PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DALAM TIGADIMENSI DENGAN SYARAT-SYARAT BATAS Sangadji* Indrijatmaka, ST*
ABSTRACT NUMERICAL SOLUTIONS TO THREE-DIMENSIONAL LAPLACE EQUATIONS WITH BOUNDARY CONDITIONS. This paper discusses numerical solutions to three-dimensional Laplace equations in cartesian coordinates of the form uxx + uyy + uzz = 0, in the cube 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a with boundary conditions u(0, y, z) = u1 if 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(a, y, z) = u2 if 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(x, 0, z) = u3 if 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, a, z) = u4 if 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, y, 0) = u5 if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a , u(x, y, a) = u6 if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a where a is a positive constant and u1, u2, u3, u4, u5, u6 are nonnegative constants. For h>0 with a/h is a positive integer, numerical solutions at the points (ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 will be sought. The method of numerical solutions is based on a finite difference formula, and the system of linear equations obtained will be solved using Gaussian elimination procedure. This paper also discusses analytic solutions to the Laplace equations above in a rectangular box 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c with boundary conditions u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, if 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), if 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b where a, b, c are positive constants and f(x, y) is a prescribed function. Numerical and analytic solutions of the boundary value problems above in a cube using some fixed values of a, h, u1, u2, u3, u4, u5, u6 will be performed.
ABSTRAK PENYELESAIAN NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DALAM TIGA-DIMENSI DENGAN SYARAT-SYARAT BATAS. Makalah ini membahas penyelesaian numerik persamaan Laplace dalam tiga-dimensi dalam koordinat kartesius yang berbentuk uxx + uyy + uzz = 0, dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas u(0, y, z) = u1 bila 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(a, y, z) = u2 bila 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a, u(x, 0, z) = u3 bila 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, a, z) = u4 bila 0 < x < a, 0 < z < a, u(x, y, 0) = u5 bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, u(x, y, a) = u6 bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a , di mana a adalah konstanta positif dan para u1, u2, u3, u4, u5, u6 adalah konstanta-konstanta nonnegatif. Untuk h>0 dengan a/h bilangan bulat positif, penyelesaian numerik pada titik-titik (ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 akan dibahas. Metode penyelesaian numerik yang digunakan didasarkan pada *
Pusat Pengembangan Teknologi Informatika dan Komputasi BATAN
formula beda hingga, dan sistem persamaan linier yang diperoleh akan diselesaikan dengan prosedur eliminasi Gauss. Makalah ini juga membahas penyelesaian analitik persamaan Laplace di atas dalam kotak tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syarat-syarat batas u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b di mana a, b, c adalah konstanta-konstanta positif dan f(x, y) adalah fungsi yang diketahui. Penyelesaian numerik dan analitik dari problema syarat batas di atas dalam suatu kubus menggunakan harga-harga tertentu dari a, h, u1, u2, u3, u4, u5, u6 akan dipertunjukkan.
PENDAHULUAN Persamaan Laplace dalam tiga-dimensi dalam koordinat kartesius berbentuk uxx + uyy + uzz = 0, (1) di mana u = u(x, y, z) adalah fungsi yang akan dicari. Besaran skalar u ini terdapat dalam problema-problema potensial listrik, potensial gravitasi, suhu tunak, aliran ideal, dan beberapa fenomena fisika lainnya, yang merupakan penyelesaian dari persamaan-persamaan Laplace yang disajikan dalam koordinat kartesius, koordinat silinder atau koordinat bola. Bagian kedua dari makalah ini akan membahas secara singkat penyelesaian analitik persamaan (1) dalam kotak tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syaratsyarat batas u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z < c (2a) u(x, 0, z) = 0, u(x, b, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < c (2b) u(x, y, 0) = 0, u(x, y, c) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b (2c) di mana a, b, c adalah konstanta-konstanta positif dan f(x, y) adalah fungsi yang diketahui. Bagian ketiga membahas penyelesaian numerik dari persamaan (1) di titik-titik (ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 dengan a/h bilangan bulat positif dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas u(0, y, z) = u1, u(a, y, z) = u2, bila 0 ≤ y ≤ a, 0 < z < a (3a) u(x, 0, z) = u3, u(x, a, z) = u4, bila 0 < x< a, 0 < z < a (3b) u(x, y, 0) = u5, u(x, y, a) = u6, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a (3c) di mana para u1, u2, u3, u4, u5, u6 adalah konstanta-konstanta nonnegatif yang hargaharganya ditentukan sebelumnya.
Bagian keempat merupakan kesimpulan dari makalah ini, yaitu membandingkan hasil pendekatan dari penyelesaian analitik dengan penyelesaian numerik dari Contoh 2 dalam bagian ketiga.
PENYELESAIAN ANALITIK Kita tinjau terlebih dulu persamaan Laplace (1) dalam kotak tegak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c dengan syarat-syarat batas (2a), (2b) dan (2c). Dalam daftar pustaka 1 dapat kita peroleh bahwa penyelesaian analitik persamaan (1) dengan syarat-syarat batas (2a), (2b) dan (2c) adalah ∞
∞
u ( x, y, z ) = ∑∑ d mn sin(πmx / a) sin(πny / b) sinh( l mn z ) / sinh( l mn c )
(4)
m =1 n =1
di mana
d mn
4 b a = f ( x, y ) sin(πmx / a ) sin(πny / b)dxdy ab y∫=0 x∫=0
(5)
dan
l mn = π
m2 n2 + . a2 b2
(6)
Penyelesaian analitik persamaan (1) dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas u(0, y, z) = 0, u(a, y, z) = 0, bila 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z < a (7a) u(x, 0, z) = 0, u(x, a, z) = 0, bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ z < a (7b) u(x, y, 0) = 0, u(x, y, a) = f(x, y), bila 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a (7c) adalah ∞
∞
u ( x, y, z ) = ∑∑ d mn sin(πmx / a ) sin(πny / a) sinh( l mn z ) / sinh( l mn a ) ,(8) m =1 n =1
di mana
d mn
4 = 2 a
dan
l mn =
a
a
∫ ∫ f ( x, y) sin(πmx / a) sin(πny / a)dxdy
(9)
y = 0 x =0
π m2 + n2 a
yaitu sebagai kejadian khusus dari kejadian di atas di mana a = b = c.
(10)
PENYELESAIAN NUMERIK Dalam bagian ini kita membahas penyelesaian numerik dari persamaan (1) di titik-titik (ih, jh, kh), i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 dengan a/h bilangan bulat positif dalam kubus 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a dengan syarat-syarat batas (3a), (3b) dan (3c). Menggunakan persamaan (1) dapat diperoleh formula beda hingga
u (ih, jh, kh) = { u ((i + 1)h, jh, kh) + u ((i − 1)h, jh, kh) + u (i, ( j + 1)h, kh) + u (i, ( j − 1)h, kh) + u (ih, jh, (k + 1)h) + u (ih, jh, (k − 1)h) }/ 6
(11)
di mana i, j, k = 1, 2,…, a/h-1. Dengan mensubstitusikan harga-harga i, j, k = 1, 2,…, a/h-1 ke dalam persamaan (11) kita peroleh sistem persamaan linier yang terdiri dari (a/h-1)3 persamaan, yaitu
u (h, h, h) = {u (2h, h, h) + u (0, h, h) + u (h,2h, h) + u (h,0, h) + u (h, h,2h) + u (h, h,0)} / 6 u (h, h,2h) = {u (2h, h,2h) + u (0, h, 2h) + u (h,2h,2h) + u (h,0,2h) + u (h, h,3h) + u (h, h, h)} / 6 K u (h, h, a − h) = {u (2h, h, a − h) + u (0, h, a − h) + u (h,2h, a − h) + u (h,0, a − h) + u (h, h, a) + u (h, h, a − 2h)} / 6 u (h,2h, h) = {u (2h,2h, h) + u (0,2h, h) + u (h,3h, h) + u (h, h, h) + u (h,2h,2h) + u (h,2h,0)} / 6 u (h,2h,2h) = {u (2h,2h,2h) + u (0,2h,2h) + u (h,3h,2h) + u (h, h,2h) + u (h,2h,3h) + u (h,2h, h)} / 6 K u (h,2h, a − h) = {u (2h,2h, a − h) + u (0,2h, a − h) + u (h,3h, a − h) + u (h, h, a − h) + u (h,2h, a) + u (h,2h, a − 2h)} / 6 K u (h, a − h, h) = {u (2h, a − h, h) + u (0, a − h, h) + u (h, a, h) + u (h, a − 2h, h) + u (h, a − h,2h) + u (h, a − h,0)} / 6 u (h, a − h,2h) = {u (2h, a − h, 2h) + u (0, a − h, 2h) + u (h, a, 2h) + u (h, a − 2h,2h) + u (h, a − h,3h) + u (h, a − h, h)} / 6 K
u (h, a − h, a − h) = {u (2h, a − h, a − h) + u (0, a − h, a − h) + u (h, a, a − h) + u (h, a − 2h, a − h) + u (h, a − h, a ) + u (h, a − h, a − 2h)} / 6 u (2h, h, h) = {u (3h, h, h) + u (h, h, h) + u (h,2h, h) + u (h,0, h) + u (h, h,2h) + u (h, h,0)} / 6 u ( 2h, h,2h) = {u (3h, h,2h) + u (h, h,2h) + u (2h,2h,2h) + u (2h,0,2h) + u (2h, h,3h) + u ( 2h, h, h)} / 6 K u (2h, h, a − h) = {u (3h, h, a − h) + u (h, h, a − h) + u (2h,2h, a − h) + u (2h,0, a − h) + u (2h, h, a ) + u (2h, h, a − 2h)} / 6 u (2h,2h, h) = {u (3h, 2h, h) + u (h, 2h, h) + u (2h,3h, h) + u (2h, h, h) + u (2h,2h,2h) + u (2h, 2h,0)} / 6 u (2h,2h,2h) = {u (3h,2h,2h) + u (h,2h,2h) + u (2h,3h,2h) + u (2h, h,2h) + u (2h,2h,3h) + u (2h,2h, h)} / 6 K u (2h,2h, a − h) = {u (3h,2h, a − h) + u (h, 2h, a − h) + u (2h,3h, a − h) + u (2h, h, a − h) + u (2h,2h, a ) + u (2h,2h, a − 2h)} / 6 K u (2h, a − h, h) = {u (3h, a − h, h) + u (h, a − h, h) + u (2h, a, h) + u (2h, a − 2h, h) + u (2h, a − h, 2h) + u (2h, a − h,0)} / 6 u (2h, a − h,2h) = {u (3h, a − h,2h) + u (h, a − h,2h) + u (2h, a, 2h) + u (2h, a − 2h, 2h) + u (2h, a − h,3h) + u (2h, a − h, h)} / 6 K u (2h, a − h, a − h) = {u (3h, a − h, a − h) + u (h, a − h, a − h) + u (2h, a, a − h) + u (2h, a − 2h, a − h) + u (2h, a − h, a) + u (2h, a − h, a − 2h)} / 6 K u (a − h, h, h) = {u (a, h, h) + u (a − 2h, h, h) + u (a − h,2h, h) + u (a − h,0, h) + u (a − h, h,2h) + u (a − h, h,0)} / 6 u ( a − h, h,2h) = {u (a, h,2h) + u (a − 2 h, h,2 h) + u ( a − h,2h,2h) + u ( a − h,0,2h) + u (a − h, h,3h) + u (a − h, h, h)} / 6
K u (a − h, h, a − h) = {u (a, h, a − h) + u (a − 2h, h, a − h) + u (a − h,2h, a − h) + u (a − h,0, a − h) + u (a − h, h, a ) + u (a − h, h, a − 2h)} / 6 u (a − h,2h, h) = {u (a,2h, h) + u (a − 2h, 2h, h) + u (a − h,3h, h) + u (a − h, h, h) + u (a − h,2h,2h) + u (a − h,2h,0) / 6 K u (a − h,2h,2h) = {u (a, 2h, 2h) + u (a − 2h,2h,2h) + u (a − h,3h, 2h) + u (a − h, h,2h) + u (a − h, 2h,3h) + u (a − h,2h, h)} / 6 K u (a − h,2h, a − h) = {u (a,2h, a − h) + u (a − 2h, 2h, a − h) + u (a − h,3h, a − h) + u (a − h, h, a − h) + u (a − h,2h, a) + u (a − h, 2h, a − 2h)} / 6 K u (a − h, a − h, h) = {u (a, a − h, h) + u (a − 2h, a − h, h) + u (a − h, a, h) + u (a − h, a − 2h, h) + u (a − h, a − h,2h) + u (a − h, a − h,0)} / 6 u (a − h, a − h,2h) = {u (a, a − h,2h) + u (a − 2h, a − h, 2h) + u (a − h, a,2h) + u (a − h, a − 2h,2h) + u (a − h, a − h,3h) + u (a − h, a − h, h)} / 6 K u (a − h, a − h, a − h) = {u (a, a − h, a − h) + u (a − 2h, a − h, a − h) + u (a − h, a, a − h) + u (a − h, a − 2h, a − h) + u (a − h, a − h, a) + u (a − h, a − h, a − 2h)} / 6 Menggunakan syarat-syarat batas (3a), (3b) dan (3c) maka sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk
− 6u (h, h, h) + u (h, h,2h) + u (h, 2h, h) + u (2h, h, h) = −u1 − u 3 − u 5 u (h, h, h) − 6u (h, h, 2h) + u (h, h,3h) + u (h,2h,2h) + u (2h, h,2h) = −u1 − u 3 K u (h, h,2h) − 6u (h, h, a − h) + u (h,2h, a − h) + u (2h, h, a − h) = −u1 − u 3 − u 6 u (h, h, h) − 6u (h,2h, h) + u (h,2h,2h) + u (h,3h, h) + u (2h,2h, h) = −u1 − u 5 u (h, h,2h) + u (h, 2h, h) − 6u (h,2h,2h) + u (h,2h,3h) + u (h,3h,2h) + u (2h,2h,2h) = −u1 K
u (h, h, a − h) + u (h, 2h, 2h) − 6u (h,2h, a − h) + u (h,3h, a − h) + u (2h,2h, a − h) = −u1 − u 6 K u (h,2h, h) − 6u (h, a − h, h) + u (h, a − h, 2h) + u (2h, a − h, h) = −u1 − u 4 − u 5 u (h,2h,2h) + u (h,3h, h) − 6u (h, a − h,2h) + u (h, a − h, a − h) + u (2h, a − h, 2h) = −u1 − u 4 K u (h,2h, a − h) + u (h, a − h, 2h) − 6u (h, a − h, a − h) + u (2h, a − h, a − h) = −u1 − u 4 − u 6 u (h, h, h) − 6u (2h, h, h) + u (2h, h,2h) + u (2h,2h, h) + u (3h, h, h) = −u 3 − u 5 u ( h, h,2h) + u (2h, h, h) − 6u (2h, h,2h) + u ( 2h, h,3h) + u (2h,2h,2h) + u (3h, h,2h) = −u 3 K u (h, h, a − h) + u (2h, h,2h) − 6u (2h, h, a − h) + u (2h,2h, a − h) + u (a − h, h, a − h) = −u 3 − u 6 u (h,2h, h) + u (2h, h, h) − 6u (2h, 2h, h) + u (2h, 2h, 2h) + u (2h,3h, h) + u (3h,2h, h) = −u 5 u (h,2h,2h) + u (2h, h,2h) + u (2h,2h, h) − 6u (2h, 2h, 2h) + u (2h,2h,3h) + u (2h,3h,2h) + u (3h,2h,2h) = 0 K u (h,2h, a − h) + u (2h, h, a − h) + u (2h,2h, a − 2h) − 6u (2h, 2h, a − h) + u (2h,3h, a − h) + u (3h, 2h, a − h) = −u 6 K
u (h, a − h, h) + u (2h, a − 2h, h) − 6u (2h, a − h, h) + u (2h, a − h,2h) + u (3h, a − h, h) = −u 4 − u 5 u (h, a − h,2h) + u (2h, a − 2h,2h) + u (2h, a − h, h) − 6u (2h, a − h,2h) + u (2h, a − h,3h) + u (3h, a − h,2h) = −u 4 K u (h, a − h, a − h) + u (2h, a − 2h, a − h) + u (2h, a − h, a − 2h) − 6u (2h, a − h, a − h) + u (3h, a − h, a − h) = −u 4 − u 6 K u (a − 2h, h, h) − 6u (a − h, h, h) + u (a − h, h,2h) + u (a − h,2h, h) = −u 2 − u 3 − u 5 u ( a − 2h, h,2h) + u (a − h, h, h) − 6u ( a − h, h,2h) + u (a − h, h,3h) + u (a − h,2h,2h) = −u 2 − u 3 K u (a − 2h, h, a − h) + u (a − h, h, a − 2h) − 6u (a − h, h, a − h) + u (a − h,2h, a − h) = −u 2 − u 3 − u 6 u (a − 2h,2h, h) + u (a − h, h, h) − 6u (a − h, 2h, h) + u (a − h,2h,2h) + u (a − h,3h, h) = −u 2 − u 5 K u (a − 2h,2h,2h) + u (a − h, h,2h) + u (a − h,2h, h) − 6u (a − h,2h,2h) + u (a − h,2h,3h) + u (a − h,3h,2h) = −u 2 K u (a − 2h,2h, a − h) + u (a − h, h, a − h) + u (a − h,2h, a − 2h) − 6u (a − h,2h, a − h) + u (a − h,3h, a − h) = −u 2 − u 6 K u (a − 2h, a − h, h) + u (a − h, a − 2h, h) − 6u (a − h, a − h, h) + u (a − h, a − h,2h) = −u 2 − u 4 − u 5 u (a − 2h, a − h,2h) + u (a − h, a − 2h, 2h) + u (a − h, a − h, h) − 6u (a − h, a − h,2h) + u (a − h, a − h,3h) = −u 2 − u 4 K u (a − 2h, a − h, a − h) + u (a − h, a − 2h, a − h) + u (a − h, a − h, a − 2h) − 6u (a − h, a − h, a − h) = −u 2 − u 4 − u 6 .
Contoh 1 Bila diketahui bahwa a = 4, h = 1, u1 = u 2 = u 3 = u 4 = 0, u 5 = u 6 = 100 maka sistem persamaan di atas menjadi
− 6u (1,1,1) + u (1,1, 2) + u (1, 2,1) + u (2,1,1) = −100 u (1,1,1) − 6u (1,1,2) + u (1,1,3) + u (1,2,2) + u (2,1,2) = 0 u (1,1,2) − 6u (1,1,3) + u (1,2,3) + u (2,1,3) = −100 u (1,1,1) − 6u (1,2,1) + u (1, 2,2) + u (1,3,1) + u (2, 2,1) = −100 u (1,1,2) + u (1,2,1) − 6u (1,2, 2) + u (1,2,3) + u (1,3, 2) + u (2, 2,2) = 0 u (1,1,3) + u (1,2,2) − 6u (1,2,3) + u (1,3,3) + u (2,2,3) = −100 u (1,2,1) − 6u (1,3,1) + u (1,3, 2) + u (2,3,1) = −100 u (1,2,2) + u (1,3,1) − 6u (1,3,2) + u (1,3,3) + u (2,3,2) = 0 u (1,2,3) + u (1,3,2) − 6u (1,3,3) + u (2,3,3) = −100 u (1,1,1) − 6u (2,1,1) + u (2,1,2) + u (2,2,1) + u (3,1,1) = −100 u (1,1,2) + u (2,1,1) − 6u (2,1, 2) + u (2,1,3) + u (2, 2,2) + u (3,1,2) = 0 u (1,1,3) + u (2,1,2) − 6u (2,1,3) + u (2, 2,3) + u (3,1,3) = −100 u (1,2,1) + u (2,1,1) − 6u (2, 2,1) + u (2, 2,2) + u (2,3,1) + u (3,2,1) = −100 u (1,2,2) + u (2,1,2) + u (2,2,1) − 6u (2,2,2) + u (2,2,3) + u (2,3,2) + u (3,2,2) = 0 u (1,2,3) + u (2,1,3) + u (2, 2,2) − 6u (2,2,3) + u (2,3,3) + u (3, 2,3) = −100 u (1,3,1) + u (2,2,1) − 6u (2,3,1) + u (2,3,2) + u (3,3,1) = −100 u (1,3,2) + u (2, 2,2) + u (2,3,1) − 6u (2,3,2) + u (2,3,3) + u (3,3,2) = 0 u (1,3,3) + u (2, 2,3) + u (2,3,2) − 6u (2,3,3) + u (3,3,3) = −100 u (2,1,1) − 6u (3,1,1) + u (3,1, 2) + u (3,2,1) = −100 u (2,1,2) + u (3,1,1) − 6u (3,1,2) + u (3,1,3) + u (3, 2,2) = 0 u (2,1,3) + u (3,1,2) − 6u (3,1,3) + u (3,2,3) = −100 u (2,2,1) + u (3,1,1) − 6u (3, 2,1) + u (3, 2,2) + u (3,3,1) = −100 u (2,2,2) + u (3,1,2) + u (3,2,1) − 6u (3,2,2) + u (3, 2,3) + u (3,3,2) = 0 u (2,2,3) + u (3,1,3) + u (3,2, 2) − 6u (3, 2,3) + u (3,3,3) = −100 u (2,3,1) + u (3, 2,1) − 6u (3,3,1) + u (3,3,2) = −100 u (2,3,2) + u (3,2, 2) + u (3,3,1) − 6u (3,3,2) + u (3,3,3) = 0 u (2,3,3) + u (3,2,3) + u (3,3, 2) − 6u (3,3,3) = −100 .
Menggunakan program komputer dalam VAX FORTRAN dengan versi V4.0, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah
u (1,1,1) = 33,3333 u (1,2,1) = 40,1961 u (1,3,1) = 33,3333 u (2,1,1) = 40,1961 u (2,2,1) = 49,0196 u (2,3,1) = 40,1961 u (3,1,1) = 33,3333 u (3,2,1) = 40,1961 u (3,3,1) = 33,3333
u (1,1, 2) = 19,6078 u (1,2,2) = 25,4902 u (1,3,2) = 19,6078 u (2,1,2) = 25,4902 u (2,2, 2) = 33,3333 u (2,3,2) = 25,4902 u (3,1,2) = 19,6078 u (3,2,2) = 25,4902 u (3,3,2) = 19,6078
u (1,1,3) = 33,3333 u (1,2,3) = 40,1961 u (1,3,3) = 33,3333 u (2,1,3) = 40,1961 u (2, 2,3) = 49,0196 u (2,3,3) = 40,1961 u (3,1,3) = 33,3333 u (3,2,3) = 40,1961 u (3,3,3) = 33,3333 .
Contoh 2 Dalam hal ini bila diketahui bahwa a = 4, h = 1, u1 = u 2 = u 3 = u 4 = u 5 = 0, u 6 = 100 maka sistem persamaan di muka menjadi
− 6u (1,1,1) + u (1,1,2) + u (1,2,1) + u (2,1,1) = 0 u (1,1,1) − 6u (1,1,2) + u (1,1,3) + u (1,2,2) + u (2,1,2) = 0 u (1,1,2) − 6u (1,1,3) + u (1,2,3) + u (2,1,3) = −100 u (1,1,1) − 6u (1,2,1) + u (1,2,2) + u (1,3,1) + u (2,2,1) = 0 u (1,1,2) + u (1,2,1) − 6u (1,2, 2) + u (1,2,3) + u (1,3, 2) + u (2, 2,2) = 0 u (1,1,3) + u (1,2,2) − 6u (1,2,3) + u (1,3,3) + u (2,2,3) = −100 u (1,2,1) − 6u (1,3,1) + u (1,3, 2) + u (2,3,1) = 0 u (1,2,2) + u (1,3,1) − 6u (1,3,2) + u (1,3,3) + u (2,3,2) = 0 u (1,2,3) + u (1,3,2) − 6u (1,3,3) + u (2,3,3) = −100 u (1,1,1) − 6u (2,1,1) + u (2,1,2) + u (2,2,1) + u (3,1,1) = 0 u (1,1,2) + u (2,1,1) − 6u (2,1, 2) + u (2,1,3) + u (2, 2,2) + u (3,1,2) = 0 u (1,1,3) + u (2,1,2) − 6u (2,1,3) + u (2, 2,3) + u (3,1,3) = −100 u (1,2,1) + u (2,1,1) − 6u (2, 2,1) + u (2, 2,2) + u (2,3,1) + u (3,2,1) = 0 u (1,2,2) + u (2,1,2) + u (2,2,1) − 6u (2,2,2) + u (2,2,3) + u (2,3,2) + u (3,2,2) = 0 u (1,2,3) + u (2,1,3) + u (2, 2,2) − 6u (2,2,3) + u (2,3,3) + u (3, 2,3) = −100 u (1,3,1) + u (2,2,1) − 6u (2,3,1) + u (2,3,2) + u (3,3,1) = 0 u (1,3,2) + u (2, 2,2) + u (2,3,1) − 6u (2,3,2) + u (2,3,3) + u (3,3,2) = 0
u (1,3,3) + u (2, 2,3) + u (2,3,2) − 6u (2,3,3) + u (3,3,3) = −100 u (2,1,1) − 6u (3,1,1) + u (3,1, 2) + u (3, 2,1) = 0 u (2,1,2) + u (3,1,1) − 6u (3,1,2) + u (3,1,3) + u (3, 2,2) = 0 u (2,1,3) + u (3,1,2) − 6u (3,1,3) + u (3,2,3) = −100 u (2,2,1) + u (3,1,1) − 6u (3, 2,1) + u (3, 2,2) + u (3,3,1) = 0 u (2,2,2) + u (3,1,2) + u (3,2,1) − 6u (3,2,2) + u (3, 2,3) + u (3,3,2) = 0 u (2,2,3) + u (3,1,3) + u (3,2, 2) − 6u (3, 2,3) + u (3,3,3) = −100 u (2,3,1) + u (3, 2,1) − 6u (3,3,1) + u (3,3,2) = 0 u (2,3,2) + u (3,2, 2) + u (3,3,1) − 6u (3,3,2) + u (3,3,3) = 0 u (2,3,3) + u (3,2,3) + u (3,3, 2) − 6u (3,3,3) = −100 . Juga menggunakan program komputer dalam VAX FORTRAN dengan versi V4.0, penyelesaian sistem persamaan ini adalah
u (1,1,1) = 2,9762 u (1,2,1) = 4,0266 u (1,3,1) = 2,9762 u (2,1,1) = 4,0266 u (2,2,1) = 5,4622 u (2,3,1) = 4,0266 u (3,1,1) = 2,9762 u (3,2,1) = 4,0266 u (3,3,1) = 2,9762
u (1,1,2) = 9,8039 u (1,1,3) = 30,3571 u (1,2,2) = 12,7451 u (1,2,3) = 36,1695 u (1,3,2) = 9,8039 u (1,3,3) = 30,3571 u (2,1, 2) = 12,7451 u (2,1,3) = 36,1695 u (2, 2,2) = 16,6667 u (2, 2,3) = 43,5574 u (2,3,2) = 12,7451 u (2,3,3) = 36,1695 u (3,1,2) = 9,8039 u (3,1,3) = 30,3571 u (3,2,2) = 12,7451 u (3,2,3) = 36,1695 u (3,3,2) = 9,8039 u (3,3,3) = 30,3571.
KESIMPULAN Dalam kesimpulan ini akan kita bandingkan penyelesaian numerik dari Contoh 2 di muka dengan pendekatan dari penyelesaian analitiknya. Menggunakan persamaan-persamaan (7a), (7b), (7c), (8) ,(9), (10) untuk a = 4, f(x, y) = 100, (x, y, z) = (i, j, k) dengan i, j ,k = 1, 2, 3 dan m, n = 1, 2, 3 maka dapat kita peroleh pendekatan dari penyelesaian analitik dari Contoh 2, yaitu 25
25
u (i, j, k ) = ∑∑ c mn sin(πmi / 4) sin(πnj / 4) sinh( k mn k ) / sinh( k mn 4) , (10) m =1 n =1
di mana
4
c mn = 25 ∫
4
∫ sin(πmx / 4) sin(πny / 4)dxdy
y =0 x =0
4
∫
= 25
x =0
=
4
sin(πmx / 4)dx ∫ sin(πny / 4)dy y =0
400 (cos(πm) − 1)(cos(πn) − 1) , π 2 mn
(11) dan
k mn =
π m2 + n2 . 4
(12) Harga-harga tersebut kita substitusikan ke persamaan (8) memberikan pendekatan dari penyelesaian analitik, yaitu
u (1,1,1) = 2,6128 u (1,2,1) = 3,6501 u (1,3,1) = 2,6128 u (2,1,1) = 3,6501 u (2,2,1) = 5,1016 u (2,3,1) = 3,6501 u (3,1,1) = 2,6128 u (3,2,1) = 3,6501 u (3,3,1) = 2,6128
u (1,1,2) = 9,0641 u (1,1,3) = 30,7206 u (1,2, 2) = 12,2724 u (1, 2,3) = 37,2858 u (1,3, 2) = 9,0641 u (1,3,3) = 30,7206 u (2,1, 2) = 12,2724 u (2,1,3) = 37,2858 u (2,2, 2) = 16,6667 u (2,2,3) = 45,8087 u (2,3,2) = 12, 2724 u (2,3,3) = 37,2858 u (3,1, 2) = 9,0641 u (3,1,3) = 30,7206 u (3, 2,2) = 12, 2724 u (3, 2,3) = 37,2858 u (3,3, 2) = 9,0641 u (3,3,3) = 30,7206.
DAFTAR PUSTAKA 1. HSU, Hwei P., Applied Fourier Analysis, Harcourt Brace Jovanovich, 1984. 2. JOHNSON, Lee W. dan RIESS, R. Dean, Numerical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, 1982.
DISKUSI
AS NATIO LASMAN Dalam koordinat kartesius yang membentuk: uxx + uyy + uzz = 0, diberikan syarat batas u1, u2, u3, u4, u5, u6 adalah konstanta-konstanta non-negatif. Apa yang terjadi apabila konstanta-konstanta u1, u2, u3, u4, u5, u6 tersebut negatif?
SANGADJI Apabila konstanta-konstanta u1, u2, u3, u4, u5, u6 harga-harganya negatif, penyelesaiannya masih dapat diperbolehkan. Hal ini karena matriks yang terkait dalam sistem persamaan linear adalah non-singular.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama
: SANGADJI
2. Tempat/Tanggal Lahir
: Solo, 16 Juni 1948
3. Instansi
: P2TIK - BATAN
4. Pekerjaan / Jabatan
: Ka.. Bidang Komputasi
5. Riwayat Pendidikan
: (setelah SMA sampai sekarang)
•
FMIPA-UGM, Jurusan Matematika (1974) (S1)
•
Univ. of Arizona (USA), Jurusan Matematika (1988)(S2)
•
Univ. of Montana (USA), Jurusan Matematika (1997)
6. Pengalaman Kerja
: 1974 – sekarang : Bekerja di BATAN
7. Organisasi Professional
:
• Himpunan Matematika Indonesia • Himpunan Fisika Indonesia
(S3)
HOME
KOMPUTASI DALAM SAINS DAN TEKNOLOGI NUKLIR X
