Galeri Soal
Dirangkum Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
www.matikzone.wordpress.com April 2012
Semoga sedikit contoh soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika khususnya Bab Limit. Kami mengusahakan agar soal-soal yang kami bahas sevariasi mungkin, sehingga manfaatnya bisa lebih maksimal. Untuk soal latihan, kami belum bisa mencoba semuanya. Untuk itu jika ada yang ingin menambah, memberikan saran dan koreksinya akan kami terima dengan senang hati.
Galeri Soal LIMIT Email :
[email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only) Hak Cipta Dilindungi Undang- undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
Soal-soal Limit dan Penyelesaiannya 1.
y
Dari gambar di samping, tentukan: a). lim− f ( x ) , lim+ f ( x) dan lim f ( x) jika ada.
f(x)
x →2
4 3
x →2
x→ 2
b). lim− f ( x) , lim+ f ( x ) , dan lim f ( x) jika ada. x →5
2
5
x →5
x→5
x
Jawab: Limit kanan dan limit kiri *) lim+ f ( x) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. x→a
*) lim − f ( x ) = L , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L. x →a
Definisi limit lim f ( x) = L (ada) ⇔ lim + f ( x) = lim − f ( x ) = L x →a
x →a
y
x →a
f(x) L
a
Dari soal di atas dapat ditentukan bahwa:
x
kiri
a). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x ) = 3 maka lim f ( x) = 3 x→ 2 x →2 − x →2 +
kanan
b). lim f ( x) = 3 dan lim f ( x) = 4 , limit kiri dan limit kanan tidak sama maka lim f ( x) Tidak x→5 x →5 − x →5 + Ada 2.
4 x − 1; jk x < 2 Jika diketahui f (x ) = 2 maka tentuka nilai dari lim− f ( x ) , lim+ f ( x) , dan lim f ( x) x→ 2 x →2 x →2 x + 3; jk x ≥ 2 Jawab: • lim f ( x ) = lim 4 x − 1 = 4.2 − 1 = 8 − 1 = 7 (limit kiri, dari kiri, digunakan fungsi pertama) x →2 − x→ 2 − • •
3.
lim f ( x ) = lim x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7 (limit kanan, dari kanan, digunakan fungsi x →2 + x→ 2 + kedua) lim f ( x ) = 7 (limit kiri = limit kanan) x→ 2
Tentukan nilai limit dari: a). lim 788
c). lim (5 x − 6 )
b). lim 7 x
d). lim
x→ 9
x →8
x →3
5x − 6 x →−3 x + 1
x−2 x+ 2 8− x f). lim x →−4 x + 4
e). lim
x→ 2
Jawab: Untuk lim f ( x ) diselesaikan dengan cara subtitusi (langkah ini tidak boleh ditinggalkan) x→a
www.matikzone.wordpress.com
Ø Jika f (a) = c maka lim f ( x ) = c x→a
c Ø Jika f (a) = maka lim f ( x ) Tidak Ada x→a 0 0 Ø Jika f (a) = maka lim f ( x) = 0 x →a c 0 Ø Jika f (a) = maka dilakukan faktorisasi atau perkalian dengan sekawan. 0
Sehingga: a). lim 788 = 788 x →9
b). lim 7 x = 7.8 = 56 x →8
c). lim (5 x − 6 ) = 5.3 − 6 = 15 − 6 = 9 x →3
5 x − 6 5( −3) − 6 − 15 − 6 − 21 21 = = = = x +1 − 3 +1 −2 −2 2 x−2 2−2 0 e). lim = = =0 x→ 2 x + 2 2+2 4 8 − x 8 − (− 4) 12 8− x f). lim = = maka lim tidak ada x →−4 x + 4 x →−4 x + 4 −4+4 0
d). lim
x →−3
4.
Penyelesaian dengan faktorisasi x−2 2−2 0 = 2 = BTT, maka x→ 2 x − 5 x + 6 2 − 5 .2 + 6 0 x−2 x−2 1 1 1 lim 2 = lim = lim = = = −1 x→ 2 x − 5 x + 6 x→ 2 (x − 2)( x − 3) x →2 ( x − 3) 2 − 3 −1
a). lim
2
x 2 + 3x + 2 (− 1) + 3(−1) + 2 1 − 3 + 2 0 b). lim 2 = = = BTT, maka x →−1 x − 5 x − 6 ( −1) 2 − 5( −1) − 6 1 + 5 − 6 0 2
x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2 ) = lim ( x + 2) = − 1 + 2 = 1 = − 1 = lim 2 x →−1 x − 5 x − 6 x →−1 ( x + 1)( x − 6) x→ −1 (x − 6) − 1− 6 − 7 7 3 2 3 2 x − 5 x + 3 x 0 − 5.0 + 3.0 0 c). lim = = BTT, maka x→ 0 2x − 7x 2 2.0 − 7.0 2 0 3 2 2 x − 5x + 3x x x − 5x + 3 x 2 − 5x + 3 0 − 5.0 + 3 3 lim = lim = lim = = x→ 0 x →0 x→ 0 2x − 7x 2 x (2 − 7 x ) (2 − 7 x ) 2 − 7.0 2 x3 + x 2 − 8x + 4 ( x − 2)(x 2 + 3x − 2) = lim x 2 + 3x − 2 = 2 2 + 3.2 − 2 = 8 d). lim 3 = lim x→ 2 x − 2 x 2 − x + 2 x→2 x→2 ( x − 2 )(x 2 − 1) x 2 −1 22 −1 3 4−x 4− x − (x − 4) lim 3 = lim = lim 2 x→ 4 x − 64 x →4 ( x − 4 )(x + 4 x + 16) x→ 4 (x − 4)(x 2 + 4 x + 16 ) e). 1 1 1 = lim − 2 =− 2 =− x →4 (x + 4 x + 16) 4 + 4.4 + 16 48 lim
(
lim
f).
x→
3 2
8 x 3 − 27 = lim 2 4x − 9 x→3 2
(2 x )3 − 33 (2 x )2 − 32
)
(
= lim x→
3 2
)
(2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9 ) = lim 3 (2 x − 3)(2 x + 3) x→ 2
4x 2 + 6x + 9 2x + 3
2
=
3 3 4. + 6. + 9 2 2 = 3 2. + 3 2
9 + 9 +9 = 3+ 3
27 = 6
9 1 =3 2 2
www.matikzone.wordpress.com
5.
Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan (merasionalkan bentuk akar) 3 − 4x + 1 3 − 8 +1 0 = = BTT, maka x−2 2−2 0 a). x→ 2 3 − 4x + 1 3 − 4x + 1 3 + 4x +1 9 − (4 x + 1) lim = lim ⋅ = lim x→ 2 x→2 x−2 x−2 3 + 4 x + 1 x→ 2 (x − 2) 3 + 4 x + 1 8 − 4x − 4(x − 2) = lim = lim x→ 2 x →2 (x − 2) 3 + 4 x + 1 (x − 2 ) 3 + 4 x + 1 lim
(
(
= lim
x→ 2
b).
)
−4
(3 +
4x + 1
)
=
x + 2 − 2x −1 0 = BTT, maka 0 2x − 3 − x
lim
x + 2 − 2x −1 = lim x →3 2x − 3 − x
x →3
= lim
x →3
= lim
x →3
= lim
x →3
= lim
x →3
= lim
−4
3 + 4 .2 + 1
lim
x →3
(
−4 4 2 =− =− 3+ 3 6 3
=
(
x + 2 − 2x −1 x + 2 . 2x − 3 − x x+2 ( x + 2) − ( 2 x − 1) 2x − 3 − x x + 2 + − x+3 2x − 3 − x x + 2 +
(
− x+3 . 2x − 3 − x x + 2 + 2x − 1
(
2x − 3 + x x + 2 + 2 x − 1 ((2 x − 3) − ( x) )
(
(− x + 3)(
2x − 1
)(
2x − 1
)
)(
(
Dikali sekawan pembilang
Jika disubtitusi, masih didapat 0/0
)
( )(
)
2x − 3 + x 2x − 3 + x
) ) Dikali sekawan penyebut
)
− ( x − 3) 2 x − 3 + x x + 2 + 2 x − 1 (x − 3)
) − ( 2x − 3 + x ) = lim ( x + 2 + 2x −1) − ( 2.3 − 3 + 3 ) − ( 3 + 3 ) 2 = = =− ( 3 + 2 + 2.3 − 1) 5 + 5 2 x →3
)
+ 2x − 1 + 2x − 1
)(
)
)
(
x →3
lim
c).
x →−3
9 − x2 4 − x2 + 7
= lim
x→−3
= lim
9 − x2
4+
x2 + 7
4 − x2 + 7 4 +
x2 + 7
(9 − x )(4 +
.
x2 + 7
2
(
3 3 =− 5 5
9 − x2 4 + x2 + 7 x→−3 16 − x 2 + 7
= lim
) = lim (4 +
(
)
)
)
x2 + 7 = 4 + 9 + 7 = 4 + 4 = 8 x →−3 9−x (gabungan cara penyelesaian dengan pemfaktoran dan perkalian dengan sekawan) x →−3
6.
2
3 1 lim − = ..... x→1 1 − x 1− x3
(
a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2
Jawab: 3 1+ x + x2 3 1 lim − = lim 2 − 3 x→1 1 − x 1 − x x →1 (1 − x ) 1 + x + x 1− x3
(
)
(
)
(
)
1+ x + x2 − 3 = lim 2 x →1 (1 − x ) 1 + x + x ( x + 2)( x − 1) = lim 2 x→1 (1 − x )(1 + x + x )
(
)
)
x2 + x − 2 = lim 2 x→1 (1 − x ) 1 + x + x ( x + 2) = 1 + 2 = 3 = 1 = lim 2 x→1 1 + x + x 1 + 1 + 12 3
(
(
)
)
www.matikzone.wordpress.com
7.
lim
x→ 0
x2
= .....
1 − 3 1 + x2
Jawab:
( (
) )
(
2 3 x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2 1 + 1 + x2 + 3 1+ x 2 x x lim = lim . = lim 2 3 2 3 2 x→ 0 x→0 1 − 1 + x2 1− 1+ x 1 − 1 + x 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2 x →0 2 x 2 1 + 3 1 + x 2 + 3 1 + x 2 2 = lim − 3 2 3 2 = lim 1 + 1 + x + 1 + x 2 x→ 0 x →0 −x = −(1 + 1 + 1) = −3 2
2
(
)
(
8.
(
)
(
)
) 2
)
Jika lim ( x + 1) = lim ( 2 x − 3) , maka tentukan nilai dari lim ( x 2 − 16) x→ n
x→ n
x→n
Jawab: lim ( x + 1) = lim (2 x − 3) ⇒ n + 1 = 2n − 3 ⇒ n = 4 maka x→ n
x→ n
lim ( x 2 − 16) = lim ( x 2 − 16) = 4 2 − 16 = 16 − 16 = 0 x→ n
9.
x→ 4
2x2 + 5x + 2 3 = , maka nilai a adalah … x →−2 x 2 + ax − 10 7
Jika lim
Jawab: 2x 2 + 5x + 2 lim , karena ketika disubtitusi pembilang bernilai 0, sedangkan nilai limitnya adalah x →−2 x 2 + ax − 10 3 , maka penyebut dipastikan bernilai 0. Sehingga diperoleh 7 (− 2 )2 − 2a − 10 = 0 2 x 2 + 5x + 2 ( x + 2 )(2 x + 1) = lim 2 x + 1 ⇒ 4 − 10 = 2 a lim 2 = lim x → − 2 x − 3 x − 10 x → − 2 ( x + 2 )( x − 5 ) x → −2 x − 5 ⇒ 2a = −6
⇒
10.
lim
x→ 2
a = −3
=
2(− 2 ) + 1 − 3 3 = = − 2−5 −7 7
x+2 2+2 4 x+ 2 = = berarti lim tidak ada. Lihat grafiknya berikut ini: x → 2 x−2 2−2 0 x−2 y
f(x)=(x+2)/(x-2)
8 6
Limit kiri ≠ Limit kanan
4 2 x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
-2 -4 -6
www.matikzone.wordpress.com
11.
x 2 + 2 x − 1 3 2 + 2.3 − 1 14 x 2 + 2x − 1 lim = = berarti lim tidak ada. Demikian juga untuk x →3 x →3 x2 − 9 32 − 9 0 x2 − 9 2 x 2 + 2x −1 x 2 + 2 x − 1 (− 3) + 2(− 3) − 1 2 lim , karena lim = = . Grafiknya adalah: x →−3 x →−3 x2 − 9 x2 − 9 0 (− 3)2 − 9
7
y
f(x)=(x^2+2x-1)/(x^2-9)
6 5 4 3 2 1 x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2 -3
Limit kiri ≠ Limit kanan
-4 -5 -6
12.
Menentukan nilai limit lim f ( x) dengan cara: x →∞
a). Subtitusi. b). Jika diperoleh bentuk tak tentu (
∞ ) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan ∞
variabel pangkat tertinggi (VPT). c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞ − ∞ ) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT). v Untuk lim f ( x) dengan subtitusi x →∞
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
Ø
Jika f (x ) =
∞ maka lim f ( x) = ∞ x →∞ c c maka lim f ( x) = 0 x →∞ ∞ ∞ maka dilakukan dengan cara b). ∞ ∞ – ∞ maka gunakan cara c).
Catatan: k 1) lim n = 0 ; n > 0 x →∞ x 2) lim kx n = ∞ ; n > 0 x →∞
3) lim k = k ; k konstanta x →∞
www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal: lim 9 = 9 a. x →∞ b.
lim 2 x + 9 = 2.∞ + 9 = ∞ x →∞
7 x + 9 7.∞ + 9 = =∞ x →∞ 8 8
lim
c.
lim
d.
x →∞
6 6 6 = 2 = =0 x +1 ∞ + 1 ∞ 2
13. Penyelesaian dengan pembagian variabel pangkat tertinggi. Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) 2 adalah x , maka pembilang dan 2x ∞ 2 a). lim 2 = BTT maka penyebut dibagi dengan x x →∞ 3x + x − 1 ∞ 2x 2 lim 2 x 2x x2 x x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 1 1 x 1 3+ x − lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 2 + − x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x x2 x2 x2 0 0 = = =0 3+0−0 3
Lihat Teorema Limit
2x2 ∞ b). lim 2 = BTT, maka x →∞ 3x + x − 1 ∞ 2x 2 2 lim 2 2x 2 x2 x →∞ lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ x 1 3 + 1 x − 1 2 lim 3 + lim 1 x − lim 1 2 + 2 − 2 x→ ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x 2 x x x 2 2 = = 3+0−0 3 2x3 + 5x ∞ = BTT maka x →∞ 3x 2 + x − 1 ∞ 2x3 5x + 3 2+ 5 2 lim 2 + lim 5 2 3 2x3 + 5x x →∞ x →∞ x x x x lim 2 = lim = lim = x →∞ 3 x + x − 1 x→ ∞ 3x 2 x → ∞ 3 + 1 2 − 1 3 lim 3 + lim 1 2 − lim 1 3 x 1 + 3− 3 x x→ ∞ x x→ ∞ x x x x→ ∞ x 3 x x x 2+0 2 = = =∞ 0 + 0 −0 0
c). lim
www.matikzone.wordpress.com
14. Penyelesaian dengan perkalian bentuk sekawan kemudian membaginya dengan variabel pangkat tertinggi.
( 4x − 5x + 1 − 4x + 7 x − 2 ) = ∞ − ∞ BTT, maka lim ( 4 x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 ) ( 4x − 5 x + 1 + 4 x = lim ( 4 x − 5x + 1 − 4 x + 7 x − 2 )⋅ ( 4x − 5 x + 1 + 4 x
a). lim
2
2
Dikalikan sekawan
x →∞
2
2
2
2
x →∞
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
=
(4 x
2
) (
− 5x + 1 − 4 x 2 + 7 x − 2
2
2
2
2
)
4x − 5x +1 + 4x + 7x − 2 − 12 x + 3 2
2
4x − 5x +1 + 4x + 7x − 2 − 12 x + 3 x x 2 4x 2 − 5x 2 + 1 2 + 4x2 2 + 7 x 2 − 2 2 x x x x x x − 12 + 3 x 4− 5 + 1 2 + 4+ 7 − 2 2 x x x x − 12 + 0 2
2
4 −0 + 0 + 4 + 0 − 0 12 12 =− = − = −3 4 2 4
( lim (
b). lim
x →∞
x →∞
) x + 3 ) = lim (
x + 6 − x + 3 = ∞ − ∞ , BTT maka: x+6 −
) + 7x − 2) + 7x − 2
x→ ∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
) ((
x + 6 − x +3 ⋅
( x + 6 ) − ( x + 3)
Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):
lim
x →∞
− 12 x
4x 2 + 4x 2
VPT pembilang adalah x, dan VPT 2
penyebut x (setara), maka pembilang dan penyebut dibagi 2
dengan x (jk dlm akar menjadi x ) Lihat catatan 2
) x +3)
x + 6 + x +3 x+6+
x +6 − x+3 3 x +6 − x+3
=0
15. Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga: Ø
Ø
Ø
0, jk n < m ax n + bx n−1 + ... ax n a Jika f ( x ) = maka lim f ( x ) = lim = , jk n = m x →∞ x→ ∞ px m px m + qx n−1 + ... p ∞, jk n > m n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. ∞, jk a > p b − q Jika f ( x ) = ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r maka lim f ( x) = , jk a = p x →∞ 2 a − ∞, jk a < p ∞ , jk a > p Jika f ( x ) = ax + b − px + q maka lim f ( x) = 0, jk a = p x →∞ − ∞ , jk a < p
www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal: 5x3 − x 5 = (pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut) 3 x →∞ x − 3 x −3
a). lim
b). lim
( 9x
c). lim
(
x →∞
x →∞
2
)
− 15 x + 2 − 9 x 2 − 7 x + 1 =
− 15 − (− 7) − 8 4 = = − ( nilai a = p ) 6 3 2 9
)
2 x − 4 − 2 x + 5 = 0 ( nilai a = p )
16. Teorema Limit Untuk n ∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku: a. lim c = c
g. lim ( f ( x ) • g ( x )) = lim f ( x) • lim g ( x )
x→ a
b. lim x = a n
x→ a
n
x →a
x→ a
c. lim f ( x) = f ( a)
f ( x) f ( x ) lim h. lim = x→ a ; lim g ( x ) ≠ 0 x→ a g ( x) g ( x) x→ a lim x→a
d. lim cf ( x ) = c lim f ( a)
i. lim ( f ( x )) n = ( lim f ( x )) n
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
e. lim ( f ( x ) + g ( x)) = lim f ( x ) + lim g ( x) x→ a
x →a
j. lim
x→a
x →a
Soal-soal: a). a. lim 25 = 25
f ( x ) = n lim f ( x) ; lim f ( x ) ≥ 0 x→ a
x→ a
x →a
b. lim 36 = 36
x→ 6
n
x→ a
f. lim ( f ( x ) − g ( x)) = lim f ( x ) − lim g ( x) x→ a
x→a
c. lim 9 = 9
x→ 0
x →−2
b). lim x = 3 = 81 4
4
x →3
c). lim x 3 − 5 x + 7 = 2 3 − 5.2 + 7 = 5 x→ 2
e). lim 5 x = 5 lim x = 5.( −2) = −10 x →−2
x →−2
f). lim 5 x + 3 x 2 = lim 5 x + lim 3 x 2 = 5.4 + 3.4 2 = 20 + 48 = 68 x→ 4
x→4
x→ 4
g). lim 5 x − 3x = lim 5x − lim 3x 2 = 5.4 − 3.4 2 = 20 − 48 = −28 2
x→ 4
x →4
x →4
( )(5 x − 1) = lim (5 x + 3 x ). lim (5 x − 1) = 8.4 = 32 (5x + 3x ) = lim (5x + 3x ) = 8 = 2 i). lim h). lim 5x + 3x
2
2
x→1
x →1
2
x→1
(5 x − 1)
x →1
2
x→1
(
lim (5 x − 1) x→1
)
4
j). lim (5 x + 2) = lim (5 x + 2) = (5.1 + 2 ) = 7 3 = 343 3
x→1
3
x →1
3
k). lim 3 5 x + 2 = 3 lim (5 x + 2) = 3 (5.1 + 2) = 3 7 x→1
x→1
(
)
5 x − 3x 2 lim 5 x − lim 3 x 2 5.(−5) − 3.( −5) 2 − 25 − 75 − 100 5 x − 3x 2 lim x →∞ x→ ∞ l). lim = = x →∞ = = = x →−5 2 x + 7 lim (2 x + 7 ) lim 2 x + lim 7 2.(−5) + 7 − 10 + 7 3 x→ ∞
17.
x→∞
x →∞
Limit Fungsi Trigonometri Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:
www.matikzone.wordpress.com
sin x x = lim =1 x→ 0 x →0 sin x x tan x x b. lim = lim =1 x→ 0 x →0 tan x x sin ax ax a c. lim = lim = x→ 0 x → 0 bx sin bx b
a. lim
tan ax ax = lim = x→ 0 x → 0 tan bx bx tan ax sin ax e. lim = lim = x→ 0 sin bx x → 0 tan bx
d. lim
a b a b
Soal-soal: x 0 0 a). lim = = =0 x→ 0 cos x cos 0 1 1 1 b). lim1 sin x + cos x = sin π + cos π = 1 + 0 = 1 2 2 x→ π 2
sin 2 x sin 2 x 2 sin 2 x = lim . = 2. lim = 2 .1 = 2 (jika x → 0 maka 2 x → 0 ) x→ 0 x →0 2 x →0 x x 2 2x 3 x + sin 4 x 0 d). lim = BTT, maka (khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x) x→ 0 5 x − tan 2 x 0 sin 4 x sin 4 x 3x + sin 4 x 3+ lim 3 + lim 3 x + sin 4 x x x →0 x = lim x = x →0 x = 3+4 = 7 lim = lim x→ 0 5 x − tan 2 x x →0 x → 0 tan 2 x tan 2 x 5 − 2 3 5 x − tan 2 x 5− lim 5 − lim x x → 0 x → 0 x x x 1 − cos 4 x 0 e). lim = BTT, maka x→ 0 x sin x 0
c). lim
1 − cos 4 x 1 − cos 4 x 1 + cos 4 x 1 − cos 2 4 x sin 2 4 x = lim . = lim = lim x→ 0 x →0 x sin x x sin x 1 + cos 4 x x→ 0 (x sin x )(1 + cos 4 x ) x →0 ( x sin x )(1 + cos 4 x ) sin 4 x.sin 4 x 1 4 x.4 x sin 4 x sin 4 x 4 x 1 4x = lim . . = lim . . . . x→ 0 x sin x 1 + cos 4 x 4 x.4 x x →0 4 x 4 x sin x (1 + cos 4 x ) x 1 = 1.1.4. .4 = 8 2 cos x 0 = BTT, maka π f). limπ Diketahui rumus trigonometri: cos x = sin − x π 0 x→ 2 x − 2 2 lim
cos x limπ π x→ 2 x − 2
π π π π sin − x sin − x − − sin x − sin x − 2 2 2 2 = lim = lim = lim = − lim = −1 π π π π π π x→ π2 x − π x→ x→ x→ x− x− x− 2 2 2 2 2 2 2
cos x − cos a 0 = , BTT maka x−a 0 1 1 1 − 2 sin ( x + a )sin ( x − a ) sin ( x − a ) cos x − cos a 1 2 2 2 lim = lim = −2 lim sin ( x + a ). lim x→ a x→ a x →a x→ a x−a x−a 2 x−a 1 = −2 sin a. = − sin a 2
g). lim
x→ a
www.matikzone.wordpress.com
h). lim
x→1
x 3 − (a + 1)x 2 + ax 0 = , BTT maka x 2 − 1 + tan ( x − 1) 0
(
)
(
)
x 3 − (a + 1)x 2 + ax x x 2 − (a + 1)x + a x( x − 1)( x − a ) lim 2 = lim = lim x→1 x − 1 + tan ( x − 1) x →1 (x − 1)( x + 1) + tan ( x − 1) x→1 ( x − 1)(x + 1) + tan ( x − 1) lim x( x − a ) x( x − a ) 1− a 1 x→1 = lim = = = (1 − a ) x→1 tan ( x − 1) tan ( x − 1) 2 + 1 3 (x + 1) + lim ( x + 1) + lim x→1 ( x −1)→0 (x − 1) ( x − 1)
(
)
tan x − tan y = 0 BTT maka i). lim x→ y 0 x x 1 − + 1 − tan x tan y y y tan x − tan y lim x→y x x 1 − + 1 − tan x tan y y
1 tan x − tan y 1 = lim = lim tan (x − y ) x→ y x 1 + tan x tan y x → y y x y 1 − − y y y y −y = lim tan ( x − y ) = lim tan ( x − y ) x→y (y − x) x→ y ( x − y ) tan ( x − y ) = − y lim ( x − y )→0 ( x − y ) = −y
18.
Apakah fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 ? Jawab: Kekontinuan Suatu Fungsi Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f ( x) ada x→ a
c.
lim f ( x) = f (a)
Ciri: Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.
x→ a
Fungsi f ( x ) = 2 x + 1 , kontinu di x = 1 karena lim (2 x + 1) = 3 = f (1) x→1
19.
x2 − 9 Apakah fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 , kontinu di x = 3 ? 3; x =3 Jawab: x2 − 9 Fungsi f (x ) = x − 3 ; x ≠ 3 maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena 3; x =3 x2 − 9 ( x − 3)( x + 3) a. lim = lim = lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 x →3 x − 3 x→ 3 x→ 3 ( x − 3) b. f(3) = 3 maka lim f ( x ) ≠ f (3) x →3
www.matikzone.wordpress.com
20.
Tentukan nilai lim
h →0
f ( x + h) − f ( x ) untuk fung[si f ( x ) = 2 x 3 h
Jawab: 3 f ( x ) = 2 x 3 ⇒ f ( x + h) = 2( x + h ) = 2( x 3 + 3 x 2 h + 3xh2 + h 3 ) = 2 x 3 + 6 x 2 h + 6 xh 2 + 2h 3 lim
h→ 0
21.
(
)
f ( x + h) − f ( x ) 2 x 3 + 6 x 2 h + 6 xh 2 + 2h 3 − 2 x 3 6 x 2 h + 6 xh 2 + 2h 3 = lim = lim h→ 0 h→ 0 h h h 2 2 h 6 x + 6 xh + 2 h = lim = lim 6 x 2 + 6 xh + 2h 2 = 6 x 2 + 0 + 0 = 6 x 2 h→ 0 h→ 0 h
(
Tentukan nilai lim
h →0
)
(
)
f ( x + h) − f ( x ) untuk fungsi f ( x ) = x 2 + 3 x h
Jawab: f (x ) = x 2 + 3 x
[
] [
]
[
] [
]
f ( x + h) − f ( x ) ( x + h )2 + 3( x + h) − x 2 + 3 x x 2 + 2 xh + h 2 + 3x + 3h − x 2 + 3 x lim = lim = lim h→ 0 h→ 0 h →0 h h h 2 2 xh + h + 3h h(2 x + h + 3) = lim = lim = lim (2 x + h + 3) = 2 x + 0 + 3 = 2 x + 3 h →0 h →0 h →0 h h 22. Limit Barisan Bilangan x
x
1 1. lim 1 + = e x →∞ x
1 3. lim 1 − = e −1 x→ ∞ x
2. lim (1 + x ) x = e
4. lim (1 − x ) x = e −1
1
1
x →∞
x →∞
Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 +
1 1 + + ... (bilangan Euler) 2! 3!
Soal-soal: x a. lim x →∞ x + 1
x +1
x + 1 −1 = lim x→ ∞ x+1
x +1
1 x+1 = lim − x→ ∞ x + 1 x +1
x +1
1 = lim 1 − x→ ∞ x + 1
x +1
x+1
1 = lim 1 − x →∞ x + 1
= e −1
Atau x lim x →∞ x + 1
x +1
x + 1− 1 = lim x→ ∞ x +1
x +1
1 x +1 = lim − x →∞ x + 1 x +1
−( x +1) 1 = lim 1 − x →∞ x + 1
b. lim (1 − 3x ) = lim (1 − 3x ) x →∞
1 x
2 c. lim 1 + x→ ∞ 3+ x
−
x →∞
−2 x
1 −3 . 3x 1
−1
− (x +1 ) 1 = lim 1 + x→ ∞ − ( x + 1)
1 = lim (1 − 3x ) − 3x x → ∞
2 = lim 1 + x →∞ 3+ x
3+ x ( −4 )+6 2
−3
x +1
−1
= e −1
1 = lim (1 + (− 3x )) −3 x x →∞
−3
= e−3
−4
3+ x 6 2 2 2 = lim 1 + 1 + x →∞ 3 + x 3+ x
−4
3+ x 6 2 2 2 6 −4 −4 = lim 1 + . lim 1 + = e .(1 + 0 ) = e x→ ∞ 3 + x x →∞ 3 + x
www.matikzone.wordpress.com
Soal-Soal Latihan Limit Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. 2; jk x ≤ 0 1. Jika f (x ) = 2 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) jk ada. x→ 0 x ; jk x > 0 x →0 − x →0 + 3 x + 2; jk x < 1 2. Jika f (x ) = , tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) . x→1 x + 4; jk x ≥ 1 x →1− x →1+ 4 x + 1; jk x ≤ 1 3. Jika f (x ) = 2 , tentukan: a. lim f (x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f (x ) . x→1 2 x + 3; jk x > 1 x →1− x →1+
− 1; jk x < −1 4. Jika f (x ) = 0; jk x = −1 , tentukan: a. lim f ( x ) , b. lim f ( x ) , c. lim f ( x ) . x →−1 x →−1 − x →−1 + 1; jk x > −1 2; jk x < −1 5. Ditentukan f (x ) = 1 − x; jk − 1 ≤ x < 1 0; jk x ≥ 1 Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. lim f ( x )
b. lim f (x )
x →−1
x→1
6. Tentukan nilai dari: a. lim x − 1 x →1+
b. lim x 2 x →−1 +
1 c. lim 2 x x →0 +
7. Tentukan nilai dari: a. lim 4 x x →4 −
b. lim x x →−2 −
3 c. lim 2x x →0 −
8. Diketahui fungsi f (x ) = x . Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. lim f (x ) x→1
b. lim f (x )
c. lim f ( x )
x →3
9. Selidikilah, apakah lim
x →0
x →16
d. lim f (x ) x→ 0
1 ada? (cari limit kiri dan limit kanan). x
10. Tentukan lim f ( x ) dan lim f (x ) dari gambar berikut: x →−2
x→ 4
y
f (x )
3 2 1 -2
4
x
www.matikzone.wordpress.com
6−x x+6
Carilah Nilai Limit Berikut: 28. lim
x →−3
11. lim 1000 x →5
x →3
12. lim 12345 x→1
30. lim x→ 2
13. lim 2 x + 5 x →−2
x→ 0
15. lim ( x − 4 )( x + 1) x →−3
[
16. lim (4 x − 7 ).3 (3 − x ) 17. lim
x→ 4
]
x x+ 2
3x −1 x 18. lim x→ 4 x + 2 x − 3
3x − 5 x + 10 x 3 + 6 x − 45 2
19. lim
x→ 0
6x + 9 x→ 2 7 x − 10
20. lim
21. lim 4 x − 11 x→ 9
x2 − 7
23. lim
x2 − 6 − x3
x→ 4
x→1
24. lim
x→ 2
32. lim
( x − 3)( x − 5)
33. lim
( x − 3)( x − 5)
x 2 + 3x + 6 x3 +1
1 25. lim x→ 2 x − 2
2x − 1
x →5
2x + 2 + 5x
x→ 7
34. lim
x→1
x + 3 + 5x + 4 15 − 6 x − 2 x − 1
35. lim
(
36. lim
( 2x
x →−4
x →3
8 − 2x + − 5x + 5 2
)
+ 3x − 2 − 2x 2 − 4x + 3
)
x+9 x→ a 2 x − 1
37. lim
38. lim
x →m
22. lim
2x − 3 2x + x 6 − 7x
9x 31. lim + 5 x + 14 x →−2 8 + 5 x
14. lim 3 x 2 + 5 x − 10
x →−5
x−3 x
29. lim
7x m
x2 + x 39. lim x→ n n 40. Jika lim (x + 1) = lim (2 x − 3) , maka tentukan x→ n
x →n
(
)
nilai dari: lim x 2 − 16 x→ n
41. Jika lim
x→ 7
x2 − 6x − 7 = a , berapakah nilai x 2 − 10 x + 21
4x2 − 7x − 2 ? x→ a 3 − 4x + 1
x+4 26. lim 2 x→ 4 x − 2 x − 24
dari lim
x+5 27. lim 2 x →−1 x − 2 x − 24
42. Jika lim
2 x 2 + 5x + 2 3 = , maka a = … x →−2 x 2 + ax − 10 7 www.matikzone.wordpress.com
43. Jika lim
x →3
3x 2 + ax − 1 11 = , maka a = … x 2 − ax − 30 13
3x2 − 6x x→ 2 x−2
55. lim
x −1 x −1
56. lim
(x − 2) 2 − 1
x −1 x→1 1 − x
57. lim1
2x −1 2x + 3x − 2
x −1 x −1
58. lim
x 2 + 3x − 4 x2 − 2x + 1
x −1 1− x
59. lim
x2 + 2x x 3 + x 2 + 3x
x2 + 5x − 6 x −1
60. lim
x 4 − 6x 2 x3 + 2x 2
61. lim
x n +3 + 6 x n+1 − x n x n+ 4 + 2 x n
44. lim
x→1
45. lim
46. lim
x→1
47. lim
x→1
48. lim
x→1
49. lim
x →−3
2x + 6 x + x−6 2
3x2 − 5x x→ 0 x
50. lim 51. lim
x−3
x →3
x→
2
x→1
x→ 0
x→ 0
x→ 0
(Ebtanas IPS 99)
2
2 x 3 + 3x 2 − 2 x − 3 x→1 x2 − 1
62. lim
x
x 3 + x 2 − 8x + 4 x3 − 2x2 − x + 2
x→0
x+ x
63. lim
52. lim
x−4 x −2
64. lim
x3 + x2 − 6x x 3 − 2 x 2 + 6 x − 12
65. lim
x3 − 8 x−2
1 1 a. lim 2 + x→ 0 x − x x
66. lim
x3 − 1 1− x
2 1 b. lim 2 − x→ 0 x − 1 x −1
67. lim
x−3 x 3 − 27
1 3 c. lim − x→1 1 − x 1− x3
68. lim
4− x x 3 − 64
69. lim
x −1 x −1
70. lim3
8 x 3 − 27 4x 2 − 9
x→ 4
x→ 2
x→ 2
53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:
2 3 d. lim 2 − 2 x→ 2 x − 4 x + 2 x − 8 2x + 2 54. lim 2 x →−1 x − 3x − 4
x→ 2
x→1
x →3
x→ 4
x→1 3
x→
2
**
www.matikzone.wordpress.com
71. lim
x2 − 2x − 8 x−2
86. lim
72. lim
x −1 4 x −x
87. lim
x→ 4
x→1
x →−3
x→ 0
g (1 + x ) − g (1 − x ) = ..... x
4 − x2 −9 x →5 5− x
88. lim
89. lim
x + 4 − 2x + 1 x−3
x − 3x + 2 2x + 5 − x + 7
90. lim
x + 4 − x −4 x− 5
x − 2 − 10 − x 6x − 5x + 6
91. lim
x −2 2x +1 + 2 − x
x + 2 − 2x −1 2x − 3 − x
92. lim
3 + x + 5x −1 3 + x − 5x −1
3 − x − 3x −1 5x −1 − x + 3
93. lim
x −1 x→1 2 − 3 x + 1
x →3
74. lim
2
75. lim
x→ 2
76. lim
x→ 6
77. lim
x →3
78. lim
x→1
79. lim
x→ 0
80. lim
x →3
81. lim
x →10
x2 + 2x + 3 − x 2 − 2x + 3
x→1
x →5
x→ 2
x→1
x →−2
94. lim
x →−3
x + 3 − 3− x 5x + 1 − 4 x2 − 9
96. lim
4x 1 + 2x − 1 − 2x
97. lim
1− x 1 − x − x −1
x→1
98. lim
x→ 0
x2 + 3 − x − 1 1− x2
x2 + x 1 84. lim − x→ 0 x x x
x2 85. lim − x →−1 x +1
x + 1 1
x 2 − 5x + 6 3− x − x − 3 1+ x − 1− x x
x→ 0
x −1 − 3 x − 10
2x − x + 3 3x + 6 − x
95. lim
x→ 0
x − 2x + 3 82. lim x →3 x2 −9
83. lim
4 − x2 + 7
2x2 − 5x x→ 0 3 − 9 + x
73. Diketahui g ( x ) = 1+ 2 x , maka nilai lim
9 − x2
x2 1 − 3 1 + x2
x−3 x +2 x→1 2 x − 8 x + 6
99. lim
100.
lim
x→p
x x−p p x−
p
www.matikzone.wordpress.com
3
115.
lim
x +5 2x −1
Diketahui f (x ) = 3 x 2 − 2 x , tentukan
116.
lim
4x − 3 2x + 5
1 f ( x ) − . f ( 2)( x + 2) 4 lim x→ 2 x−2
117.
lim
118.
lim
119.
lim
120.
3x − 2 lim x →∞ 5 + x
121.
lim
122.
lim
123.
lim
124.
lim
125.
lim
126.
lim
102.
lim
103.
x→1
x→1
xn − 1 x −1
**
**
3 Diketahui f (x ) = 2 , tentukan x lim
( f (x ) −
f (2) ) x−2
x→ 2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
105. 106. 107. 108. 109.
x 2 − 25 x →∞ 12
lim
lim
104.
x 2 − 2.3 x + 1 ( x − 1)2
114.
101.
2 x →∞ x
lim
lim
x →∞
6 5 x 10
−9 x →∞ 2 x 25
lim lim
x →∞
7 2 x + 5x
x →∞
x →∞
6 − 8x x →∞ x + 5 x →∞
10 + 3x x →∞ 3 − 9 x 3
7 − 5x 2 x →∞ 3x + 12 x 2 5 x 3 − 11x 2 x →∞ 3x + 12 x 3 x →∞
(5x − 1)(2 x + 3) (3 + 12 x )( x − 1)
x 2 + 5x − 3 x →∞ (3 − x )( x − 1)
3
−3 lim 3 x →∞ x − 20
10 + 3x 9x − 5
x →∞
(x − 1)(x − 3) 2 x 2 + 3x − 15
(4 x − 1)3 2x3 − 1
110.
lim 4 x + 99
111.
lim x 2 + 9 x − 15
127.
4(2 x + 3) lim x →∞ 3 x 3 + 5 x
112.
lim
3x x →∞ 100
128.
lim
7x + 4 x →∞ 55
129.
lim
113.
x →∞
x →∞
lim
x →∞
3
x →∞
4 x 4 + 8x 2x 2
4 x 2 + 3x − 1 x →∞ 3x 2 + 5x − 2
www.matikzone.wordpress.com
x + 3x3 x →∞ 3 x 3 − 2
130.
lim
131.
lim
132.
x →∞
146.
(2 x − 5)4
(3 x
2
)
+2
2
6x + x3 − 5x4 x →∞ x3 − 2x 4
lim
133.
x (2 x + 1) lim x →∞ 5 x − 4 x 3
134.
2( x − 1) x →∞ x 3 + 1
x + 4 − 2x + 1 lim x →∞ x − 3
147.
lim
148.
lim
x →∞
x →∞
x 2 − 17 x 6 + 5x 3 − 5 + 3x6 − 2
x−2 4x 2 − 2x − 6 − x 2 + 1
2
149.
lim
150.
lim
3
135.
136.
137. 138.
139.
lim
6x + 2x3 lim x →∞ ( x − 3)( x + 1)
(x lim x →∞
)(
− 2 x2 + 2 x( x − 1)( x + 1) 2
2x 3 + 7 x − 5 lim x →∞ x2 − x lim
2x 2 + x
x →∞
6 x + 3x
lim
2x + x4 2x − 3
x →∞
140.
9x 4 + x lim 2 x →∞ x − x 3
141.
lim
142. 143. 144.
145.
3x 2 + 5x − 7 x →∞ 10 x 3 + 5 x
lim
x 2 − 17
x →∞
x 6 + 5x3 − 5
lim
x + 5x − 1 3x 2 − 9
x →∞
152. 153. 154. 155.
3x + 5 lim x →∞ 2 x 2 + 4 x + 5
2
)
3
3x2 − 5 x →∞ 2 x 3 + x − 1
lim
151.
156. 157. 158.
x →∞
x 2 + 5x −1 3x4 − 9x + 1
( x + 6 − x +3) lim ( x + 3 − x + 2 ) lim ( 2 x − 1 − x + 4 ) lim ( 4 x + 2 − x − 3 ) lim ( x + 5 − x ) lim ( 3 x + 1 − 3 x − 1 ) lim ( x + 1 − 2 x − 3 ) lim (3 x + 6 − 2 1 − x ) lim ( ax + b − px + q ) x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
x →∞
untuk: a = p, a > p dan a < p 159. 160. 161. 162. 163.
( x + x + 1 − 2x + x ) lim ( 4 x + 6 x − 1 − 5 x − x + 9 ) lim ( x + 2 x − 1 − ( x − 2 )(2 x + 9 ) ) lim ( 4 x − 5 − x − 3x ) lim ( 2 x + x − 5 − x − 3 x + 12 ) lim
2
2
x →∞
2
2
x →∞
2
x →∞
2
2
x →∞
2
2
x →∞
www.matikzone.wordpress.com
168.
( (3x + 1)(x − 5) − x + 7x + 1) lim ( (3x − 5 )(x + 4 ) − 3 x − 7 x + 1 ) lim (x − 4 x − 7 x − 1 ) lim ((x + 2 ) − 4 x − 7 x + 8 ) lim (x + 5 − x − x − 9 )
169.
lim ( x + 3) −
164. 165. 166. 167.
170. 171. 172. 173. 174. 175. 176.
x →∞
184.
x + 3 2x + 5 lim − x →∞ 2 x − 1 x−7
185.
− 4x 2 3x lim 2 − x →∞ 2 x + 9 x − 5 x + 5
186.
lim
187.
lim
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
x →∞
(
( x − 3)( x + 3) )
( 3x + 3x − 5 − x + 4) lim ( x + 6 x + 5 − x − 4 ) lim ( x − 1 − 2 x − 3) lim ( 4 x + 3 x − 5 − (2 x − 3)) lim ( 9 x + x − 4 − (3 x + 5)) lim ( 2 x − 3 x + 5) lim ( x − 3x − 2 x + 8 )
3
2
lim
x →∞
x →∞
x 2 + x3 x x2
33 x 2 − x 2 x 6 + x2 x
**
**
x →∞
2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
x →∞
2
x →∞
188.
lim sin x + 5 cos x
189.
lim (sin 2 x. cot x )
190.
sin x 5 cos x limπ + 3 sin x x→ 6 2
191.
lim
192.
lim
193.
lim
194.
lim
sin 3x 5x
195.
lim
x sin 5 x sin 2 3x
2
x →∞
2
x →∞
2
x →∞
2
2
x →∞
lim 3 x − x − 4 − 3 x + 2 x − 5 x →∞
178.
lim
180.
4 3 lim 2 − + 2 x →∞ x x
2
x →∞
177.
179.
183.
2
lim
( 4x + 3x lim ( x − 4 − 4
x →∞
3
x →∞
2
x3 + 8
)
1 + 4x 2 − 1 + 9x2 lim x →∞ x
181.
1+ x2 − 4 + x2 lim x →∞ x
182.
lim x x 2 + 2 − x x →∞
((
)
− 1 − 4 x 4 + 5x 2 + 1
))
π x→ 2
x→ 0
cos x x→ 0 2 x x→ 0
x+5 cos x
tan 2 x x→ 0 sin 5 x x→ 0
x→ 0
1 x 2 lim x→ 0 sin 3x sin 2 x tan 2
196.
www.matikzone.wordpress.com
197. 198. 199. 200.
2x 2 x→ 0 sin 2 x
213.
sin 2 3x x→ 0 (3 x )2
214.
lim lim lim
x→ 0
sin
x x cos 2 2
2x lim x→ 0 cos x
sin 2 2 x x→ 0 x2
202.
lim
203.
cos x − cos 3 x lim x→ 0 x2
204. 205.
lim
x→ 0
x→
sin 3 x + sin 4 x x
1 − cos 2 x x→ 0 x
4
lim
π x→ 4
cos 2 x π − 4x cos 2 x 1 − sin x
216.
(x lim (x (x lim
217.
lim
218.
lim (sec x − tan x )
219.
lim
220.
lim
215.
x
lim x→ 0
201.
tan 2 x x sec 2 x
limπ
lim
x→1
x→1
) − 1) sin ( x − 1) − 1)sin 2( x − 1) 1
3
2
2
− 1 2 tan (x − 1) 1 2
− 2 sin 2 ( x − 1)
1 − cos x x→ 0 x sin x
π x→ 2
sin x − tan x x→ 0 x3
(3 x + 3 y ) + tan (x + y ) 9x + 9 y
x →− y
221.
lim (x cot 2 x )
206.
1 + cos x lim x →π sin 2 x
222.
lim
207.
lim
1 − cos 2 x x→ 0 2x2
223.
limπ
208.
sin 2 x 2 lim 2 x→ 0 x + sin 2 3 x
209. 210. 211. 212.
lim
x→ a
cos x − cos a x−a
cos x − cos 3 x x→ 0 1 − cos x
224.
x→ 0
cos 5x − cos 9 x 1 − cos x
4
limπ x→
4
lim
226.
lim
227.
tan x − 1 cos 2 x cos 2 x x( tan x − 1)
sin 2 x x→ 0 3 − 2x + 9
225.
lim
lim
x −1 x→1 tan π x
x→
( )
sin 4 x tan 2 3x + 6 x 3 lim x→ 0 2 x 2 sin 3x cos 2 x
x→ 0
sin 4 x x→ 0 1 − 1 − x
1 1 sin 1 − cos1 − x x lim x→1 x −1
www.matikzone.wordpress.com
sin ( x − 2 ) x−2
243.
lim
sin ( x − π ) x →π x−π
244.
lim
245.
sin 5 x − sin 2 x lim x→ 0 sin 8 x − sin 3 x
246.
tan 2 x − tan x lim x→ 0 sin 2 x − sin x
247.
1 − tan x limπ π x→ − x 4 4
248.
1 − cos 4 x limπ x → x sin x 2
249.
sin(cos x ) limπ cos x x→ 2
250.
lim
228.
lim
229.
lim
230.
lim
231.
lim
232.
lim
x→ 2
(3 x + 1) sin ( x − 1) x + 2x − 3
x→1
2
sin
(
x →3
x +1 − 2 x−3
1 − sin x π π x→ −x 2 2
sin x − sin 233.
limπ x→
234.
2
237.
lim
238.
lim
241.
2 tan x sec x
tan 2 x. tan 3x x→ 0 5x 2
lim
240.
π 4
lim
236.
239.
π x− 4
4
limπ x→
235.
)
x→ 0
1 + cos x 1 + sin x
x 2 + 3x sin x
x→ 0
1 − cos 2
1 x 2
sin 3x − sin 3 x. cos 2 x x→ 0 4x 3 2
252.
lim1
2
2
254.
lim1
x→
x→ 0
x3 + 3x2 + 2x
)
2
1 + cos 2 x cos x π
3( x − a ) x→ a sin ( x − a ) + 2 x − 2 a
255.
lim
256.
x 3 − ( a + 1) x 2 + ax lim 2 x→1 x − 1 + tan( x − 1)
2
242.
(
lim
)
sin x − cos x 1 − sin 2 x
sin x 2 − 1 x→1 x −1
253.
− 5 x + 6 sin ( x − 2)
(x − x − 2) (x − 1)sin 6 x lim x→ 2
cos x − sin x 1 x− π 4
251.
x→ π 2
lim
(x lim
1
π 4π sin 3 x + + sin x − 3 3 limπ 2π x →− 2x + 3 3
2x 2
lim
sin 2 x x→ 0 3 − 2x + 9
x→ π 4
1 − cos 2 x x→ 0 1 − cos x x→ 0
sin 8 x + sin 2 x 4 x cos 3 x
x→ 0
(
)
www.matikzone.wordpress.com
1 + cos x x →π x −π
x2 − 4
257.
lim
269.
f (x ) =
258.
lim
sin 2 x(1 + cos x ) x→ 0 tan x (1 + 3 sec x )
270.
f (x ) =
259.
3 sin 2 x − 2 sin 3 x x→ 0 x(1 − cos 3x )
x2 + 2x + 3 x3 − 1
lim
271.
f (x ) =
2x 2 − 5x − 3 x2 + x − 2
260.
lim
x3 x→ 0 sin 2 x − tan 2 x
272.
f (x ) =
261.
tan x − sin x x→ 0 x3
x2 + 1 x 2 + 3 x − 10
lim
273.
f (x ) =
262.
1 − cos (x + 3) x →−3 x 2 + 6 x + 9
2x +1 x − x+1
274.
263.
1 − 1 − sin 2 ( x − a ) x→ a ( x − a ) tan 5( x − a )
1; unt x < 0 f (x ) = 1 − x; unt x ≥ 0
lim
275.
264.
x −3 lim x →3 x − sin ( x − 3) − 3
2 x; unt x < 0 f (x ) = − x; unt x ≥ 0
276.
x; unt x < 0 f (x ) = 1; unt x = 0 x 2 ; unt x > 0
277.
x2 − 1 f (x ) = x −1
278.
x2 − 1 ; unt x ≠ 1 f (x ) = x − 1 2; unt x = 1
265.
266.
lim
lim
x→ 0
sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin 18 x 3 sin x − sin 3x
tan x − tan y lim x→y x − 1 + x − 1 tan x tan y y y
**
x 2 − 3x + 2
2
Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak
Selidikilah, apakah fungsi-fungsi berikut
kontinu:
kontinu pada titik yang diberikan:
267.
f (x ) =
268.
f (x ) =
x 2 −1 x2 + x x 2x − 3
279.
f ( x ) = 5 , pada x = 1
280.
f (x ) = 5 x − 10 , pada x = – 3
281.
f (x ) =
8 , pada x = 3 x−3
www.matikzone.wordpress.com
282.
f (x ) =
1 , pd x = 3 dan x = –2 x − x−6
283.
f (x ) =
3x − 12 , pada x = 4 x − 7 x + 12
fungsi-fungsi berikut:
284.
f (x ) =
3x 2 + 3x − 6 , pada x = – 2 2 x 2 − 2 x − 12
295.
f (x) = 9
296.
f (x) = 5x
297.
f (x ) = 8 x − 10
298.
f (x ) = x 2
299.
f (x ) = 3x 2
300.
f (x ) = −2 x 2 + 1
301.
f (x ) = 2 x 2 + 3 x
302.
f (x ) = x 3
303.
f (x ) = 2x 3
304.
f (x ) = x
305.
f (x ) = 2 x f (x ) = 2 x + 1
2
286.
h →0
f ( x + h) − f ( x ) dari h
2
Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:
285.
Hitunglah nilai dari lim
x lim x →∞ x + 1
x +1
2 lim 1 + x →∞ 3+ x
−2 x
x+6
287.
x +5 lim x →∞ x + 3
288.
2x + 2 lim x →∞ 2 x + 6 x
289.
a lim 1 + x →∞ x
306.
ax
290.
1 lim 1 + x →∞ x
Kerjakan dengan benar soal-soal berikut:
2 x +3
291.
3x + 1 lim x →∞ 3x + 5
2 x+ 3
292.
2 − 5x lim x →∞ 1 − 5 x 6x + 5 lim x →∞ 6 x − 1
7x + 2
293.
307.
Jika lim
x →∞
( ax
2
)
+ ax − (2 x − 1) =
9 , 4
carilah nilai a yang memenuhi. 308.
x + 3x + 2 lim 2 x →∞ x + 5x + 1 2
294.
2x
Diketahui lim f ( x ) = 6 . Nilai x→ 2
lim
x→ 2
x
2 +1 x +1
309.
f ( x )( x + 5 ) + f 2 ( x ) − 3 adalah ... x +1
Diketahui lim f ( x ) = 16 dan x →10
lim g (x ) = −2 . Maka nilai x →10
lim
x →10
(
)
f (x ) + 3g ( x ) adalah ... 4
www.matikzone.wordpress.com
310.
Buktikan bahwa lim x sin x →∞
Catatan:
2 =2 x
.............................................................................................
311.
a a2 Buktikan bahwa lim n 2 1 − cos = n →∞ n 2
312.
p−5 Diketahui lim = −2 . Maka nilai p x →−1 x + 4
313.
............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................
Hitunglah a dan b jika diketahui
.............................................................................................
ax − b = −2 . x →3 x 2 − 9
............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................
Jika
lim
x →∞
( ax
2
)
+ bx − 1 − 4 x − 7 x + 2 = 4 , 2
maka tentukan nilai a + b. 315.
.............................................................................................
adalah...
lim
314.
.............................................................................................
Hitunglah nilai a + b, jika lim
x→ 4
ax − 3 − bx + 5 1 = . x−4 3
............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................
Sumber: a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen Kanginan. c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk. d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team. e. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. f. Matematika IPA kelas XI, Intan Pariwara, Kartini dkk. g. Matematika 2 SMU, Balai Pustaka, Andi Hakim N. h. PR matematika XI IPA, Intan Pariwara, Anna YA dkk. i. Lainnya.
............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. .............................................................................................
www.matikzone.wordpress.com
