13/10/2012
Gerak Dua Dimensi Gerak dua dimensi merupakan gerak dalam bidang datar Contoh gerak dua dimensi : Gerak peluru Gerak melingkar Gerak relatif
Posisi, Kecepatan , Percepatan 𝑟𝑖 = vektor posisi partikel di A 𝑟𝑓 = vektor posisi partikel di B Vektor perpindahan :
𝑟𝑓 = 𝑥𝑓 𝑖 + 𝑦𝑓 𝑗 𝑟𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 ∆𝑟 = (𝑥𝑓 𝑖 + 𝑦𝑓 𝑗) − (𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗) = (𝑥𝑓 𝑖 − 𝑥𝑖 𝑖) + (𝑦𝑓 𝑗 − 𝑦𝑖 𝑗) = (𝑥𝑓 −𝑥𝑖 )𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 ) 𝑗
∆𝑟 = 𝑟𝑓 − 𝑟𝑖
∆𝑟 = ∆𝑥𝑖 + ∆𝑦𝑗
Kecepatan Perubahan posisi (perpindahan) per satuan waktu
Kecepatan Rata-rata
𝑣𝑎𝑣𝑔 =
∆𝑟 ∆𝑡
∆𝑟 = Perpindahan (m) ∆𝑡 = Selisih waktu (s)
Kecepatan Sesaat
∆𝑟 𝑑𝑟 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡
𝑣 = lim
1
13/10/2012
Percepatan Perubahan kecepatan per satuan waktu
Percepatan Rata-rata
𝑎𝑎𝑣𝑔 =
∆𝑣 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = ∆𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
∆𝑣𝑓 = kecepatan akhir (m/s) ∆𝑣𝑖 = kecepatan awal (m/s)
Percepatan Sesaat
∆𝑣 𝑑𝑣 = ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑑𝑡
𝑎 = lim
Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan Gerak dua dimensi dapat dimodelkan sebagai dua gerakan independen, kedua gerakan saling tegak lurus terkait dengan sumbu x dan y. Artinya, pengaruh gerak arah y tidak mempengaruhi gerak arah x dan sebaliknya. Vektor posisi sebuah partikel bergerak dalam bidang xy :
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑟 Subtitusi pers. Di atas ke : 𝑣 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Sehingga : 𝑣= 𝑖+ 𝑗 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡
2
13/10/2012
Dari persamaan :
𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥 𝑡 → 𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥 𝑡 𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡
Subtitusi kedua pers di atas ke pers :
𝑣𝑓 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 = (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥 𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡)𝑗 = (𝑣𝑥𝑖 𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑗) + 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 𝑡 𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
Subtitusi pers. :
1
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡 + 2 𝑎𝑥 𝑡 2 1
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 + 2 𝑎𝑦 𝑡 2 ke pers :
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 1 1 𝑎𝑥 𝑡 2 )𝑖 + (𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡 2 )𝑗 2 2 1 = 𝑥𝑖 𝑖 + 𝑦𝑖 𝑗 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡𝑗 + (𝑎𝑥 𝑡 2 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡 2 𝑗) 2
Sehingga : 𝑟𝑓 = (𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡 +
1
𝑟𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
3
13/10/2012
Contoh Soal 4.1 Sebuah partikel bergerak pada bidang xy, dengan komponen kecepatan awal arah x 20 m/s dan y -15 m/s. Partikel mengalami percepatan dalam arah x sebesar ax = 4 m/s2 . Tentukan: a. Kecepatan total b. Tentukan kecepatan dan laju pada t = 5 s
Penyelesaian :
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 = (𝑣𝑥𝑖 + 𝑎𝑥 𝑡)𝑖 + (𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡)𝑗 = 20 + 4 𝑡 𝑖 + [−15 + 0 𝑡]𝑗
= 20 + 4 𝑡 𝑖 − 15𝑗] 𝑣𝑓 = 20 + 4 5 𝑖 − 15𝑗] = (40𝑖 − 15𝑗) m/s
𝑣𝑓 = 𝑣𝑓 = =
𝑣𝑥𝑓2 + 𝑣𝑦𝑓2 (40)2 + (−15)2
= 43 m/s
4
13/10/2012
Gerak Peluru Gerak peluru ialah gerak dengan lintasan berbentuk parabol Untuk memudahkan menganalisa, maka digunakan dua asumsi: • Percepatan gerak jatuh bebas adalah konstan selama sepanjang gerak dan arahnya ke bawah. • Efek hambatan udara diabaikan. Dengan asumsi tersebut, maka lintasan dari gerak peluru selalu parabola seperti gambar di bawah . Persamaan gerak peluru adalah: 1
𝑟𝑓 = 𝑟𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 Dimana : 𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = −9,81 𝑚/𝑠 2
𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑣𝑦𝑖 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖
Tinggi dan Jarak maksimum Gerak Peluru
Tinggi maksimum
Dua titik pada gerak peluru yang sangat menarik untuk dianalisa (lihat gambar di samping) adalah: • Titik puncak A, yang memiliki koordinat Cartesian (R/2 , h). • Titik B, yang memiliki koordinat (R , 0). R disebut jarak horisontal maksimum dari peluru, dan h adalah ketinggian maksimum.
𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡 → 𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝐴 = 0 0 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 − 𝑔𝑡𝐴
𝑡𝐴 =
𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 𝑔
5
13/10/2012
1 2
Dengan menggunakan pers. 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡 2 , dimana 𝑦𝑖 = 0, maka :
𝑦𝑓,𝑚𝑎𝑥 = ℎ = 0 + 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 2
=
𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 𝑔 2
2
1
− 𝑔
𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 2
2
𝑔
2
𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 − 𝑔 2𝑔
𝑣𝑖 2 sin2 𝜃𝑖 ℎ= 2𝑔
Tinggi maksimum Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak maksimum R adalah dua kali waktu untuk mencapai tinggi maksimum 𝑡𝐵 = 2𝑡𝐴 , gunakan pers. 𝑥𝑓,𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑥𝑖 𝑡, dimana : 𝑥𝑖 = 0, dan 𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑥𝐵 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 , maka :
𝑅 = 𝑣𝑥𝑖 𝑡𝐵 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 2𝑡𝐴 2𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑔 2𝑣𝑖 2 sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 = 𝑔
Kerena : 2 sin 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑖 = sin 2𝜃𝑖 , maka :
𝑣𝑖 2 sin 2𝜃𝑖 𝑅= 𝑔
6
13/10/2012
Contoh Soal 4.1 Seorang pelompat jauh melompat dengan kecepatan awal 11 m/s dan membentuk sudut 20o. Tentukan : a. Berapa jauh lompatan maksimal arah horizontal. b. Berapa tinggi maksimum lompatan. 𝑚
Diketahui :
𝑣𝑖 = 11 𝑠 𝛼 = 20𝑜
Ditanya :
a. 𝑅 = ......?....... m b. ℎ =.......?....... m
Penyelesaian : a. 𝑅 = ......?....... m
𝑚 (11 )2 sin(20𝑜 ) 𝑣𝑖 2 sin 2𝜃𝑖 𝑠 =7,94 m 𝑅= = 𝑔 9,81 𝑚/𝑠 2
b. ℎ = ......?....... m
𝑚 (11 )2 sin2 (20𝑜 ) 𝑣𝑖 2 sin2 𝜃𝑖 𝑠 =0,722 m ℎ= = 𝑚 2𝑔 2(9,81 2 ) 𝑠
7
13/10/2012
Contoh Soal 4.2 Sebuah batu dilemparkan dari atap sebuah gedung dengan sudut 30o, dan kecepatan 20 m/s. Tinggi gedung adalah 45 m. Tentukan : a. Berapa lama waktu yang diperlukan batu untuk mencapai tanah?. b. Berapa kecepatan batu sesaat sebelum menyentuh tanah?.
Diketahui :
𝑚
𝑣𝑖 = 20 𝑠 𝛼 = 30𝑜 𝑦𝑖 = 0 𝑦𝑓 = −45 m
Ditanya :
a. 𝑡 = .......?....... s b. 𝑣𝑓 =.......?....... m/s
Penyelesaian : a. t = ......?....... m
𝑚 ) cos(30𝑜 ) = 17,3 𝑚/𝑠 𝑠 𝑚 = 𝑣𝑖 sin 𝜃𝑖 = (20 ) sin(30𝑜 ) = 10 𝑚/𝑠 𝑠
𝑣𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 cos 𝜃𝑖 = (20 𝑣𝑦𝑖
1 𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑦𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 𝑚 1 𝑚 𝑚 𝑚 −45 m = 0 + 10 𝑡 − 9,81 2 𝑡 2 = 10 𝑡 − 4,905 2 𝑡 2 𝑠 2 𝑠 𝑠 𝑠 ⇔ − 4,905
𝑚 2 𝑚 𝑡 + 10 𝑡 + 45𝑚 = 0 2 𝑠 𝑠
8
13/10/2012
− 4,905
𝑚 2 𝑚 𝑡 + 10 𝑡 + 45𝑚 = 0 𝑠2 𝑠
Persamaan di atas identik dengan pers. : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎
Dimana : 𝑥 = 𝑡 𝑏 = 10 𝑎 = −4,905
𝑚 𝑚 𝑚 (−10 𝑠 ) ± (10 𝑠 )2 −4(−4,905 2 )(45 𝑚) 𝑠 𝑡= 𝑚 2(−4,905 2 ) 𝑠 𝑡 = 4,22 𝑠 dan 𝑡 = −2,18 𝑠 maka t yang dipakai adalah yang bernilai positif, yaitu 𝒕 = 𝟒, 𝟐𝟐 𝒔
b. 𝑣𝑓 = ......?....... m/s 𝑣𝑥𝑓 = 𝑣𝑥𝑖 = 17,3
𝑣𝑓 = =
𝑚 𝑠
𝑣𝑦𝑓 = 𝑣𝑦𝑖 + 𝑎𝑦 𝑡 𝑚 𝑚 = (10 ) + (−9,82 2 )(4,22 𝑠) 𝑠 𝑠 𝑚 = −31,3 𝑠
𝑣𝑥𝑓 2 + 𝑣𝑦𝑓 2 (17,3
= 35,8
𝑚 𝑠
𝑚 2 𝑚 ) +(−31,3 )2 𝑠 𝑠
9
