SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN LAPLACE DAN HELMHOLTZ DENGAN MENGGUNAKAN METODE ELEMEN BATAS NUMERICAL SOLUTION OF LAPLACE AND HELMHOLTZ EQUATION BY BOUNDARY ELEMENT METHOD
Cicilia Tiranda, Dr. Jeffry Kusuma, Dr. Mawardi, M. Eng. Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin
Alamat Korespondensi: Cicilia Tiranda Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Merauke, HP: 085244761505 Email:
[email protected]
Abstrak Dibandingkan dengan metode lainnya seperti Metode Elemen Hingga dan Metode Beda Hingga, MEB memiliki keunikan tersendiri yakni pada bagian diskritisasi yang sangat efisien karena hanya membutuhkan memori komputasi yang sedikit dibandingkan metode konvensional. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi numerik persamaan Laplace dan Helmholtz dua dimensi menggunakan metode elemen batas dengan bantuan program Matlab 2010. Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan bantuan program Matlab yang diawali dengan persiapan data-data, mengeset sistem persamaan linear, mencari solusi persamaan linear sampai pada menghitung titik interior. Metode yang digunakan adalah Metode Elemen Batas (MEB) yang menggunakan sifat yang berkaitan dengan harga nilai batas, dalam hal ini fungsi Green, sehingga suatu persamaan diferensial parsial dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan integral pada batas domain yang kemudian didiskritisasi menjadi elemen-elemen batas yang dihitung dalam suatu persamaan matriks yang lebih sederhana. Hasil penelitian menghasilkan solusi numerik dari persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz dua dimensi. Hasilnya memberikan nilai-nilai pada batasan dan nilai pada titik interior. Solusi numerik yang dihasilkan cukup akurat dan mendekati solusi analitiknya. Studi kasus menunjukkan bahwa MEB memiliki keunggulan dalam kesederhanaan dan kepraktisan diskritisasi domain dengan kondisi batas tertentu, menghemat memori komputer serta mempercepat waktu komputasi. Kata kunci: Solusi Numerik, Persamaan Laplace, Persamaan Helmhotz, MEB.
Abstract Comparing with another methods such as the Finite Element Method and Finite Difference Method, MEB has unique characteristics in efficiency of discretization because it only needs a little computational memory than conventional methods. This study aims to determine the numerical solution of Laplace and Helmholtz equation using two-dimensional boundary element method with the assistance of Matlab 2010. This research was conducted with the assistance of Matlab program with the preparation of the data in beginning, setting system of linear equations, finding solutions of linear equations until calculating the interior point. The method used is the Boundary Element Method (BEM) which uses things related to the price of the limit value, in this case the Green's function, so a partial differential equation can be solved by using an integral approach at the domain boundaries then discretized into calculated boundary elements in a simpler matrix equation. The results of the research produces numerical solution of Laplace's equation and the Helmholtz`s equation in two dimension. The result gives the values of the limits and value at an interior point. The resulting numerical solution is quite accurate and reaching analytical solutions. The case studies show that the BEM has the advantage of simplicity and practicality domain discretization with certain boundary condition, saving computer memory and speed up the computation time. Keywords: Numerical Solution, The Laplace equation, The Helmhotz equation, BEM.
PENDAHULUAN Persamaan Laplace dan Helmholtz adalah sebuah persamaan yang penting dalam bidang matematika, fisika, mekanika dan masalah teknik. Banyak masalah yang berhubungan dengan osilasi dengan kondisi tetap (steady-state oscillation) yang mengarah pada persamaan Laplace dan Helmholtz. Persamaan Laplace muncul dalam sistem matematika dan fisika, mulai dari mekanika fluida, elektromagnetik, teori potensial, mekanika padat, konduksi panas, geometri, probabilitas, teori bilangan, dan seterusnya. Solusi untuk persamaan Laplace dikenal sebagai "fungsi harmonik", dan banyak penemuan luar biasa membentuk salah satu bab penting dalam sejarah matematika (Olver, 2012). Sedangkan persamaan Helmholtz muncul pada reaksi nuklir dan masalah Lamb dalam geofisika. Persamaan Helmholtz merupakan persamaan diferensial parsial tipe eliptik yang melibatkan variabel ruang dan mempertimbangkan masalah nilai batas. Semua persamaan eliptik dengan koefisien konstan dapat direduksi menjadi persamaan Helmholtz (Faradillah, 2011). Persamaan Laplace dan Helmholtz disini akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Elemen Batas (MEB). Pendekatan persamaan integral untuk masalah nilai batas elastostatik sudah lama diperkenalkan (Rizzo, 1967). Sejak saat itu sudah banyak penulis yang ikut menggunakan metode elemen batas untuk menetukan solusi numerik dari berbagai masalah statik untuk material elastis, isotropik dan homogen (Brebbia dan Dominguez, 1989). Metode elemen batas sendiri telah mulai dikenal sejak pada tahun 1960-an sebagai salah satu metode numerik dalam memecahkan persamaan diferensial parsial. Orang-orang yang mendalami MEB saat itu antara lain adalah Jaswon, Hess, Symm, Massonnet, Shaw, Rizzo, Cruse, dan lain-lain. Istilah Boundary Element Method sendiri baru ada di literatur pada tahun 1977. Metode ini didasari oleh Persamaan Integral Batas (Boundary Integral Equation disingkat BIE) yang sebelumnya telah lama dipakai. Beberapa tokoh terkenal yang memakai metode ini pada tahun 1800 sampai 1900-an awal antara lain adalah Poisson, Betti, Kirchoff, Somigliana, Kellogg, Kupradze, dan lain-lain (Manolis, 2008). Metode ini memiliki keunikan dibandingkan metode konvensional seperti Metode Elemen Hingga dan Metode Beda Hingga yang membutuhkan diskritisasi seluruh domain pemodelan, yaitu diskritisasi hanya perlu dilakukan pada bidang-bidang batas pemodelan. Keunikan ini menjadikan Metode Elemen Batas sangat efisien dalam
pemodelan, karena hanya membutuhkan memori komputasi yang sedikit dibandingkan metode konvensional. Dalam hal tertentu MEB lebih disukai daripada metode lainnya karena beberapa keunggulannya dalam menghasilkan keakuratan tinggi dan kemampuan menyelesaikan masalah dengan domain tak terbatas. Pemodelan dapat dilakukan dengan lebih fleksibel sedangkan jika menggunakan Metode Elemen Hingga, diskritisasi dilakukan berulang-ulang (Mohammad, 2012). Solusi numerik untuk persamaan Helmholtz sebelumnya telah dibahas dalam Kusuma (1997), yang melibatkan material inhomogen maupun nonhomogen seperti material komposit untuk lembah yang tertimbun. Adapun penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi numerik persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz dua dimensi menggunakan Metode Elemen Batas dengan bantuan program Matlab.
BAHAN DAN METODE Penelitian ini dilakukan untuk menentukan solusi numerik dari persamaan Laplace dan Helmholtz dua dimensi. Untuk memperoleh hasil numerik dari kedua persamaan tersebut, digunakan Metode Elemen Batas yang merupakan pengembangan dari metode-metode yang telah ada sebelumnya dan untuk lebih memudahkan digunakan bantuan software matlab 2010. Teorema Gauss-Green Teorema Gauss-Green adalah identitas dasar yang berkaitan dengan integral dari turunan sebuah fungsi dengan domain untuk integral dari fungsi pada batas domain . Dengan melakukan pengintegralan maka diperoleh teorema Gauss-Green (Stewart, 2003):
(
)
dan (
)
=
=
=−
=
Ω
+ =
Ω+
Ω ⇒
, +
(1)
⇒
=−
+
.
(2)
Persamaan yang berkaitan dengan divergensi total dari sebuah medan vektor disebut sebagai teorema divergensi Gauss dengan bentuk persamaan:
∇∙
Ω=
Γ
∙
,
(3)
Identitas Kedua Green Misalkan fungsi
= ( , ) dan
= ( , ) yang terdiferensialkan dua kali secara
kontinu terhadap dan kemudian terhadap maka diperoleh Identitas Kedua Green (Asmar, 2004):
Fungsi Green
( ∇
− ∇
)
=
−
,
(4)
Fungsi Green yang digunakan untuk persamaan Laplace adalah (Azis, 2010): =
1 ln , 2
(5)
( ),
(6)
sedangkan fungsi Green yang digunakan untuk persamaan Helmholtz adalah (Kusuma, 1997):
dimana
=
1 4
menyatakan fungsi Bessel jenis kedua yang berordo 0, dan
( − ) } .
= {( − ) +
HASIL PENELITIAN Metode Elemen Batas Di dalam metode elemen batas, suatu permasalahan yang diformulasikan dengan persamaan diferensial parsial akan dipecahkan dengan membawa keberlakuan solusi permasalahan dari seluruh domain menuju batas domain. Hal ini dilakukan dengan menggunakan identitas Green dan teorema Gauss serta menerapkan teknik pembobotan residual.
Metode Elemen batas disini langsung menggunakan persamaan ( , )=
−
Dengan mendiskritisasi batasan kontur , katakan
.
(7)
ke dalam
segmen, persamaan (7)
segera tereduksi menjadi:
( , )=
−
.
(8)
Selanjutnya, dengan melakukan pendekatan elemen konstan, yakni dengan menganggap ,
pada kontur
merupakan suatu konstan maka persamaan (8) dapat dituliskan
sebagai ( , )=
S
(9)
=
=
−
S
(10)
=
=
−
S
(11)
Selanjutnya, jika diberikan yakni pada kontur
−
buah syarat awal yang diketahui pada batasan,
, maka persamaan (9) beserta syarat awalnya segera membentuk
sistem persamaan linear dengan variabel yang tidak diketahui. Sekali sistem persamaan
linear ini terselesaikan, simpangan ataupun shear stress dapat dengan mudah diketahui dengan melibatkan persamaan (9) untuk titik yang mana saja di dalam domain. Hasil Numerik Persamaan Laplace
Sebagai ilustrasi untuk menunjukkan ketepatan dan keakuratan serta keabsahan teknik penyelesaian secara numerik, akan dipertimbangkan masalah berikut. Untuk setiap domain
diambil sebuah persegi yang didefenisikan 0 <
< 1 dan 0 <
< 1.
Kemudian akan ditentukan solusi persamaan differensial dari persamaan Laplace yang dibatasi oleh vertex (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1).
Dalam penelitian numerik ini, akan ditampilkan hasil numerik untuk titik pada batasan dan titik pada interior yang telah dihitung dengan bantuan software matlab 2010 dalam bentuk tabel dengan kondisi batas yang digunakan sebagai berikut:
( , )=
,
(12)
( , 0) = − ,
(13)
(1, ) = ,
(14)
( , 1) = ,
(15)
(0, ) = − .
(16)
Kemudian dengan menggunakan fungsi Green pada persamaan (5) untuk
persamaan Laplace
+
= 0, maka akan ditentukan =
sementara
dan
+
seperti berikut:
,
(17)
=
( − ) 1 , 2 ( − ) +( − )
(18)
=
1 ( − ) . 2 ( − ) +( − )
(19)
Substitusi persamaan (18) dan (19) ke persamaan (17) diperoleh: =
1 ( − ) +( − ) 2 ( − ) +( − )
,
(20)
Adapun hasil numerik untuk titik pada batasan tersaji dalam Tabel 1 (terlampir) dan hasil numerik untuk titik pada interior tersaji dalam Tabel 2 (terlampir). Hasil Numerik Persamaan Helmholtz
Sama halnya dengan solusi numerik untuk persamaan Laplace di atas, solusi untuk persamaan Helmholtz (91) juga dibatasi oleh vertex (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0, 1). Namun kondisi batas yang digunakan adalah ( , )=
cos( ),
(21)
( , 0) = − cos( ),
(22)
( , 1) = cos( ),
(24)
(1, ) =
cos( ),
(0, ) =
cos( ).
(23)
(25)
Dengan menggunakan fungsi Green pada persamaan (III. 45) untuk persamaan Helmholtz (III. 42), maka akan ditentukan
sebagai berikut.
=
sementara
dan
+
,
(26)
=−
( − ) ( ) , 4
(27)
=−
( − ) ( ) . 4
(28)
Kemudian substitusi persamaan (27) dan (28) ke persamaan (26) diperoleh: =−
[ ( )]
Turunkan persamaan (4) terhadap
=
=
( − ) + −
[ ( )] −
[ ( )] −
( − ) + 4
( − )
( − ) + 4
( − )
maka diperoleh
( − )( − )
( − )( − )+ −
dan
( − )+ 4 ( )
−
−
(29)
( )
( − )( − ) ( )
.
( )
( − )( − )
(30)
(31)
dimana
menyatakan fungsi Bessel jenis kedua ordo 0,
jenis kedua ordo 1, dan
=
menyatakan fungsi Bessel
( − ) +( − ) .
Hasil numeriknya disajikan dalam Tabel 3 dan Tabel 4 (terlampir).
PEMBAHASAN Penelitian ini menunjukkan bahwa penggunaan metode elemen batas dalam menentukan solusi numerik persamaan Laplace dan Helmholtz dua dimensi cukup akurat dan efisien. Hasil numerik yang telah diperoleh mengindikasikan bahwa metode ini mampu memberikan solusi yang akurat. Solusi numerik yang dihasilkan mendekati solusi analitik yang diberikan dan nilai erornya semakin mendekati nilai 0.000. Ini menandakan bahwa semakin kecil nilai eror yang dihasilkan maka semakin akurat hasil numerik yang diperoleh sehingga solusi numeriknya bersesuaian dengan solusi analitiknya. Hasil yang diperoleh sesuai dengan yang diharapkan. Jika semakin banyak partisi yang dilakukan maka solusi numerik yang dihasilkan akan semakin akurat. Metode elemen batas hanya membutuhkan diskritisasi pada domain, sehingga jumlah elemen yang dibutuhkan jauh lebih sedikit dibandingkan metode lainnya seperti metode elemen hingga dan metode beda hingga. Penggunaan metode elemen batas untuk menyelesaikan beberapa persoalan yang melibatkan material inhomogen maupun nonhomogen telah memperlihatkan keampuhan metode elemen batas. Dalam tulisannya, Kusuma (1997) menyelesaikan persoalan perambatan gelombang pada material komposit yang terdiri dari dua jenis material dimana material yang keduanya keseluruhannya berada di dalam material yang pertama.
KESIMPULAN DAN SARAN Metode elemen batas dengan bantuan software matlab 2010 untuk solusi numerik persamaan Laplace dan Helmholtz telah berhasil ditemukan. Metode ini cukup mudah digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari suatu masalah tertentu. Hasil yang didapatkan relatif cukup baik meskipun efisiensi komputasinya masih perlu ditingkatkan, baik pada waktu komputasi maupun diskritisasi domain, sehingga keunggulan metode elemen batas dapat dimanfaatkan secara optimal. Metode ini masih perlu penyempurnaan untuk menghasilkan solusi numerik yang lebih akurat dengan
pendiskritan yang lebih besar. Disarankan bagi peneliti berikutnya untuk mencari solusi dari persamaan Gelombang dan persamaan-persamaan lainnya.
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis menyampaikan terima kasih kepada Komisi Penasehat Dr. Jeffry Kusuma dan Dr. Mawardi, M. Eng. yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini, serta kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini.
DAFTAR PUSTAKA Asmar, Nakhle. (2004). Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems. Second Edition. New Jersey: University of Missouri. Azis, Moh. Ivan. (2010). Metode Elemen Batas: Fundamental. Makassar: Universitas Hasanuddin. Brebbia, C. A. dan Dominguez, J. (1989). Boundary Elements an Introductory Course. Computational Mechanics Publications, Boston. Faradillah, Sefty. (2011). Solusi Persamaan Helmholtz pada Koordinat Cartesian. Malang: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim. Kusuma, Jeffry. (1997). Solusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit. Makassar: Universitas Hasanuddin. Manolis, George D. (2008). The Boundary Element Method (BEM) in Engineering Mechanics & Elastodynamics. Slovakia: Comenius University of Bratislava. Mohammad, Imran Hilman. (2012). Pemodelan Elemen Batas untuk Kasus Elegtromagnetik 2D. Bandung: Universitas Padjadjaran. Olver, Peter J. (2012). The Planar Laplace Equation, (Online), (http://wwwusers.math.umn.edu/~olver/am_/leq.pdf, diakses 25 Juli 2014). Rizzo, F. J. (1967). An Integral Equation Approach to Boundary Value Problems of Classical Elastostatics. Quarterly of Applied Mathematics. Volume 25, Halaman 83-95. Stewart, J. (2003). Kalkulus Edisi Keempat. Bandung: Erlangga.
LAMPIRAN Tabel 1.
Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Laplace pada beberapa titik di batasan
Titik di Batasan (0.125, 0.000) (0.375, 0.000) (0.625, 0.000) (0.875, 0.000) (1.000, 0.125) (1.000, 0.375) (1.000, 0.625) (1.000, 0.875) (0.875, 1.000) (0.625, 1.000) (0.375, 1.000) (0.125, 1.000) (0.000, 0.875) (0.000, 0.625) (0.000, 0.375) (0.000, 0.125)
Hasil Analitik
Hasil Komputasi
0.000 0.000 0.000 0.000 0.125 0.375 0.625 0.875 0.875 0.625 0.375 0.125 0.000 0.000 0.000 0.000
-0.004 0.001 0.004 0.015 0.125 0.375 0.625 0.875 0.869 0.630 0.384 0.142 0.028 0.010 0.003 -0.004
-0.125 -0.375 -0.625 -0.875 0.125 0.375 0.625 0.875 0.875 0.625 0.375 0.125 -0.875 -0.625 -0.375 -0.125
-0.125 -0.375 -0.625 -0.875 0.073 0.366 0.600 0.962 0.875 0.625 0.375 0.125 -0.875 -0.625 -0.375 -0.125
Error
0.004 0.001 0.004 0.015 0.006 0.005 0.009 0.017 0.028 0.010 0.003 0.004
0.052 0.009 0.025 0.087 -
Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.
Tabel 2.
Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Laplace pada beberapa titik di interior Hasil Analitik (Eksak)
Titik di Interior (0.300, 0.400) (0.500, 0.500) (0.500, 0.800) (0.800, 0.600) (0.900, 0.500)
0.120 0.250 0.400 0.480 0.450
0.400 0.500 0.800 0.600 0.500
Hasil Komputasi
0.300 0.500 0.500 0.800 0.900
Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.
0.124 0.254 0.406 0.482 0.451
0.399 0.492 0.788 0.594 0.490
0.315 0.506 0.504 0.793 0.990
Tabel 3. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Helmholtz pada beberapa titik di batasan Titik di Batasan (0.125, 0.000) (0.375, 0.000) (0.625, 0.000) (0.875, 0.000) (1.000, 0.125) (1.000, 0.375) (1.000, 0.625) (1.000, 0.875) (0.875, 1.000) (0.625, 1.000) (0.375, 1.000) (0.125, 1.000) (0.000, 0.875) (0.000, 0.625) (0.000, 0.375) (0.000, 0.125)
Hasil Analitik (Eksak)
0.000 0.000 0.000 0.000 0.068 0.203 0.338 0.473 0.641 0.811 0.931 0.992 0.875 0.625 0.375 0.125
-0.992 -0.931 -0.811 -0.641 -0.105 -0.315 -0.526 -0.736 0.641 0.811 0.931 0.992 0.000 0.000 0.000 0.000
Hasil Komputasi
0.018 0.008 0.006 0.008 0.068 0.203 0.338 0.473 0.625 0.801 0.921 0.975 0.875 0.625 0.375 0.125
Error
-0.992 -0.931 -0.811 -0.641 -0.086 -0.318 -0.515 -0.818 0.641 0.811 0.931 0.992 0.023 0.001 -0.001 -0.026
0.018 0.008 0.006 0.008 0.016 0.010 0.010 0.017 -
0.019 0.003 0.011 0.082 0.023 0.001 0.001 0.026
Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.
Tabel 4. Perbandingan hasil analitik dan hasil numerik persamaan Helmholtz pada beberapa titik di interior Hasil Analitik (Eksak)
Titik di Interior (0.200, 0.200) (0.300, 0.400) (0.500, 0.500) (0.600, 0.800) (0.800, 0.900)
0.196 0.382 0.439 0.660 0.627
-0.040 -0.118 -0.240 -0.452 -0.645
Hasil Komputasi
0.980 0.955 0.878 0.825 0.697
Catatan: warna merah adalah hasil numerik yang dihitung.
0.199 0.382 0.437 0.655 0.616
0.284 0.095 -0.330 -0.633 -1.138
1.068 0.979 0.851 0.180 -0.679
