Bab 11 TRIGONOMETRI 1. Perbandingan Trigonometri
Y T(a,b)
y
sin
r
r x
cos
y
r y
tan
x
X 0
x
2. Hubungan fungsi-fungsi trigonometri a. sin 2
cos
2
b. 1 ctg 2
cos ec
c. 1 tan 2
sec
sin
d. tg
1
cos ec
1 2
sin 1
sec
2
cos 1
cot an
tan
co s
; c tg
co s
sin
Latihan 1 1. Titik-titik sudut segitiga sama kaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 7 cm. Jika alas AB = 2 7 , nilai tan A = … a.
1
6
7
7
2. Jika sin x
(1
3. Jika a.
a
(1
6
a )
x
a 2
7 6
49 25
4
b.
a
a
b.
2
3 1
c. 1 5
5
a
2
, 00
a
1
d.
2
a )
2 cos x
3 sin x 2
d.
4 5
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
6
2a (1
a
2
(1
d.
a
7
e. 2a 2
2
4a )
1
25 49
e.
2
a )
a
2
(1
a
1 2
a )
sama dengan … e.
3
0 180 . Nilai sin
c.
e.
7
...
6 cos x
3
6
2
a )
5 sin x
1
1
d.
2
tan x
(1
. Nilai dari
3
7
c.
a ) 2
cos
a (1
1
d.
7
...
c.
a maka cos x
2
6
3
4a )
(1
b.
1
, nilai tan x
2
(1
a )
5. Diketahui sin a.
x
dan sin x
1
c.
7
2a
4. Diketahui nilai tan x a.
6
b.
2
2 2
1
2 a , untuk 0
a
a.
b.
cos
7 6
...
e.
5 7
50
6.
1
a.
cos x
...
sin x sin x 1
b.
cos x
7. Jika p a. cos
q
cos x 1
cos a dan
sin x
2 pq
b. 2 cos a 1
sin x 1
c. 3 cos a
b. a 5
9. Bentuk yang identik dengan
10. Jika p a. 0
b. cos x cos A dan
2
2 pq
b. 1
cos x 1
2
sin x
e.
sin x 1
cos x
... 2 3
2 d.
2
sin a
2
e.
sin a
0
45 dan CT garis tinggi dari titik sudut C. Jika BC
d. a 11
e. a 13
2
sin x
2
a. sin x
q
c. a 7 4
2
p
2
8. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = a dan AT = 52 a 2 , maka AC = … a. a 3
d.
cos x
sin a , maka
1 2
2
2
c.
cos x
cos x asalah … 2
2
sin x
d. sec 2 x
c. tan 2 x sin A , maka p
2
c. ½
q
2
e. cos ec 2 x
...
d. ¼
e. -1
3. Tanda fungsi pada masing-masing kuadran
Sin +
Semua +
tg +
4.
cos +
Nilai sinus , cosinus , tangens pada sudut-sudut istimewa Fungsi
Sudut Istimewa 0
Sinus
0
30 1
0
0
2
Cosinus Tangen
1
1
0
2 1
3
45 1
0
2
60 1
3
90
0
180
0
270
0
360
1
0
-1
0
0
-1
0
1
~
0
-~
0
0
-~
0
~
0
2
2 1
1
2
2
2
1
3
0
3
3
Cotangen
~
1
3
1
3
3
5. Hubungan sinus , cosinus dan tangen Penjumlahan dan pengurangan sudut : sin(
)
sin
cos(
)
cos
cos cos
cos
sin
sin
sin
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
51
tg (
tg
)
tg
1 tg tg
Identitas trigonometri 2 tgA
Sin 2A = 2 sin A cos A = 1
tg A
1
2
cos 2 A
2 cos A 1 1
2
2 sin A 2
cos A
2 tgA
tg 2 A
2
2
tg A 3
sin 3 A
3 sin A
cos 3 A
4 cos A
3
4 sin A 3 cos A
2
sin A
Penjumlahan dan pengurangan fungsi
S+S S-S C+C C-C
1
(
)
2
2 SC 2 CS 2 CC
(
)
-2 SS
Grafik fungsi trigonometri y = sin x
y = sin nx
1 1
1 1
y
n 1
2 n
2
-1
y = n sin x
2
-n
-1
Sinx
y
Sin x 1 1
1 1
2
2
-1
-1
Periode y = sin x adalah 360 0 atau 2 artinya setiap 360 0 atau 2 Nilai maksimum = 1 dan minimum = -1
fungsi akan berulang
Coba sendiri untuk Cos Aturan –aturan dalam segitiga 180
0
C
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
52
sin(
)
sin
Cos (
)
Cos
sin(
)
sin
Cos (
)
Cos
sin(
)
sin
Cos (
)
Cos
B
A a. Aturan sinus a
b
c
sin
sin
sin
2R
b. Aturan cosinus a
2
b
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
2 bc cos
c
2
2 ac cos
a
2
2 ab cos
c. Luas segitiga : Luas
1
ABC
2 1
ab sin
.b .c sin 2 1 .a .c sin 2 2 R sin sin
`
sin
abc 4R
Persamaan Trigonometri sin x
sin
x1
k .360
x2 cos x
cos
(180
x1
)
tg
k .360
k .360
x2
tgx
0
k .360
x
k .180
Persamaan bentuk a cos x + bsin x = c a cos x
o
b sin x
dengan k a cos x
o
a
o
2
b sin x
k cos( x
b o
2
dan tg
)
o
b a
c
persamaan diatas dapat diselesaikan jika k k cos( x co s( x
) )
o
o
c
k
maka :
c c k
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
53
cos( x
)
c
o
a
2
b
2
agar persamaan a cos x o Soal latihan : 1
1.Nilai sin(
b sin x
o
c memiliki penyelesaian maka c
a
2
b
2
sama nilainya dengan …
x)
2
a. – sin x
b. – cos x
c. sin x
d. sin (-x)
e. cos x
2. Titik-titik sudut segitiga sama kaki ABC terletak pada lingkaran berjari-jari 7 cm. Jika alas AB = 2 7 . Maka tan A=… a.
1
6
7
b.
7
1
6
6
2
3. Diketahui nilai tan x 7
a.
6
1
p
2
c.
3
4. Jika diketahui sin a. 1
. Nilai dari
3
b.
c.
7
1
6
3
5 sin x
6 cos x
2 cos x
3 sin x 2
1
d.
3
p , maka nilai dari cos 2
b. 2 p 1
p
d.
7
6
2
e.
7
6
7
sama dengan … e.
3
7 6
...
c. 1 2 p 2
2
1
e. p 2
d. 2p
5. Persamaan kurva disamping adalah …. 1.
y = 2 sin x
d. y = 2 cos x
2 2. y=sin ( x + 30 ) 1
X 360
240
e. y = cos ( x + 30 )
3. y= 2 sin ( x + 30 )
150
60 -1 -2
6. 2 cos 75 0 sin 5 0 = … a. sin 80 0 - sin 70 0 d. cos 80 0 - cos 70 0
b. sin 80 0 + sin 70 0 e. sin 70 0 - sin 80 0
c. cos 80 0 + cos 70 0
7. Koordinat cartesius dari titik (4 3 , 300 0 ) adalah .. a. ( 2 3 ,6) b. ( 2 3 , 6) c. ( -2 3 ,-6) 8. Nilai a.
1
sin 105 2
4
0
b.
sin 15 1 4
6
0
d. (6, -2 3 )
e. (-6, 2 3 )
adalah … c.
1 2
2
d. 1
e.
1
6
2
9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 4 cm , BC = 6 cm dan AC = 8 cm . Nilai tan ACB adalah … a.
1 7
15
b.
1 8
c.
8 7
d.
7 15
15
e.
8
15
15
10. Persamaan (p+1) cos x + p sin x = 2p – 1 dapat diselesaikan bila batas-batas nilai p yang memenuhi adalah … a. 0 p 3 b. 3 p 0 c. p 3 atau p 0 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
54
d.
p
0 atau p
3
e.
p
3 atau p
3
11. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisisisinya AB = 5 cm, BC = 9 cm dan AC = 6 cm. Nilai sin A adalah . . . . 1
a.
b.
3
1
c.
3
1
d.
2
4
1
e.
2
3
2
2
3
12. Nilai dari cos 105° + cos 165° adalah . . . . a.
1 2
6
1
b.
3
2
1
c.
d.
2
2
13. Himpunan penyelesaian dari sin(2 x 30) a. { x / 0 x 75} d. { x / 105 b. { x / 0 x 135} e. x / 105 c. { x / 45 x 105}
1 2
3 untuk 0
x
135}
x
135
1
e.
2
2
x
1
6
2
180 adalah
14. Himpunan penyelesaian dari sin x - 3 cos x° = 1 , untuk 0<x<360 adalah . . : . a. {90, 210} b. {90, 150} c. {120, 180} d. {0, 300} e. {60; 180}
15. Diketahui titik-titik A(5,3,-4), B(6,2,-4) d-a~n C(5,4,-4). Kosinus sudut antara AB dan AC adalah . a. 12 2 b. 13 3 c. 13 d. 13 3 e. 12 2 16. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC = 3 cm, sisi AC = 4 cm dan sin A = 12 Nilai cos B a. 52 5 b. 13 5 c. 12 3 d. 23 e. 12 17. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 6 cm, besar A = 30° dan Luas segitiga ABC adalah . . . . a. 18 cm2 b. 6 3 cm2 c. 2 3 cm2 d. 9 cm2 e. 3 3 cm2 18. Diketahui cos (A - B) = a.
8 25
b.
8 7
3 5
dan cos A cos B = c.
7 8
7 25
C = 120°.
Nilai tan A tan B = . . . . d.
8 25
e.
8 7
19. Nilai tan x yang memenuhi persamaan : cos 2x + 7 cos x -3 = 0 adalah . . . a. 3 b. 12 3 c. 13 3 d. 12 e. 15 5 20. Agar persamaan 3 cos x - m sin x = 3 5 dapat diselesaikan, maka nilai m adalah . . . . a. 3 6 m 3 6 b. 6 m 6 c. 0 m 3 6 6 atau m 6 3 6 atau m 3 6 d. m e. m 21. Dari segitiga PQR, ditentukan panjang sisi PQ = 7 cm, PR = 4 cm, dan QR = 5 cm. Nilai tan PQR adalah .... 26 26 24 a. b. 24 c. 19 d. e. 22. Pada segitiga ABC panjang sisi BC=30 cm dan sin BAC = 13 5 Jari-jari lingkaran luar segi tiga tersebut adalah .... a. 2 5 cm b. 3 5 cm c. 5 5 cm d. 9 5 cm e. 18 5 cm
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
55
23. Ditentukan sin 2 A= 4
a.
9 10
3
b.
3
. untuk c.
4
, nilai tan 2 A = .
2A 2
3
d.
4
4
4
e.
5
3
24. Ditentukan persamaan tan x° - 2cot x° - 1= 0 untuk 90 < x < 180. Nilai sin x° = . . . a.
2
1
b.
5
5
c.
2
2
1
d.
3
3
1
1
e.
2
5
5
25. Himpunan penyelesaian dari sin 2x° > 12 untuk 0 x < 180 adalah . . . a. {x / 15 < x < 75} b. {x /0 < x < 15 atau x > 75} c. {x / 0 < x < 15} d. (x /x < 30 atau x > 150} e. {x / 30 < x < 150} 26. Grafik di bawah ini persamaannya adalah . . . . 2 1 1 4
1 2
-2
a. y = -2 sin 12 x b. d. y = 2 cos 2x 27. Diketahui sin A = 13
a.
b. y = -2 sin 2x e. y = 2 cos 12 x 8
3
17
,sin B = ,sudut A dan B lancip. Nilai tg (A + B ) Adalah . . . . 5
13
b.
36
c. y = 2 sin 2x
c.
84
77
d.
84
77 60
28. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos( 2 x 0
a. 150 d. 150 0
x
165
0
x
165
0
0
b. 150 e. 150 0
29. Nilai maksimum dari a.
3 4
b.
x
15
x
165
m 15 sin x 3
4
8 cos x 4
c.
0
25
3
30 )
c. 165
77
e.
0
36
0
1
3 untuk
2
x
150
0
0
x
180
0
0
0
adalah 7 .
d.
1 4
Nilai minimumnya adalah … e.
2 5
30. Persamaan (p+1) cos x + p sin x = 2p – 1 dapat diselesaikan jika batas-batas nilai p yang memenuhi adalah … a. 0 p 3 b. 2 p 3 c. 0 p 3 d. 0 p 4 e. 1 p 3
“ I don’t know why He sacrifield His life O but I’m so glad”
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
56
soal – soal dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007 Materi Pokok : Aturan Kosinus dan Sinus 1. Diketahui A dan B adalah titik – titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p√2 meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter. a. p √5
b.p √17
c.3√2
d.4p
e.5p
Soal Ujian Nasional tahun 2007 2. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 Km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 Km ke pelabuhan C Jarak pelabuhan A ke C adalah ... Km. a. 10 √95
b.10 √91
c.10 √85
d.10 √71
e.10 √61
Soal Ujian Nasional tahun 2006 3. Sebuah kapal berlayar kea rah timur sejauh 30 mil Kemudian melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah … mil. a. 10 √37
b.30 √7
c.30 √(5 + 2√2)
d.30 √(5 + 2√3)
e.30 √(5 – 2√3)
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 4. Diketahui segitiga BAC dengan AB = 7 cm, BC = 5 cm, dan AC = 6 cm. Nilai sin BAC = a. 5/7
b.2/7 √6
c.24/49
d.2/7
e.1/7 √6
Soal Ujian Nasional tahun 2005 5. Jika panjang sisi- sisi Δ ABC berturut – turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm, sedang sudut BAC = α, sudut ABC = β, sdut BCA = γ, maka sin α : sin β : sin γ = …. a. 4 : 5 : 6
b.5 : 6 : 4
c.6 : 5 : 4
d.4 : 6 : 5
e.6 : 4 : 5
Soal Ujian Nasional tahun 2004 6. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, √21 cm adalah …. a. 1/5 √21
b.1/6 √21
c.1/5 √5
d.1/6 √5
e.1/3 √5
Soal Ujian Nasional tahun 2003 7. Diketahui panjang jari – jari lingkaran luar Δ PQR seperti pada gambar adalah 4 cm dan panjang PQ = 6cm. Nilai cos sudut PQR = .... a. 3/4 √7
b.1/4 √7
c.3/7 √7
d.1/3 √7
e.4/7 √7
Soal Ujian Nasional tahun 2002 8. Nilai cos sudut BAD pada gambar adalah ….
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
57
a. 17/33
b.17/28
c.3/7
d.30/34
e.33/35
Soal Ujian Nasional tahun 2001 9. Diketahui Δ PQR dengan PQ = 6 cm, QR = 4 cm, dan sudut PQR = 90°. Jika QS garis bagi sudut PQR, panjang QS = …. a. 12/10 √2
b.12/5 √2
c.24/5 √2
d.5/6 √2
e.6√2
Soal Ujian Nasional tahun 2001 10. Luas segitiga ABC adalah ( 3 + 2√3 ) cm. Jika panjang sisi AB = ( 6 + 4√3 ) cm dan BC = 7 cm, maka nilai sisi ( A + C ) = …. a. 6√2
b.6√2
c.½
7
d. 6
4 3
7
e. 3
4 3
Soal Ujian Nasional tahun 2000 Materi Pokok : 11. Nilai dari cos 40°+ cos 80° + cos 160° = …. a. –½√2
b.–½
c.0
d.½
e.½√2
Soal Ujian Nasional tahun 2007 12. Nilai sin 105° + cos 15° = …. a. ½ ( –√2 – √2 )
b.½ ( √3 – √2 )
a.½ ( √3 + √2 )
e.½ ( √6 + √2 )
c.½ ( √6 – √2 )
Soal Ujian Nasional tahun 2006 13. Nilai dari 165° = …. b.1 – √3
b.–1 + √3
c.–2 – √3
d.2 – √3
e.2 + √3
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 14. Diketahui persamaan cos 2x + cos x = 0, untuk 0 < x < π nilai x yang memenuhi adalah .... a. π/6 dan π/2 b. π/2 dan π
c.π/3 dan π/2 d. π/3 dan π
e.π/6 dan π/3
Soal Ujian Nasional tahun 2005 15. Diketahui cos ( x – y ) = 4/5 dan sin x.sin y = 3/10. Nilai tan x.tan y = .... a. –5/3
b. –4/3
c. –3/5
d. 3/5
e. 5/3
Soal Ujian Nasional tahun 2004 16. Diketahui A adalah sudut lancip dan
cos
1 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
x
x
1
. Nilai sin A adalah ....
2x
58
x
a.
2
1
x
b.
x
x
2
c.
x
2
d. x 2
1
e.
1
x
2
1
x
1
Soal Ujian Nasional tahun 2003 17. Nilai sin 15° = …. a.
1
2
b.
2
2
1
2
c.
6
2
1
2
1
4
d.
1
6
2
4
e.
1
2
6
2
Soal Ujian Nasional tahun 2002 18. Diketahui sin .cos a. 3/25
= 8/25. Nilai
b.9/25
1
1
sin
cos
c.5/8
.....
d.3/5
e.15/8
Soal Ujian Nasional tahun 2001 19. Diketahiu sin x = 8/10, 0 < x < 90°. Nilai cos 3x = …. a. –18/25
b.–84/125
c.–42/125
d.6/25
e.–12/25
Soal Ujian Nasional tahun 2000 20. Bentuk
2 tan x 1
tan
2
a. 2 sin x b.sin 2x
x
ekivalen dengan .... c.2 cos x
d.cos 2x
e.tan 2x
Soal Ujian Nasional tahun 2000
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
59
