Modul 10 Fungsi Trigonometri
10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A
c a α b 0
A’
Sudut α adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah
satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproyeksikan pada kaki yang lain, maka 0A’ adalah proyeksi 0A pada garis L, dan AA’ adalah garis yang memproyeksi. Tiga garis pada gambar di atas (0A; 0A’ dan AA’) dinamakan garis Goniometri sudut α dimana:
0A adalah garis yang diproyeksi 0A’ adalah garis proyeksi AA’ adalah garis yang memproyeksi Definisi: 1. Yang dimaksud dengan sinus suatu sudut yaitu perbandingan antara garis yang memproyeksi terhadap garis yang diproyeksi. 2. Yang dimaksud cosinus suatu sudut yaitu perbandingan antara garis proyeksi terhadap garis yang diproyeksi.
1
3. yang
dimaksud
tangen
suatu
yaitu
perbandingan
antara
garis
yang
memproyeksi terhadap garis proyeksi. 4. Yang dimaksud cotangen adalah kebalikan dari tangen. 5. Yang dimaksud secan adalah kebalikan dari cosinus sudut itu. 6. Yang dimaksud cosecan adalah kebalikan dari sinus sudut itu.
c a α
Sin α = a / c
cosec α = c / a
Cos α = b / c
sec
α =c/b
tg
ctg
α =b/a
α
= a/b
b
HUBUNGAN-HUBUNGAN
ctg α
= 1/tg α
tg α = sin α / cos α
sec α
= 1/cos α
sin2 α + cos2 α = 1
cosec α = 1/sin α
10.2.
tg2 α + 1 = sec2 α
Dalil Phytagoras
Pada segitiga siku-siku panjang masing-masing sisinya mempunyai hubungan yang beraturan sesuai dengan dalil phytagoras sebagai berikut:
A2 + B2 = C2 C = √ A2 + B2
C B
A
2
10.3.
Perbandingan Goniometri Sudut Penyiku Sin α = y / r
β
Cos α = x / r
r
tg
α
= y/x
y ctg
α =x/y
α x Dari segitiga di atas β = 90 - α ......? Dengan menggunakan sudut β seperti di atas akan diperoleh: Sin β= Sin (90 – α ) = x / r Maka Sin (90 – α )= cos α Cos β= cos (90 – α ) = y / r Maka cos (90 – α ) = sin α Cotng(90 - α ) = y / x Maka cotng(90 - α ) = Tg α Tg( 90 - α ) = x / y Maka tg (90 - α )= cotg α Jadi rumus perbandingan Goniometri sudut penyiku adalah: Sin ( 90 - α ) = Cos α Cos ( 90 - α ) Tg Ctg
( 90 - α ) ( 90 - α )
= Sin α = Cotg α = Tg α
………… (1)
3
10.4.
Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub
Koordinat Cartesius Dalam koordinat cartesius letak suatu titik pada bidang XOY ditentukan oleh absis X dan ordinat Y, maka titik P ditulis P(x, y).
Y P(x, y)
0
X
Contoh: 0
1. P(10; 45 )
y
450
x
2. A(5, -300) y 0
-300
x
4
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Polar
y
Sin φ = y / r Cos φ = x / r P(r, φ)
r
x
y = r Sin φ x = r Cos φ
………… (2)
x
Dari rumus (2) diperoleh: Tg φ = y / x = r Sin φ / r cos φ
Tg φ = Sin φ / Cos φ
………… (3)
Cotg φ = x / y = r Cos φ / r Sin φ Cotg φ = Cos φ / Sin φ
………… (4)
Dari dalil phytagoras x2 + y2 = r2 Jika rumus kiri dan kanan di bagi r2 maka: x2 / r2 + y2 / r2 = r2 / r2 (x / r) 2 + (y / r) 2 = 1 Atau
Cos 2 φ + Sin2 φ
……….(5)
5
Contoh: 1. Ubah ke koordinat polar, jika diketahui letak titik A dalam koordinat Cartesian A(3, 4) R = √x2 + y2 = √32 + 42
A(3,4)
= √9 + 16 = √25 = 5
r
4
y
Tg φ = y / x = 4/3
x
3
= 1.333 = (invers) Tg 1.333 = 53.130
Sehingga koordinat polar dari A(3, 4) adalah A (5, 53.130) 2. Ubah ke Cartesian jika titik B (10, 300) x = r Cos φ
B(10, 300) 10
= 10 cos 30 = 10 * 0.866
y
= 8.66
300
y = r Sin φ
x
= 10 sin 30 = 10 * 0.5 = 5
Sehingga koordinat kartesian dari B(10, 300) adalah B (8.66 ; 5) 3.1
Kuadran
y II
I x
0 III
IV
6
Bidang datar XOY dibagi oleh sumbu x dan sumbu y menjadi empat bagian, yang masing-masing bagian disebut kuadran I, kuadran II, kuadran III dan kuadran IV. Letak sudut dalam kuadran: 0 < α < 900 maka α di kuadran I 900 < α < 1800 maka α di kuadran II 1800 < α < 2700 maka α di kuadran III 2700 < α < 3600 maka α di kuadran IV Α > 3600 ditentukan dengan mengurangi dengan kelipatan 3600 dan letak α disesuaikan dengan aturan α < 3600. Untuk mencari nilai perbandingan goniometri suatu sudut, baik sudut dikuadran I, II, III IV dan sudut > 3600, harus dijadikan dulu perbandingan goniometri sudut lancip, maka diperlukan rumus-rumus sebagai berikut: 1. Kuadran ke II ke Kuadran I : 180 – φ y
180 – φ
α
x
2. Kuadran ke III ke Kuadran I : 180 + φ y
180 + φ α
x
7
3. Kuadran ke IV ke Kuadran I : 180 – φ y
360 - φ α
x
Adapun tanda dari masing-masing kuadran adalah: KWI
Kw II
Kw III
Kw IV
Sin
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tg
+
-
+
-
Ctg
+
-
+
-
Secara lengkap dapat dirumuskan sebagai berikut: Mengubah perbandingan Goniometri sudut di KW II ke KW I Sin ( 180 – α ) = sin α Cos ( 180 – α ) = - Cos α Tg ( 180 – α ) = - Tg α Cotg ( 180 – α ) = - Cotg α
Untuk mengubah kuadran KW III ke I, Kuadaran IV ke I lihat tabel tanda kuadran !
8
Latihan: 1. diketahui segitiga siku-siku sebagai berikut: L=4m M
K=3m L
α
Cari sin α, cos α, tg α, sec α, cosec α
k 2. cari nilai dari q; sin β; cos β, tg β, cotg β , sec β, cosec β berdasarkan gambar di bawah ini:
R q
R = 10 √2 P = 10
β P 3. isilah titik-titik di bawah ini: sin 300 = cos .......0 sin 600 = cos .......0 sin 450 = cos .......0 sin 53.130 = sin .......0
4. diketahui P(8, 6) gambar letak titik P dan tulis dalam koordinat Polar 5. diketahui A(10√2, 450) gambar letak titik A dan tulis dalam koordinat kartesian.
9
10
