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a, b), jari-jari r dan melalui titik (x 1, y1 ) adalah y – y1 = m (x – x 1), dengan: m=
( y1 − b )( x1 − a ) ± r ( y1 − b )2 + ( x1 − a) 2 − r 2 (x1 − a )2 − r 2
Lingkaran x 2 + y 2 = 4 mempunyai pusat P(0, 0) dan berjari-jari 2 melalui titik T(3, 2) mempunyai PGSL y – 2 = m (x – 3), dengan: m=
(2 − 0)(3 − 0) ± 2 (2 − 0 )2 + (3 − 0 )2 − 2 2 (3 − 0)2 − 2 2
Jadi persamaan garis singgungnya y − 2 = y − 2 = 0.(x − 3) ⇒ y = 2 dan y − 2 =
=
6±2 9 6±6 = 9− 4 5
6± 6 ( x − 3) , yaitu 5
12 (x − 3) ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0 5 www.matikzone.wordpress.com
Cara 5: Misalkan persamaan garis singgung yang melalui T(3, 2) adalah y − 2 = m (x − 3) ⇒ y = 2 + m (x − 3) Subtitusi y ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 4
x 2 + (2 + m(x − 3))2 = 4 ⇒
(
)
x 2 + 4 + 4m(x − 3) + m 2 x 2 − 6 x + 9 − 4 = 0
⇒ x 2 + 4 + 4mx − 12 m + m2 x 2 − 6 m 2 x + 9m 2 − 4 = 0 ⇒
(1 + m )x + (4m − 6m )x + (− 12m + 9m ) = 0 2
2
2
2
Syarat menyinggung adalah D = 0
(4 m − 6m )
2 2
D = 0⇒
(
)(
)
− 4 1 + m 2 − 12 m + 9m 2 = 0
⇒ 16m 2 − 48m 3 + 36 m4 + 48m − 36m 2 + 48m 3 − 36m 4 = 0 ⇒
− 20m 2 + 48m = 0
⇒
− 5m 2 + 12m = 0
⇒
m(− 5m + 12 ) = 0
⇒
m =0
Untuk m = 0 ⇒ y = 2 + 0.( x − 3) 12 12 Untuk m = ⇒ y = 2 + ( x − 3) 2 5
atau m =
12 5
⇒ y=2 ⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya y = 2 dan 12 x − 5 y − 26 = 0 Cara 6: Lingkaran x 2 + y 2 = 4 berpusat di P(0, 0) dan berjari- jari r = 2 Persamaan garis singgung yang melalui titik T(3, 2) dan bergradien m adalah: y − y1 = m( x − x1 ) ⇒ y − 2 = m( x − 3) ⇒ y = mx + 2 − 3m ⇒ mx − y + (2 − 3m ) = 0 Jari-jari r adalah jarak P(0, 0) dengan garis mx − y + (2 − 3m) = 0
r=
m.0 − 1.0 + (2 − 3m) m 2 + (− 1)2
⇒ ⇒ ⇒
2=
2 − 3m m2 + 1
4 − 12 m + 9m 2 m2 +1 4m 2 + 4 = 4 − 12 m + 9m 2 4=
⇒ 5m 2 − 12 m = 0 ⇒ m(5m − 12) = 0 ⇒
m=0
atau
m=
Diperoleh PGS 1: 0.x − y + (2 − 3.0) = 0 ⇒ − y + 2 = 0 ⇒ y=2 12 12 12 26 PGS 2: . x − y + 2 − 3. = 0 ⇒ . x − y + − = 0 5 5 5 5
12 5
⇒ 12 x − 5 y − 26 = 0 www.matikzone.wordpress.com
Catatan: cara 1 adalah yang paling “aman”, karena cara 2, 3, 4, 5 dan 6 kadang akan menemui masalah di tengah jalan. Silakan untuk mencoba soal berikut: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 16 yang melalui titik T(5, 4). (lihat pada bagian akhir pembahasan) 8.
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 ≡ ( x − 2 )2 + ( y − 3)2 = 16 dan
L2 ≡ ( x − 12) 2 + ( y − 3)2 = 4 .
Jawab:
Rx + rx P Ry Q + ry P Koordinat titik E adalah E Q , R + r R + r 2 2 L1 ≡ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 16 mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
L2 ≡ ( x − 12) 2 + ( y − 3)2 = 4 mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
Koordinat titik E adalah E
4.12 + 2.2 4.3 + 2.3 52 18 26 , = E , = E , 3 4+2 4+2 6 6 3
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah: y − y P = m( x − x P ) ± r 1 + m 2 ⇒ y − 3 = m( x − 2) ± 4 1 + m 2 26 Garis singgung melalui titik E , 3 3
26 3 − 3 = m − 2 ± 4 1 + m 2 3 20 ⇒ 0= m ± 4 1+ m 2 3 20 ⇒ ± 4 1 + m2 = m 3 400m 2 ⇒ 16 + 16m 2 = 9 2 ⇒ 144 + 144m = 400m 2
y − 3 = m( x − 2) ± 4 1 + m 2 ⇒
⇒
256m 2 = 144
⇒
16m 2 = 9
⇒
m2 =
⇒
9 16 3 m=± 4 www.matikzone.wordpress.com
26 26 Persamaan garis dengan gradien m dan melalui E , 3 adalah: y − 3 = m x − 3 3 3 3 26 Untuk m = ⇒ y − 3 = x − 4 4 3 3 26 ⇒ y −3 = x − 4 4 Jadi, persamaan garis ⇒ 3 x − 4 y − 14 = 0 singgung persekutuan dalam 3 3 26 Untuk m = − ⇒ y − 3 = − x − L1 dan L2 adalah: 4 4 3 • g1 ≡ 3 x − 4 y − 14 = 0 3 26 ⇒ y −3 = − x + • g 2 ≡ 3x + 4 y − 38 = 0 4 4 ⇒ 3 x + 4 y − 38 = 0
9.
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16 dan
L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4 )2 = 4 .
Jawab:
Rx − rx P Ry Q − ry P Koordinat titik S adalah S Q , R − r R−r
L1 ≡ ( x − 5)2 + ( y − 6 )2 = 16 mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
L2 ≡ ( x − 15)2 + ( y − 4 )2 = 4 mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2 Koordinat titik S adalah S
4.15 − 2.5 4.4 − 2.6 50 4 , = S , = S (25, 2) 4−2 4−2 2 2
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah: y − y P = m( x − x P ) ± r 1 + m 2 ⇒ y − 6 = m( x − 5) ± 4 1 + m 2 Garis singgung melalui titik S (25, 2)
www.matikzone.wordpress.com
y − 6 = m ( x − 5) ± 4 1 + m 2 ⇒
2 − 6 = m (25 − 5 ) ± 4 1 + m 2
⇒
− 4 = 20m ± 4 1 + m 2
⇒
− 1 = 5m ± 1 + m 2
⇒
± 1 + m = 5m + 1 2
⇒
1 + m = 25m + 10 m + 1 2
2
⇒ 24m + 10m = 0 ⇒ m (24m + 10 ) = 0 2
⇒
m = 0 atau m = −
10 5 =− 24 12
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S (25, 2) adalah: y − 2 = m(x − 25) Untuk m = 0 ⇒ y − 2 = 0( x − 25) ⇒ y−2= 0 ⇒ y=2 5 5 Untuk m = − ⇒ y − 2 = − ( x − 25 ) 12 12 5 125 ⇒ y −2 = − x+ 12 12 ⇒ 12 y − 24 = −5 x + 125 ⇒ 5 x + 12 y − 149 = 0
Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah: y=2
10.
dan
5x + 12 y − 149 = 0
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 dan 2
2
6 12 L2 ≡ x − + y + = 5 . 5 5 Jawab: g1
g2
Q r P R= r
L1 ≡ ( x − 4 )2 + ( y − 2 )2 = 5 mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R = 2
5
2
6 6 12 12 L2 ≡ x − + y + = 5 mempunyai pusat Q , − dan jari- jari r = 5 5 5 5
5
www.matikzone.wordpress.com
Untuk R = r, PQ sejajar kedua garis singgung. 6 16 2+ ∆y 5 = 5 = 16 = 2 m gs = mPQ = = 12 8 ∆x 8 4− 5 5 Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2 (garis singgung persekutuan luar) Persamaan garis singgung L1 dengan gradien 2 adalah: y − 2 = 2(x − 4) ± 5 1 + 2 2 ⇒ ⇒ ⇒
y = 2 + 2x − 8 ± 5 y = 2x − 6 ± 5 y = 2 x − 11 atau
y = 2x −1
Jadi persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah: y = 2 x − 1 dan y = 2 x − 11 .
11.
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan antara lingkaran L1 ≡ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 dan
L2 ≡ (x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 .
Jawab:
L1 ≡ ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3
L2 ≡ (x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2 Terdapat 2 garis singgung persekutuan luar dan 1 garis singgung persekutuan dalam.
Garis singgung persekutuan luar Rx − rx P Ry Q − ry P Titik potong kedua garis singgung: S Q , R −r R− r
18 − 2 3 − 2 = S , = S (16, 1) 3− 2 3 − 2
Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
y − y Q = m (x − xQ ) ± r 1 + m 2 ⇒ y − 1 = m( x − 6 ) ± 2 1 + m 2 Garis singgung melalui titik S (16, 1)
www.matikzone.wordpress.com
y − 1 = m( x − 6 ) ± 3 1 + m ⇒
1 − 1 = m (16 − 6 ) ± 2 1 + m
2
⇒
0 = 10m ± 2 1 + m 2
⇒ ⇒
2
10 m = ±2 1 + m 2 100 m 2 = 4m 2 + 4
⇒
96m 2 = 4
⇒
m2 =
⇒
1 24
m=±
1 24
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui S (16, 1) adalah: y − 1 = m(x − 16 ) 1 1 Untuk m = ⇒ y −1 = ( x − 16) 24 24 1 16 ⇒ y= x +1 − 24 24 1 1 Untuk m = − ⇒ y −1 = − ( x − 16) 24 24 1 16 ⇒ y=− x +1 + 24 24 1 16 1 16 y = x + 1 − dan y = − x + 1 + Jadi 24 24 24 24 Garis singgung persekutuan dalam Cara 1: PGS ≡ L1 − L2 = 0
( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 9 ( x − 6 )2 + ( y − 1)2 = 4 (x − 1) 2 − ( x − 6 )2 = 5
−
x 2 − 2 x + 1 − x 2 + 12 x − 35 = 5 10 x = 40 x=4 Cara 2: Rx + rx P Ry Q + ry P 18 + 2 3 + 2 = E Titik singgung kedua lingkaran adalah E Q , , = E (4, 1) R+r 3+ 2 3+ 2 R+ r E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.
(4 − 1)( x − 1) + (1 − 1)( y − 1) = 9 ⇒ 3( x − 1) = 9 ⇒ 3x − 3 = 9 ⇒ ⇒
3 x = 12 x=4
Jadi persamaan garis singgung persekutuan L1 dan L2 adalah: y = y=−
1 16 x +1 − , 24 24
1 16 x +1 + 24 24 , dan x = 4 www.matikzone.wordpress.com
