K-13
matematika IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (h, k). 3. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar hiperbola. 4. Dapat menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m.
Garis singgung hiperbola merupakan suatu garis yang menyinggung hiperbola. Ada tiga jenis persamaan garis singgung hiperbola, yaitu persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar hiperbola, dan persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m.
A. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Hiperbola yang Berpusat di (0, 0) Untuk menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0), perhatikan gambar berikut!
K e l a s
XI
y
R
(x1, y1)
x
o
S
(x1 + P, y1 + q)
Diketahui bahwa persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah: x2 y2 − =1 a2 b 2 Jika R(x1, y1) merupakan sembarang titik yang terletak pada hiperbola, maka berlaku: x12 y12 − =1 a2 b 2 Jika S(x1 + p, y1 + q) juga merupakan sembarang titik yang terletak pada hiperbola, maka berlaku:
( x1 + p ) ⇔
( y1 + q )
2
2
−
a2 b2 ( x12 + 2 x1p + p2 )
=1 −
(y
2 1
+ 2 y1q + q2 )
=1 b2 x 2 y 2 2 x p + p2 2 y1q + q2 − ⇔ 12 − 12 + 1 2 =1 a b a b2 2 x p + p2 2 y1q + q2 ⇔ 1+ 1 2 − =1 a b2 2 x p + p2 2 y1q + q2 ⇔ 1 2 = a b2 p ( 2 x1 + p ) q ( 2 y1 + q ) ⇔ = a2 b2 q b2 2 x + p ⇔ = 2 1 p a 2 y1 + q a2
Gradien garis yang melalui titik R dan S atau garis RS dapat ditentukan sebagai berikut.
2
m=
y1 + q − y1 x1 + p − x1
⇔m=
q p
⇔ m=
b2 2 x1 + p a2 2 y1 + q
Gradien garis singgung dapat diperoleh jika p mendekati 0 (p → 0) dan q mendekati nol (q → 0). b2 2 x1 + p p → 0 a2 2 y1 + q q →0
mgaris singgung = lim =
b2 x1 a2 y1
Dengan demikian, persamaan garis singgung di (x1, y1) adalah sebagai berikut. y − y1 = mgaris singgung ( x − x1 ) ⇔ y − y1 =
b 2 x1 ( x − x1 ) a2 y1
⇔ a2 y1 y − a2 y12 = b2 x1 x − b2 x12 ⇔ b2 x1 x − a2 y1 y = b2 x12 − a2 y12 b2 x1 x a2 y1 y b2 x12 a2 y12 − 2 2 = 2 2 − 2 2 ab ab a2 b 2 ab x1 x y1 y x12 y12 ⇔ 2 − 2 = 2 − 2 a b a b ⇔
Oleh karena nilai
x12 y12 − = 1 , maka persamaan garis singgungnya menjadi: a2 b 2
x1 x y1 y x12 y12 − 2 = 2 − 2 a2 b a b xx yy ⇔ 12 − 12 = 1 a b Jadi, persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah sebagai berikut. x1 x y1 y − 2 =1 a2 b
3
Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola vertikal yang berpusat di (0, 0) sebagai berikut. y1 y x1 x − 2 =1 a2 b
Contoh Soal 1 Persamaan garis singgung hiperbola Pembahasan:
x2 y2 − = 1 di titik 3, 5 adalah .... 6 10
(
)
(
Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan mensubstitusikan titik 3, 5 ke persamaan hiperbola, diperoleh:
( )
5 32 − 6 10
)
2
=
3 1 − = 1= 1 2 2
(
)
Oleh karena 1 = 1, maka titik 3, 5 terletak pada hiperbola.
(
)
Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung di (x1,y1) = 3, 5 dengan rumus berikut. x1 x y1 y − 2 =1 a2 b 3x 5y =1 ⇔ − 6 10 1 5y =1 ⇔ x− 2 10 ⇔ 5 x − 5 y = 10
x1 x y1 y − 2 =1 a2 b 3x 5y =1 ⇔ − 6 10 1 5y =1 ⇔ x− 2 10 2 2 x y ⇔ 5 x − 5 y = 10. − = 1 di titik 3, 5 adalah Jadi, persamaan garis singgung hiperbola 6 10
(
)
Contoh Soal 2 Persamaan garis singgung hiperbola y2 – 5x2 = 20 di titik (1, 5) adalah .... Pembahasan: Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan substitusi titik (1, 5) ke persamaan hiperbola, diperoleh: 52 – 5(1)2 = 20 = 20
4
Oleh karena 20 = 20, maka titik (1, 5) terletak pada hiperbola. Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung di (x1, y1) = (1, 5) dengan formula bagi adil berikut. y1y – 5x1x = 20 ⇔ 5y – 5x = 20 ⇔y–x=4 ⇔ x – y = –4 Jadi, persamaan garis singgung hiperbola y2 – 5x2 = 20 di titik (1, 5) adalah x – y = –4.
B. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1) pada Hiperbola yang Berpusat di (h, k) Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (h, k) didapat dari konsep pergeseran grafik. Untuk hiperbola horizontal yang berbentuk
( x − h )2 − ( y − k )2 a2
b2
= 1, persamaan garis singgungnya di titik (x1, y1) adalah sebagai berikut.
( x1 − h ) ( x − h) − ( y1 − k )( y − k ) = 1 a2
b2
( y − k ) − ( x − h) = 1 , Sementara itu, untuk hiperbola vertikal yang berbentuk 2 b2 persamaan garis singgungnya di titik (x1, y1) adalah sebagai berikut. a 2
2
( y1 − k ) ( y − k ) − ( x1 − h )( x − h ) = 1 a2
b2
Contoh Soal 3 Persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 di titik (1, 1) adalah .... Pembahasan: Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan substitusi titik (1, 1) ke persamaan hiperbola, diperoleh: 16(1)2 – 4(1)2 + 32(1) – 8(1) – 36 = 0 = 0 Oleh karena 0 = 0, maka titik (1, 1) terletak pada hiperbola. Selanjutnya, ubah bentuk persamaan umum hiperbola ke bentuk rumus umumnya.
5
16 x 2 − 4 y 2 + 32 x − 8 y − 36 = 0 ⇔ 16 x 2 + 32 x − 4 y 2 − 8 y = 36
(
) (
)
⇔ 16 x 2 + 2 x − 4 y 2 + 2 y = 36
(
) (
)
⇔ 16 ( x +1) − 1 − 4 ( y +1) − 1 = 36 2
2
⇔ 16 ( x +1) − 16 − 4 ( y +1) + 4 = 36 2
2
⇔ 16 ( x +1) − 4 ( y +1) = 48 2
16 ( x +1)
2
2
⇔
48
( x +1)
2
⇔
3
−
4 ( y +1)
2
−
48
( y +1)2 12
=
48 48
=1
Dengan demikian, persamaan garis singgungnya di (x1, y1) = (1, 1) adalah sebagai berikut. ⇔ ⇔ ⇔
( x1 +1)( x +1) − ( y1 +1)( y +1) = 1
3 (1+1)( x +1) 3 2 ( x +1)
−
−
12 (1+1)( y +1)
2 ( y +1)
12
=1
=1 3 12 ⇔ 4 ( x +1) − ( y +1) = 6 ⇔ 4 x + 4 − y − 1= 6 ⇔ 4x − y − 3 = 0 Selain cara tersebut, ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola dari persamaan umumnya. Caranya adalah menggunakan rumus bagi adil. Rumus bagi adil diperoleh dengan mengubah bentuk variabel pada persamaan umum hiperbola dengan ketentuan berikut. 1.
x2 ⇒ x1x
2.
y2 ⇒ y1y
3.
x⇒
x1 + x 2
4.
y⇒
y1 + y 2
Dengan demikian, pada contoh soal sebelumnya, setelah kamu melakukan uji posisi
6
titik, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 dapat dinyatakan dengan rumus bagi adil berikut. x +x y +y 16 x1x − 4 y1y + 32 1 − 8 1 − 36 = 0 2 2
⇔ 16 (1) x − 4 (1) y +16 ( (1) + x ) − 4 ( (1) + y ) − 36 = 0
⇔ 16 x − 4 y +16 +16 x − 4 − 4 y − 36 = 0 ⇔ 32 x − 8 y − 24 = 0 ⇔ 4x − y − 3 = 0 Jadi, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 di titik (1, 1) adalah 4x – y – 3 = 0.
C. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik (x1, y1) di Luar Hiperbola Persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1, y 1) di luar hiperbola tidak memiliki formula khusus. Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, perhatikan dahulu gambar berikut.
s sin gari
x
ng 1
ggu
s sin
gari
o
ggu
ng 2
y
R (x, y) Titik R merupakan titik di luar hiperbola. Dari titik R, dapat ditarik dua buah garis singgung hiperbola. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik R adalah sebagai berikut. 1. 2. 3. 4.
Subtitusikan titik (x1, y1) ke persamaan garis y = mx + n, kemudian nyatakan n dalam m. Subtitusikan persamaan garis tersebut pada hiperbola yang diketahui, kemudian bentuk menjadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Gunakan syarat garis menyinggung kurva, yaitu D = 0 atau b2 – 4ac = 0 untuk mencari nilai m. Subtitusikan balik nilai m ke y = mx + n sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya.
7
Contoh Soal 4 Persamaan garis singgung kurva x2 – 6y2 = 3 di titik (0, 1) adalah .... Pembahasan: Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan mensubstitusikan titik (0, 1) ke persamaan hiperbola, diperoleh: 02 – 6(1)2 = –6 ≠ 3 Oleh karena –6 ≠ 3 maka titik (0, 1) terletak di luar hiperbola. Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah-langkah berikut. Misalkan persamaan garis singgungnya adalah y = mx + n. Subtitusikan titik (0, 1) ke persamaan garis singgung tersebut sehingga diperoleh: y = mx + n ⇔ 1 = m(0) + n ⇔ n=1 Dengan demikian, persamaan garis singgungnya menjadi y = mx + 1. Subtitusikan persamaan y = mx + 1 ke persamaan hiperbola x2 – 6y2 = 3 sehingga diperoleh: x 2 − 6 ( mx +1) = 3 2
(
)
⇔ x 2 − 6 m2 x 2 + 2mx +1 = 3 ⇔ x 2 − 6 m2 x 2 − 12mx − 6 = 3
(
)
⇔ 1 − 6 m2 x 2 − 12mx − 9 = 0 Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = 1 – 6m2, b = –12m, dan c = –9. Dengan menggunakan syarat garis menyinggung kurva, diperoleh: DD==00 2 ⇔ ac ==00 ⇔bb2 −−44ac
((
))
2 ⇔ 12m m)) −−44 11−−66m m2 ((−−99))==00 ⇔((−−12 22
2 2 ⇔ 144m 36−−216 216m m2 ++36 m2 ==00 ⇔144 2 ⇔ 72m m2 ==3366 ⇔72 36 36 2 ⇔ ⇔m m2 == 72 72 11 ⇔ ⇔m m==±± 22 22
Substitusikan balik nilai m ke persamaan y = mx + 1, sehingga diperoleh:
8
Untuk m =
1 2: 2
1 2 x +1 2 1 Untuk m = − 2 : 2 1 y=− 2 x +1 2 y=
1 2 x +1 dan Jadi, persamaan garis singgung kurva x2 – 6y2 = 3 di titik (0, 1) adalah y = 2 1 y=− 2 x +1. 2
D. Persamaan Garis Singgung Hiperbola yang Bergradien m x2 y2 − = 1, dapat dibuat garis a2 b 2 singgung bergradien m, misal y = mx + n. Untuk mendapatkan nilai n, subtitusikan garis y = mx + n ke persamaan hiperbola, sehingga diperoleh:
Pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) atau
x2 y2 − =1 a2 b 2 x 2 ( mx + n ) − =1 a2 b2 2
⇔
(
)
⇔ b2 x 2 − a2 m2 x 2 + 2mnx + n2 = a2 b2 ⇔ b2 x 2 − a2 m2 x 2 − 2a2 mnx − a2 n2 = a2 b2
(
)
(
)
⇔ b2 − a2 m2 x 2 − 2a2 mnx − a2 n2 + a2 b2 = 0 Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = b2 – a2m2, b = –2a2mn, dan c = –(a2n2 + a2b2). Dengan menggunakan syarat garis menyinggung kurva, diperoleh: DD==00 2 ⇔ ac ==00 ⇔bb2 −−44ac
(( )) (( ))(( (( )))) ⇔ mn)) −−44((bb −−aa m ⇔((−−22aa mn m ))((−−((aa nn ++aa bb ))))==00 ⇔ ⇔ 44aa m m nn ++44((aa bb nn ++aa bb −−aa m m nn −−aa m m bb ))==00 22
2 2 2 22 2 2 2 2 ⇔ mn −−44 bb2 −−aa2m m −− aa2nn2 ++aa2bb2 ==00 ⇔ −−22aa2mn 22
22
44
22 22
22
22 22
22 22 22
22 44
22 22
44
22 22
22 22
44
22 22
4 22 22 2 2 2 2 4 4 22 22 4 22 22 ⇔ ⇔ 44aa4m m nn ++44aa2bb2nn2 ++44aa2bb 4 −− 44aa4m m nn −−44aa4m m bb ==00 2 2 2 2 4 4 22 22 ⇔ ⇔ 44aa2bb2nn2 ++44aa2bb 4 −−44aa4m m bb ==00
((
))
2 2 2 2 2 22 ⇔ ⇔ 44aa2bb2 nn2 ++bb2 −−aa2m m ==00
9
Faktor penghasil nol yang mungkin adalah sebagai berikut. n2 + b2 − a2 m2 = 0 ⇔ n2 = a2 m2 − b2 ⇔ n = ± a 2 m2 − b 2 x2 y2 Dengan demikian, persamaan garis singgung hiperbola horizontal 2 − 2 = 1 yang a b bergradien m dapat dinyatakan sebagai berikut. y = mx ± a2 m2 − b2 Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan garis singgung hiperbola vertikal 2
y x2 − = 1 yang bergradien m sebagai berikut. a2 b 2 y = mx ± a2 − b2 m2
Super "Solusi Quipper" Persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m adalah y = mx + n. x2 y2 Untuk 2 − 2 = 1, berlaku n = a b y2 x2 Untuk 2 − 2 = 1, berlaku n = a b
x2 − y2 m2 a2 − b 2 y2 − x2 a2 − b 2 m2
=1
=1
Selalu tempatkan m2 di bawah x2.
Contoh Soal 5 Persamaan garis singgung hiperbola 16x2 – 5y2 = 80 yang memiliki gradien 4 adalah .... Pembahasan: Mula-mula, ubah dahulu persamaan umum hiperbola tersebut ke dalam bentuk rumus umumnya.
10
16 x 2 − 5 y 2 = 80 16 x 2 5 y 2 80 − = 80 80 80 x2 y2 ⇔ − =1 5 16 ⇔
Dari bentuk tersebut, diketahui nilai a2 = 5 dan b2 = 16. x2 y2 Dengan demikian, persamaan garis singgung − = 1 dengan gradien m = 4 adalah 5 16 sebagai berikut. y = mx ± a2 m2 − b2 ⇔ y = 4 x ± 5.4 2 − 16 ⇔ y = 4 x ± 64 ⇔ y = 4x ± 8 Jadi, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 – 5y2 = 80 yang memiliki gradien 4 adalah y = 4x ± 8.
Contoh Soal 6 y2 x2 Persamaan garis singgung hiperbola − = 1 yang sejajar dengan garis x – 2y = 10 36 80 adalah .... Pembahasan:
y2 x2 − = 1, diketahui nilai a2 = 36 dan b2 = 80. 36 80 1 1 Garis x – 2y = 10 atau y = x − 5 memiliki gradien . 2 2 Dari persamaan hiperbola
Oleh karena garis singgung hiperbola sejajar dengan garis tersebut, maka gradien garis 1 singgungnya adalah m = . 2 1 y2 x2 Dengan demikian, persamaan garis singgung − = 1 dengan gradien m = adalah 2 36 80 sebagai berikut. y = mx ± a2 − b2 m2 ⇔ y=
1 1 x ± 36 − 80 2 4
1 x ± 16 2 1 ⇔ y= x±4 2 ⇔ y=
11
Persamaan garis singgung pertama: y=
1 x + 4 atau x − 2 y + 8 = 0 2
Persamaan garis singgung kedua: y=
1 x − 4 atau x − 2 y − 8 = 0 2
y2 x2 − = 1 yang sejajar dengan garis 36 80 x – 2y = 10 adalah x – 2y + 8 = 0 dan x – 2y – 8 = 0.
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola
Kamu telah memahami persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan gradien m. Sekarang mari kita belajar persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di (h, k) dengan gradien m. Persamaan garis singgung hiperbola horizontal
( x − h )2 − ( y − k )2 a2
b2
= 1 yang bergradien m dapat dinyatakan sebagai berikut. y − k = m ( x − h ) ± a 2 m2 − b 2
Sementara itu, persamaan garis singgung hiperbola vertikal yang bergradien m adalah sebagai berikut.
( y − k )2 − ( x − h )2 a2
b2
=1
y − k = m ( x − h ) ± a 2 − b 2 m2
Contoh Soal 7 Persamaan garis singgung hiperbola x2 – 3y2 – 2x – 6y – 8 = 0 yang membentuk sudut 60o terhadap sumbu-X positif adalah .... Pembahasan: Mula-mula, tentukan gradiennya. Gradien garis singgung hiperbola yang membentuk sudut 60o terhadap sumbu-X positif adalah sebagai berikut. m = tan α ⇔ m = tan 60o ⇔m=
3
Selanjutnya, ubah persamaan umum hiperbola tersebut ke dalam bentuk rumus umumnya.
12
x2 − 3y2 − 2x − 6 y − 8 = 0 ⇔ x2 − 2x − 3y2 − 6 y = 8
(
)
⇔ x2 − 2x − 3 y2 + 2y = 8 ⇔ ( x − 1) − 1 − 3 ( y +1) + 3 = 8 2
2
⇔ ( x − 1) − 3 ( y +1) = 6 2
2
2 2 x − 1) y +1) ( ( ⇔ −
6
2
=1
Dari bentuk tersebut, diketahui nilai a2= 6, b2 = 2, dan (h, k) = (1, –1). Dengan demikian, persamaan garis singgung m=
3 adalah sebagai berikut.
( x − 1)2 − ( y +1)2 6
2
= 1 dengan gradien
y − k = m ( x − h ) ± a 2 m2 − b 2 ⇔ y +1= 3 ( x − 1) ± 6 ×
( 3)
2
−2
⇔ y +1= 3 x − 3 ± 4 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 3 x − 3 + 3 dan y = 3 x − 3 − 5 .
Contoh Soal 8 Persamaan garis singgung hiperbola y2 – 10x2 + 4y + 20x – 46 = 0 yang tegak lurus dengan garis x + 3y = 10 adalah .... Pembahasan: Mula-mula, ubah dahulu persamaan umum hiperbola tersebut ke dalam bentuk rumus umumnya. y 2 − 10 x 2 + 4 y + 20 x − 46 = 0 ⇔ y 2 + 4 y − 10 x 2 + 20 x = 46
(
)
⇔ y 2 + 4 y − 10 x 2 − 2 x = 46
(
)
⇔ ( y + 2 ) − 4 − 10 ( x − 1) − 1 = 46 2
2
⇔ ( y + 2 ) − 10 ( x − 1) = 40 2
⇔
( y + 2 )2 40
( y + 2)
2
2
⇔
40
10 ( x − 1)
2
− −
40
( x − 1)2 4
=
40 40
=1
13
Dari bentuk tersebut, diketahui nilai (h, k) = (1, –2), a2 = 40, dan b2 = 4. 1 10 1 Garis x + 3y = 10 atau y = − x + memiliki gradien − . 3 3 3 Oleh karena garis singgung hiperbola tegak lurus dengan garis tersebut, maka gradien 1 garis singgungnya adalah m = − = 3. 1 − 3 Dengan demikian, persamaan garis singgung adalah sebagai berikut.
( y + 2 )2 − ( x − 1)2 40
4
= 1 dengan gradien 3
y − k = m ( x − h ) ± a 2 − b 2 m2 ⇔ y + 2 = 3 ( x − 1) ± 40 − 4 ⋅ 32 ⇔ y + 2 = 3x − 3 ± 4 ⇔ y = 3x − 5 ± 2 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = 3x – 3 dan y = 3x – 7.
14
