Integral Fungsi Eksponen, Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma

Modul 1

Integral Fungsi Eksponen, Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma Dr. Subanar

PEN D A HU L UA N

D

alam mata kuliah Kalkulus I Anda telah mengenal bahwa integrasi adalah proses balikan dari diferensiasi. Jadi untuk mengintegralkan suatu fungsi kita harus sudah mengenal dengan baik cara-cara mencari derivatif suatu fungsi, khususnya rumus-rumus pokok diferensiasi. Modul ini akan membicarakan teknik pengintegralan fungsi eksponen, trigonometri dan pengintegralan menuju bentuk fungsi logaritma. Sehingga setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat mencari integral: a. fungsi eksponen; b. fungsi trigonometri; c. menuju bentuk fungsi logaritma; d. fungsi eksponen, fungsi trigonometri, menuju bentuk fungsi logaritma dengan cara substitusi; e. fungsi campuran.

1.2

Matematika 1 

Kegiatan Belajar 1

Integral Fungsi Eksponen Karena

de x da x  e x dan  a x ln a maka dx dx

e 

x

dx  e x  C dan

a x dx 

ax  C 12 ln a

Praktisnya:

e e

g  x

u

g   x dx dapat disederhanakan menjadi

du dengan substitusi

u  g  x, du  g   x dx Contoh 1.1 a.

Tentukan



9 e3 x dx

Penyelesaian: Misalkan u = 3x , du = 3 dx



9 e3 x dx  3 eu du 3eu  C  3e3 x  C

Bila dari awal Anda sudah mengenal bahwa de3 x 3e3 x  dx maka Anda tidak perlu melakukan substitusi dan cukup menulis

 b.

9 e3 x dx  3 3e3 x dx  3e3 x  C

Tentukan



e

x

x

dx

1.3

 SATS4120/MODUL 1

Penyelesaian: Misalkan

u  x , du 



x

e

x

1 2 x

dx

dx  2 eu du  2eu  C  2e

Bila Anda mengenal bahwa 1  e x  d   e 2  x  dx

x

C

  x

maka Anda tidak perlu melakukan mengintegralkannya secara langsung e x 1  e x  dx  2  x  2  x  dx  2e

c.

Tentukan

e

substitusi x

C

e3 x dx 1

3x

Penyelesaian: Kita dapat membawa integral ini dalam bentuk du  u dengan substitusi u  e3 x 1, du  3e3 x dx Maka



d.

Hitunglah

e3 x 1 du 1 dx    ln u  C 3x 3 u 3 e 1 1  ln e3 x  1  C 3

 e e x

1

x

15 dx

dan

dapat

1.4

Matematika 1 

Penyelesaian: Misalkan u  e x 1, du  e x dx

e.

1 6 1 5 6 5 e x e x 15 dx   u 5 du  u 5  C  e x 15  C 6 6

Sehingga



Hitunglah

7

6x

dx

Penyelesaian: Misalkan u = 6x , maka du = 6 dx

7

Sehingga

6x

1 7u du 6 1 7u 76 x  C  C 6 ln 7 6ln 7

dx 

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Hitunglah 1)

e

dx

dx ex

2)



3)

e x

4)

7x

sin x

cos x dx

3

4

e x dx

ex

5)

 1 e

6)

e

7)

  x  3e  2 dx

8)

2t

x

dx

1  e2t dt  x 2  6 x

5x

dx

1.5


 π cos x dx  3  e  dx sin x

9) 10)

x

Petunjuk Jawaban Latihan 1) misalkan 2) misalkan 3) misalkan

u  7x u  e x u  sin x

4) misalkan u  x4 5) misalkan u  1 e x 6) misalkan u 1 e 2t 7) misalkan

u  x 2  6x

8) misalkan 9) misalkan

u  5x u  sin x

10) pisahkan menjadi

 3 dx   e

x

dx

R A NG KU M AN Untuk memecahkan integral fungsi eksponen Anda diharapkan dapat memilih substitusi yang tepat sehingga persoalan menjadi sederhana. Rumus dasar yang ada pada bagian ini adalah:

e

x

a

x

dx  e x  C dx 

ax C ln a

1.6

Matematika 1 

TES F OR M AT IF 1

Dalam soal-soal 1 - 10, carilah integral tak tentunya. x

1)

2

dx

A. 2x  C 2 x C B. ln 2



D.

2x  C 2 x C 2 ln 2

E.

2)

2 x C ln 2

C.

 x10

 x2

dx

A. 2.10 x  C 2

1 10 x B.  . C 2 ln 10 2

10 x C. 2. C ln 10 2

D. 2.10 x  C 2

10 x C ln10 2

E.

3)

e

2.

cotg x

cosec2 x dx

A. ecotg x  C B. ecotg x  C C. ecosec x  C


D. ecosec x  C E.

4)

1 cotg x e C 2

 1 e  dx A. 1  e   C x 2

x

3 1 1  e x   C  3 3 1 C.  1  e x   C 3 D. 1 e x  e2 x  C 1 E. x  2 e x  e2 x  C 2

B.

5)

 e 1 e  1 A. 1  e  3

x 2

x

x 3

dx

C

B. 31  e x   C 3

3 1 1  e x   C 3 D. e3 x  C 1 3 x E. e C 3

C. 

6)

 2  e  x e  x2

A. B. C.

 x2

dx

2  e   C  x2





2 2 1 2  e x C 4 2 2 1 2  e x C 2





1.7

1.8

Matematika 1 

D. 



2 1 2  e x 2

E.

7)



2 1 2  e x 4

 x2 3

e





2

2

C

dx

 x2 3

C

A.

3e

B.

1  x2 3 e C 3

C.

3 e

x2 3

C

1 D.  e x2 3  C 3 2  x2 3 E. e C 3 

8)



1

e x dx x2

A. e



1  x

B. e

1 x

C

C. 2 e D. 2 e 

E. e



C



1 x

1 x

C

C

1 x2

C



1.9


3

9)

ex  x 2 dx 1 3 A.  e x  C 3 1 3x B. e C 3 3

C. e x  C 3

D. e x  C 1 3 E.  x e x  C 3 10)

 xe

x2 3

A. e x

2

3

B. 2 e

dx C x 2 3

C

x 2 3

C. 2 e C 1 x 2 3 D. e C 2 1 2 E.  e x 3  C 2 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar

 100%

Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

1.10

Matematika 1 

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.11


Kegiatan Belajar 2

Integral Fungsi Trignometri

D

engan menggunakan rumus diferensiasi dasar, kita mempunyai

 cos x dx  sin x  C  sin x dx  cos x  C  sec x dx  tg x  C  cosec x dx  cotg x  C  sec x tg x dx  sec x  C  cosec x cotg x dx  cosec x  C 2

2

Contoh 1.2 a.

Tentukan

 sin x cos x dx

Penyelesaian: Misalkan u = sin x, du = cos x dx Maka

b.

1

 sin x cos x dx   u du  2 u

Tentukan

 sec

3

2

1  C  sin 2 x  C 2

x tg x dx

Penyelesaian: Misalkan u = sec x dx , du = sec x tg x dx 2 x  sec x tg x dx  u 2 du Maka sec3 x tg x dx  sec   2 u du

dan

 sec x 3

1 1 tg x dx  u 2 du  u 3  C  sec3 x  C 3 3

1.12

Matematika 1 

Bila anti derivatif sudah jelas, maka kita tidak perlu membuat substitusi: 1 (1)  cos 3x dx  sin 3x  C 3 π 2 π (2)  sec2 x dx  tg x  C 2 π 2 (3)

 secπ  t 

tg π  t  dt  sec π  t   C

Dengan sendirinya, kita dapat menurunkan hasil-hasil tersebut dengan substitusi. Untuk (1) ambil u = 3x , du = 3 dx Maka

 cos 3x

dx 

1 1 1 cos u du  sin u  C  sin 3x  C  3 3 3

Untuk (2) ambil

u

π π x, du  dx 2 2

Maka

 sec

2

π 2 2 2 2 x dx   sec2 u du  tg u  C  tg x  C 2 π π π π

Untuk (3) ambil u = π  t , du = dt Maka

 secπ  t 

tg π  t  dt   sec u tg u du

 sec u  C  sec π  t   C c.

Hitunglah

 x cos π x

2

dx

Penyelesaian: Ambil u =  x2 , du = 2 x dx

1.13


1 Maka x cos π x 2 dx  cos π x 2  x dx  cos u du  2π cos u 1 du 2π dan 1 1 1 2 2  x cos π x dx  2π  cos u du  2π sin u  C  2π sin π x  C d.

Tentukan

x

2

cosec2 x3 cotg 4 x3 dx

Penyelesaian: Bentuk di atas dapat disederhanakan dengan substitusi u = x3 , du = 3x2 dx Maka 4 3 2 3 x 2 cosec 2 x3 cotg 4 x3 dx  cotg x  x 2 dx x cosec  cotg4 u cosec2 u 1 du 3 1  cotg 4 u cosec2 u du 3 dan 1 2 2 3 4 3 4 2  x cosec x cotg x dx  3  cotg u cosec u du Kita dapat menghitung integral pada ruas kanan dengan memisalkan t = cotg u , dt =  cosec2 u du Maka 1 1 1 cotg 4 u cosec2 u du    t 4 dt   t 5  C 3 3 15 1   cotg 5 u  C 15 Akibatnya,

x

2

2

cosec x3 cotg 4 x3 dx  

1 1 cotg5 u  C   cotg5 x3  C 15 15

1.14

Matematika 1 

Kita sampai pada hasil akhir ini dengan melakukan dua substitusi berturut-turut. Pertama kita misalkan u = x3 dan kemudian t = cotg u. Sebenarnya kita dapat menghemat pekerjaan dengan memisalkan u = cotg x3 dari awal. Dengan u = cotg x3 , du = cosec2 x3 . 3x2 dx Kita mendapatkan

1 4 4 3 2 3 2 x 2 cosec2 x3 cotg 4 x3 dx  cotg x x dx x cosec     3 u du u4 1 du 3 dan

x

2

cosec2 x3 cotg 4 x3 dx  

1 1 u 4 du   u 5  C  3 15 1   cotg5 x3  C 15

Catatan: Semua integral yang kita hitung dengan substitusi di atas dapat dihitung tanpa substitusi. Semua yang diperlukan adalah pengertian yang baik tentang aturan rantai. 1.

 sin x cos x dx . Jadi

2.

Cosinus adalah turunan dari sinus.

d

1

 sin x cos x dx   sin x dx sin x dx  2 sin

 sec

3

2

x C

x tg x dx . Tulis integran sebagai

sec 2 x sec x tg x  sec 2 x

d sec x dx

Maka

 sec 3.

3

x tg x dx   sec2 x

 x cos πx

2

d 1 sec x dx  sec3 x  C dx 3

dx . Cosinus adalah turunan sinus. Akibatnya

d 1 d sin πx2   cos πx2 .2πx dan x cos πx2  2π dx sin πx2  dx

1.15


Jadi

 x cos πx 4.

x

2

2

dx 

1 d 1 sin πx 2  dx  sin πx 2  C   2π dx 2π

cosec2 x3 cotg 4 x3 dx . Integral ini kelihatannya sukar, tetapi kalau

Anda bisa melihatnya dengan benar, bentuk tersebut menjadi sederhana. Anda telah mengetahui bahwa turunan cotangen adalah negatif cosecan kuadrat. Karena itu, dengan aturan rantai, d cotg x3   cosec2 x3 .3x2 dx dan x 2 cosec2 x3  

1 d cotg x3  3 dx

Jadi

x

2

1 d cotg 4 x3 cotg x3  dx  3 dx 1   cotg5 x3  C 15

cosec2 x3 cotg 4 x3 dx  

Tidak ada yang salah dikatakan dengan perhitungan integral menggunakan substitusi. Semua yang dilakukan di sini adalah bahwa dengan pengalaman tertentu, Anda dapat menghitung banyak integral tanpa melakukan substitusi. Kegiatan belajar ini kita tutup dengan memberikan dua rumus penting 1 1 2  cos x dx  2 x  4 sin 2 x  C dan 1 1 2  sin x dx  2 x  4 sin 2 x  C Anda dapat menurunkan rumus ini dengan mengingat bahwa 1 1 cos 2 x  1  cos 2 x dan sin 2 x  1 cos 2 x 2 2

1.16

Matematika 1 

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Dalam kegiatan belajar 2 Anda telah mengenal bahwa dengan memisalkan u = sin x, diperoleh

1

 sin x cos x dx  2 sin

2

x C

Hitunglah kembali integral di atas dengan memisalkan u = cos x dan kemudian cocokkan kedua jawaban tersebut. 2) Hitunglah

 sec

2

x tg x dx

(a) Dengan memisalkan u = sec x (b) Dengan memisalkan u = tg x (c) Cocokkan jawab (a) dan (b) Hitung! 3)

 cos

4)

 sin

2

π π x sin x dx 2 2

1 2

x

dx

sec2 x

5)



6)



7)

 cosec1- 2x cotg 1- 2x dx

8)

x

dx

1  tg x

sin 2 x 1  cos 2 x



1 2

dx

1

sin x 2 dx


9)



10)

 cos

1.17

1  cotg x cosec2 x dx 1 2

x

dx

Petunjuk Jawaban Latihan


π u x 2 u  ctg x u 1 tg x

6) misalkan

u 1 cos 2 x

3) misalkan

7) ubah bentuk cosec ( 1 2x ) dan cotg 1 2 x menjadi

cos(1 2 x) sin(1 2 x) dan misalkan u  sin(1 2 x) 1


u  x2 u  1 ctg x

10) misalkan

u  tg x

R A NG KU M AN Pada kegiatan belajar ini terdapat rumus-rumus: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

 cos x dx  sin x  C  sin x dx  cos x  C 2  sec x dx  tgx  C  cosec x dx  cotg x  C  sec x tg x dx  sec x  C  cosec x cotg x dx  cosec x  C 2

1 dan sin (1 2 x)

1.18

Matematika 1 

TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Untuk soal 1 sampai 10, carilah integral tak tentunya. 1)

 cos 3x 1 dx A. 3sin 3 x 1  C 1

sin 3 x 1  C 3 C. 3sin 3 x 1  C B.

D.

1

 sin 3x 1  C

3 E. sin 3x 1  C 2)

 sin 2π x dx 1

cos 2 x  C 2 B. 2 cos 2 x  C A. 

1

cos 2 x  C 2 D. 2 cos 2 x  C

C.

E. cos 2 x  C 3)

 cos

4

x sin x dx

A. 5 sin5 x  C 1 5 B. sin x  C 5 1 C.  sin5 x  C 5


D.

1

cos5 x  C

5 1 E.  cos5 x  C 5 4)

 x sec

2

x 2 dx

A. 2 tg x  C B. 2 tg 2 x  C C. 2 tg x 2  C

D. E.

1 2 1

tg x 2  C

tg 2 x  C

2 5)

 A. B. C. D. E.

6)

1  sin x cos x dx 3 2 1  sin x  2 cos x  C 3 2 32 sin x  C 3 3 2 1  sin x  2  C 3 3 3 1  sin x  2  C 2 3 2  1  sin x  2  C 3

 x sin A.

1

3

x2 cos x 2 dx

sin 4 x 2  C

8 B.



1 8

sin 4 x 2  C

1.19

1.20

Matematika 1 

C.

1

sin 4 x 2  C

4 D.



1

sin 4 x 2  C

4 E.

1

sin 4 x 2 cos x 2  C

8

7)

 cos A. B. C. D. E.

8)

 sin A.

2

5x dx

x

3x dx

x



3 B.

x x 6 x

1

sin 6 x  C

6 

2 C.

1

sin 10 x  C 5 10 x 1  sin 10 x  C 2 20 x 1  sin 10 x  C 10 20 x 1  sin 10 x  C 10 10 x 1  sin 10 x  C 10 5 2



1

sin 6 x  C

6 

1 12 1

sin 6 x  C

 sin 16 x  C 3 12 x 1 E.  sin 6 x  C 2 12 D.

1.21


9)

x A.

2

sin  4 x3  7  dx 1



cos 4 x

3

3

 7  C





1 3 B.  cos 4 x  7  C 4 1 3 C. cos 4 x  7  C 4 1 3 D.  cos 4 x  7  C 12 1 3 E. cos 4 x  7  C 12













10)  sin  3  2x  dx A.



1 2

cos  3  2 x   C

1

C.

cos  3  2 x   C 2 2 cos  3  2x   C

D.

2 cos  3  2x   C

B.

E.

2 3

cos  3  2 x   C

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.


Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

 100%

1.22

Matematika 1 

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.23


Kegiatan Belajar 3

Integral dengan Hasil Berbentuk Fungsi Invers Trigonometri

D

alam modul Kalkulus I Anda telah mengenal fungsi -fungsi invers trigonometri sebagai berikut:

y = arc sin x  x = sin y

dy 1  dx 1  x2 y = arc cos x  x = cos y

   x   1,1 , y    ,   2 2

dan

dan

dy 1  dx 1  x2

y = arc tg x  x = tg y dan

dy dx  dx x x 2  1

y = arc cosec x  x = cosec y dan

x   ,  , y  0,  

dy 1  dx 1  x2

y = arc sec x  x = sec y dan

   x   ,  , y    ,   2 2

dy 1  dx 1  x 2

y = arc cotg x  x = cotg y dan

x   1,1 , y  0,  

dy dx  dx x x2  1

x 1,0 y  dan   y  

x 1 , 0  y  dan   y  

 2

bila x  1

 bila x  1 2

 2

bila x  1

 bila x  1 2

Dari hasil di atas kita dapatkan integral-integral di bawah ini

1.24

Matematika 1 

 

dx 1  x2 dx

 arc sin x  C

 arc cos x  C 1  x2 dx  1  x 2  arc tg x  C dx  1  x 2  arc cotg x  C dx  x x 2  1  arc sec x  C dx  x x 2  1  arc cosec x  C

Perluasan bentuk integral di atas adalah sebagai berikut dx x  a2  x2  arc sin a  C dx dx  Dari  2 2 2 a x  x a 1   a

x dx maka du  . Sehingga, a a dx 1 dx du x     arc sin u  C = arc sin  C 2 2 2 2 a a a x 1 u  x 1   a

Misalkan u 



Dengan cara yang sama, akan di dapat bentuk-bentuk integral berikut ini: dx x  a 2  x2  arc cos a  C atau dx x  a2  x2  arc cos a  C


dx 1 x  arc tg  C 2 a a x dx 1 x  a2  x2  a arc cotg a  C atau dx 1 x  a2  x2   a arc cotg a  C dx 1 x  x x2  a 2  a arc sec a  C

a

x x

2

dx x a dx 2

2



1 x arc cosec  C atau a a

1 x   arc cosec  C a a x a 2

2

Contoh 1.3

dx

a.

Hitunglah



b.

Hitunglah

 9 x

1  4x2 Penyelesaian: Misalkan u = 2x, maka du = 2 dx. Sehingga 1 du dx 1 1 2  1  4 x2   1  u 2  2 arc sin u  C  2 arc sin 2 x  C

dx

2

Penyelesaian: Kita tulis dx dx  9  x 2     x 2  9 1       3   1 dx   2 9 x 1   3

1.25

1.26

Matematika 1 

x 1 , du  dx , kita mendapat 3 3 1 3 du 1 1 x  arc tg u  C  arc tg  C 2  9 1 u 3 3 3

Dengan substitusi u 

c.

d.



x 2 dx



x 2 dx

1  x6 Penyelesaian: Misalkan u = x3 , didapat du = 3x2 dx, sehingga

1 du 1 du 1 1  3    arc sin u  C  arc sin x3  C 6 2 2 3 3 3 1 x 1 u 1 u

dx  16 Penyelesaian:

 9x

2

1 Misalkan u = 3x, didapat du = 3 dx atau dx  du . Sehingga 3

 9x e.

dx 1 du 1 1 u 1 3x   2  . arc tg  C  arc tg  C 2 3 4 4 12 4  16 3 u  4

2

dx  2x  5 Penyelesaian:

x

2

x

2

dx dx   2 x  5   x  12  4

Misalkan u = x + 1, maka du = dx. Sehingga dx dx du 1 u  x 2  2 x  5    x  12  4   u 2  22  2 arc tg 2  C



1 x 1 arc tg C 2 2

1.27


f.

x

dx

4 x2  9 Penyelesaian: Misalkan u = 2x, maka du = 2 dx atau dx =

g.

Sehingga,

x

Hitunglah



dx 4x  9 2



1 du. 2 du

1 du  2  u u 2  32  u u 2  32 2 1 u 1 2x  arc sec  C  arc sec  C 3 3 3 3

dx

e 4 Penyelesaian: 4x

Misalkan u  e2x , maka du  2e2 x dx atau dx 

1 1 du  du 2u 2e2 x

Sehingga,



dx e4 x  4



1 du 1 u 1 e2 x  arcsec  C  arcsec C  2 u u2  4 4 2 4 2

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Hitunglah integral-integral di bawah ini. dx 1)  1  16 x 2 dx 2)  1  25 x 2 dx 3)  x 9 x2  1 dx 4)  9  16 x 2

1.28

Matematika 1 

dx

5)

 1 7x

6)

 16  9 x

7)

x

8)



9) 10)

2

dx

2

dx x2  4 dx

12  5 x 2 x 1  4  x2 dx  2 x  3



1  4x2

dx

Petunjuk Jawaban Latihan 1) misalkan 2) misalkan 3) misalkan

u  4x u  5x u 3 x

4) misalkan

4 u x 3

5) misalkan

u x 7

6) ubah menjadi

7) ubah menjadi

8) ubah menjadi

3 1 dx dan misalkan u  x 4 16  1  9 x 2 16 1 2

dx 2

x

1 12 

dan misalkan u 

x 1 4 dx 5 1  x2 12

x 2

dan misalkan u  x

5 12

1.29


9) ubah menjadi

10) uraikan

1 x dx 1 dx dan ikuti pola-pola sebelumnya.   2  4 4 x x2 1 1 4 4

menjadi



2 x dx 1 4 x

2





3x dx 1 4 x2

dan

ikuti

pola-pola

sebelumnya. R A NG KU M AN Pada kegiatan belajar ini terdapat enam bentuk integral dasar. Dengan melihat contoh-contoh dan setelah mengerjakan soal latihan dapat ditarik kesimpulan bahwa Anda harus jeli memilih substitusi.

TES F OR M AT IF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Untuk soal 1 sampai 10, carilah integral tak tentunya. 1)

dx x2 7 9 7 3 A. arc tg xC 3 7



B. 3 7 arc tg 3 7 x  C x C. 3 7 arc tg xC 3 7 3 x D. arc tg xC 7 3 7 1 x E. arc tg C 7 7

1.30

2)

Matematika 1 

dx

x

2 x 2  10 1 arcsec 5 1 arcsec 10 1 arcsec 10 1 arcsec 2 1 arcsec 2

A. B. C. D. E.

3)

5 x

C C

5 x 10 x 2 x 5

C

C C

dx

x

x4  4 1 x2 arcsec C 4 2 1 x2 arcsec C 2 2 x2 2 arcsec C 2 x2 4 arcsec C 2 1 x2 arcsec C 4 4

A. B. C. D. E.

4)

x

B.

dx  2x  2 1 arc tg  x  2   C 2 arc tg  x  2   C

C.

arc tg  x  1  C

x A.

2


5)

D.

2 arc tg  x  2   C

E.

1  x 1 arc tg   C 2  2 

A. B. C. D. E.

6)

x dx 4 4 1 x2 arc tg  C 4 2 1 x2 arc tg  C 2 2 x2 arc tg C 4 1 x2 arc tg C 4 4 x2 2 arc tg C 2

x



dx x  x2

Z

A. 2 arcsin 1  2 x   C 1 arcsin 1  2 x   C 2 C. arcsin 1  2x   C B.

1 arcsin 1  2 x   C 4 1 E. arcsin 1  x   C 2 D.

7)



dx 4x  x2  3

A. arcsin  x  3  C B. arcsin  x  2   C C. arcsin  x  4   C

1.31

1.32

Matematika 1 

x 1 C 2 x2 E. arcsin C 2 D. arcsin

8)

x

dx

x 1 A. arc sec x  C B. arc sin x  C 1 C. arc sin x  C 2 1 D. arc sec x  C 2 E. 2 arc sec x  C

9)



2sec2 x dx 1  4 tg 2 x

A. arc sin tg x  C B. arc sin 2tg x  C C. 2 arc sin tg x  C D. 2 arc sin tg 2 x  C E. 2 arc sin 2 tg x  C

10)

cos x dx 2 x4

 sin A.

1  sin x  arc tg  C 2  2 

 sin x  B. 2 arc tg  C  2  1 C. arc tg  sin x   C 2 D. 2 arc tg  sin x   C E. arc tg  cos x   C

1.33





 100%

Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 4. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.34

Matematika 1 

Kegiatan Belajar 4

Integral Menuju Bentuk Fungsi Logaritma

D

alam kegiatan belajar ini Anda akan mempelajari integral yang mempunyai bentuk

1. 2. 3.



dx

x  a2 dx  x2  a2 dx  a2  x2 2

Rumus-rumus dasar yang bersesuaian dengan integral di atas adalah sebagai berikut. dx 1.   ln x  x 2  a 2  C 2 x  a2 dx 2.   ln x  x 2  a 2  C 2 2 x a dx 1 xa 3.  2  ln C 2 2a xa a x

4. 

dx 1 xa  ln C xa x 2  a 2 2a

Rumus-rumus di atas dengan mudah dapat dibuktikan dengan menderivatifkan rumus sebelah kanan. Di sini akan diilustrasikan untuk rumus 1. Kita mempunyai:

1.35






1  1 2  2 2 1  x  a . 2x      2    1 x  1  2  2 2 x x a  x  a2 

d 1 ln x  x 2  a 2  dx x  x2  a2

 

1

x2  a2  x

x  x2  a2 1

x2  a2

x2  a2

Contoh 1.4 a.

Hitunglah



dx x  2x  3 2

Penyelesaian:



dx x  2x  3 2



dx

 x  1

2

2

Misalkan u = x + 1, maka du = dx. Sehingga



dx x  2x  3 2



du u2  2





 ln u  u 2  2  C

 ln   x  1 

 x  1

2



2 C



 ln   x  1  x 2  2 x  3  C

b.

Hitunglah

x

2

dx  4x  3

1.36

Matematika 1 

Penyelesaian: dx dx  x 2  4 x  3    x  2 2  1 Misalkan u = x + 2, maka du = dx, sehingga

x

2

dx du 1 u -1  2  ln C u +1  4x  3 u 1 2 

c.

Hitunglah



dx 4x2  9

Penyelesaian: dx



1 x  2 -1 1 x 1 ln  C  ln C 2 x  2 +1 2 x3

4x  9 2



dx

 2x 

2

 32

1 du, sehingga 2 dx 1 du 1    ln u + u 2  32  C 2 2 2 2 4x  9 2 u 3 1  ln 2 x  4 x 2  9  C 2

Misalkan u = 2x, maka dx =



d.

Hitunglah

dx

 3  2x

2

Penyelesaian: Misalkan u  x 2 , maka dx 

1 2

du , sehingga

1.37


dx

 3  2x

2



1

 2

du

 3

2

u

 2



e.



e2 x e4 x  9

1 2 6

ln

1 2 6

ln

u 3 u 3

C

x 2 3 x 2 3

C

dx

Penyelesaian: Misalkan u  e2x , maka dx  2 e2 x du , sehingga



e2 x e 9 4x

dx 

1 du 1  ln u  u 2  9  C  2 2 u 9 2 1  ln e2 x  e 4 x  9  C 2

Lanjutan integrasi fungsi trigonometri Sekarang kita dapat menambah empat rumus integral fungsi trigonometri yang menuju bentuk fungsi trigonometri.

1.  tg x dx  ln sec x  C 2.  cotg x dx  ln sin x  C 3.  sec x dx  ln sec x  tg x  C 4.  cosec x dx  ln cosec x  cotg x  C Rumus-rumus di atas dapat diturunkan sebagai berikut: sinn x  tg x dx   cosn x dx

Misalkan u = cos x, maka du = sin x dx.

1.38

Matematika 1 

Sehingga,

 tg x dx  

du  ln u  C u  ln cos x  C  ln

1 C cos x

 ln sec x  C cos x

 cotg x dx   sin x

dx

Misalkan u = sin x, maka du = cos x dx. Sehingga, du  cotg x dx   u  ln u  C  ln sin x  C

3.  sec x dx   sec x 

sec x  tg x dx sec x  tg x

sec 2 x  sec x tg x dx sec x  tg x

Misalkan u = secx + tg x, maka du   sec x tg x  sec2 x  dx Sehingga,

du  ln u  C  ln sec x  tg x  C u Rumus 4 harap Anda buktikan sendiri.

 sec x dx  

Contoh 1.4 a. Hitunglah

 cotg  x dx

Penyelesaian: Misalkan u = x, du =  dx. Sehingga

1.39


1

1

ln sin u  C

1

ln sin  x  C

 cotg  x dx    cotg u du   

b.

Hitunglah



 sec 2x dx

Penyelesaian: Misalkan u = 2x, du = 2 dx. Sehingga 1 1  sec 2 x dx  2  sec u du  2 ln sec u  tg u  C 1  ln sec 2 x  tg 2 x  C 2 c.

cos 3x

 2 + sin 3x dx Penyelesaian: Misalkan u = 2 + sin 3x, du = 3 cos 3x dx. Sehingga,

cos 3x

1 du 1  ln u  C u 3

 2 + sin 3x dx  3 



d.

Hitunglah

1 ln 2  sin 3x  C 3

sec 2 x

 1  tg x dx

Penyelesaian: Misalkan u = 1+ tg x, maka du  sec2 x dx . Sehingga 2

sec x  1  tg x dx  ln 1+ tg x 

C

1.40

Matematika 1 

LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

Carilah integral di bawah ini dx 1)  9  16 x 2 dx 2)  2 x  25 dx 3)  25 x 2  17 dx 4)  10  3 x  x 2 dx 5)  2 x dx 6)  25 x 2  1 dx 7)  x2  4 dx 8)  x2  8 dx 9)  4 x 2  25 dx 10)  25 x 2  1

11)  tg 3 x dx

1.41


12)

1

 sec 2

 x dx

13)  cosec  x dx 14) 15)

 cotg   x   e cotg e dx x

dx

x

Petunjuk Jawaban Latihan 1) uraikan menjadi

dx

  3  4 x  3  4 x  dan misalkan u  4 x

2) ………………………………..

dx

3) uraikan menjadi



4) uraikan menjadi

  5  x  2  x 

5) uraikan menjadi

  x 1 x 1

5x 



17 5 x  17



dan misalkan u  5 x

dx

dx

6) misalkan u  5 x 7) 8) 9) 10)

…. …. misalkan u  2 x misalkan u  5 x

sin 3x dx dan misalkan u  cos3 x cos 3x 12) lihat rumus 3 dihalaman 131 13) lihat rumus 4 dihalaman 131 cos    x  14) ubah menjadi  dx dan misalkan u  sin    x  sin    x  11) ubah menjadi



15) misalkan u  e x dan lihat latihan no. 14).

1.42

Matematika 1 

R A NG KU M AN Rumus-rumus yang harus Anda ingat dalam bab ini adalah: dx 1.   ln x  x 2  a 2  C 2 2 x a dx 2.   ln x  x 2  a 2  C 2 2 x a dx 1 xa 3.  2  ln C 2 2a xa a x

4. 

dx 1  ln x 2  a 2 2a

5.  tg x dx  ln

xa C xa

sec x  C

6.  cotg x dx  ln 7.  sec x dx  ln 8.  cosec x dx  ln

sin x  C sec x  tg x  C cosec x  cotg x  C

TES F OR M A T IF 4 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! Untuk soal 1 sampai 10, carilah integral tak tentunya. 1)



dx 9 x  6 x  26 2

A. ln  3x  1  9 x 2  6 x  26  C B.

1 ln  3x  1  9 x 2  6 x  26  C 3


C. 3 ln  3x  1  9 x 2  6 x  26  C 1 ln  3x  1  9 x 2  6 x  26  C 5

D.

E. 5 ln  3x  1  9 x 2  6 x  26  C

2)



dx x  2x  2 2

A. ln  x  1  x 2  2 x  2  C B.

1 ln  x  1  x 2  2 x  2  C 2

C.

2 ln  x  1  x 2  2 x  2  C

D. ln  x  1  x 2  2 x  2  C 1 ln  x  1  x 2  2 x  2  C 2

E.

3)

x

x dx  36

4

A.

1 x2  6 ln 2 C 12 x 6

B.

1 x2  6 ln 2 C 6 x 6

C.

1 x2  6 ln 2 C 24 x 6

D. E.

1 x2  6 ln 2 C 12 x 6 1 x2  6 ln 2 C 24 x 6

1.43

1.44

4)

Matematika 1 

x dx

 81  6 x A.

2

D.

6x  9 1

18 6

1 9 6

C

C 6x  9

ln

6x  9

6x  9

ln

1 ln 9

E.

5.)

6x  9 6x  9

B. ln

C.

6x  9

1 ln 9

6x  9 6x  9 6x  9

C

C

C

dx



4 x  4 x  17 2

A. ln  2 x  1  4 x 2  4 x  17  C B. 2 ln  2 x  1  4 x 2  4 x  17  C C. 2 ln  2 x  1  4 x 2  4 x  17  C 1 ln  2 x  1  4 x 2  4 x  17  C 2 1 E. ln  2 x  1  4 x 2  4 x  17  C 2 D.

6)

cosec2 x

 2  cotg x

dx

A. ln cotg x+C B. ln cotg x+C C. ln  2  cotg x   C D. ln  2  cotg x   C E. 2 ln  2  cotg x   C


7)

sin 2 x

 3  2 cos 2 x dx A. ln  3  2 cos 2 x  + C 1 ln  3  2 cos 2 x  + C 2 1 C.  ln  3  2 cos 2 x  + C 2 1 D.  ln  3  2 cos 2 x  + C 4 1 E. ln  3  2 cos 2 x  + C 4 B.

8)

 x secn x

2

dx

1 ln sec x 2  tg x 2 +C 2 B. ln sec x 2  tg x 2 + C A.

C. 3 ln sec x 2  tg x 2 + C 1 ln sec x 2  tg x 2 +C 3 E. 2 ln sec x 2  tg x 2 + C D.

9)

sec e x  e x dx A. ln sec e x  tg e x  C B. 2 ln sec e x  tg e x  C C. ln sec e  x  tg e  x  C D. -ln sec e  x  tg e  x  C E. 2 ln sec e  x  tg e  x  C

1.45

1.46

10)

Matematika 1 



tg  ln x 

dx x A. ln sec  ln x   C B. ln sec  ln x   C C. ln cosec  ln x   C D. -ln cosec  ln x   C E. ln cos  ln x   C




 100%

Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 4, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.47


Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) B 3) B 4) E 5) C 6) D 7) A 8) B 9) A 10) D

Tes Formatif 2 1) B 2) A 3) E 4) D 5) C 6) A 7) B 8) E 9) D 10) B

Tes Formatif 1 1) D 2) B 3) A 4) C 5) A 6) C 7) B 8) E 9) B 10) A

Tes Formatif 2 1) A 2) A 3) C 4) C 5) D 6) D 7) E 8) A 9) D 10) A

1.48

Matematika 1 

Daftar Pustaka Piskunov, N. (1972). Differential And Integral Calculus. Vol.1. MIR Publisher. Salas, S.L. & Hille E. (1990). Calculus, 6th edition. John Wiley and Sons

Integral Fungsi Eksponen, Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma

Recommend Documents