ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN SCHRODINGER
a. Ketidakpastian Heisenberg a) Rumusan Umum Ketidakpastian Heisenberg Kenyataan bahwa sebuah partikel bergerak harus dipandang sebagai group gelombang de Broglie dalam kedaan tertentu alih – alih sebagai suatu kuantitas yang terlokalisasi menimbulakan batas dasar pada ketetapan pengukuran sifat partikel yang dapat diukur misalnya kedudukan momentum. Untuk menjelaskan faktor apa yang terlibat, marilah kita meninjau group gelombang dalam gambar 2.3 berikut
Gambar 2.3. Group Gelombang
Partikel yang bersesuaian dengan grup gelombang ini dapat diperoleh dalam selang grup tersebut pada waktu tertentu. Tentu saja kerapatan peluang | | 2 maksimum pada tengah – tengah grup, sehingga patikel tersebut mempunyai peluang terbesar untuk didapatkan di daerah tersebut. Namun, kita tetap mempunyai kemungkinan untuk mendapatkan partikel pada suatu tempat jika | | 2 tidak nol. Lebih sempit grup gelombang itu, lebih teliti kedudukan partikel itu dapat ditentukan (Gambar 2.4a). Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
x
=? (a)
7
(b) Gambar 2.4. (a) Group gelombang de Broglie terbatas. Posisi partikel dapat ditentukan secara tepat tetapi panjang gelombangnya (karena momentum partikel) tidak dapat ditetapkan. (b) lebar group gelombang. Kini panjang dapat ditentukan secara tepat tetapi bukan posisi partikel. partikel) tidak dapat ditetapkan.
Namun, panjang gelombang pada paket yang sempit tidak terdefinisikan dengan baik ; tidak cukup banyak gelombang untuk menetapkan dengan tepat. Ini
berarti bahwa karena
h , maka momentum mv bukan merupakan kuantitas yang dapat mv
diukur secara tepat. Jika melakukan sederetan pengukuran momentum, akan diperoleh momentum dengan kisaran yang cukup lebar. Sebaliknya, grup gelombang yang lebar seperti pada gambar 2.4b memiliki panjang gelombang yang terdefinisikan dengan baik. Momentum yang bersesuaian dengan panjang
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
gelombang ini menjadi kuantitas yang dapat ditentukan dengan teliti, dan sederetan pengukuran momentum akan menghasil-kan kisaran yang sempit. Akan tetapi di manakah kedudukan partikel tersebut? Lebar grup gelombang tersebut menjadi terlalu besar untuk menentukan kedudukan pada suatu waktu. Jadi kita sampai pada prinsip ketidakpastian : Tidak mungkin kita mengetahui keduanya yaitu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang bersamaan. Prinsip ini dikemukakan oleh Werner Heisenberg pada tahun 1927, dan merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan penting. Persoalan berikutnya adalah mencari suatu besaran yang mampu menampung dan mempresentasikan sifat – sifat partikel sekaligus sifat – sifat gelombang. Dengan demikian kuantitas tersebut harus bersifat sebagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkan terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombang yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung dalam ruang tertentu. Analisis yang formal mendukung kesimpulan tersebut dan membuat kita mampu untuk menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang paling sederhana dari pembentukan grup gelombang, perhatikan kombinasi dari dua gelombang bidang berikut :
1 x, t A cos 1 t k1 x (2.3)
2 x, t A cos 2 t k 2 x Pinsip superposisi memberikan
x, t 1 x, t 2 x, t 2 k k2 AR cos 1 t 1 x 2 2
(2.4)
Dengan amplitudo AR Dengan amplitudo AR Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
2 k k2 AR 2 A cos 1 t 1 x 2 2
(2.5)
Dalam bentuk grafik,
+ =
Gambar 2.5. Superposisi dua gelombang tunggal
Bila gelombang tunggalnya diperbanyak,
1, k1
+
2, k2
+
3, k3
k
+ + 4, k4
=
Gambar 2.6. Superposisi dari n gelombang
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Tampak dari gambar 2.6 bahwa paket gelombang terlokalisasi di daerah yang sebesar x dan lokalisasi ini yang diharapkan sebagai posisi partikel klasik.
x Gambar 2.7. Kemungkinan posisi partikel di daerah x
Setelah mendapatkan barang yang dapat menyatakan partikel sekaligus gelombang berikutnya harus dicari perumusan matematisnya. Formalisme matematis untuk paket gelombang yang terlokalisasi tersebut tidak lain adalah transformasi Fourier.
(2.6)
Sebagai contoh, jika distribusi gelombang dengan vektor gelombang k, g(k), diberikan seperti gambar. g (k) 1/
-a/2
+a/2 k
Gambar 2.8. Distribusi g (k)
Maka distribusi gelombang di dalam ruang koordinat f(x),
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Grafiknya, f(k)
6/a
2/a
2/a
4/a
6/a 4/a
x Gambar 2.9. Transformasi Fourier dari g(k)
Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas, diperoleh hubungan antara x dan k (atau p). Hubungan antara x dan k bergantung pada bentuk paket gelombang dan bergantung pada k, x didefinisikan. Perkalian (x) (k) akan minimum jika paket gelombang berbentuk fungsi Gaussian, dalam hal ini ternyata transformasi Fouriernya juga merupakan fungsi Gaussian juga. Jika x dan k diambil deviasi standar dari fungsi (x) dan g(k), maka harga minimum x k = ½. Karena pada umumnya paket gelombang tidak memiliki bentuk Gaussian (bentuk lonceng), maka lebih realistis jika hubungan antara x dan k dinyatakan sebagai berikut : x k ≥ ½
(2.7)
Panjang gelombang de Broglie untuk sebuah partikel bermomentum p adalah :
Bilangan gelombang yang bersesuaian dengannya adalah :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Oleh karena itu, suatu ketidakpastian k dalam jumlah gelombang pada gelombang de Broglie berhubugan dengan hasil – hasil partikel dalam suatu ketidakpastian p dalam momentum partikel menurut Persamaan
Karena
Dan
x p
h 4
(prinsip ketidakpastian)
(2.8)
Persamaan ini menyatakan bahwa hasil kali ketidakpastian kedudukan benda x pada suatu saat dan ketidakpastian komponen momentum dalam arah x yaitu p pada saat yang sama lebih besar atau sama dengan h / 4π. Kita tidak mungkin menentukan secara serentak kedudukan dan momentum suatu benda. Jika diatur supaya x kecil yang bersesuaian dengan paket gelombang yang sempit, maka p akan menjadi besar. Sebaliknya, p direduksi dengan suatu cara tertentu, maka paket gelombangnya akan melebar dan x menjadi besar. Ketidakpastian ini bukan ditimbulkan oleh alat yang kurang baik tetapi ditimbulkan oleh sifat ketidakpastian alamiah dari kuantitas yang terkait. Setiap ketidakpastian instrumental atau statistik hanya akan menambah besar hasil kali x p. Karena kita tidak mengetahui secara tepat apa partikel itu atau bagaimana momentumnya, kita tidak dapat menyatakan apapun dengan pasti – bagaimana kedudukan partikel itu kelak dan seberapa cepat partikel tadi bergerak. Jadi, “ kita tidak dapat mengetahui masa depan karena kita tidak mengetahui masa kin. ” Kuantitas h/2π sering muncul dalam fisika modern, karena ternyata kuantitas itu merupakan satuan dasar dari momentum sudut. Kuantitas ini sering disingkat dengan “ ħ (baca ; h bar)” :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Selanjutnya, dalam buku ini kita akan memakai ħ sebagai pengganti h/2π. Dinyatakan dalam ħ, prinsip ketidakpastian menjadi :
x p
2
(2.9)
b) Perhitungan x p Untuk Berbagai Keadaan Tetapan Planck berharga sangat kecil – hanya
6,63 x 10-34 J s – sehingga pembatasan
yang ditimbulkan oleh prinsip ketidakpastian hanya penting dalam dunia atomik. Dalam skala ini, prinsip ini sangat menolong untuk mengerti banyak gejala. Perlu diingat bahwa batas bawah ħ /2 untuk
x p sangat jarang dicapai : biasanya x p ħ. Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian kadang – kadang berguna. Mungkin kita ingin
mengukur energi E yang dipancarkan pada suatu waktu selama selang waktu t dalam suatu proses atomik. Jika energi berbentuk gelombang elektromagnetik, batas waktu yang tersedia membatasi ketepatan kita menentukan frekuensi dari gelombang itu. Marilah kita anggap paket gelombang itu sebagai satu gelombang. Karena frekuensi gelombang yang sedang dipelajari sama dengan bilangan yang kita hitung dibagi dengan selang waktu, ketidakpastian frekuensi dalam pengukuran kita adalah :
Ketidakpastian energi yang bersesuaian ialah :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Sehingga
Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan sifat paket gelombang mengubah hasil tersebut menjadi :
E t
2
(2.10)
Contoh 2.2. :
1. Atom hidrogen berjari – jari 5,3 x 10-11 m. Gunakan prinsip ketidakpastian untuk memperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu. Penyelesaian : Di sini kita dapatkan untuk x = 5,3 x 10-11 m,
Elektron yang momentumnya sebesar itu berperilaku sebagai partikel klasik, dan energi kinetiknya adalah :
Yang sama dengan 3,4 eV, sebenarnya energi kinetik elektron pada tingkat energi terendah dalam atom hidrogen adalah 13,6 eV.
2. Sebuah elektron yang tereksitasi mengeluarkan kelebihan energinya dengan memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu. Periode rata – rata yang berlangsung antara eksitasi elektron dan saat memancarkannya adalah 10-8 s. Cari ketidakpastian energi dan frekuensi foton itu.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Penyelesaian : Energi foton tertentu dengan besar :
Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk :
b. Persamaan Schrodinger a) Fungsi persamaan Schrodinger Seperti yang diterangkan pada pembahasan materi sebelumnya, kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang dari benda itu, maka pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuhi persyaratan dan memiliki banyak solusi. Walaupun sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besaran mutlaknya ||2 (atau sama dengan * jika kompleks) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut dan energi dari benda dapat diperoleh dari . Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan dari benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal. Dalam kejadian itu, fungsi gelombang adalah kompleks, dengan bagian real maupun imajiner, kerapatan peluang ||2 diberikan oleh hasil kali * dari dan Konjugate Kompleks *. Konjugate kompleks dari sembarang fungsi diperoleh dengan mengganti i (=
1 ) dengan – 1 di manapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi. Setiap fungsi kompleks dapat ditulis dalam bentuk
= A + iB Dengan A dan B adalah fungsi real. Konjugate kompleks * dari adalah
* = A – iB Dengan demikian
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
* = A2 – i2B2 = A2 + B2
Karena i2 = -1. Jadi * akan selalu berupa kuantitas real positif. Bahkan, sebelum kita meninjau perhitungan awal dari , kita dapat membangun persyaratan yang harus dipenuhinya. Karena ||2 berbanding lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda yang diperikan (digambarkan) oleh , integral ||2 ke seluruh ruang harus berhingga – benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika
2
dV 0
Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa dan tetap berarti sesuatu; ||2 tidak bisa negatif atau kompleks karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunya kemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya memang memberikan benda real. Biasanya untuk memudahkan, kita ambil ||2 sama dengan kerapatan (densitas) peluang P untuk mendapatkan partikel yang digambarkan oleh , ketimbang hanya berbanding lurus dengan P. jika ||2 sama dengan P, maka benar bahwa
2
dV 1
(3.1)
Karena
P dV 1
Ialah suati pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat. Jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Fungsi gelombang yang memenuhi Persamaan (3.1) dinamakan ternormalisasi. Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat dinormalisasikan dengan mengalikannya dengan tetapan yang sesuai; kita akan melihat hal ini dengan segera bagaimana hal ini dilakukan. Di samping bisa dinormalisasi, harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontinu. Peninjauan momentum memberi syarat bahwa turunan parsial
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
, , x y z
Harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang dengan sifat-sifat tersebut dapat memberikan hasil yang berarti fisis jika dipakai dalam perhitungan, jadi hanya fungsi gelombang yang ”berperilaku baik” yang diizinkan sebagai representasi matematis dari benda nyata. Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang yang ternormalisasi dan dapat diterima, peluang (kemungkinan) partikel dapat ditemukan pada suatu daerah tertentu ialah integral kerapatan peluang ||2 dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel yang geraknya terbatas pada arah – x, maka peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan x2 ialah x2
Peluang | |2 dx
(3.2)
x1
Persamaan SchrÖdinger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika Newton, adalah Persamaan gelombang dalam variabel . Sebelum kita menangani Persamaan SchrÖdinger, terlebih dahulu kita tinjau ulang Persamaan gelombang.
2 y 1 2 y x2 v2 t 2
(3.3)
Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tali terbentang, y menyatakan pergeseran tali dari sumbu x ; dalam kasus gelombang bunyi, y menyatakan perbedaan tekanan, dalam kasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan listrik atau elektronon. Persamaan gelombang seperti di atas diturunkan dalam buku mekanika untuk gelombang mekanis dan dalam buku kelistrikan dan kemagnetan gelombang elektromagnetik.
Contoh 3.1.
Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :
(x) = Ce - | x | sin x
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang ternormalisasi. b. Jika = , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan x = 1. Penyelesaian : a. Secara eksplisit (x) diberikan oleh Ce x sin x,
Untuk x < 0
Ce - x sin x,
Untuk x > 0
C2 e 2x sin2 x,
Untuk x < 0
C2 e -2x sin2 x,
Untuk x > 0
(x) =
Sehingga
| (x)|2 =
Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, karena itu
| |
2
dx 1 C
2
e
2 x
0
sin x dx C 2
2
e
2x
sin 2 x dx
0
2 C 2 e 2 x sin 2 x dx 0
Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan diperoleh
1 2C 2
4 e 1
( 2i 2)
e ( 2 i 2 ) 2 e 2 x dx
0
C 2 e ( 2i 2) x e ( 2i ) x e 2x 2 2i 2 2i 2 0
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
C2 1 1 1 2 2i 2 2i 2
C 2 4 1 2 4 2 4
Diperoleh konstanta normalisasi C :
2 1 2 2
C Sehingga
2 1 2 | x| e sin x 2
( x)
b. Besar kemungkinan partikel berada di x 1
P x t
| ( x) |
2
dx
1
2 (1 2 ) 2
e
2x
sin 2 x dx
1
e2 1 2 sin 2 cos 2 2 2
Untuk = ,
P x t
1 0,068 2e 2
3.1.1. Persamaan SchrÖdinger : Bergantung – Waktu Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak seperti y, bukanlah suatu
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
kuantitas yang dapat terukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap dalam arah x dinyatakan oleh
A e i ( t x / v )
(3.4)
Jika kita ganti dalam rumus di atas dengan 2 dan v dengan , diperoleh
A e 2i (t x / )
(3.5)
Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan dan dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh . Karena
E h 2
dan
h 2 p p
Diperoleh
A e ( i / ) ( E t p x)
(3.6)
Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Pernyataan fungsi gelombang yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukan sekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk , kemudian memecahkan untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan SchrÖdinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukan di sini adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang , kemudian membahas pentingnya hasil tersebut. Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang menghasilkan
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
2 p2 x2 2
(3.7)
dan sekali terhadap t, diperoleh
iE t
(3.8)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi elektrono p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :
E
p2 V 2m
(3.9)
Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam kasus elektron dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan. Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang , akan menghasilkan :
p2 E V 2m
(3.10)
Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa
E
i t
(3.11)
Dan
2 p x2 2
Ributhermanto201043118
2
(3.12)
fisika kuantum
untuk Universitas
dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E dan p diperoleh
i
2 2 V t 2m x2
2
dalam Persamaan (3.10) akan
(3.13)
Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu. Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh
i
2 t 2m
2 2 2 V 2 y2 z 2 x
(3.14)
Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t. Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh
i
( x, t ) 2 2 ( x, t ) V ( x, t ) t 2m
(3.15)
Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkan untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel , sehingga kerapatan peluang ||2 dapat ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu. Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yang membuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis dan bandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yang terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain, Persamaan SchrÖdinger tidak bisa diturunkan dari ”prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama. Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa Persamaan (3.14) hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yang lebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan partikel yang mendekati kecepatan cahaya tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.
3.1.2. Persamaan SchrÖdinger : Keadaan Stasioner (Tunak) Dalam banyak situasi, energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit ; gaya yang beraksi padanya ; jadi V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, Persamaan SchrÖdinger dapat disederhanakan dengan meniadakan kebergantungan terhadap waktu t. Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang satu dimensi partikel bebas dapat ditulis
A e (i / ) ( E t p x ) A e (iE / ) t e (ip / ) x
e (iE / ) t
(3.16)
Ini berarti, merupakan hasil kali fungsi bergantung – waktu e–(iE/ħ)t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti partikel bebas. Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (3.16) ke Persamaan SchrÖdinger yang bergantung – waktu, diperoleh
E e
( iE / ) t
2 ( i E / ) t 2 e V e 2m x2
(i E / ) t
(3.17)
Sehingga, jika dibagi dengan faktor eksponensial itu,
2 2 m 2 ( E V ) 0 x2
(3.18)
Persamaan (3.18) merupakan bentuk keadaan – tunak Persamaan SchrÖdinger. Dalam tiga dimensi menjadi
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
2 2 2 2 m 2 ( E V ) 0 x2 y2 z 2
(3.19)
Pada umumnya, Persamaan keadaan – tunak SchrÖdinger dapat dipecahkan hanya untuk harga E tertentu. Dalam pernyataan itu tidak ditimbulkan oleh kesukaran matematis yang mungkin ada, tetapi oleh sesuatu yang lebih mendasar (fundamental). ”Memecahkan” Persamaan SchrÖdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang yang tidak saja memenuhi Persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harus memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang – yaitu turunannya harus kontinu, berhingga, dan berharga tunggal. Bila tidak terdapat fungsi gelombang seperti itu, system itu tidak mungkin berada dalam keadaan tunak. Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap. Suatu analogi yang sangat dekat dan sudah dikenal bagaimana kuantisasi energi timbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdinger ialah dalam tali terpentang yang panjangnya L yang keduanya ujungnya terikat. Dalam hal ini, sebagai ganti gelombang tunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalam arah +x dan –x secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada kedua ujung tali. Suatu fungsi y (x, t) yang dapat diterima untuk menyatakan pergeseran (simpangan) dengan turunannya, harus seperti yang berperilaku baik dengan turunannya, dan lagi harus real karena y menyatakan suatu kuantitas yang dapat diukur langsung. Satusatunya pemecahan Persamaan gelombang
2 y 1 2 y x2 v2 t 2
Yang sesuai dengan berbagai pembatasan itu ialah pemecahan yang panjang gelombangnya memenuhi
n
2L n 1
;
n = 0, 1, 2, 3, …..
Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.1.
= 2L =L
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
= 2/3
L
= 1/2
L
untuk Universitas
Kombinasi Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syarat pemecahannyalah yang mendorong kita untuk menyimpulkan bahwa y (x, t) hanya dapat ada untuk panjang gelombang tertentu n.
Contoh 3.2. : Sebuah partikel bergerak yang memenuhi Persamaan :
x, t 5,0 e i 30 x 50 t Hitunglah energi dan momentum partikel tersebut.
Penyelesaian :
p op x, t i
5,0 e i 30 x 50 t x
30 5,0 e i 30 x 50 t 30 x, t 1,055 10 34 30 x, t
31,65 10 34 x, t
Jadi besarnya energi yang dimiliki partikel tersebut adalah : 31,65 x 10 – 34 J.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
E op x, t i
A e i k x t t
50 x, t 52,75 10 34 x, t Jadi momentum dari partikel tersebut adalah : 52,75 x 10 – 34 kg m/s.
3.1.3. Harga Ekspektasi, Operator, Fungsi dan Harga Eigen Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang sudah diperoleh, kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di manakah partikel sering berada atau berapa momentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Ehrenfest. Karena kita tidak dapat lagi berbicara dengan suatu kepastian tentang kedudukan partikel, maka kita tidak dapat pula menjamin kepastian hasil satu kali pengukuran suatu besaran fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun demikian, jika kita dapat menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka kita dapat menemukan hasil yang mungkin dari suatu pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari sejumlah besar pengukuran berkali-kali. Sebagai contoh, andaikanlah kita ingin mencari rata-rata kedudukan sebuah partikel dengan mengukur koordinat x – nya. Dengan melakukan sejumlah besar pengukuran berkali-kali, kita dapati bahwa dengan mengukur nilai x1 sebanyak n1 kali, x2 sebanyak n2, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazim, kita dapat memperoleh nilai rata-ratanya, yaitu
x
ni x i n1 x1 n2 x 2 ......... n1 n2 .......... ni
Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita harus mengganti bilangan ni dari partikel xi dengan peluang Pi bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di xi. Besar peluang ini adalah
Pi = | i |2 dx
Dengan i merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengan substitusi ini dan mengubah jumlah dengan integral, kita lihat bahwa harga rata-rata kedudukan partikel tunggal ialah
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
x
x| |
2
dx
(3.20)
| | dx 2
Jika merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam Persamaan (3.20) sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat di suatu tempat antara x = - dan x = , sehingga harganya = 1. Dalam kasus ini
x
x| |
2
dx
(3.21)
Persamaan (3.21) ini menyatakan harga bahwa x terletak pada pusat massa ( elektronon begitu) dari ||2 ; jika ||2 diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurva dan sumbu x digunting, titik setimbangnya ialah x. Nilai rata-rata yang dihitung menurut Persamaan (3.21) dikenal sebagai harga ekspektasi (expectation values). Prosedur yang sama dengan yang telah dilakukan di atas dapat dipakai untuk memperoleh harga ekspektasi G(x) dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)] yang merupakan fungsi dari kedudukan partikel x yang digambarkan oleh fungsi gelombang . Hasilnya adalah
G x
G x | |
2
dx
(3.22)
Harga ekspektasi momentum p tidak dapat dihitung dengan cara biasa yang demikian sederhana, karena sesuai dengan prinsip ketidakpastian, tidak ada fungsi seperti p(x) yang dapat berlaku. Jika kita menentukan x, sehingga dengan demikian x = 0, kita tidak dapat menentukan p yang bersesuaian karena x p h/2. Masalah yang sama terjadi untuk harga ekspektasi energi E. Pada bagian sebelumnya kita lihat bagaimana harga ekspektasi dapat diperoleh dari kuantitas yang merupakan fungsi posisi x dari partikel yang dinyatakan oleh fungsi gelombang . Jadi kita dapat memperoleh harga ekspektasi pada setiap saat t dari harga x,
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
dan energi potensial partikel V(x), keduanya merupakan bagian dari pemerian yang lengkap dari keadaan partikel. Kuantitas dinamis yang lain, seperti momentum p dan energi E, tidak dapat diperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektasi dari p dan E harus dihitung dari :
Persamaan ini sangat langsung, sampai kita menyadari bahwa karena = (x, t), harus menyatakan p dan E sebagai fungsi dari x dan t supaya kita dapat melakukan integrasi, tetapi prinsip ketidakpastian mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi seperti p(x, t) dan E(x, t) ; sekali x, dan t ditentukan, hubungan
berarti bahwa kita tidak dapat, pada prinsipnya, menentukan
p dan E secara eksak.
Dalam fisika klasik tidak terdapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia makroskopik prinsip ketidakpastian dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkan p(x, t) dan E(x, t) dari solusinya seperti juga x(t) ; untuk memecahkan persoalan tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menentukan tempuhan masa depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di pihak lain, semua yang kita dapatkan secara langsung dari Persamaan SchrÖdinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang , dan tempuhan masa depan gerak partikel itu – seperti juga keadaan awalnya – hanya diketahui peluangnya, alih-alih sesuatu yang sudah tertentu. Saran untuk mendapatkan dan dengan cara yang benar ialah dengan mendiferensiasi fungsi gelombang partikel – bebas = A e – (i/ħ)(Et – px) terhadap x dan t. Diperoleh
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
yang dapat ditulis dengan cara
p
i x
(3.23)
t
(3.24)
E i
Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial / i / x dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator diferensial i / t (Operator memberikan informasi kepada kita operasi apa yang harus dilakukan pada kuantitas yang ditulis setelahnya. i / t menginstruksikan kepada kita untuk mengambil turunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan hasilnya dikalikan dengan i ). Kita biasa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga p merupakan operator yang bersesuaian dengan momentum p dan E ialah operator yang bersesuaian dengan energi E. Dari Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) operator ini ialah
p
i x
E i
t
(Operator momentum)
(3.25)
(Operator energi)
(3.26)
Walaupun kita hanya menunjukkan persesuaian yang dinyatakan dalam Persamaan (3.25) dan Persamaan (3.26) berlaku untuk partikel bebas, hubungan itu ternyata berlaku umum yang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdinger. Untuk mendukung pernyataan ini, kita dapat mengganti Persamaan E = T + V untuk energi total partikel dengan Persamaan operator
E=T+V
(3.27)
karena energi kinetik T dinyatakan dengan momentum p menurut hubungan
p2 T 2m Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
diperoleh
p2 1 T 2m 2m
2
2 2 2 m x2 i x
(3.28)
yang kita sebut “operator energi – kinetik”. Persamaan (3.27) dapat ditulis sebagai berikut.
i
2 2 V t 2 m x2
(3.29)
Sekarang kita kalikan identitas = dengan Persamaan (3.29), diperoleh
i
2 2 V t 2 m x2
(3.30)
yang merupakan Persamaan SchrÖdinger. Mempostulatkan Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdinger. Karena p dan E dapat diganti dengan operator yang bersesuaian dalam Persamaan, kita dapat memakai operator ini untuk mendapatkan harga ekspektasi dari p dan E. Jadi harga ekspektasi p ialah
p
* p dx
dx * i i x
*
dx x
(3.31)
dan harga ekspektasi untuk E adalah
E
* E dx
dx i * i t
Ributhermanto201043118
*
dx t
fisika kuantum
(4.32)
untuk Universitas
keduanya Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.32) dapat dihitung untuk fungsi gelombang yang dapat diterima (x, t). Jelaslah bahwa kita perlu menyatakan harga ekspektasi yang bersangkutan dengan operator dalam bentuk
p
* p dx
Alternatif lain ialah
p * dx
i
* dx * 0 x i
karena * dan harus 0 di x = dan
i
* p dx
*
dx x
tidak mempunyai arti. Dalam kasus kuantitas aljabar seperti x dan V(x) urutan faktor dalam integran tidak penting, tetapi jika operator diferensial terlibat, urutan yang benar dari faktor itu harus diteliti. Setiap kuantitas yang teramati G yang merupakan karakteristik suatu elektron fisis dapat dinyatakan dengan operator mekanika – kuantum yang cocok G. Untuk memperoleh operator ini, kita perlu menyatakan G dalam x dan p dan mengganti p dengan / i / x . Fungsi gelombang dari sistem diketahui, maka harga ekspektasi G(x, p) ialah
G x, p
* G dx
(3.33)
(Harga Ekspektasi Operator)
Hasil ini memperkuat pernyataan yang dibuat sebelumnya bahwa dari dapat diperoleh semua informasi mengenai elektron yang diperbolehkan oleh prinsip ketidakpastian.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Persyaratan bahwa variabel dinamis tertentu G terbatas pada harga diskrit Gn – dengan kata lain G terkuantisasi – ialah fungsi gelombang n dari elektron sedemikian sehingga G n = Gn n (Persamaan Harga – Eigen)
(3.34)
dengan G menyatakan operator yang bersesuaian dengan G dan masing-masing Gn merupakan bilangan real. Bila Persamaan (3.34) berlaku untuk fungsi gelombang sebuah elektron, postulat pokok (kenyataannya, satu-satunya postulat pokok) dari mekanika kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghasilkan satu harga Gn. Jika pengukuran G dilakukan pada sejumlah elektron identik semua berada dalam keadaan yang diperikan oleh fungsi – eigen k, masing-masing pengukuran menghasilkan harga tunggal Gk. Operator energi total E dari Persamaan (3.27) biasanya ditulis sebagai,
2 2 H V 2 m x2
(3.35)
dan disebut operator Hamiltonian; kuantitas itu merupakan energi total elektron dinyatakan dalam koordinat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdinger keadaan – tunak dapat ditulis sebagai berikut.
Enn = Hn
(3.36)
Harga energi En supaya Persamaan keadaan – tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian n disebut fungsi eigen. (Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti ”harga karakteristik yang sesungguhnya”, dan Eigenfunktion, atau ”fungsi karakteristik sesungguhnya”). Tingkat energi diskrit atom hydrogen
En
m e4 1 2 2 2 2 32 0 n
n = 1, 2, 3, ……..
Merupakan contoh sekelompok harga – eigen. Kita akan lihat pada Bab berikutnya mengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang dapat diterima untuk elektron dalam atom elektronon.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Contoh penting variabel dinamis selain energi total yang didapatkan terkuantisasikan dalam keadaan mantap ialah momentum sudut. Dalam kasus atom elektron, kita akan dapatkan bahwa harga–eigen besar momentum sudut di-tentukan oleh
Li l (l 1)
l = 0, 1, 2, ……(n – 1)
Tentu saja, suatu variabel dinamis G boleh tidak terkuantisasi. Dalam hal ini pengukuran G pada sejumlah elektron identik tidak menghasilkan hasil yang unik melainkan harga yang tersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektasi
G
G | |
2
dx
Dalam atom elektron, kedudukan elektronon tidak terkuantisasi, sehingga kita lec membayangkan elektronon berada di sekitar inti dengan peluang tertentu ||2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang dapat diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom elektronon selalu menunjukkan bahwa atom itu selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
