PENERAPAN PERSAMAAN SCHRODINGER PADA PERMASALAHAN PARTIKEL DALAM KEADAAN TERIKAT (BOUND STATES) UNTUK TIGA DIMENSI A. Atom Hidrogen (Masalah Gaya Sentral) 1. Hamiltonian dan Nilai Eigen ^
H
^ 2
^2
pr 2m
L 2 r2
z e2 . r
(7.1)
Persamaan Schrodinger yang berkaitan dengan sistem berupa hidrogenik atom itu ialah:
atau
^ 2
^2
pr 2m
L 2m
^ 2
^2
pr 2m
L 2m
z e2 r
(7.2)
E
z e2 r
E
(7.3)
.
(r. . )
R( r ) Ym ( . )
(7.4)
atau anda bisa juga menggunakan persamaan (6.36) operator:
1 r r r 1 i r r r
^
i
pr ^
p r2 ^
p r2
2
i
1 r r r
1 2 r r r2
(7.5) ^ 2
dan menggunakan persamaan nilai eigen untuk operator L : ^ 2
L
2 1 .
(7.6)
Setelah kita lakukan tahap-tahap pengerjaan diatas maka akan kita peroleh persamaan radialnya adalah
91
2 1 d 2 r 2 r dr 2
2 1 2 r2
ze 2 r
E R( r )
0
(7.7)
0
(7.8)
atau
d2 r dr 2
2 Ze2 r 2r
r 1 r2
2 Er 2
Rr
Misalkan :
d2 dr 2
maka :
r R
(7.9)
2 Ze2 2r
1 r2
2 E 2
0.
(7.10)
Pada persamaan (6.50) kita sudah menggunakan nilai E sebagai berikut: 2k 2 . 2
E
Misalkan p = 2 k r atau r =
1 p , sehingga : 2k r2 =
1 2 p 4k 2
(7.11)
dr2 =
1 d p2 , 2 4k
(7.12)
substitusikan ke dalam persamaan (6.10) maka diperoleh:
4k 2
d2 d p2
4k 2 ( 1) p2
4k ze 2 2 p
k2
0
atau
d2 d p2
1 p2
ze 2 k 2 p
1 4
0
(7.13)
dalam modul fisika modern sudah didefinisikan bahwa:
2 e2 R=
ao, yaitu radius Bohr,
2 yaitu konstanta Rydberg, 2 ao2
(7.14)
(7.15)
dan 92
2
z ka0
2
Z 2R E
(7.16)
persamaan (7.13) dinyatakan dalam term a0, R dan
d2 d p2
menjadi sebagai berikut
1 p2
1 4
p
0.
(7.17)
Persamaan (7.17) dapat dianalisa sebagai berikut : 1. Untuk harga p besar maka persamaan direduksi menjadi
d2 d p2
1 4
(7.18)
0
dan solusinya adalah 2
Ae
Be
2
.
(7.19)
Solusi yang kita cari harus berupa fungsi berkelakuan baik yaitu 0
(7.20)
p maka A = 0. Dengan demikian solusinya : = Be –p/2 2. Untuk harga
(7.21)
berada di sekitar titik pusat koordinat (orogin) persamaan (7.17) di
reduksi menjadi
d2 d solusi
1 2
persamaan (7.22) dapat dilakukan dengan mensubstitusikan fungsi coba a
maka diperoleh: A
bila
(7.22)
0
2
B
1
(7.23)
berada di pusat koordinat maka A = 0, jadi Be
1
0
untuk
(7.24)
Dengan dua bentuk asimtot tersebut maka solusi persamaan (7.17) dapat dijabarkan dalam bentuk polinomial. Solusinya diungkapkan dalam e
2
1
F
(7.25)
dengan: 93
~
F
Ci
i
.
(7.26)
i 0
Substisusi persamaan (7.25) ke dalam persamaan (7.17) maka diperoleh:
d2 d 2
d d
2 2
1
F
(7.27)
0
Untuk suatu harga bilangan kuantum orbital tertentu persamaan (7.27) tak lain adalah persamaan nilai eigen dengan nilai eigen Berikutnya kita substitusikan persamaan (7.26) dan turunannya ke dalam persamaan (7.27): F
Ci
i
i 0
C0
C1
d F( ) = C1 d
C2
2C2
d 2 F( ) = 2C2 d 2
2
3C3
6C3
3
C3 2
2
5
C5
3
5C5
20 C5
3
4C4
12 C 4
4
C4
4
....... Ci
i
.........
.........
maka diperoleh : 2C 2
6C3
(2 2 ) C1 ( 1
) C0
2
3
12 C 4 2C 2 C1
3C3 C2
4
20 C5 2
..... 3
4C 4
2
3
C3
..... 4
C4
selanjutnya kita lakukan pengelompokkan dalam variabel 2 6C3 12 C 4
1
2 C1 2
2 3C3
2
2 4C 4
C0
0
2C 2
2C 2 C3
.....
(7.28)
0
dengan orde yang sama: 1
C1
C1
2
2 2C 2
2
C2
1
,
3C3
3
.....
0
(7.29) atau dalam bentuk umum persamaan (7.29) diungkapkan oleh i
Karena
i
1
Ci
i 1 i
2
2 Ci
i 1
0.
(7.30)
adalah variabel dan tidak sama dengan nol maka konstantanya yang harus
sama dengan nol. i
1
Ci
i 1 i
2
2 Ci
1
0
(7.31)
atau 94
Ci
1 i 1 i 2 i
1
Ci
2
C i C i
(7.32)
Untuk i berharga besar sekali i >>> maka:
Ci 1 ~
Ci i
(7.33)
yang sama dengan koefisien rasio yang diperoleh dalam penjabaran : i
e
Ci
Ci 1 Ci
i! i 1!
i
(7.34)
i! 1 1 ~ i 1 i
Berdasarkan apa yang sudah kita pelajari ternyata bentuk dari
dibangkitkan
oleh deret persamaan (7.26) mempunyai karakteristik sebagai berikut: ~e
e
Persamaan tersebut divergen untuk harga
1
/2
e
/2
1
besar (
(7.35) ) maka
.
Untuk memperoleh suatu fungsi gelombang yang finit maka penjabaran persamaan (7.26) harus diterminasi pada batas harga tertentu dari i kita namakan saja misalnya im dimana pada harga i = im haruslah
i
0 . Dengan demikian seluruh
parameter persamaan (7.32) adalah positif i dapat dihilangkan jika : im ax
Fungsi
1
(7.36)
adalah suatu polinomoial dalam term eksponensial berbentuk persamaan
(7.26). Ternyata dengan melakukan terminasi fungsi gelombang menjadi finit atau terbatas di setiap tempat sesuai dengan yang diinginkan. Karena i dan adalah integer maka
juga integer yang dinamakan bilangan kuantum utama n. n
im ax
1
(7.37)
Jadi syarat pencilan (cut off) pada deret persamaan (7.26) yang akan membuat menjadi finit untuk seluruh
juga dapat membantu menentukan nilai eigen
. Dari
persamaan (7.16). 2 n
n2
Z2 R En
(7.38)
atau 95
En
En
Z2 R n2
(7.39)
menyatakan energi elektron dalam atom pada orbital yang menempati bilangan kuantum utama n. Perumusan tersebut tepat sama seperti yang diturunkan oleh Bohr.
2. Polinomial Laquerre Fungsi eigen hidrogen yang berkaitan dengan nilai eigen E n diungkapkan dalam term persamaan (7.26) dengan deret mencakup i yang dibatasi pada harga im ax
1
n
(7.40)
dan dengan relasi recurrence untuk koefisien C i diungkapkan oleh persamaan (7.32) ialah: n
/2
e
1
Fn n 1
An e
1
/2
Ci
i
(7.41)
i 0
Ci
i
1
Ci
(7.42)
2 kn r , dan
dengan
kn
Z a.n
(7.43)
dengan An adalah konstanta normalisasi. Polinomial Fn
yang berorde n 1
diperoleh dari apa yang dikenal sebagai Polinomial Laquerre terasosiasi (associated Laquerre Polinomials L2n 1 1 )
3. Degenerasi Harga
im ax pada persamaan (7.37) lebih besar dan sama dengan nol im ax
0
maka :
n 1
(7.44)
) solusi persamaan Schrodinger yang berkaitan dengan nilai eigen yang sama E n . Dengan cara ini kita peroleh degenerasi dari energi eigen E n yaitu 96
n 1
2 1
En
n2
(7.48)
0
Harga-harga yang diijinkan dari n, , dan m ialah n = 1,2,3,4,…
= 0,1,2,3,…,(n-1) m = - , - +1,…,0,1,2,…+ Tabel 7.1 Harga-harga yang diperbolehkan untuk dan m pada harga n = 1,2, dan 3 n
1
0
0
1
0
1
2
1s
2s
2p
3S
3p
3d
0
0
Notasi Spektroskopik Untuk keadaan (state ) m Degenerasi dari keadaan n2
2
1
-1
3
0 4
1
0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 9
Bila dinyatakan dalam bentuk diagram maka dapat digambarkan sebagai berikut :
n
m=+ l
l =n -1
m=- l
l =2
m=2 m=1 m=0
l =1
m=1 m=0
l =0
m=0
Gambar 7.1 Degenerasi keadaan yang berkaitan dengan bilangan kuantum utama
97
Berdasarkan uraian diatas maka energi eigen dan fungsi eigen dari Hamiltonian hidrogenik yang diungkapkan oleh persamaan (7.1).
Hˆ
Pˆr2 2m
Lˆ2 2 r2
n m
(r , , )
Ze 2 r
ialah fungsi eigen
R n (r )Y m ( , )
(7.49)
dengan A n
R n (r )
n
(7.50)
r
Anℓ adalah konstanta normalisasi yang ditentukan oleh syarat n m
n m
2
r 2 dr
d
4
* n m
n m
1
(7.51)
0
2
n dr
A n
1
0
A n
n 1 ! 3 2n n !
1 ao
3
2
(7.52)
Keortogonalan fungsi-fungsi itu memenuhi relasi: n m
n ' ' m'
n' n
'
m' m
(7.53)
Energi eigen diungkapkan oleh En
Z2 R n2 Z e2 2 n 2
(7.54)
2
4. Fungsi Keadaan Dasar Keadaan dasar ialah keadaan dimana n = 1, ℓ = 0 dan m = 0 dan dituliskan oleh fungsi φ100. Dari persamaan (7.48) dan persamaan (7.49): n m
100
r, , 1 r
10
1 A r n A10 Y 00
n
,
Y n1
,
(7.55) (7.56) 98
Berarti untuk menentukan fungsi keadaan dasar pertama kita harus menentukan U100. Dari persamaan (7.41) n 1 1
2
) A n e n (
i
Ci i 0
10
( )
2
A10 e
Co
Harga C0 = 1, maka
10
( ) A10 e
2
kemudian menentukan harga konstanta normalisasi A10 sebagai berikut: 2
A 10
10
dr 1
2
2
e
Dari persamaan (7.12) r A 10
A10 A 10
2
2
k1
maka:
2k n e
d
2
1 2k 1 0
2
1 2 1 2k 1
Dari persamaan (3.43) k n maka:
dr 1
2
2k 1
e
d
1
1
Z untuk keadaan dasar stom hidrogen n = 1 dan z = 1 aon
1 , ao
sehingga diperoleh
A 10
1 ao
(7.57)
Dengan demikian fungsi gelombang keadaan dasar ternormalisasi. Untuk kearah radial dari atom hidrogen ialah
1 10
R n r
ao
1
e
2
(7.58)
2
n
r
(7.59)
Untuk R10(r) diperoleh: 99
R 10 r
1 1 r a o 12 2zr ao
2k n r
karena
2r maka : ao
1
R 10 r
ao
2
e
1
2e
r
a
(7.60)
2
Dengan cara yang sama Anda bisa menentukan fungsi gelombang radial hidrogen untuk n = 2 yaitu R20 (r) dan R21 (r), juga untuk n = 3 yaitu R30 (r), R31 (r) dan R32 (r) dan seterusnya. Fungsi-fungsi tersebut dicantumkan dalam tabel 7.2.
Table 7.2 Fungsi-fungsi gelombang radial hidrogen
n
ℓ
1
0
2
2
3
0
1
0
3
1
3
2
Rnℓ (r)
R 10 r
R 20 r
R 21 r
R 30 r
R 31 r
R 32 r
1
r 3
ao
2 e
1 3
2a o
21 2
1 2a o
3
2
1 3a o
r
2a o
2a o
2
4 2 r r 1 e 3 ao 6a o
1 3a o
r e 3ao
r
2
3
3
r e 2a o
2r 21 3a o
1 3a o
ao
2
3
2
2 2 1 27 5 a o
2 1 27 a o
2
r
e
2
r
e
r
3a o
ao
3a o
Pada persamaan (7.41) Fnℓ (ρ) ( yang berorde n - ℓ - 1) diperoleh dari apa yang disebut Polinominal Laquerre terasosiasi (associated Laquerre Polynominals) yang dinotasikan dengan:
100
2
n 1
L
2 1 n 1
1
k 1
k 0
n ! n 1 k ! 2 1 k ! k !
k
(7.61)
Harga-harga polinominal untuk beberapa harga ℓ di cantumkan secara grafik gambar 7.3. Jadi dengan demikian fungsi gelombang radial untuk atom hidrogen ternormalisasi ialah 2 n ao
R n r
3
n 1! 3 2n n !
1 2
e
2
L 2n 1
(7.62)
dengan 2
n 1
L
2 1 n
1 k u
k 1
n ! n 1 k ! 2 1 k !k!
k
(7.63)
Gambar 7.2 Fungsi eigen radial Rnℓ (ρ) untuk elektron dalam atom hidrogen, dengan ρ = 2r/ao yaitu jarak antara elektron dan inti (r) dibagi dengan radius Bohr ao.
101
Sedangkan fungsi-fungsi gelombang untuk keadaan stasioner diskrit dari suatu elektron atau atom seperti hidrogen ialah :
r, ,
n m
p
L sP x
1 s 0
s
p s x p s
s
R n r Y m
(7.64)
,
s!
L 30
L 31
L 32
L 33
L 20
L 21
L 22
L 23
L 10
L 11
L 12
L 00
L 01
5
- 10
10
L 02
5
- 10
10
-5
L 13
- 10
-5
L 03
5
10
5
- 10
-5
10 -5
Gambar 7.3 Beberapa harga polinominal Laquerre
Berikutnya kita tinjau solusi untuk fungsi yang bergantung pada sudut. Persamaan (7.3) dinyatakan dalam sistem koordinat bola ialah
1 r2 r2 r r
1 2 r sin 2
2 2
1 r sin 2
sin
2m E V r, , 2
0
(7.65)
Kemudian kita lakukan pemisahan variabel, misalkan: n m
r, ,
(7.66))
R n r
setelah disubstitusikan ke dalam persamaan (7.66), selanjutnya masing-masing suku kita bagi dengan R n r
1 Rr r2 2 Rr r r r
maka akan diperoleh persamaan:
1 r 2 sin 2
d2 d
1 2 r Sin
sin
2m Ze 2 E 0 2 r (7.67)
atau 102
1 d 2 dR r r R r dr dr
d2 d
1 Sin 2
1 Sin
2
1
2mr2 E 2
d d Sin d d
Ze2 r
0 (7.68)
Semua suku pada persamaan (7.68) berupa konstanta, misalkan :
1 d 2 dR r r R r dr dr
1
d d Sin d d
Sin
k 0
(7.69)
maka
d2 d
1 Sin
2
1 2
d d Sin d d
Sin
k 0
(7.70)
misalkan lagi,
1 d2 d
m2
2
(7.71)
maka diperoleh: A e im
m
(7.72)
dengan A adalah konstanta yang dapat kita tentukan dengan cara menormalisasinya. 2 m
d
m
1
0
2
A
2
d
1
0
A2 2
A
1
1 2
1 2
sehingga pers.(7.72) menjadi: m
1 im e 2
(7.73))
Dengan pemisalan pers.(7.71) maka persamaan (7.70) menjadi:
1 d d Sin Sin d d
k
m2 Sin 2
0
(7.74)
Langkah berikutnya yang harus Anda lakukan adalah memasukkan variabel baru yaitu kita misalkan X
dan
Cos P x
(7.75) (7.76) 103
maka
dx x
Sin
Sin 2
1 dx Sin
atau d
1 Cos 2
1 X2 ,
sehingga persamaan (7.74) menjadi :
d dP x 1 X2 dx dx
m2 Px 1 X2
k
(7.77)
0
Persamaan diatas solusinya ditentukan dengan metoda polinominal dan akan diperoleh harga karakteristik dari k ialah k 1
(7.78)
Dengan menggunakan metoda itu maka persamaan (7.77) pada akhirnya berbentuk:
dP x d 1 x2 dx dx
1 P x
0
(7.79)
yang dinamakan persamaan differensial Polinominal Legendre. Solusi persamaan tersebut bentuknya sudah standar yaitu: C P m x
C P m Cos
(7.80)
dengan C adalah konstanta normalisasi yang dapat kita cari dengan cara menormalisasikannya yaitu: 0 bila 2 m! untuk 2 1 m
1
P
m
x P
m
x dx
1
(7.81)
Berdasarkan hasil normalisasi tersebut kita peroleh konstanta normalisasi C. jadi bentuk θ (θ) sekarang menjadi 2 1 m P m x 2 m
m
(7.82)
dengan P m x polinominal Legendre yang diungkapkan oleh
P
m
x
1 x
2
m 2
dm P x dX m
(7.83)
, 1,2,3,
(7.84)
dan
P x
1 d x2 1 2 ! dx
104
Dengan demikian fungsi gelombang elektron pada atom hidrogen ialah n m
r, ,
R n r
m
(7.85)
m
dengan Rnℓ (r) diungkapkan oleh persamaan (7.62), θℓm (θ) diungkapkan oleh persamaan (7.73) dan
Фm (ф) diungkapkan oleh persamaan (7.82). Fungsi keadaan dasarnya
ialah 100
r, ,
R 100 r
2 ao
1
100
r
e
1 2
ao
2
1
1 ao
3
100
r
e
1 2
ao
(7.86)
2
Fungsi-fungsi keadaan lainnya dicantumkan dalam tabel 7.3.
Latihan 1 1. Pada saat kita mau menentukan fungsi gelombang partikel bebas yang hanya bergantung pada arah radial saja, dari persamaan 3.43 mengapa kita dapat memisalkan bagian yang bergantung pada sudut (θ,ф) berupa sudut konstanta ? 2. Buktikan ulang persamaan 3.47 dari persmaan 3.46 dengan memisalkan X= kr!. 3. Tentukanlah J2 (x)!. 4. Buktikan ulang persamaan 3.70 dari persaman 3.66 dalam term ao, R dan λ!. 5. Tentukanlah degenerasi fungsi-fungsi eigen dari elektron dalam atom hidrogen yang berkaitan dengan nilai eigen yang sama bila elektron menempati bilangan kuantum utama n = 2!. 6. Tuliskanlah fungsi gelombang elektron yang bergerak di dalam atom hidrogen!.
Latihan 2 1) Tunjukkanlah bahwa
2 10
mempunyai harga maksimum pada r = ao
2) Tentukanlah fungsi gelombang radial dari elektron yang berada pada kulit k (n = 2) di dalam atom hidrogen beserta kemungkiknan-kemungkinannya yang berkaitan dengan harga-harga ℓ yang mungkin 3) Tentukanlah fungsi gelombang elektron di dalam atom hidrogen yang berada pada kulit k (n = 2) beserta semua kemungkinan-kemungkinannya yang berkaitn dengan harga-harga ℓ dan m yang diijinkan 105
Jawaban Latihan 2 1.
r
1 10
3
ao
r 2e a 2
1
2 10
0
ao
3
r 2 4e
2r
ao
Fungsi tersebut akan maksimum bila d
d
2 10
0
dr
1 8r2 e a 3o
1 4r 2 e a 3o
2r
ao
0
dr 2r
ao
1 8r2 e a o4
2r
1 r 1 ao
ao
0
r 2 10
Terbukti bahwa
ao
mempunyai harga maksimum pada r
ao
2. Fungsi gelombang radial dari elektron dalam atom hidrogen dinotasikan oleh Rnℓ(r). untuk elektron yang berada pada kulit k yaitu pada n = 2 maka harga-harga ℓ yang mungkin ialah 1 dan 0. Jadi dengan demikian fungsi-fungsi gelombang radialnya R21 (r) yangberada pada sub kulit 2p dan R20 (r) yang berada pada sub kulit 2s. Persamaan gelombang radialnya diungkapkan oleh 1
R n r
n 1!
3
2 na o
2n n !
2
2
e
3
L 2n 1
dengan 2
n 1
L 2n 1
1
k 1
k 0
R 20 r
1 ao
3
2kn r
n ! n 1 k ! 2 1 k ! k !
k
1
1 4 23
2
e
2
4 2
1 2a o
dan
kn
1
2
1 4 1 e 2 2
2
z ao n
Untuk atom hidrogen z = 1 1 r ao
106
1
R 20 r
3
2a o
r e 2a o
2 1 2
2ao
Bila elektron berada pada sub kulit 2p maka fungsi gelombang radialnya 3
1 ao
R 21 r
1
1
2 .6 . 6
2
1 2a o
r 3
3ao
2
2
6e
e
3! 3!
2
e 1
3
ao R 21 r
2
2
1 4 23
2ao
3. Elektron di dalam atom hidrogen yang menempati kulit k (n = 2) mempunyai kemungkinan untuk berada pada empat posisi atau mempunyai empat fungsi gelombang yang berkaitan dengan satu nilai eigen atau energi yang sama. Untuk n = 2 maka kemungkinan harga ℓ nya ialah 0 dan 1 dan harga m yang diijinkan untuk ℓ = 0 ialah m = 0 dan untuk ℓ = 1 harga-harga m nya ialah 1, 0, -1. dengan demikian fungsi gelombangya ialah φn ℓ m (r, θ, ф). φ 200 (r, θ, ф)
atau
φ2 Ps
φ 210 (r, θ, ф)
atau
φ2 Pz
φ 211 (r, θ, ф)
atau
φ2 Px
φ 2l - 1 (r, θ, ф)
atau
φ2 Py
n m
Dengan R
nℓ
r, ,
R n r
m
m
(r) adalah fungsi gelombang radial seperti diungkapkan dalam
persamaan pada soal no.2 2 1 m ! m P x 2 m!
m
P m x
P x
1 x2
20
2 r, ,
dm P x dx m
1 d x2 1 2 ! dx
1 m
m 2
e im R 20 r
00
107
1
R 20 r
2a o
3
r e 2a o
2 1 2
2ao
(dari soal no.2)
1 o P x 2 o
00
P o0 x
0 2
1 x2
d0 P x dx 0 0
1 d0 x2 1 2 0 0! dx 0
P0 x
0
1
1 00
2
200
1
r, ,
r, ,
210
o
1
2 2
R 21 r
ao
r e 2a o
1 2
2
2ao
10
1
R 21 r
3
2
1
e io
r 3
2a o
r
e
3ao
2
2ao
(dari soal no.2)
3 0 P x 2 1
10
P 10 x 3 10
210
211
1 o
1
r, ,
2a o 1
4 2
ao
r, , R 21 r
11
P 11 x
x Cos
Cos
2
1
1 d x2 1 2 dx
P1 x
3
2
r 3
3ao
2
r e ao
R 21 r
r
2ao
11
2
Cos
2
1 2
1
r 3
3
2ao
2
1
Cos
1 2a o
r
e
e io
3ao
2
r
e
2ao
31 1 P x 22 1 1 x2
1
2
d P x dx 1
108
P 11 x
1 d x2 1 2 dx
P 11 x
1 x2
1 1
211
2a o , ,
R 21 r R 21 r
r 3
e
11
1
1
1 Cos 2
2
1 2
Sin 2
2
Sin
2a o
4
2
2ao
3 Sin 4
1 2
1
ei 8
ao
3
2
r e ao
r
2ao
Sin
ei
1
1
1 1
r
3ao
2
3 11
1 x2
ei
2
1
r, ,
d x dx
2
3 Sin 4
11
211
1
x
r 3
Sin
2
3ao
r
e
2ao
3 Sin 2
ei
109
Table 7.3 Fungsi Gelombang Ternormalisasi dari atom Hidrogen untuk n = 1,2,3
n ℓ m
Ф (ф)
1 0 0
1
1 2
2
1
1
2 0 0
Θ (θ)
2
2
2 ao
3
r
e
1
6 Cos 2
2
1
ao
1 2 4 ao
2 6 ao
1 ao
2
3
2 2
1 1 0
Ψ ( r, θ, ф )
R (r)
3
2
r e ao
r e ao
r
r
3
r
e 2
1
ao
4 2 ao
3
2 2
1
ao
4 2 ao
3
2
1 1
1 2
ei
3 Sin 2
2 6 ao
3
2
r e ao
r
ao
3
1 1
ao
3
1 2
e
i
3 Sin 2
2 6 ao
3
2
r e ao
r
ao
8
ao
3
r
r e ao r
2
r
2
r e ao
1
1
r e ao
r e ao
1
1
ao
a 02
2 a 02
2 a 02
r
2a o
cos
sin
ei
sin
e
110
i
112
3 0 0
1
1 2
1 1
1 2
1 0
2
2 81 6 a o
3
r 27 18 ao
2
r1 r2 2 2 e ao 3 a o 81 3 a 2 o
1 e
3 Sin 2
i
1
6 Cos 2
2
4 81 6 a o
3
6 2
r ao
r e ao
r
2
r e ao
r
6
r ao
4 81 6 a o
3
3a o
81
3a o
ao
3
81
ao
3
r ao
r e ao
r
6
r ao
r e ao
r
6
r ao
r e ao
r
6
2
2
r2 2 2 ao
r 27 18 ao
2
3a 02
3a 02
r
e
3a 02
sin e i
cos
1
1 1
2 0
2
1 2
e
i
3 Sin 2
4 81 36 a o
3
6 2
r ao
4 r2 10 2 3 2 e 3 Cos 1 81 30 a o 2 a o 4
r
r e ao
3a o
r
3a o
81
1 ao
3
2
1 81 6 a o
3
2
r2 e ao
r
3a 02
111
3a 02
3 cos 2
sin e i
1
113
2 1
1 2
1 2 2
2 1
2
2 2
e 2i
2
1
15 Sin 2
ei
15 Sin 2 4
r
r
2
r2 e a o2
r
2
r2 e a o2
r
2
r2 e a o2
Cos 3 81 30 a o 2
4 81 30 a o
3
4 e
1
e
i
15 Sin 4 15 Sin 2 4
2i
2
Catatan : a o
r2 e a o2
4
4
0
2
m e2
0,53 Å
81 30 a o Cos
3
4 81 30 a o
3
r2 e a 02
1
3a o
81
ao
3
2
1
3a o
162
ao
3
2
81
ao
3
2
1
3a o
162
ao
3
r2 e a 02
r2 e a 02
1
3a o
2
r
r
r2 e a 02
3a 02
r
3a 02
3a 02
r
sin cos e i
sin 2
e 2i
sin cos e i
3a 02
sin 2
e
2i
(radius Bohr)
112
114
