MASALAH PENELUSURAN (KASUS KONTINU)

MASALAH PENELUSURAN (KASUS KONTINU) Oleh : Novrini Hasti Dosen Program Studi Sistem Informasi UNIKOM

Abstrak Sistem kontrol optimum adalah suatu sistem yang merancang optimasi nilai, baik maksimum maupun minimum, dari suatu fungsi objektif. Sistem ini berupa konstrein dalam bentuk persamaan dinamik. Fungsi objektif menentukan bentuk sistem kontrol, apakah sistem kontrol yang dihasilkan berbentuk linear, non liniear, bergantung waktu ataupun statis. Dalam kasus kontinu, masalah kontrol optimum didefinisikan sebagai masalah mencari kontrol u, dimana u  U, dimana U adalah himpunan fungsi kontrol yang diperbolehkan atau diperkenankan. Kontrol ini mengoptimumkan suatu fungsi objektif dengan memperhatikan konstrein sistem. Pengembangan dari masalah kontrol ini adalah masalah penelusuran. Masalah penelusuran tidak saja membawa sistem ke keadaan akhir yang diinginkan tetapi juga mengatur sehingga sistem menelusuri suatu trayektori dalam interval waktu tertentu. Dalam tulisan ini dibahas masalah penelusuran dari sistem kontrol non linear dan kuadratik linear. Untuk kasus non linear, kontrol u diperoleh dari fungsi Hamiltonnya, sedangkan untuk kasus kuadratik linear pencarian kontrol u menggunakan sweep method.

I. Teori-teori Dasar tentang Kontrol Optimum Di bawah ini akan dipaparkan definisi, teorema, serta lemma yang diperlukan untuk mendukung pembahasan masalah penelusuran.

Definisi 4 Jika A matriks real berukuran n x n dan x vektor  Rn maka xTAx dinamakan bentuk kuadratik yang bernilai skalar real.

Definisi 1 Jika A = (aij) matriks real berukuran n x m, maka transpos dari A adalah AT = (aji) matriks real berukuran m x n.

Lemma 5 Misalkan A matriks real sebarang berukuran n x n, maka terdapat matriks real simetri B berukuran n x n sehingga xTAx = xTBx.

Definisi 2 Jika A dan B matriks real berukuran n x n, maka (AB)T = BTAT.

Bukti : Misalkan A matriks real sebarang berukuran n x n.

Definisi 3 Matriks real A berukuran n x n dikatakan simetri jika AT = A.

Ambil matriks B =

1 ( A  AT ) dan C = 2

1 ( A  AT ) , sehingga A = B + C, 2

BT

Sedangkan

1 ( A  AT )T 2

=

1 T ( A  A) = B, B simetri 2 1 1 CT = ( A  AT )T = ( AT  A) 2 2 1 T = - (A  A ) = - C 2

=

Jadi :

d T d ( y x)  ( xT y)  y dx dx

Lemma 7 Jika A matriks berukuran n x n yang simetri dan x vektor n x 1 maka ....(1)

Dari definisi 4 diketahui bahwa xTCx bernilai skalar, sehingga (xTCx)T = xTCx xTCTx = xTCx, dari (1) didapat xT (-C)x = xTCx  xTCx = 0, Jadi xTAx = xT (B+C)x = xTBx + xTCx = xTBx Dengan B matriks real simetri.

d T ( x Ax)  2 Ax dx

Bukti : Misalkan matriks A = (aij)nxn dan vektor x = (xi) dengan i = 1,2,...,n dan j = 1,2,...,n Maka n

xT Ax 

n

(a x x ) , sehingga ij j i

i 1 j 1

d ( xT Ax)  2akk xk  dxk



n

yi xi 

x y

i i,

xi yi

d T ( x y)  yk dx

Maka untuk vektor x didapat :  d d T ( y x)   dx  dx1

d dx2

T

d d  T ...  ( y x) dx3 dxn 

= y1 y2 y3 ... yn T

 d d T ( x y)   dx  dx1

d dx2

 aik ) xi

Karena A simetri, maka aki = aik dan didapat d ( xT Ax)  dxk

d dx3

T

...

d  T  ( x y) dxn 

= y1 y2 y3 ... yn T

n

2a

ki xi

 2 Axk

i 1

Maka untuk vektor x didapat

Jadi

i 1

Sedangkan

ki

d dx2

T

d d  T ...  ( x Ax) dx3 dxn 

 2 Ax1 2 Ax2 2 Ax3 ... 2 Axn T

n



kj x j

j 1

 (a

 d d T ( x Ax)   dxk  dx1

i 1

d T ( y x)  yk dan dx

xT y 

a

i 1

n

Sedangkan

kj x j

n



Bukti : Misalkan vektor x = (xi) dan vektor y = (yi) dengan i = 1,2,3,...,n. Maka i 1



a

j 1, j  k

n

aik xi 

i 1

d T d ( y x)  ( xT y)  y dx dx





n

aik xi 

i 1,i  k

n

Lemma 6 Jika x dan y masing-masing vektor n x 1 maka

yT x 

n

d T ( x Ax)  2 Ax dx

Definisi 8 Misalkan Q matriks simetri berukuran n x n, maka matriks Q dikatakan definit positif (Q > 0) jika  x  0 berlaku xTQx > 0, dan matriks Q dikatakan semi definit positif (Q  0) jika  x  0 berlaku xTQx  0. Atau dengan kata lain dapat pula diperlihatkan bahwa matriks Q definit positif jika semua

nilai eigennya positif dan semi definit positif jika semua nilai eigennya non negatif dan minimal salah satu nilai eigennya nol.

Tabel 1 Pengontrol Optimum Nonlinear dengan Fungsi Keadaan Akhir Tertentu Table 1 Model sistem : x*  f ( x, u, t ), t  t 0 , t 0 tertentu

Kontrol Optimum Kontinu Misalkan sistem kontrol x*  Ax  Bu , dimana A matriks real n x n, B matriks real n x m, x di Rn, dan u di Rm. Fungsi objektifnya adalah :

Fungsi objektif : T



J (t 0 , u )   ( x(T ), T )  L( x, u, t )dt t0

T



J (t0 )  1 2 x(T )T S (T ) x(T )  1 2 ( xT Qx  u T Ru)dt

Konstrein keadaan akhir :  ( x(T ),T )  0

t0

R matriks real m x m, Q matriks n x n, S(T) matriks real n x n, R, Q, S(T) simetri semi definit positif dan R  0.

Kontrol optimum : 1. Fungsi Hamilton : H ( x, u, t )  L( x, u, t )  T f ( x, u, t )

Persamaan weight continous reachable gramian dilambangkan dengan G(t0, T) dan didefinisikan sebagai berikut : T



G(t0 , T )  e A(T  ) BR1BT e A

T

(T  )

2.

d ,

3.



u(t )  R 1BT e A

T

(T t )





G 1 (t 0 , T ) r (T )  e A(T t0 ) x(t 0 )

Selanjutnya akan kita lihat bentuk umum dari hasil akhir masalah kontrol optimum non linear dalam kasus kontinu pada tabel berikut :

Persamaan keadaan pendukung :

H f T L  *     ,t  T x x x

t0

Untuk kondisi akhir x(T) = r(T) maka  (T )  G 1 (t0 ,T ) r (T )  e A(T t 0 ) x(t0 ) , Sedangkan kontrol optimumnya dapat ditulis sebagai berikut

Persamaan keadaan :

H x*   f , t  t0 

4.



Kondisi stasioner :

H L f T 0    u u u

5.

Kondisi batas :

x(t 0 )diberikan



x

  xT v  



T



dx(T )  t   t T v  H



T

dT  0

....(2)

II. Masalah Penelusuran Untuk membawa sistem ke keadaan akhir yang diinginkan dan mengatur sistem sehingga dapat menelusuri (track) suatu fungsi pada interval waktu tertentu diperlukan suatu kontrol untai tertutup. Masalah kontrol ini disebut masalah penelusuran (tracking problem). Ada dua masalah yang akan dibahas pada bagian ini yaitu masalah non liniear dan masalah kuadratik linear.

 * 1

1

J t 0 ; u   1 2 Cx(T )  r (T )T PCx(T )  r (T )

 (Cx  r)

T



1

2

T



Q(Cx  r )  u T Ru dt ,

t0

...(2a) Dimana P dan Q merupakan matriks semi definit positif, dan R merupakan matriks definit positif, sedangkan keadaan akhir x(T) tidak tertentu. Fungsi Hamilton dari sistem di atas adalah : H(x,u,) = ½ (Cx - r)TQ(Cx - r) + ½ uTRu + Tf(x,u). Dari tabel 1 diperoleh : Persamaan keadaan : x* = f(x,u) .....(3) H Persamaan pendukung :  *  x

2

2C

T

Q(Cx  r )  C T Q T (Cx  r ) T

QCx  2C T Qr





T

 f       C T QCx  C T Qr  x 

...(4) H Kondisi stasioner : 0 u  f      u 

1

2

2Ru   f   x 

T

  Ru  0

...(5)

Syarat batas : x(t0) diberikan ...(6) T T  x   T  0 , berarti (T) = x , Ambil (x,t) = ½ (Cx – r(t))TP(Cx – r(t)) Dari  ( x, t )   

Fungsi objektif yang harus diminumkan adalah :

C

T

 f       x 

T

2.1. Masalah Non Linear Pandang sistem non linear x* = f(x,u), dimana xRn dan f(x,u)Rn. Masalah penelusuran menentukan suatu kontrol yang mengatur y(t) = Cx(t) dimana C adalah matriks n x n sebarang, sehingga y(t) menelusuri fungsi r(t) tertentu pada interval waktu [t0,T] dengan fungsi objektif yang optimum (disini yang diambil adalah yang minimum).

2

T

 f       dx 

1

T 2 (Cx  r (t )) T T

P(Cx  r (t ))

T 2 ( x C  r (t )) 1 x T C T PCx  1 x T C T 2 2 1

Pr(t )  1 2 r T (t ) PCx  1 2 r T (t ) Pr(t )

diperoleh x(x,t) = CTPCx - ½ CTPr(t) – ½ CTPr(t) = CTPCx - CTPr(t) = CTP(Cx - r(t)) Jadi x(x(T),T) = CTP(Cx(T) – r(T)). Sehingga, (T) = x(x(T),T) = CTP(Cx(T) – r(T)) ...(7) Jadi dari kondisi stasioner (5) diperoleh kontrol optimum T

 f  u   R 1     u 

...(8)

2.2. Penelusuran Kuadratik Linear Misalkan suatu sistem yang diamati berbentuk linear dan fungsi objektifnya berbentuk kuadratik, maka persamaan (3) sampai dengan persamaan (5) menghasilkan x* = Ax + Bu ...(9) -* = AT + CTQCx – CTQr ...(10) BT + Ru = 0 ...(11) Dari persamaan (11) diperoleh kontrol optimum sebagai berikut

u = -R-1BT ...(12) sedangkan syarat batas dari sistem ini sama seperti kasus non linear yaitu x(t0) diberikan (T) = CTP(Cx(T) – r(T)) Pensubstitusian persamaan (12) ke dalam (9) menghasilkan persamaan keadaan x* = Ax – BR-1BT ...(13) sedangkan persamaan keadaan pendukungnya adalah persamaan (10). Selanjutnya kita lihat sistem Hamiltonnya  x*   A  BR 1 B T   x   0       T r   T AT     C Q   * C QC

Terlihat bahwa syarat batasnya terpisah antara dua waktu. Untuk x adalah t0 dan untuk  adalah T, sehingga sistem Hamilton di atas tidak bisa diselesaikan. Oleh karena itu harus dicari cara lain untuk menyelesaikan masalah penelusuran ini. Cara yang dipakai di sini adalah sweep method. Dari bentuk syarat batas (7) asumsikan bahwa (t) untuk semua t  T dapat dibuat sebagai berikut (t) = S(t)x(t) – v(t) ...(14) Dimana S(t) suatu matriks n x n dan v(t) vektor di Rn. Dengan membandingkan (14) dengan syarat batas diperoleh syarat batas untuk S(t) dan v(t) yaitu S(T) = CTPC, dan v(T) = CTPr(T) Asumsi (14) dapat digunakan jika persamaan yang konsisten untuk –S* dan –v* dapat ditentukan. Sekarang turunkan persamaan (14) terhadap t sehingga diperoleh * = S*x + Sx* - v* -* = -S*x – Sx* + v* Substitusikan persamaan keadaan (13) menghasilkan -* = -S*x – S(Ax-BR-1BT(Sx-v)) + v* = (-S* – SA + SBR-1BTS)x – SBR-1BTv + v* ...(15)

Substitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan pendukung (10) memberikan: -* = AT + CTQCx – CTQr = AT(Sx – v) + CTQCx – CTQr = (ATS + CTQC)x – ATv – CTQr ...(16) Selanjutnya dari persamaan (15) dan persamaan (16) diperoleh (-S*-SA + SBR-1BTS)x – SBR-1BTv +v* = (ATS + CTQC)x – ATv – CTQr (-S* - SA + SBR-1BTS –ATS - CTQC)x = -v* - (AT-SBR-1BT)v –CTQr ...(17) Karena berlaku untuk semua x, maka sisi kiri dari persamaan (17) menghasilkan : -S* - SA + SBR-1BTS –ATS - CTQC = 0 -S* = ATS + SA - SBR-1BTS+ CTQC = 0 ...(18) Sedangkan sisi kanan dari persamaan (17) menghasilkan : -v* - (AT-SBR-1BT)v –CTQr = 0 -v* - (A-BR-1BTS)T v –CTQr = 0 -v* = (A-BR-1BTS)Tv +CTQr ...(19) Definisikan K(t) = R-1BTS(t) sehingga (18) dan (19) menjadi : -S* = ATS + SA – SBK + CTQC = ATS + S(A – BK) + CTQC ...(20) -v* = (A – BK)Tv + CTQr ...(21) Karena telah didapat persamaan (20) untuk –S* dan persamaan (21) untuk – v* berarti asumsi (14) dapat digunakan. Pensubstitusian (14) ke dalam (12) menghasilkan kontrol optimum sebagai berikut : u*(t) = -R-1BT(t) = -R-1BT(S(t)x(t) – v(t)) = -R-1BTS(t)x(t) + R-1BTv(t) Sehingga u*(t) = -K(t)x(t) + R-1BTv(t) ...(22) Sedangkan persamaan keadaannya diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (22) ke dalam persamaan (9) yaitu : x* = Ax + Bu = Ax – BR-1BTSx + BR-1BTv = (A - BR-1BTS)x + BR-1BTv = (A – BK)x + BR-1BTv ...(23)

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fungsi objektif J(t;u) pada interval [t,T] dengan menggunakan kontrol optimum adalah J(t;u) = ½ xT(t)S(t)x(t) – xT(t)v(t) + w(t) ...(24) Dimana -w* = ½ rTQr – ½ vTBR-1BTv, tT ...(25) w(T) = ½ rT(T)Pr(T) ...(26) Dari fungsi objektif (2a) diperoleh

persamaan (9) ke dalam persamaan tersebut. Karena u = -Kx + R-1BTv, uT = -xTKT + vTBR-1 dan karena –S* = ATS + S(A-BK) + CTQC, -v* = (A – BK)Tv + CTQr, K = R-1BTS dan -w *= ½ rTQr – ½ vTBR-1BTv

J (t 0 ; u )

J (t 0 ; u)



1



1

Cx(T )  r (T ) PCx (T )  r (T )

 12 x T (t 0 )S (t 0 ) x(t 0 )  12 x T (t 0 )v(t 0 )

 (Cx  r ) Q(Cx  r )  u Rudt x (T )C  r (T )PCx(T )  r (T )  ( x C  r (T )Q(Cx  r )  u Rudt

 12 v t (t 0 ) x(t 0 )  w(t 0 )

T

2

T

T

2

T

t0



1



1



1



1



1

T

2

T

T

T

T

2

T

T

T

t0

(T )C PCx(T ) 

T

2x T 2r T 2

T

(T ) PCx(T ) 

 x

T

1

2r

1

2x T

T

T

(T )C Pr(T )

(T ) Pr(T )

C T QCx  xT C T Qr

t0



 r QCx  r T Qr  u T Ru dt T

Karena S(T) = CTPC dan v(T) = CTPr(T) maka dari persamaan (26) diperoleh

J(t0;u)  1 2 x T (T ) S (T ) x(T )  1 2 x T (T )v(T )  1 2 v T (T ) x(T )  w(T )

...(27) Selanjutnya pandang bentuk integral

 dt x

T 1 2

d

T



Sx  x T v  v T x  2w dt

t0



1 2

maka persamaan terbaru tersebut akan menjadi

x T (T ) S (T ) x(T ) 

 w(T ) 

1 2

1 2

x T (T )v(T )  12 v T (T ) x(T )

x T (t 0 ) S (t 0 ) x(t 0 ) 

1 2

x T (t 0 )v(t 0 )

 12 v T (t 0 ) x(t 0 )  w(t 0 )

...(28) Selanjutnya kurangi persamaan (27) dan persamaan (28), dan substitusikan

...(29) Perhatikan x (t0)v(t0), bentuk ini bernilai skalar, sehingga xT(t0)v(t0) = T T T (x (t0)v(t0)) = v (t0)x(t0) T

Persamaan (29) menjadi J(t0;u) = ½ xT(t0)S(t0)x(t0) – xT(t0)v(t0) + w(t0) ...(30) Selanjutnya argumentasi di atas berlaku jika t0 diganti dengan t, t0  t  T. Jadi, J(t;u) = ½ xT(t)S(t)x(t) – xT(t)v(t) + w(t) ...(31) Dengan demikian persamaan (24) telah terbukti. Rangkuman hasil yang diperoleh dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini :

Tabel 2 Penelusuran Kuadratik Linear Kontinu Table 2

Model sistem : x* = Ax + Bu, t  t0 Fungsi objektif : J (t 0 ; u )  

1 2 T

Cx(T )  r (T )T PCx(T )  r (T )

 (Cx  r)

T



Q(Cx  r )  u T Ru dt

t0

Asumsi : P  0, Q  0, dan R > 0, ketiganya adalaha simetri Kontrol Optimum : K(t) = R-1BTS(t) -S* = ATS + S(A-BK) + CTQC S(T) = CTPC T -v* = (A – BK) v + CTQr v(T) = CTPr u = -Kx + R-1BTv x* = (A – BK)x + BR-1BTv x(t0) diberikan

= - x* - (-x* -x) + 3x -3 = x + 3x – 3 = 4x – 3 x** - 4x = -3 Solusi umum dari persamaan diferensial orde dua ini adalah x(t) = Ae2t + Be-2t + ¾ ...(b) Dari persamaan keadaan diperoleh (t) = -x*(t) + x(t) = -2Ae2t+2Be-2t–Ae2t-Be-2t – ¾ (t) = -3Ae2t + Be-2t – ¾ ...(c) Karena x(0) = 1, maka dari persamaan keadaan diperoleh A+B=¼ ...(d) Dan dari (1) = 0 persamaan (c) menjadi -3Ae2 + Be-2 – ¾ = 0 -3Ae2 + (1/4 –A)e-2 – ¾ = 0 3Ae2 + 1/4e-2 – Ae-2 – ¾ = 0 A(-3e2 – e-2) = ¾ - ¼ e-2 A

3

1 2 4  4e 2 2

 3e  e

 39x  1) 1

J (0; u)  12

2



 u 2 dt

0

Di sini dapat dilihat bahwa C=1, P=0, A=-1, B=1, Q=3, dan R=1. Dapat ditentukan u sebagai berikut u = -R-1BT = -1-1.1. = - ...(a) Jadi persamaan keadaan dan persamaan pendukungnya adalah x* = -x + u * = -(- + 3x – 3) =  - 3x + 3 Turunkan persamaan keadaan dan substitusi persamaan keadaan pendukung ke dalamnya, diperoleh x** = - x* - * = - x* - ( - 3x + 3) = - x* -  + 3x – 3

e 2  3 12e 2  4e 2

...(e)

Dari persamaan (d) didapat B  14  A  14 

Contoh 1 : Misalkan sistem dinyatakan sebagai persamaan x* = -x + u dengan x(0) = 1 dan r(t) = 1. Fungsi objektifnya adalah





 3e  3 2

 12e  4e 2

2

3

4

 14 e 2

 3e 2  e 2





 3e 2  e 2  3  e 2  12e 2  4e 2

3e  3 2

12e 2  4e 2

...(f) Substitusikan hasil yang didapat pada (e) dan (f) ke dalam solusi umum (b) dan persamaan (c) maka diperoleh  e 2  3  2t  3e 2  3  2t x(t )    3/ 4 e   2 e 2 12e  4e 2  12e  4e 2   e 2  3  2t  3e 2  3  2t  (t )  3 2  3/ 4 e   2 e 12e  4e 2  12e  4e 2 

Akhirnya didapat kontrol optimum (a) sebagai berikut  e2  3  2t  3e2  3  2t u  3 2 e  2 e  3/ 4 2  2  12e  4e  12e  4e 

Contoh 2 : Penelusuran linear kuadratik skalar Jika sistem dinyatakan dengan persamaan x* = ax + bu mempunyai fungsi objektif

 q(x  r)

T

J (0; u)  12 p( x(T )  r (T )) 2 

1 2

2



 Ru 2 dt

0

Untuk waktu T diberikan dan sinyal acuan r(t). Maka pada tabel 2 diperoleh penelusuran optimal sebagai berikut  s*  2as 



b2s2  q, s(T )  p R

 v*  a  b 2 K

s R

.v  qr, v(T )  pr(T )

bs R

u   Kx 

bv R

x*  (a  bK ) x 

b2 v, x(t 0 )diberikan R

III. Kesimpulan Dari uraian pembahasan pada bagian II dapat diambil kesimpulan bahwa penentuan kontrol yang akan mengoptimumkan fungsi objektifnya pada masalah penelusuran untuk kasus nonlinear dapat diselesaikan melalui fungsi Hamiltonnya. Sedangkan untuk kasus kuadratik linear, penentuan kontrol diselesaikan dengan sweep method.

SS