52
BAB 4 (Minggu Ke – 6) Gerak Umum Partikel Dalam Tiga Dimensi
PENDAHULUAN Learning Outcome: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan : •
Mampu memahami Fungsi Tenaga Potensial dalam Gerak Tiga Dimensi.
•
Mampu menggambarkan dan menyelesaikan kasus Gerak Projektil
•
Mampu menggambarkan dan menyelesaikan kasus Osilator harmonik dalam dua dan tiga dimensi.
•
Mampu menggambarkan Gerak Partikel Bermuatan dalam Medan Listrik dan Magnet
53
PENYAJIAN 4.1 Pendahuluan. Prinsip-prinsip Umum
r dpr F= dt
dengan
r r p = mv
Fx = m&x& F y = m&y&
Fz = m&z& 12/15/2012
[email protected]
3
Prinsip Kerja
r r dpr r d (mvr ) r ⋅v = ⋅v F ⋅v = dt dt r r r r Karena d (v ⋅ v ) dt = 2v ⋅ v&
r r d r r dT 1 F ⋅ v = ( 2 mv ⋅ v ) = dt dt dengan 12/15/2012
T = mv 2 2
[email protected]
4
54
Karena
∴
r r dr v= dt
r drr dT F⋅ = dt dt
maka
r r ∫ F ⋅ dr = ∫ dT = T f − Ti = ∆T B
r dr
r F
P
A
12/15/2012
[email protected]
5
4.2 Fungsi Tenaga Potensial dalam Gerak Tiga Dimensi. Operator Del
Fx = −
∂V ∂x
;
Fy = −
r ∂F ∂Fy + curl F = iˆ z − ∂z ∂y
∂V ∂y
;
Fz = −
∂F ˆj ∂Fx − ∂Fz + kˆ y − ∂Fx ∂x ∂x ∂y ∂z
r ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V F = −iˆ −j −k ∂x ∂y ∂z 12/15/2012
∂V ∂z
[email protected]
(Gaya Konservative)
6
55
r r F = −∇V r ∂ ∂ ∂ ∇ = iˆ + ˆj + kˆ ∂x ∂y ∂z
r ∇V
Gradien of V
12/15/2012
[email protected]
r r ∂F ∂Fy + ∇ × F = iˆ z − ∂ y ∂ z Jadi jika
∫
B
A
(del operator)
r r ∇× F = 0
7
∂F ˆj ∂Fx − ∂Fz + kˆ y − ∂Fx = 0 ∂x ∂x ∂y ∂z maka
r r F = −∇V
r r Br B x ∂V B y ∂V Bz ∂V r F ⋅ dr = − ∫ ∇V (r ) ⋅ dr = − ∫ dx − ∫ dy − ∫ dz A Ax ∂x Ay ∂y Az ∂z
= − ∫ dV (r ) = −∆V = V ( A) − V (B ) B
A
12/15/2012
[email protected]
8
56
∫
B
A
∴
r r F ⋅ dr = ∆T = − ∆V
∆(T + V ) = 0
∴ T ( A) + V ( A) = T (B ) + V (B ) = E = konstan
12/15/2012
[email protected]
r F'
9
Gaya non konservative
(
)
r r r r r F + F ' ⋅ dr = − dV + F '⋅dr = dT
∫
B
A
12/15/2012
r r F '⋅dr = ∆(T + V ) = ∆E
[email protected]
10
57
Contoh 1. Diberikan fungsi tenaga potensial
V (r ) = αx 2 + β xy + γz + C dengan α, β , γ, dan C adalah tetapn, Carilah fungsi gayanya? Penyelesaian:
r r ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V F = −∇V = − iˆ + j +k ∂ x ∂ y ∂z
= −iˆ(2 xα + yβ ) − ˆj ( xβ ) − kˆγ
12/15/2012
[email protected]
11
Contoh 2. Anggap sebuah partikel bermassa m bergerak dalam medan gaya di contoh 1, dan pada waktu t = 0 partikel lewat melalui pusat koordinat dengan kecepatan v0. Bagaiman kecepatan partikel jika r dan ketika melalui pusat r = iˆ + 2 ˆj + kˆ Penyelesaian:
E=
1 2 1 mv + V (r ) = mv 02 + V (0 ) 2 2
v 2 = v 02 + 12/15/2012
2 [V (0) − V (r )] m
[email protected]
12
58
[ (
= v 02 +
2 C − αx 2 + β xy + γz + C m
= v02 −
2 (α + 2β + γ ) m
12/15/2012
[email protected]
)]
13
Contoh 3. Tunjukkan bahwa hukum kuadrat invers gaya dalam tiga dimensi
(
)
r F = − k r 2 eˆr
adalah konservative.
eˆr r r 1 ∂ ∇× F = 2 r sin θ ∂r Fr
eˆθ r ∂ ∂θ rFθ
eˆφ r sin θ ∂ ∂φ rFφ sin θ
Fr = − k r 2 , Fθ = 0, Fφ = 0 r r ∇× F = 12/15/2012
eˆθ ∂ − k eˆφ ∂ − k − =0 r sin θ ∂φ r 2 r ∂θ r 2
[email protected]
14
59
4.3 Gaya Tipe Separable. Gerak Projektil
r F = iˆFx ( x ) + ˆjFy ( y ) + kˆFz ( z ) ˆj iˆ kˆ r r ∇ × F = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = 0 Fx ( x ) Fy ( y ) Fz ( z )
12/15/2012
[email protected]
15
Gerak projektil dalam medan gravitasi uniform Tidak ada hambatan udara
r d 2r m 2 = −mgkˆ dt
(
)
1 1 m x& 2 + y& 2 + z& 2 + mgz = mv02 2 2
v 2 = v 02 − 2 gz 12/15/2012
[email protected]
16
60
r d dr = − gkˆ dt dt r r dr = − gtkˆ + v0 dt
r r r 1 r = − gt 2 kˆ + v0 t + r0 2 x = x& 0 t
12/15/2012
y = y& 0 t
z = z& 0 t −
1 2 gt 2
[email protected]
17
y& 0 b= x& 0
y = bx
A = z& 0 x& 0
z = Ax − Bx 2 12/15/2012
[email protected]
B = g 2x& 02 18
61
z
O
y y = bx
x
12/15/2012
[email protected]
19
Hambatan udara linear
r r d 2r m 2 = − mγv − mgkˆ dt r r d 2r = − γ v − gkˆ 2 dt
&x& = −γx&
12/15/2012
&y& = −γy&
[email protected]
&z& = −γz& − g
20
62
Komponen kecepatan
x& = x& 0 e −γt
y& = y& 0 e −γt
z& = z& 0 e −γt −
(1 − e ) γ g
− γt
Komponen koordinat posisi
x=
x& 0
y=
y& 0
γ γ
(1 − e ) −γt
(1 − e ) −γ t
(
)
z& g g z = 0 + 2 1 − e −γt − t γ γ γ 12/15/2012
[email protected]
21
r r v 0 kˆg gt r= + 2 1 − e −γt − kˆ γ γ γ
(
12/15/2012
)
[email protected]
22
63
4.4 Osilator harmonik dalam dua dan tiga dimensi
r r F = −kr r r d 2r m 2 = −kr dt
12/15/2012
(persamaan diferensial linear isotropic oscilator)
[email protected]
23
y
x
z 12/15/2012
[email protected]
24
64
Osilator isotropic dua dimensi
m&x& = −kx
x = A cos(ωt + α )
m&y& = − ky
y = B cos(ωt + β ) k ω = m
dengan
y = B cos(ωt + α + ∆ )
12
dengan
∆ = β −α
y = B[cos(ωt + α ) cos ∆ − sin (ωt + α )sin ∆ ] 12/15/2012
[email protected]
y x x2 = cos ∆ − 1 − 2 B A A
25
12
sin ∆
2 cos ∆ y 2 x2 − xy + 2 = sin 2 ∆ 2 AB A B
ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey = f
b 2 − 4ac 12/15/2012
<0
Ellipse
=0
Parabola
>0
Hyperbola
[email protected]
26
65
2 sin ∆ b 2 − 4ac = − AB
2
Ellipse
x2 y2 + =1 A2 B 2 B ψ
−A
A
−B
12/15/2012
[email protected]
27
Osilator harmonik isotropik tiga dimensi
m&x& = −kx
x = A1 sin ωt + B1 cos ωt
m&y& = − ky
y = A2 sin ωt + B2 cos ωt
m&z& = −kz
z = A3 sin ωt + B3 cos ωt
r r r r = A sin ωt + B cos ωt 12/15/2012
[email protected]
28
66
Osilator Non isotropik
m&x& = −k1 x
x = A cos(ω1t + α )
m&y& = −k 2 y
y = B cos(ω 2 t + β )
m&z& = − k 3 z
z = C cos(ω 3 t + γ )
Jika
ω1 n1
=
12/15/2012
ω2 n2
=
ω3 n3
Lintasannya akan berupa gambar
Lissajous
[email protected]
29
Tinjauan Tenaga
V ( x, y , z ) = Ketika
1 1 1 k1 x 2 + k 2 y 2 + k 3 z 2 2 2 2
k1 = k 2 = k 3 = k
V ( x, y , z ) =
(
)
1 1 k x 2 + y 2 + z 2 = kr 2 2 2
1 2 1 2 mv + kr = E 2 2
12/15/2012
[email protected]
30
67
Contoh 4. Partikel bermassa m bergerak dalam bidang dua dimensi dalam pengaruh fungsi tenaga potensial:
(
r 1 V (r ) = k x 2 + 4 y 2 2
)
Carilah gerak yang dihasilkannya, diberikan kondisi awal pada
t = 0; x = a, y = 0, x& = 0, y& = v 0 .
12/15/2012
[email protected]
31
Penyelesaian:
r r r F = −∇V = −iˆkx − ˆj 4ky = m&r&
m&x& + kx = 0
ω x = ω = (k m )1 2
m&y& + 4ky = 0
ω y = (4k m )1 2 = 2ω
x = A1 cos ωt + B1 sin ωt
x& = − A1ω sin ωt + B1ω cos ωt
y = A2 cos 2ωt + B2 sin 2ωt
y& = −2 A2 sin 2ωt + 2 B2ω cos ωt
12/15/2012
[email protected]
32
68
a = A1
t=0
x = a cos ωt
0 = A2
y =
v0 = 2B2ω
0 = B1ω
v0 sin 2 ω t 2ω
y
r v0
x 12/15/2012
[email protected]
33
4.5 Gerak Partikel Bermuatan dalam Medan Listrik dan Magnet
m&x& = qE x
r r dr m = qE dt
r r F = qE
m&y& = qE y
m&z& = qE z
(
r r r F =q v×B 12/15/2012
)
r r r d 2r m 2 = q v×B dt
(
[email protected]
) 34
69
Contoh 5. Ujilah gerak partikel bermuatan dalam medan magnet konstan uniform. Anggap kita memilih sumbu-z dalam arah medan; yaitu, kita dapat menulis
r B = kˆB
Persamaan diferensial gerak sekarang menjadi:
iˆ ˆj kˆ r r d r m 2 = q v × kˆB = qB x& y& z& dt 0 0 1 2
(
(
)
)
(
m iˆ&x& + ˆj&y& + kˆ&z& = qB iˆy& − ˆjx& 12/15/2012
[email protected]
35
m&x& = qBy&
mx& = qBy + c1
m&y& = − qBx&
my& = −qBx + c2
&z& = 0
z& = konstan = z& 0
x& = ωy + C1
ω=
qB m
y& = −ωx + C 2
C1 =
c1 m
z& = z& 0
C2 =
c2 m
12/15/2012
dengan
[email protected]
)
36
70
&x& + ω 2 x = ω 2 a
a=
dengan
C2
ω
x = a + A cos(ωt + θ 0 )
x& = − Aω sin (ωt + θ 0 ) y = b − A sin (ωt + θ 0 )
( x − a )2 + ( y − b )2
dengan
b=−
C1
ω
= A2
y& = − Aω cos(ωt + θ 0 )
12/15/2012
[email protected]
qB x& + y& = A ω = A m 2
A=
2
v1
ω
2
= v1
2
m qB
37
2
2
dengan
(
v1 = x& 2 + y& 2
)
12
y r B x 12/15/2012
z
[email protected]
38
71
PENUTUP •
Kriteria Assessment: Kognitif dan skill
•
Metode Assessment: PR
•
Bobot Nilai: 1,5 %
PR Soal di Buku Fowles&Cassiday fifth editions • No. 4.1 • No.4.3 • No. 4.5 • No. 4.7 • No. 4.9 PR dikumpul di loker Dr. Mitrayana di Jurusan Fisika FMIPA UGM (MIPA Utara)
12/15/2012
[email protected]
40
