PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 15

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis Polar 2. Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singgung Dan Garis Polar Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana menentukan persamaan garis singgung hiperbola bergradien , persamaan garis singgung melalui titik , pada hiperbola, dan persamaan garis singgung melalui titik

, di luar hiperbola. Untuk menentukan persamaan garis singgung

hiperbola pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini. A.

Menentukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola Hiperbola yang berpuncak di , dan , dengan gradien ..

Menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di 0,0

dan , dengan gradien sama seperti menentukan persamaan garis

singgung pada elips dengan gradien tertentu. Untuk menentukan persamaan

garis singgung hiperbola dengan gradien tertentu, lakukanlah kegiatan 15.1 dan perhatikan Gambar 15.1 di bawah ini serta diskusikan dengan teman Anda.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Gambar Gambar 15.1 Hiperbola yang berpusat di , dan garis singgung Kegiatan 15.1. 15.1. Gradien garis singgung diketahui dan hiperbola yang berpusat di

0,0.

Langkah-langkahnya: 1.

2.

3.

potonglah antara persamaan hiperbola sebagai berikut.

1 dan persamaan garis

1! dipotongkan

Subsitusikan garis ke persamaan hiperbola

diperoleh: 1 2 2 2

0 0

1 sehingga

….(1)

Persamaan (1) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel .

Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai:

• Diskriminan - positif atau - . 0, diperoleh diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis memotong hiperbola

1 pada dua titik.

• - / 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis tidak memotong hiperbola

berada di luar hiperbola.

1 atau garis


2

3


• - 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis 4.

menyinggung hiperbola

1 pada suatu titik.

Agar garis menyinggung hiperbola

- 0, yaitu:

1, maka ambil

2 0 2 4 0 41 4 4 1 41 41 0 4 4 1 41 0 0 ±3

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola

atau sejajar dengan garis adalah:

4 5 ± 367 7 87

1 dengan gradien 46

Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung hiperbola

9:

9;

1 dengan

gradien . Geser titik pusat hiperbola 0, 0 ke titik , . Akibatnya

persamaan garis singgung

menjadi ±

√

± √

.

Sehingga persamaan garis singgung hiperbola

9:

gradien atau yang sejajar dengan garis adalah: 4 5 ± 367 7 87

9;

bergeser

1 dengan 47

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa

persamaan garis singgung pada hiperbola

Dan persamaan garis singgung hiperbola

9;

1dengan gradien adalah

4 5 ± 387 7 67

adalah

9:

4 5 ± 387 7 67

48 1 dengan gradien 49

Masalah 15.1

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 9 16 144 dengan

gredien 4!



Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola 9 16 144 menjadi, Dengan 16 → ±4,

1 16 9 9 → ±3 dan

A A 16 9 25 → A ±5 Persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat 0, 0 dengan gradien 4 adalah,

± 3

4 ± 3164 9 4 ± √256 9

4 ± √247 Jadi, persamaan garis singgung hiperbola adalah 4 √247 dan 4 √247 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik 5D , 4D Pada

Hiperbola yang berpusat berpusat di , dan , .. Untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di 0,0 dan , yang melalui titik , , lakukanlah kegiatan 15.2 dan perhatikan Gambar 15.2 di bawah ini dan diskusikan dengan teman Anda.

Gambar 15.2. 15.2. Hiperbola melalui titik singgung [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

4


Kegiatan 15.2. 15.2. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada hiperbola yang berpusat di 0,0. 1.

Misalkan persamaan hiperbola

yang terletak pada hiperbola. 2.

3.

1 dan titik E , dan F ,

Sehingga persamaan garis EF adalah 47 4D 5 5D 4 4D 57 5D 4 4D 5 5D … … D Karena titik E , dan F , berada pada hiperbola maka berlaku persamaan berikut:

1 HI 2 1 HI 3 Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi persamaan (3) dan (2) menghasilkan,

0 0

4.

5.

87 57 5D … . K 67 47 4D

Subsitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: y y m x x 87 57 5D P PD … . Q O OD 7 6 47 4D Apabila titik F , bergerak mendekati titik E , , sehingga titik

F , dan E , berimpit, dan garis R akan menjadi garis singgung hiperbola di titik E , , akibatnya dan .

Sehingga persamaan (5) menjadi: y y x x 2 y y x x kalikan semuanya dengan 2


5

6


Berdasarkan persamaan (2) diperoleh,

1 Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik E , pada hiperbola

1 adalah:

Apabila hiperbola

5D 5 4D 4 7 D 67 8

50

1 pusatnya kita translasikan sejauh WX kita

dapatkan persamaan hiperbola

9:

9;

1. Demikian pula persamaan

garis singgung di suatu titik , pada hiperbola

9:

5D 5 4 84D 8 D 67 87

9;

1 adalah

51

Dengan cara yang sama seperti yang di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garis singgung hiperbola 1 melalui titik E , adalah 4D 4 5D 5 7 D 52 67 8

Dan persamaan garis singgung elips adalah

9;

9:

1 melalui titik E ,

4 84D 8 5D 5 D 67 87

53

Masalah 13.2

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 2 3 8 6 7

0 di titik 4, 3!

Penyelesaian. Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda.



Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita ubah persamaan hiperbola 2 3 8 6 7 0 ke bentuk baku persamaan hiperbola adalah

5 7 4 7 D 67 87 2 3 8 6 7 0 2 8 3 6 7 0 2 4 3 2 7 2 2 8 3 1 3 7 2 2 3 1 12 2 1 1 6 4 Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik 4, 3 adalah 1 6 2 2 1 1 6 4 1 2 1 2 2 4 1 2 2 3 0 Jadi, persamaan gari singgung hiperbola yang melalui titik 4, 3 adalah

2 3 0 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang saudara peroleh. C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik Z5D , 4D di Luar Hiperbola Agar dapat menentukan persamaan garis singgung di titik E , di luar

hiperbola, maka diskusikan kegiatan 15.3 dengan memperhatikan Gambar 15.3 di bawah ini.

Kegiatan 15.3 Menentukan Titik Z5D , 4D dan Garis Polar Jika titik , terletak di luar hiperbola yang berpusat di 0, 0 seperti yang terlihat pada Gambar 15.3 di bawah ini:


7

8


Gambar 15.3 Titik di Luar Hiperbola Persamaan garis singgung yang melalui titik E , tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Langkah-langkahnya: 1. 2.

Titik E , berada di luar hiperbola

1.

Dari titik E dapat dibuat 2 buah garis singgung hiperbola yaitu [ dan R.

Garis [ menyinggung hiperbola di F , ; garis R menyinggung hiperbola di \] , ] . Jadi, titik E merupakan titik potong garis singgung [

3.

dan R.

Tentukan persamaan garis singgung EF dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu

EF, sehingga diperoleh ^

4.

^

1….(1)

^

^

^

persamaan

1. Itu berarti F , pada garis

^

^ _

^ _

1….(2)

1. Itu berarti \] , ] pada

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis F\ (garis penghubung antara titik F dan \) yaitu

^

^

garis polar dari titik E , terhadap hiperbola 5D 5 4D 4 7 D 67 8

Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1.

1. Titik E , pada

Tentukan persamaan garis singgung E\ dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh

5.

^

^

Persamaan

garis

1 adalah

polar

dari

titik

1 yang juga di sebut

^

E ,

^

1 adalah

terhadap

54

hiperbola


9


2.

Persamaan 9:

3.

Persamaan

4.

9;

garis

polar

5D 5 4D 4 7 D 67 8 dari titik E ,

terhadap

hiperbola

5D 5 4D 4 D D 67 87 garis polar dari titik E , terhadap

55

1 adalah

1 adalah

4D 4 5D 5 7 D 67 8

hiperbola

Persamaan garis polar dari titik E , terhadap hiperbola

9:

1 adalah

4D 9 49 67

5D 959 87

56

9;

D

57 Menentukan persamaan garis singgung dari titik , di luar hiperbola baik

yang berpusat di 0, 0 maupun yang berpusat di , . diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1.

Membuat garis polar dari titik E terhadap hiperbola.

2.

Mencari koordinat titik potong garis polar dengan hiperbola.

3.

Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan hiperbola tersebut.

Masalah 15.3 Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik E1, 2 di luar hiperbola

Penyelesaian

1 12 3

Perhatikan hasil temuan di bawah ini. Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu, 1 2 1 12 3 3 24 36 8 12 12 8 . . 1 Subsitusikan persamaan (1) ke

persamaan

hiperbola



1 12 3

sehingga diperoleh,

12 8 1 12 3 12 8 4 12 144 192 64 4 12 0 60 192 132 0 5 16 11 0 5 11 1 0 11 atau 1 5 Substitusikan nilai atau 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh

nilai W

`

`

`

atau 4. Sehingga titik singgung hiperbola adalah

, X dan 4, 1.

a `

a

Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan

persamaan garis singgung hiperbola 1 dengan titik W ] 1 28 11 5 5 1 12 3 28 44 12 5 5 28 44 60 7 11 15 7 11 15 0

, X adalah:

a `

`

Dan persamaan garis singgung hiperbola 1 dengan titik 4, 1 adalah: ] 1 4 1 12 3 1 3 3 3 Coba saudara perhatikan dan pahami serta bandingkan dengan temuan yang

saudara peroleh.


10


Rangkuman 1.

Persamaan garis singgung pada hiperbola adalah:

2.

3.

Persamaan garis singgung pada hiperbola

gradien adalah:

Persamaan garis singgung pada hiperbola

9;

9:

9;

1 dengan

1 dengan gradien 1 dengan gradien

1 adalah:

5D 5 4D 4 7 D 67 8 Persamaan garis singgung yang melalui titik E , pada hiperbola 9:

9;

1 adalah:

5D 5 4 4D D 67 87 Persamaan garis singgung yang melalui titik E , pada hiperbola

8.

4 5 ± 387 7 67 Persamaan garis singgung yang melalui titik E , pada hiperbola

7.

1 dengan gradien

9:

4 5 ± 387 7 67

Persamaan garis singgung pada elips

6.

4 5 ± 367 7 87

adalah:

5.

4 5 ± 367 7 87

adalah: 4.

1 adalah:

4D 4 5D 5 7 D 67 8 Persamaan garis singgung yang melalui titik E , pada hiperbola 9;

9:

1 adalah:

4D 4 5D 5 D 67 87


11

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Recommend Documents