BAB VIII. DIMENSI TIGA 3. Limas Macam-macam Bangun Ruang : 1. Kubus :
1 luas alas x tinggi 3 Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak Volume Limas =
Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
4. Kerucut
Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3 Volume Kubus = a 3 Luas Kubus = 6 a 2
2. Balok:
Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, lebar l dan tinggi t. Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
hubungan ketiganya dirumuskan sbb: s2 = r2 + t2 Volume Kerucut =
1 2 π r t 3
Luas Kerucut = π r 2 + π r s
www.belajar-matematika.com - 1
8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA UN2004 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah
A. 6 3 cm B. 6 2 cm
C. 3 6 cm E. . 3 2 cm D. 3 3 cm
Jawab : H
A. 2 2 cm B. 2 6 cm
C. 4 2 cm E. . 8 2 cm D. 4 6 cm
F’
G
E
F
jawab :
D H
D’
E
G
A
B 6 cm
F
D
F’
C
A
C
F
B
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’: DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2
( D' H ) 2 + ( DH ) 2
DD’ =
32 + 64 =
= =4
A Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’. AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2
96
AF’ =
6 cm
( AF ) 2 − ( FF ' ) 2
=
72 − 18 =
54
jawabannya adalah D EBTANAS1999 2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah…. H
G
E
F
D
C
A
= 3
6 cm
jawabannya adalah C UAN2003 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah… A. 20 cm B. 18 cm
C. 14 cm E. . D. 12 cm
B 6 cm
www.belajar-matematika.com - 1
8 cm
jawab:
PP’ = P
H
G
= E
( FP) 2 − ( FP' ) 2 20 − 2 =
18 cm
F P’ D
C
A
B 4 cm P
C
P’
PP’ = FP 2 - FP’ 2 = CP 2 - (4 2 - x ) 2 20 – x 2 = 36 – (32 – 8 2 x + x 2 ) 20 – x 2 = 36 – 32 + 8 2 x - x 2 20 – 4 = 8 2 x 16 = 8 2 x 16 2 2 2 x= = = . = 8 2 2 2 2 PP’ 2 = FP 2 - FP’ 2 = 20 – ( 2 ) 2
20
6
Cara 2 : misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x
F
= 20 – 2 = 18
yang ditanyakan adalah PP’ : CF = 4
=
PP’ = 18 cm
2
( EF ) + ( EP) 2
FP =
2
hasil cara 1 = hasil cara 2
4 2 + (1 / 2. 4) 2 =
jawabannya adalah B
20
(CH ) 2 + ( HP) 2
CP =
(4 2 ) 2 + (1 / 2. 4) 2 =
=
32 + 4 = 6
C. 3 2 cm E. . 4 3 cm D. 3 3 cm
Jawab:
CF 2 + FP 2 − CP 2 FP’ = 2CF
=
EBTANAS1992 4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jarak titik C dengan bidang BDG adalah… A. 2 2 cm B. 2 3 cm
cara 1 :
=
H
32 + 20 − 36
G
E
F
8 2 16 8 2
2
=
C’ 2 2
=
2 2
.
2 2
=
D
2
C P
A
B 6 cm
www.belajar-matematika.com - 2
G H
α
C’
P
C A
yang dicari adalah CC’. CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3 CG = 6 GP =
misal panjang rusuk adalah a, AP sin α = AH
2
CP 2 + CG 2
= 18 + 36 =
54 = 3
P
AP = ½ AC = ½ a
6
AH = GP 2 + CG 2 − CP 2 GC’ = 2GP
=
CC’ = =
6 6
a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 1 a 2 1 AP 2 sin α = = = AH 2 a 2
α = 30 0
6
=2
jawabannya adalah A
CG 2 − GC ' 2
36 − 24 = 12 = 2
EBTANAS 2001 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α , maka sin α = ….
3 cm
jawabannya adalah B UAN2005 5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF adalah… A. 30
0
B. 45
0
EA 2 + EH 2
=
54 + 36 − 18
6 6 72 12 12 = = = . 6 6 6 6
2
C. 60
0
D. 75
0
E. 90
0
jawab:
A.
1 2 4
C.
1 3 3
B.
1 2 2
D.
1 3 2
E.
1 6 2
Jawab:
H
G
H
G P
E
F
D
E
C
F
D
C
P A
B
A
www.belajar-matematika.com - 3
B
4 cm P
AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH ( ∠ (BG,FH) = ∠ (AH,FH) )
F
α
dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH sehingga ∆ AFH adalah ∆ sama sisi.
∆ sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 60 0
B sin α =
PF PB
Jawabannya adalah C 2 =2
PF = ½ FH = ½ . 4 PB = =
UN2007 8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah….
2
PF 2 + FB 2 8 + 16 =
(2 2 ) 2 +4 2 =
. A. 4 3 cm B. 2 3 cm
24
C. 4 cm E. . 12 cm D. 6 cm
6
=2 sin α = =
PF PB 2 2 2 6
Jawab: =
2
2
=
6
6
.
6 6
=
1 12 6
H
Q
G
E
1 2 1 = 4.3 = .3 = .3 6 6 3
F R S
jawabannya adalah C
D
C P
EBTANAS 1987 7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus ABCD.EFGH adalah ….. A. 30 0
B. 45 0
C. 60 0
D. 75 0
A
B 6
3
cm
Lihat bidang BDHG :
E. 90 0
Q
jawab:
H H
G
α
E
F R
F
S D
D
B
C P
A
B www.belajar-matematika.com - 4
Sehingga panjang SR = DF – FR – DS
yang ditanya adalah jarak SR.
= 18 – 6 – 6 = 6 cm
SR = DF – FR – DS DF = 6
3.
3 = 18 (diagonal ruang)
UNAS2006 9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan bidang ABC adalah α , maka tan α = ….
FR: ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi QR = 1/3 QB QB =
Jawabannya adalah D
FB 2 + FQ 2
A. 3 10
FB = 6 3 = 6 3 FQ = ½ GH = ½ 6. 3 .
=
2 = 3.
2
D. 10
E. 2
T
6 6 3 cm
C
FQ 2 − QR 2
54 − 18 =
C. 3
2
jawab :
QB = 108 + 54 = 162 = 9 2 QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2 FR =
B. 4
Q A 36 = 6
P 6 cm
B
DS : Karena limas segitiga beraturan maka: panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga sama sisi dengan panjang AB = BC = AC.
∆ DSP sebangun dengan ∆ FQR sehingga DS = FR = 6
Sudut TC dan bidang ABC ( ∠TC , ABC ) = ∠TCQ y TQ Tan α = = x QC
Kita cari dan buktikan : PS = 1/3 PH PH =
DH 2 + DP 2
DH = 6 3 DP = ½ DB = ½ 6.
TQ =
3.
2 = 3.
6
PH = 108 + 54 = 162 = 9 2 PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2 DS =
TC = 6 3 QC: Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi, PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC
DP 2 − PS 2
PC =
=
54 − 18 =
36 = 6 (terbukti)
TC 2 − QC 2
BC 2 − BP 2
BC = 6 BP= ½ AB = ½ . 6 = 3
www.belajar-matematika.com - 5
2
PC = 6 2 − 3 2 = 36 − 9 = 27 = 3 QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3
3 a
TQ = =
TC − QC 2
a
2
α
(6 3 ) 2 − ( 2 3 ) 2
A
C a
= 108 − 12 =
2
96 = 4 6 Aturan cosinus
TQ QC
Tan α =
=
=
TC 2 = TA 2 + AC 2 - 2. TA. AC. cos α
4 6 2 3 2 6 3
=
.
3 3 3
=
2 18 2.3 2 = =2 3 3
2
Jawabannya adalah E UN2004 10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. A. 15 0
B. 30 0
jawab:
2 ) 2 - 2. a. a 2 cos α
a 2 = a 2 + (a
2 6
C. 45 0
D. 60 0
a 2 = a 2 + 2 a 2 - 2. a 2 2 . cos α a 2 = 3 a 2 - 2. a 2 2 . cos α - 2. a 2 = - 2. a 2 2 . cos α 2. a 2 = 2. a 2 2 . cos α 2a 2 1 cos α = = 2 2a 2 2 =
1 2
.
2
=
α = 45 0
E. 75 0
Jawabannya adalah C
T
D
C
α A B Misal panjang rusuk = a , maka TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a sudut antara TA dan bidang ABCD ( ∠ (TA,ABCD) ) adalah ∠ TAC AC = a 2 + a 2 = TA = TC = a
2
2a 2 = a
2
T
www.belajar-matematika.com - 6
1 2
2
5. Bola 3.Bidang D
C
A
B
Daerah dan Bidang:
Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter =
1 r) 2
4 π r3 3 = 4 π r2
Volume Bola = Luas Bola
Daerah : mempunyai luas tertentu Bidang : mempunyai luas tak terbatas , untuk menggambarkan bidang hanya sebagian saja sebagai perwakilan Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD
Pengertian titik, garis dan bidang
1. Titik Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda noktah. • A
• B
• A
•
P
Jarak 1. Jarak antara dua titik
2. Garis •
Jarak, Proyeksi dan Sudut
•
Q
• B
Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB R
Perbedaan ruas garis dan garis:
Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis tidak mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang. Ruas garis PQ ≠ ruas garis QR garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
2. Jarak antara titik dan garis A •
• B
g
Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g)
www.belajar-matematika.com - 2
3. Jarak antara titik dan bidang 6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α )
garis g sejajar dengan bidang α jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)
4. Jarak antara dua garis sejajar
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) 5. Jarak antara dua garis bersilangan
Bidang α sejajar dengan bidang β Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)
Proyeksi :
garis g bersilangan dengan garis h 1. Proyeksi titik pada garis jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) Æ sama dengan point 3 di atas
Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)
www.belajar-matematika.com - 3
2. Proyeksi titik pada bidang Sudut
1. Sudut antar dua garis yang bersilangan
Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α ) 3. Proyeksi garis pada bidang
garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’
a. Garis g menembus bidang α
∠ (g,h) = ∠ (g ' ,h ' ) = ∠ (g, h ' ) = ∠ ( g ' ,h)
2. Sudut antara garis dan bidang
garis BA menembus bidang α di titik A titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’ b. garis g sejajar dengan bidang α
∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’)
3. Sudut antara dua bidang
Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang α Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α
( α , β ) adalah garis potong antara bidang α dan bidang β . AB dan BC tegak lurus ( α , β ) Sudut antara bidang α dan β : ∠ (AB,BC) = ∠ ABC
www.belajar-matematika.com - 4
