Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional TRIGONOMETRI
Konversi Sudut 1° =
1 𝜋 putaran= rad 360 180
1 rad =
180° 𝜋
=
1 2𝜋
= 60 menit (60′ ) = 3600 detik (3600")
putaran
ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin 𝑡 =
𝑦 𝑟
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 =
𝑟 𝑦
𝑥 𝑟 cos 𝑡 = sec 𝑡 = 𝑟 𝑥 tan 𝑡 =
𝑦 𝑥 cot 𝑡 = 𝑥 𝑦
Sifat-sifat dari perbandingan trigonometri 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑡 =
1 1 1 sin 𝑡 cos 𝑡 sec 𝑡 = cot 𝑡 = tan 𝑡 = cot 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 tan 𝑡 cos 𝑡 sin 𝑡
Invers Fungsi Trigonometri Jika cos 𝑥 = 𝑎, maka inversnya adalah 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑎. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛, 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛, 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐, 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡, 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐. Adapun lambang lain dari invers adalah : cos−1 , sin−1 , tan−1 , cot −1 , sec −1 , 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 −1 {tapi hati2 dengan tanda ini, karena bisa saja berarti emang 1
tanda pangkat, contohnya tan−1 = 𝑡𝑎𝑛 , jadi untuk tanda yang seperti ini mesti sesuai dengan soal, apakah itu tanda invers, atau tanda pangkat}
By : Rahmad AzHaris
Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
Nilai perbandingan geometri untuk sudut khusus Besar sudut 𝑡
sin 𝑡
0°
30°
45°
60°
90°
0
1 2
1 2 2 1 2 2
1 3 2 1 2
1
cos 𝑡
1
tan 𝑡
0
1 3 2 1 3 3
1
0 -
3
Trigonometri di bidang kartesius Dibidang kartesius Sudut yang dibentuk segitiga adalah sudut antara sisi miring segitiga siku-siku ke sumbu 𝑥 positif. Tinggi segitiga merupakan ordinat 𝑦, alas segitiga merupakan absis 𝑥, dan panjang sisi miring segitiga merupakan 𝑟. Daerah yang ditandai dengan angka romawi merupakan daerah kuadran I,II, III, dan IV 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 Tanda positif-negatif perbandingan trigonometri tergantung daerah kuadrannya. Contoh sudut 120° Merupakan daerah kuadran II, di daerah itu, nilai 𝑥 negatif, 𝑦 positif, dan nilai 𝑟 selalu positif disemua 𝑦
𝑥
𝑦
kuadran. Jadi nilai sin 120° = 𝑟 bernilai positif, sedangkan cos 120° = 𝑟 dan tan 120° = 𝑥 bernilai negatif.
By : Rahmad AzHaris
Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional Tanda di daerah kuadran (−/+) 𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝑉
sin 𝑡
+
+
-
-
cos 𝑡
+
-
-
+
tan 𝑡
+
-
+
-
Sudut-sudut yang berelasi sin −𝛼 = − sin 𝛼 cos −𝛼 = cos 𝛼 tan −𝛼 = − tan 𝛼 sin(𝑘. 360° + 𝛼) = sin 𝛼 cos(𝑘. 360° + 𝛼) = cos 𝛼 tan(𝑘. 360° + 𝛼) = tan 𝛼 , untuk setiap𝑘 bilangan bulat sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼 tan(90° − 𝛼) = cot 𝛼 cot(90° − 𝛼) = tan 𝛼 sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼 cos 180° − 𝛼 = − cos 𝛼 tan 180° − 𝛼 = − tan 𝛼 sin(180° + 𝛼) = − sin 𝛼 cos 180° + 𝛼 = − cos 𝛼 tan 180° + 𝛼 = tan 𝛼 sin(𝑘. 360° − 𝛼) = − sin 𝛼 cos 𝑘. 360° − 𝛼 = cos 𝛼 tan 𝑘. 360° − 𝛼 = − tan 𝛼, untuk setiap 𝑘 anggota bilangan bulat Contoh cos 120° = cos 180 − 60 ° = − cos 60° = −
tan 1100° = tan(3.360° + 30°) = tan 30° = Identitas Trigonometri Dasar a) sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 = 1 Bukti : sin 𝑡 =
𝑦 𝑦2 , sin2 𝑡 = 2 𝑟 𝑟
By : Rahmad AzHaris
1 2
1 3 3
Pelatihan-osn.com
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
𝑥 𝑥2 cos 𝑡 = , cos 2 𝑡 = 2 𝑟 𝑟 sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 =
𝑥2 + 𝑦2 𝑟2
Berdasarkan dalil Phytagoras 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 sehingga sin2 𝑡 + cos 2 𝑡 =
𝑥2 + 𝑦2 𝑟2 = 2=1 𝑟2 𝑟
b) 1 + tan2 𝑡 = sec 2 𝑡 c) 1 + cot 2 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑡
{untuk 2 sifat lainnya silahkan dibuktikan sebagai bahan latihan}
Rumus Trigonometri sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏 cos 𝑎 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑏 cos 𝑎 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 cos 𝑎 + 𝑏 = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 tan 𝑎 + tan 𝑏 1 − tan 𝑎 tan 𝑏 tan 𝑎 − tan 𝑏 tan(𝑎 + 𝑏) = 1 + tan 𝑎 tan 𝑏 tan(𝑎 + 𝑏) =
𝑎
{modifikasi rumus ini untuk mendapatkan nilai sudut 2𝑎 dan 2 untuk setiap perbandingan trigonometri} 1 1 cos 𝑎 cos 𝑏 = cos 𝑎 + 𝑏 + cos(𝑎 − 𝑏) 2 2 1 1 sin 𝑎 sin 𝑏 = cos 𝑎 − 𝑏 − cos(𝑎 + 𝑏) 2 2 1 1 sin 𝑎 cos 𝑏 = sin 𝑎 + 𝑏 + sin(𝑎 − 𝑏) 2 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin cos 2 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos sin 2 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos cos 2 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 cos 𝑎 − cos 𝑏 = − 2 sin sin 2 2 2 sin(𝑎 + 𝑏) tan 𝑎 + tan 𝑏 = cos 𝑎 + 𝑏 + cos(𝑎 − 𝑏)
By : Rahmad AzHaris
Pelatihan-osn.com
tan 𝑎 + tan 𝑏 =
Konsultan Olimpiade Sains Nasional
2 sin(𝑎 − 𝑏) cos 𝑎 + 𝑏 + cos(𝑎 − 𝑏)
{buktikan kedelapan rumus diatas dari rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri sebelumnya}
Contoh : Tentukan nilai sin 15° sin 15° = sin 45° − 30° = sin 45° cos 30° − sin 30° cos 45° =
1 1 1 1 1 2. 3− . 2 = ( 6 − 2) 2 2 2 2 2
Basic Problems 1. Tentukan nilai (𝑐𝑜𝑠, 𝑠𝑖𝑛, 𝑡𝑎𝑛, 𝑐𝑜𝑡, 𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐) untuk nilai sudut 435° 2. Buktikan identitas trigonometri berikut a. 4 sin 2𝑥 cos 2𝑥 cos 𝑥 = sin 5𝑥 + sin 3𝑥 b.
sin 2𝑥 sin 𝑥
c.
sin 𝑎+𝑏 sin 𝑎−𝑏
=
(1+cos 2𝑥) cos 𝑥 tan 𝑎+tan 𝑏
= tan 𝑎−tan 𝑏 𝜋
3. Tentukan nilai dari cos 2 cos −
7𝜋 2
+ sin −
7𝜋 2
𝜋
sin 2
4. Jika tan 𝑥 tan 𝑦 = 25 dan cot 𝑥 + cot 𝑦 = 30, maka nilai tan(𝑥 + 𝑦) adalah. Advanced Problems 𝑏
1. Buktikan 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 = 𝑘 cos(𝑥 − 𝛼), dimana 𝑘 = 𝑎2 + 𝑏 2 dan 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑎 2. Nilai 𝑥 yang memenuhi 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 dan dan 1 sin 2
𝑥 2010
= 22010 2 cos
𝜋 𝜋 𝜋 cos … cos 2 4 2010
3. Jika 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥2011 bilangan real, maka nilai terkecil dari cos 𝑥1 sin 𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑜𝑠𝑥2011 sin 𝑥1 adalah… 4. Misalkan 𝑓 𝑦 =
3 + 1 sin 𝑦 + (
adalah bilangan real adalah…
By : Rahmad AzHaris
3 − 1 cos 𝑦. Nilai maksimum untuk 𝑓 𝑦
2
dimana 𝑦
