RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN POKOK BAHASAN
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Oleh:
ZAINUL GUFRON SYAHRONI NIM. 070210191048
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2010
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah
: SMP N 2 JEMBER
Mata Pelajaran
: MATEMATIKA
Pokok bahasan
:GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Kelas/Semester
: VIII / GENAP
Alokasi Waktu
: 4 40 menit (2 pertemuan)
A. Standar Kompetensi
: Mengidentifikasi unsur, bagian lingkaran serta
ukurannya. B. Kompetensi Dasar
: Menghitung panjang garis singgung lingkaran.
C. Indikator a. Kognitif Produk: 1) Menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran. 2) Mampu melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran. 3) Menemukan panjang garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran. 4) Mampu melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. 5) Menemukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. 6) Mampu melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. 7) Menemukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. Proses: 1) Melakukan kegiatan matematis (secara geometri) untuk melukis garis singgung lingkaran. 2) Melakukan kegiatan matematis untuk menemukan panjang garis singgung lingkaran.
1
b. Afektif (Keterampilan Sosial) 1) Mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung jawab, kerjasama, jujur, kesabaran, terbuka dan mendengarkan pendapat teman. 2) Mengembangkan
keterampilan
sosial,
meliputi:
bertanya,
menyumbangkan ide atau berpendapat, menjadi pendengar yang baik, berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan sistematis. c. Psikomotor 1) Melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran. D. Tujuan Pembelajaran a. Kognitif Produk: 1) Diberikan gambar garis-garis yang memotong lingkaran, siswa dapat menemukan sifat-sifat garis singgung lingkaran. 2) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran, siswa dapat melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran. 3) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran. 4) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran, siswa dapat melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran 5) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. 6) Diberikan langkah-langkah untuk melukis garis singgung lingkaran, siswa dapat melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 7) Diberikan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
2
Proses: 1) Disediakan penggaris dan jangka, siswa dapat melukis garis singgung lingkaran. 2) Dari gambar hasil melukis garis singgung lingkaran, dengan menerapkan dalil phytagoras, siswa dapat menemukan panjang garis singgung lingkaran. b. Afektif 1) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa, sambil mengembangkan perilaku berkarakter, meliputi: teliti, tekun, tanggung jawab, jujur, kerjasama, sabar, terbuka dan mendengarkan pendapat teman. 2) Terlibat dalam proses pembelajaran yang berpusat pada siswa sambil mengembangkan
keterampilan
sosial,
meliputi:
bertanya,
menyumbangkan ide atau pendapat, menjadi pendengar yang baik, berlatih berkomunikasi verbal dan tulisan, berpikir kreatif dan sistematis. c. Psikomotor Disediakan penggaris, jangka dan kertas millimeterblok, siswa dapat melakukan aktivitas melukis garis singgung lingkaran pada kertas millimeterblok. E. Materi Pembelajaran
: Garis Singgung Lingkaran (lampiran).
F. Metode / Model Pendekatan Pembelajaran Metode : Ceramah, Diskusi Kelompok, Tanya jawab, Penugasan.
3
G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (2 jam pelajaran) Langkah pembelajaran
Peran/Bimbingan Guru
kegiatan pendahuluan Membuka KBM. Membangkitkan
Mengucap salam kepada siswa. motivasi
siswa kegiatan inti Memberi
gambaran
awal Memberikan contoh dalam kehidupan
tentang garis singgung lingk.
sehari-hari.
Memberikan gambaran secara Menemukan geometri,
tentang
garis
sifat
garis
singgung
sifat
garis
singgung
lingkaran.
singgung lingkaran. Menjelaskan
definisi
garis Menemukan lingkaran.
singgung lingkaran.
Melukis garis singgung lingk. Memberikan langkah-langkah melukis melalui satu titik di luar lingk. Menemukan
panjang
garis singgung lingkaran.
garis Dgn menggunakan dalil phytagoras,
singgung lingk. melalui satu
membimbing
titik di luar lingkaran.
panjang garis singgung lingkaran.
Latihan soal(LKS)
siswa
menemukan
Memberikan LKS kepada siswa.
kegiatan penutup Membuat
kesimpulan
materi yang sdh diajarkan. Menutup KBM.
dari Bersama siswa membuat kesimpulan dari materi yang telah diajarkan. Mengucapkan salam.
4
Pertemuan II (2 jam pelajaran) Langkah pembelajaran
Peran/Bimbingan Guru
kegiatan pendahuluan Membuka KBM. Membangkitkan
Mengucap salam kepada siswa. motivasi
siswa kegiatan inti Mengulang kembali ringkasan Memberikan penjelasan ulang tentang materi sebelumnya. Melukis
garis
garis singgung lingkaran. singgung Memberikan langkah-langkah melukis
persekutuan luar dua lingk. Menemukan
panjang
garis singgung lingk .
garis Dgn menggunakan dalil phytagoras,
singgung persekutuan luar dua
membimbing
lingkaran.
panjang garis singgung lingkaran.
Melukis
garis
menemukan
singgung Memberikan langkah-langkah melukis
persekutuan dalam dua lingk. Menemukan
siswa
panjang
garis singgung lingk .
garis Dgn menggunakan dalil phytagoras,
singgung persekutuan dalam
membimbing
dua lingkaran.
panjang garis singgung lingkaran.
Latihan soal(LKS)
siswa
menemukan
Memberikan LKS kepada siswa.
kegiatan penutup Membuat
dari Bersama siswa membuat kesimpulan
kesimpulan
materi yang sdh diajarkan. Menutup KBM.
Mengucapkan salam.
H. Alat & Sumber Belajar Alat
dari materi yang telah diajarkan.
:
: penggaris, jangka.
Modul Matematika Semester genap kelas VII. I. Penilaian
: Teknik Penilaian : Tes Tulis Instrumen Penilaian : LKS
5
LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan I NAMA KELAS No.ABSEN
:…………….. :……………. :…………….
1) Gambar di samping adalah lingkaran yang berpusat di P dengan jari-jari PR . Jika TQ = 8 ,tunjukkan QR garis singgung lingkaran. Jawab: Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR adalah garis singgung lingkaran. (PQ)2 = (PR)2 + (RQ)2 (PT + TQ)2 = (PR)2 + (RQ)2 (....+ 8)2 = (...)2 + (...)2 (...)2 = (...)2 + (...)2 (...) = (...) + (...) (...) = (...) 2) Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah: a. panjang AP; b. luas ∆OAP; c. luas layang-layang OAPB
6
jawab:
a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP2 – OA2 AP =
…
2
− (… )2 = … cm 1
1
b. luas ∆OAP = 2 × OA × AP = 2 × … × … = ⋯ cm2 c. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × … . cm2 = … . cm2
3) Sebuah lingkaran yang berpusat di O
memiliki jari-jari r. Jarak titik pusat ke titik B yang terletak di luar lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik B adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r! jawab: OB2 = OA2 + AB2 (r + …)2 = r2 + (…)2 r2 + …r + … = r2 + … r2 – r2 + …r = 144 - 64 …r = 144 – 64
r=
144−64 ….
7
jawaban lks 1) Untuk menunjukan QR garis singgung lingkaran, akan ditunjukan apakah berlaku teorema Pythagoras? Jika teorema Pythagoras berlaku, maka QR adalah garis singgung lingkaran. (PQ)2 = (PR)2 + (RQ)2 (PT + TQ)2 = (PR)2 + (RQ)2 (5 + 8)2 = (5)2 + (12)2 (13)2 = (5)2 + (12)2 (169) = (25) + (144) (169) = (169)
Jadi terbukti bahwa QR adalah garis singgung lingkaran.
2) a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga: AP2 = OP2 – OA2 AP =
2
OP
− (OA)2 = 1
15
2
− (9)2 = 225 − 81 = 144 = 12 cm
1
1
d. luas ∆OAP = 2 × OA × AP = 2 × 9 × 12 = 2 × 108 = 54 cm2 e. luas layang-layang OAPB = 2 × ∆OAP = 2 × 54 cm2 = 108 cm2
3) OB2 = OA2 + AB2 (r+8)2 = r2 + (12)2 r2 + 16r + 64 = r2 + 144 r2 - r2 + 16r = 144 - 64 16r = 144 – 64 r=
144 −64 16
=
80 16
= 5 , Jadi panjang jari-jari lingkaran= 5 cm.
8
LEMBAR KERJA SISWA Pertemuan II NAMA KELAS No.ABSEN
:…………….. :……………. :…………….
1) Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB! Jawab: jarak kedua titik pusat lingkaran: k = ... cm, panjang jari-jari lingkaran pertama: R = ... cm, panjang jari-jari lingkaran kedua: r = ... cm, panjang garis singgung persekutuan luar = l. 𝑙 =
𝑘2 − 𝑅 − 𝑟
2
𝑙 =
(… )2 − … − …
2
𝑙 = …− … 𝑙 = … 𝑙 = … 𝑐𝑚 2) Pada gambar di samping, lingkaran O berjari-jari 7 cm dan lingkaran P berjarijari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar AB! Jawab: AO = R = ... cm BP = r = ... cm Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah OP = R + r = ... + ... = ... cm maka 𝐴𝐵 =
(… )2 − … − …
2
𝐴𝐵 =
(… )2 − … − …
2
9
𝐴𝐵 =
(… )2 − …
2
𝐴𝐵 = … − … = … . 𝐴𝐵 = … 𝑐𝑚 3) Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Jawab: Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = ... cm. Jarak kedua titik pusatnya: k = ... cm. Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = ... cm. 𝑑 = 15 =
𝑘2 − 𝑅 + 𝑟 2
…
2
=
2
− (… + 𝑟)2
− (… + 𝑟)2
152 = …
2
− (… + 𝑟)2
225 = …
2
− (… + 𝑟)2
(… + 𝑟)2 = … (… + 𝑟) =
…
…
2
− 225
2
− 225
…+𝑟 = … 𝑟 = …− … 𝑟 = … 𝑐𝑚
10
jawaban lks 1) Jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm, panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm, panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm, panjang garis singgung persekutuan luar = l. 𝑙 = 𝑘2 − 𝑅 − 𝑟 2 𝑙 = (17)2 − 25 − 17 2 𝑙 = 289 − 64 𝑙 = 225 𝑙 = 15 𝑐𝑚 2) AO = R = 7 cm BP = r = 5 cm Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah OP = R + r = 7 + 5 = 12 cm maka 𝐴𝐵 = (𝑂𝑃)2 − 𝑅 − 𝑟 2 𝐴𝐵 = (12)2 − 7 − 5 2 𝐴𝐵 = (12)2 − 2 2 𝐴𝐵 = 144 − 4 = 140 𝐴𝐵 = 2 35 𝑐𝑚 3) Panjang garis singgung persekutuan dalam: d = 15 cm. Jarak kedua titik pusatnya: k = 17 cm. Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran: R = 3 cm. 𝑑 = 𝑘 2 − 𝑅 + 𝑟 2 = 17 2 − (3 + 𝑟)2 15 = 17 2 − (3 + 𝑟)2 152 = 17 2 − (3 + 𝑟)2 225 = 289 − (3 + 𝑟)2 (3 + 𝑟)2 = 289 − 225 (3 + 𝑟) = 289 − 225 3+𝑟 = 8 𝑟 = 8− 3 𝑟= 5 Mengetahui:
Guru Mata Pelajaran,
Kepala Sekolah..................., .............................................. NIP.
.................................................. NIP.
11
Lampiran: GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1.2 Definisi Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus jari-jari di titik singgungnya. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Pada gambar dibawah,
memperlihatkan bahwa garis g
menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran.
2.2 Garis Singgung Lingkaran 2.1 Melukis Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung melalui titik di luar lingkaran: 1) Langkah 1 Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran.
2) Langkah 2 Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM
12
=
MT.
3) Langkah 3 Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.
4) Langkah 4 Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T.
Menghitung Panjang Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar Lingkaran Perhatikan gambar berikut:
Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. ΔOAB merupakan segitiga siku-siku dengan A=90, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
13
Pada ΔOCB dengan C=90, juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
Ternyata, AB = BC ,uraian tersebut menggambarkan definisi berikut. Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama. 2.2 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: 1) Langkah 1 Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya.
2) Langkah 2 Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N.
3) Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T. 14
4) Langkah 4 Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.
5) Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R – r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.
6) Langkah 6 Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.
15
7) Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F.
8) Langkah 8 Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.
Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dua lingkaran Perhatikan gambar dibawah ini:
16
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB. k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l. Panjang SP = AP – BQ = R – r. AB sejajar SQ sehingga – BAP = – QSP = 90˚ (sehadap). Sekarang, perhatikan ∆SPQ. Oleh karena – QSP = 90˚ maka kita bisa meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. ∆SPQ siku-siku di S sehingga:
Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah: 𝑙=
𝑘 2 − (𝑅 − 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟
dengan: l = panjang garis singgung persekutuan luar. k = jarak kedua titik pusat lingkaran. R = jari-jari lingkaran pertama. r = jari-jari lingkaran kedua.
2.3 Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yaitu: Langkah 1 sampai dengan langkah 4, sama seperti langkah melukis garis singgung persekutu luar dua lingkaran.
17
5) Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari (R + r), sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.
6) Langkah 6 Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D.
7) Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E. Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F.
18
8) Langkah 8 Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q.
Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam dua lingkaran Perhatikan gambar dibawah ini!
Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q. R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ = panjang AB = d. Oleh karena SQ sejajar AB maka PSQ = PAB = 90˚. Sekarang perhatikan ΔPSQ! Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan PSQ = 90˚ maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ.
19
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 𝑑=
𝑘 2 − (𝑅 + 𝑟)2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑅 > 𝑟
dengan: d = panjang garis singgung persekutuan dalam. k = jarak kedua titik pusat lingkaran. R = jari-jari lingkaran pertama. r = jari-jari lingkaran kedua.
20
