trigonometri 4.1 Perbandingan Trigonometri

trigonometri

4.1 Perbandingan Trigonometri Y

   

P(x,y) r

y

𝛼

X

x

0

x disebut absis y disebut ordinat r jari-jari sudut  positif diukur dari sumbu X berlawanan  arah putaran jarum jam

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 Definisi : sin 𝛼 =

𝑦

𝑥

cos 𝛼 = 𝑟

𝑟 𝑟

𝑟

csc 𝛼 = 𝑦

sec 𝛼 = 𝑥

𝑦

tan 𝛼 = 𝑥 𝑥

cot 𝛼 = 𝑦

Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena 𝑥 ≤ 𝑟 dan 𝑦 ≤ 𝑟 maka berlaku −1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1 dan −1 ≤ sin 𝛼 ≤ 1. Khusus untuk tan 𝛼 dan cot 𝛼 dapat bernilai setiap harga positif dan negatif. Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut : Hipotenusa (sisi miring)

sisi depan sudut

𝛼 sisi samping sudut

Matematika Dasar

Page 17

Jadi: 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

sin 𝛼 = 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔

cos 𝛼 =

1

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔

𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

tan 𝛼 = 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔

𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 1

csc 𝛼 = sin 𝛼

1

sec 𝛼 = cos 𝛼

cot 𝛼 = tan 𝛼

Contoh 4.1 Tentukan nilai sin 𝛼, cos 𝛼, dan tan 𝛼 dari gambar berikut : 𝛼 c

b a

Jawab: sin 𝛼 =

𝑎 𝑐

cos 𝛼 =

𝑏 𝑐

𝑎

tan 𝛼 = 𝑏

Contoh 4.2 4

Diketahui tan 𝛼 = 3. Tentukan sin 𝛼 dan cos 𝛼! 4

𝑦

Jawab: tan 𝛼 = 3 = 𝑥 → 𝑟 2 = 32 + 42 → 𝑟 2 = 9 + 16 → 𝑟 2 = 25 → 𝑟 = 5 4

3

sin 𝛼 = 5 cos 𝛼 = 5 4.2 Sudut-Sudut Istimewa Untuk 𝟎𝟎 ≤ 𝛂 ≤ 𝟗𝟎𝟎 Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa 00 ≤ α ≤ 900 kita pergunakan gambar sebagai berikut :

450 √2

1

450

P(0, r)

600 2

1

300 1

Matematika Dasar

√3

P(r, 0)

Page 18

Dari gambar di atas jika kita nyatakan dengan tabel sebagai berikut : 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝐬𝐢𝐧 𝜶

𝐭𝐚𝐧 𝜶

𝐜𝐨𝐭 𝜶

𝐬𝐞𝐜 𝜶

𝐜𝐬𝐜 𝜶

0°

1

0

0

∞

1

∞

30°

1 √3 2

1 2

1 √3 3

√3

2 √3 3

2

45°

1 √2 2

1 √2 2

1

1

√2

√2

60°

1 2

1 √3 2

√3

1 √3 3

2

2 √3 3

90°

0

1

∞

0

∞

1

Contoh 4.3 Tentukan AC dan AB!

C 5

60°

A

B

Jawaban: tan 60° = 5

𝐴𝐶 → 𝐴𝐶 = tan 60° . 5 = √3 . 5 = 5√3 5 5

cos 60° = 𝐴𝐵 → 𝐴𝐵 = cos 60° =

5 1 2

= 10

Latihan 4.1 1. Tentukan nilai sin 𝛼, cos 𝛼, dan tan 𝛼 dari gambar berikut! a)

b)

c b α

a

α

p

q r

Matematika Dasar

Page 19

2. Tentukan nilai sin 𝛽, cos 𝛽, dan tan 𝛽 dari gambar berikut! a)

b)

B

6√2

β

8

6

P

R 6

β

A

C Q

3. Perhatikan gambar berikut! A 60°

45°

B

C

D

Jika DC = 6 cm, maka tentukan AB 3

4. Jika sin 𝛼 = 10, maka tentukan cos 𝛼 dan tan 𝛼 5. Jika tan 𝛽 = 2, maka tentukan sin 𝛽 dan cos 𝛽 6. Tentukan nilai dari: a. 2 sin 30° − √3 cos 30° + 6√3 tan 30° b.

−3 tan 60°+6 sin 60° 2 sin 45°+6 cos 30°

7. Tentukan AB dan BC dari gambar berikut 30°

C B 12

A

Matematika Dasar

Page 20

4.3 Sudut-Sudut Berelasi A. Relasi 𝜶 dan (𝟏𝟖𝟎° − 𝜶) sin(180° − 𝛼) =

Y P(x,y)

P’(-x,y)

cos(180° − 𝛼) =

(180 − 𝛼)

𝑦 𝑟

= sin 𝛼

−𝑥 𝑟

= − cos 𝛼

𝑦

𝛼

X

tan(180° − 𝛼) = −𝑥 = − tan 𝛼

B. Relasi 𝜶 dan (𝟏𝟖𝟎° + 𝜶) P(x,y)

sin(180° − 𝛼) = cos(180° − 𝛼) =

𝛼 (180° + 𝛼)

−𝑦 𝑟 −𝑥 𝑟

= − sin 𝛼 = −cos 𝛼

−𝑦

tan(180° − 𝛼) = −𝑥 = tan 𝛼

P’(-x,-y)

C. Relasi 𝜶 dan (𝟑𝟔𝟎° − 𝜶) atau – 𝜶 P(x,y)

sin(180° − 𝛼) =

−𝑦 𝑟

= − sin 𝛼

𝑥

cos(180° − 𝛼) = 𝑟 = cos 𝛼

𝛼 −𝛼

tan(180° − 𝛼) =

−𝑦 𝑥

= − tan 𝛼

P’(x,-y)

D. Relasi 𝜶 dan (𝟗𝟎° − 𝜶) P’(x,y)

𝑥

sin(180° − 𝛼) = 𝑟 = cos 𝛼 P(x,y)

90° − 𝛼

Matematika Dasar

cos(180° − 𝛼) =

𝑦 𝑟

= sin 𝛼

𝑦

tan(180° − 𝛼) = 𝑥 = cot 𝛼

Page 21

E. Relasi 𝜶 dan (𝟗𝟎° + 𝜶)

sin(180° − 𝛼) =

P’(-x,y)

cos(180° − 𝛼) =

P(x,y) 90° + 𝛼

tan(180° − 𝛼) =

−𝑥 𝑟 𝑦 𝑟

= − cos 𝛼

= sin 𝛼

−𝑥 𝑦

= − cot 𝛼

F. Relasi 𝜶 dan (𝟐𝟕𝟎° − 𝜶)

sin(180° − 𝛼) =

P(x,y)

cos(180° − 𝛼) =

270° − 𝛼

−𝑥 𝑟 𝑦 𝑟

= − cos 𝛼

= − sin 𝛼

−𝑥

tan(180° − 𝛼) = −𝑦 = cot 𝛼 P’(-x,-y)

G. Relasi 𝜶 dan (𝟐𝟕𝟎° + 𝜶) 𝑥

sin(180° − 𝛼) = 𝑟 = cos 𝛼 cos(180° − 𝛼) =

P(x,y)

tan(180° − 𝛼) =

270° + 𝛼

−𝑦 𝑟 −𝑦 𝑥

= − sin 𝛼 = − cot 𝛼

P’(x,-y)

Contoh 4.4 Tentukan nilai dari: a. sin 150°

b. cos 225°

c. tan 330°

Jawaban: 1

a. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 2 Matematika Dasar

Page 22

1

b. cos 225° = cos(180° + 45°) = − cos 45° = − 2 √2 1

c. tan 330° = tan(360° − 30°) = − tan 30° = 3 √3 Latihan 4.2 1. Tentukan nilai dari: a. sin 120°

b. sin 135°

c. cos 240°

d. tan 300°

e. cos 330°

f. tan 150°

g. sin 240°

h. cos 120°

3

2. Jika sin 𝛼 = 5 dan 90° < 𝛼 < 180° maka tentukan cos 𝛼 dan tan 𝛼 3. Jika tan 𝛼 = −√3 dan 270° < 𝛼 < 360° maka tentukan sin 𝛼 dan cos 𝛼 4. Tentukan 𝛼 untuk 270° < 𝛼 < 360° dari: a. sin 𝛼 =

1 2

1

b. cos 𝛼 = 2 √2

c. tan 𝛼 = −√3

5. Sederhanakan: a. 4 sin 225° + 2 cos 300° − 2 sin 315° + 2 cos 315° b. √3 tan 240° − 2 sin 210° + √2 sin 315° + 3√3 tan 330° 4.4 Identitas Trigonometri Dalam aljabar, variabel dan konstanta biasanya merepresentasikan bilangan real. Nilai fungsi trigonometri juga bilangan real. Oleh karena itu, operasi di aljabar juga digunakan dalam trigonometri. Pernyataan aljabar memuat operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Operasioperasi tersebut digunakan untuk membentuk pernyataan trigonometri. Suatu kesamaan antara dua pernyataan yang bernilai benar untuk semua nilai dari variabel dimana pernyataan tersebut didefinisikan disebut identitas. Suatu identitas yang memuat pernyataan trigonometri disebut identitas trigonometri. A. Identitas Resiprokal Kaitan antara fungsi sin, cos, dan tan, dengan fungsi cotan, sec, dan cosec, untuk semua nilai A, kecuali untuk fungsi yang tidak terdefinisi adalah seperti berikut. 1

csc 𝛼 = sin 𝛼 Matematika Dasar

1

sec 𝛼 = cos 𝛼

1

cot 𝛼 = tan 𝛼 Page 23

Identitas tersebut disebut identitas resiprokal. B. Identitas Hasil Bagi C

𝐵𝐶

sin 𝛼 = 𝐴𝐶 cos 𝛼 =

𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶

tan 𝛼 = 𝐴𝐵

𝛼 B

A

sin 𝛼

Dari hubungan 𝑐𝑜𝑠, 𝑠𝑖𝑛, dan 𝑡𝑎𝑛, didapatkan bahwa tan 𝛼 = cos 𝛼 atau sin 𝛼 = tan 𝛼 . cos 𝛼. Dari hubungan tersebut maka didapatkan identitas hasil bagi sebagai berikut. sin 𝛼

tan 𝛼 = cos 𝛼 cot 𝛼 =

sin 𝛼 = cos 𝛼 tan 𝛼

cos 𝛼

cos 𝛼 = sin 𝛼 cot 𝛼

sin 𝛼

C. Identitas Pythagoras sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 Perhatikan sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1, jika kedua ruas dibagi dengan cos 2 𝛼, denga cos2 𝛼 ≠ 0, maka sin2 𝛼 cos2 𝛼

cos2 𝛼

1

+ cos2 𝛼 = cos2 𝛼

tan2 𝛼 + 1 = sec 2 𝛼 Perhatikan sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1, jika kedua ruas dibagi dengan sin2 𝛼, denga sin2 𝛼 ≠ 0, maka sin2 𝛼 sin2 𝛼

cos2 𝛼

1

+ sin2 𝛼 = sin2 𝛼

1 + cot 2 𝛼 = csc 2 𝛼 Kesimpulan Identitas Pythagoras sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1 tan2 𝛼 + 1 = sec 2 𝛼 1 + cot 2 𝛼 = csc 2 𝛼

Matematika Dasar

Page 24

D. Identitas Simetri Untuk menentukan tanda nilai suatu fungsi, perlu diketahui besar sudut atau kuadran yang memuat letak salah satu kaki sudutnya(kaki sudut yang lain terletak pada sumbu X). Untuk menentukan nilai fungsi ini diperlukan identitas simetri dari sin 𝛼 dan cos 𝛼. Untuk nilai fungsi yang lain mengikuti nilai sin 𝛼 dan cos 𝛼. Berikut ini adalah identitas trigonometri yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat k dan semua nilai A.

Didapatkan: sin(𝐴 + 360°) = sin 𝐴 cos(𝐴 + 360°) = cos 𝐴 Bentuk Umum: sin(𝐴 + 𝑘. 360°) = sin 𝐴

cos(𝐴 + 𝑘. 360°) = cos 𝐴

dengan k bilangan bulat.

4.5 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut A. Rumus 𝐜𝐨𝐬(𝒂 + 𝒃) dan 𝐜𝐨𝐬(𝒂 − 𝒃) Gambar berikut adalah lingkaran berpusat di titik O(0,0) dengan jari-jari r, sehingga titik koordinat A (r,0). Matematika Dasar

Page 25

Misalkan: ∠ AOB = a radian ∠ BOC = b radian ∠ AOD = -b radian Dari gambar tersebut terlihat bahwa: ∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = a + b, sedangkan ∠ DOB = ∠ DOA + ∠ AOB = b + a, sehingga ∠ AOC = ∠ DOB, Karena ∠ AOC = ∠ DOB maka ∆ AOC kongruen dengan ∆ BOD akibatnya AC = BD. Oleh karena itu (AC)2 = (BD)2 ............................ (*) Kita ingat bahwa koordinat Cartesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai (r cos a, r sin a), sehingga : 

Koordinat titik A adalah (r,0)



Koordinat titik B adalah (r cos a, r sin a)



Koordinat titik C adalah (r cos (a + b), r sin (a + b))



Koordinat titik D adalah (r cos (-b), r sin (-b)) = (r cos b, -r sin b)

Titik A (r,0) dan C (r cos (a + b), r sin (a + b)), Matematika Dasar

Page 26

AC2 = (r cos (a + b) – r)2 + (r sin (a + b) – 0)2 = r2 cos2 (a + b) – 2 r2 cos (a + b) + r2 + r2 sin2 (a + b) = r2 (cos2 (a + b) + sin2 (a + b) + 1 - 2 cos (a + b)) = r2 (1 + 1 – 2 cos ( a + b)) = r2 (2 – 2 cos ( a + b) BD2 = ( r cos b – r cos a )2 + (-r sin b – r sin a)2 = r2 cos2 b – 2 r2 cos a cos b + r2 cos2 a + r2 sin2 b + 2 r2 sin a sin b + r2 sin2 a = r2 (2 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b) Dari persamaan (*) : (AC)2 = (BD)2 , maka diperoleh hubungan r2 (2 – 2 cos ( a + b)) = r2 (2 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b). Jika masing-masing ruas dibagi dengan r2 , diperoleh 2 – 2 cos ( a + b) = 2 - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b – 2 cos ( a + b) = - 2 cos a cos b + 2 sin a sin b 1

Selanjutnya jika kedua ruas dikalikan dengan (− 2), diperoleh cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b Jadi didapatkan rumus untuk cos (a + b), yaitu : cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 Karena sudut a dan b diambil sebarang sudut, rumus ini juga berlaku untuk sebarang sudut, baik positif maupun negatif, dalam satuan derajat maupun radian. Misalnya, jika sudut-sudutnya dinyatakan dalam satuan derajat, rumus kosinius jumlah dua sudut di atas dapat dituliskan sebagai berikut : cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 sin 𝑏 Contoh 4.5 Dengan menyatakan 75° = 45° + 30°, hitunglah nilai cos 75°! Jawaban: cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° 1

1

1

1

1

= 2 √2 (2 √3) − 2 √2 (2) = 3 (√6 − √2) Matematika Dasar

Page 27

B. Rumus 𝐬𝐢𝐧(𝒂 + 𝒃) dan 𝐬𝐢𝐧(𝒂 − 𝒃) sin(𝑎 + 𝑏) = cos(90° − (𝑎 + 𝑏)) = cos((90° − 𝑎) − 𝑏) = cos(90° − 𝑎) cos 𝑏 + sin(90° − 𝑎) sin 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = cos(90° − (𝑎 − 𝑏)) = cos((90° − 𝑎) + 𝑏) = cos(90° − 𝑎) cos 𝑏 − sin(90° − 𝑎) sin 𝑏 = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 Maka dapat disimpulkan: sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± cos 𝑎 sin 𝑏 Contoh 4.6 Dengan menyatakan 105° = 60° + 45°, tentukan nilai sin 105°! sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° 1

1

1 1

= 2 √3 (2 √2) + 2 (2 √2) 1

= 4 (√6 + √2) C. Rumus 𝐭𝐚𝐧(𝒂 + 𝒃) dan 𝐭𝐚𝐧(𝒂 − 𝒃) sin(𝑎+𝑏)

sin 𝑎 cos 𝑏+cos 𝑎 sin 𝑏

tan(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎+𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏−sin 𝑎 sin 𝑏 Jika pembilang dan penyebut pada ruas kanan dibagi cos 𝑎 cos 𝑏, diperoleh: sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 sin 𝑏 + cos 𝑎 cos 𝑏 tan(𝑎 + 𝑏) = = cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑏 sin 𝑎 sin 𝑏 − cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑏 cos 𝑎 cos 𝑏 sin 𝑎 sin 𝑏 tan 𝑎 + tan 𝑏 cos 𝑎 + cos 𝑏 = = sin 𝑎 sin 𝑏 1 − (cos 𝑎 ) ( ) 1 − tan 𝑎 tan 𝑏 cos 𝑏 Dengan cara yang sama, didapat pula: tan(𝑎 − 𝑏) =

Matematika Dasar

tan 𝑎 − tan 𝑏 1 + tan 𝑎 tan 𝑏

Page 28

Maka dapat disimpulkan: tan(𝑎 ± 𝑏) =

tan 𝑎 ± tan 𝑏 1 ∓ tan 𝑎 tan 𝑏

Contoh 4.7 Tanpa menggunakan kalkulator atau tabel, hitunglah tan 15°! Jawaban: 1 1 − 3 √3 tan 45° − tan 30° tan 15° = tan(45° − 30°) = = = 2 − √3 1 − tan 45° tan 30° 1 + (1) (1 √3) 3 Latihan 4.3 1. Tentukan nilai dari: a. sin 75°

b. sin 105°

c. cos 165°

d. cos 195°

e. tan 225°

f. tan 15°

2. Sederhanakanlah: a. sin 137° cos 17° − cos 137° sin 17° b. cos 222° cos 42° + sin 222° sin 42° c.

tan 79°−tan 19° 1+tan 79° tan 19° 3

12

3. Jika cos 𝛼 = 5 dan sin 𝛼 = 13, 𝛼 dan 𝛽 lancip, maka tentukan: a. sin(𝛼 − 𝛽)

b. cos(𝛼 + 𝛽)

c. tan(𝛽 − 𝛼)

4. Jika sin 𝑥 = sin(𝑥 + 45°), buktikan tan 𝑥 = √2 + 1 5. Jika 𝛼 + 𝛽 =

𝜋 6

3

dan cos 𝛼 cos 𝛽 = 4 maka tentukan cos(𝛼 − 𝛽)!

6. Jika tan(𝑥 + 𝑦) = 1 dan tan 𝑦 = 1, maka tentukan tan 𝑥!

4.6 Rumus Trigonometri Sudut Ganda Untuk mencari rumus trigonometri sudut ganda, cukup menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut. 

sin 2𝑎 = sin(𝑎 + 𝑎) = sin 𝑎 cos 𝑎 + cos 𝑎 sin 𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎



cos 2𝑎 = cos(𝑎 + 𝑎) = cos 𝑎 cos 𝑎 − sin 𝑎 sin 𝑎 = cos 2 𝑎 − sin2 𝑎 Karena sin2 𝑎 + cos2 𝑎 = 1 ↔ sin2 𝑎 = 1 − cos2 𝑎 ↔ cos2 𝑎 = 1 − sin2 𝑎

Matematika Dasar

Page 29

maka, cos 2𝑎 = cos 2 𝑎 − sin2 𝑎 = (1 − sin2 𝑎) − sin2 𝑎 = 1 − 2 sin2 𝑎 cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sin2 𝑎 = cos 2 𝑎 − (1 − cos 2 𝑎) = 2 cos2 𝑎 − 1 

tan 𝑎+tan 𝑎

2 tan 𝑎

tan 2𝑎 = tan(𝑎 + 𝑎) = 1−tan 𝑎 tan 𝑎 = 1−tan2 𝑎

Maka dapat disimpulkan: sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎 cos 2𝑎 = 1 − 2 sin2 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 cos 2𝑎 = 2 cos 2 𝑎 − 1 tan 2𝑎 =

2 tan 𝑎 1 − tan2 𝑎

Latihan 4.4 5

𝜋

1. Jika sin 𝑥 = 13 dan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , maka tentukan: a. sin 2𝑥

b. cos 2𝑥

c. tan 2𝑥

2. Tunjukkan: a. sin 3𝑎 = −4 sin3 𝑎 + 3 sin 𝑎 b. cos 3𝑎 = 4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑎 − 3 cos 𝑎 1

2

3. Jika tan 𝑎 = 2 dan tan 𝑏 = 5, maka tentukan: a. tan 2𝑎

b. tan(2𝑎 + 2𝑏)

4. Jika 𝜃 sudut lancip yang memenuhi 2 cos 2 𝜃 = 1 + 2 sin 2𝜃, maka tentunkan 𝜃! 5. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, buktikan bahwa sin 2𝐴 =

2𝑎𝑏 𝑐2

.

4.7 Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 +/-

(+) → sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏) = 2 sin 𝑎 cos 𝑏 2 sin 𝑎 cos 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏) Matematika Dasar

Page 30

(−) → sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏) = 2 cos 𝑎 sin 𝑏 2 cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏) cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 +/-

(+) → cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏) = 2 cos 𝑎 cos 𝑏 2 cos 𝑎 cos 𝑏 = cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏) (−) → cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏) = −2 sin 𝑎 sin 𝑏 −2 sin 𝑎 sin 𝑏 = cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏) Maka dapat disimpulkan: 2 sin 𝑎 cos 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏) 2 cos 𝑎 sin 𝑏 = sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏) 2 cos 𝑎 cos 𝑏 = cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏) −2 sin 𝑎 sin 𝑏 = cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏) Contoh 4.8 Hitunglah 4 sin 15° cos 45°! Jawaban: 4 sin 15° cos 45° = 2.2 sin 15° cos 45° = 2. sin(15° + 45°) + sin(15° − 45°) = 2. sin 60° sin(−30°) = 2. sin 60° (− sin 30°) 1 1 1 = 2. √3 (− ) = − √3 2 2 2 Latihan 4.5 1. Tentukan nilai dari: a. cos 15° sin 75°

b. cos 45° cos 15°

c. 6 cos 105° sin 15°

2. Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, sederhanakan dari; a. cos(𝑥 + 𝜋) cos(𝑥 − 𝜋) 1

1

1

1

b. −4 sin (2 𝑥 + 2 𝑦) sin (2 𝑥 − 2 𝑦) 3. Tunjukkan bahwa 8 sin 20° sin 40° sin 80° = √3 Matematika Dasar

Page 31

4. Hitunglah 8 sin 70° sin 50° sin 10°! 5. Buktikan bahwa: a. 2 sin 𝑥 cos3 𝑥 + 2 sin3 𝑥 cos 𝑥 = sin 2𝑥 b. 1 − cos 5𝑥 cos 3𝑥 − sin 5𝑥 sin 3𝑥 = 2 sin2 𝑥 4.8 Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏) = 2 sin 𝑎 cos 𝑏…. (*) sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏) = 2 cos 𝑎 sin 𝑏…. (*) cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏) = 2 cos 𝑎 cos 𝑏…. (*) cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏) = −2 sin 𝑎 sin 𝑏… (*) Jika 𝑎 + 𝑏 = 𝛼 dan 𝑎 − 𝑏 = 𝛽, maka 𝑎+𝑏 =𝛼

𝑎+𝑏 =𝛼

𝑎−𝑏 =𝛽

𝑎−𝑏 =𝛽

2𝑎 = 𝛼 + 𝛽

+

2𝑏 = 𝛼 − 𝛽

-

Maka persamaan (*) menjadi: 𝛼+𝑏 𝛼−𝑏 sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin ( ) cos ( ) 2 2 𝛼+𝑏 𝛼−𝑏 sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 𝛼+𝑏 𝛼−𝑏 cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos ( ) cos ( ) 2 2 𝛼+𝑏 𝛼−𝑏 cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin ( ) sin ( ) 2 2 Contoh 4.9 Tentukan cos 75° − cos 15°! Jawaban: 75° + 15° 75° − 15° ) sin ( ) = −2 sin 45° sin 30° 2 2 1 1 1 = −2 ( √2) ( ) = − √2 2 2 2

cos 75° − cos 15° = −2 sin (

Matematika Dasar

Page 32

Contoh 4.10 Nyatakan dalam bentuk perkalian dari sin 3𝑥 + sin 𝑥! Jawaban: 3𝑥 + 𝑥 3𝑥 − 𝑥 sin 3𝑥 + sin 𝑥 = 2 sin ( ) cos ( ) = 2 sin 2𝑥 cos 𝑥 2 2 Latihan 4.6 1. Tentukan nilai dari: a. cos 105° − cos 15°

b. sin 75° − sin 15°

c. sin 315° + sin 15°

2. Nyatakan cos(𝑥 + 2ℎ) − cos 𝑥 sebagai bentuk perkalian! 1

3. Buktikan sin 105° + sin 15° = 2 √6 ! sin(𝑥−𝑦)

4. Buktikan tan 𝑥 − tan 𝑦 = cos 𝑥 cos 𝑦 ! 4

5. Diketahui tan 𝑥 = 3. Tentukan nilai cos 3𝑥 + cos 𝑥 !

Matematika Dasar

Page 33