TRIGONOMETRI
A. Teorema Pythagoras A
b2 a2 c2 a2 b2 c2 c2 b2 a2
b c B
C
a
B. Perbandingan Trigonometri
hipotenusa
C
Sisi depan
A
Sisi samping
B
panjang sisi depan AB panjang hipotenusa AC panjang sisi samping BC cos panjang hipotenusa AC panjang sisi depan θ AB tan panjang sisi samping BC
sin
Latihan 1: 1. Tentukan nilai x! x 3 cm
5 cm
2. Tentukan nilai y! 13 cm y 5 cm 3. Tentukan perbandingan trigonometri berikut ini! Q P
R C. Menentukan besar sudut
22 cm
31 cm tan =
22 31
22 22 ( dibaca: antitangen dari ) 31 31 Berdasarkan tabel trigonometri diperoleh: = 35,36o atau 35o 21’
= tan 1
D. Identitas trigonometri
sin cos cos 1 cot sin tan 1 sec cos 1 csc sin tan
sin(90o – ) cos(90o – ) tan(90o – ) cot(90o – )
= cos = sin = cot = tan sin2 + cos2 = 1 cot2 + 1 = csc2
Latihan 2: 1. Besar sudut A jika sinA = 0,4357 adalah …. 2. Besar sudut B jika cosB = 0,0035 adalah …. 3. Besar sudut C jika tanC = 0,5693 adalah …. 4. Nilai dari cos55o adalah …. 5. Tentukan nilai dari sin . cos(90 o ) cos . sin( 90 o ) ! E. Tabel Perbandingan Trigonometri di Kuadran I Trigonometri
0
o
sin
0
cos
1
tan
0
cot
~
sec
0
csc
~
Sudut ( ) 30 45o 60o 1 1 1 2 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 2 1 3 1 3 3 1 3 1 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3
Latihan 3: Tentukanlah nilai dari: 1. (2 sin 60 o cos 60 0 ) 2 (sin 60 o 2 cos 60 o ) 2. (tan 30 o cot 30 0 ) sin 30 o cos 30 o 3. cot 2 45 o cos 30 0 tan 2 60 o cot 2 30 o sin 30 o 1 cos 30 o 4. 1 cos 30 o cos 30 o 2 tan 60 o 5. 1 tan 2 60 o
o
90o 1 0 ~ 0 ~ 0
F. Menentukan perbandingan trigonometri pada kuadran tertentu Fungsi Tanda Di Kuadran Trigonometri I II III sin + + cos + tan + + Pada kuadran II sin(180o - ) = sin cos(180o - ) = -cos tan(180o - ) = -tan Pada kuadran III sin(180o + ) = -sin cos(180o + ) = -cos tan(180o + ) = tan Pada kuadran IV sin(360o - ) = -sin cos(360o - ) = cos tan(360o - ) = -tan
IV + -
G. Menentukan perbandingan trigonometri, jika sudut >90o sin = sin(k.90o + x) dengan = k.90o + x dan 0 o x 90 o = ± sinx (tanda positif/negatif bergantung pada kuadran ke berapa) Jika k genap maka fungsi tetap, yaitu: sinus, cosinus, dan tangen tetap. Jika k ganjil maka fungsi berubah, yaitu: sinus menjadi cosinus, cosinus menjadi sinus, dan tangen menjadi cotangen. H. Menentukan perbandingan trigonometri, jika sudut >360o sin = sin(k.360o+x) = sinx cos = cos(k.360o+x) = cosx tan = tan(k.360o+x) = tanx I. Menentukan perbandingan trigonometri dengan sudut negatif sin(- ) = -sin cos(- ) = cos tan(- ) = -tan J. Menentukan besar sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya diketahui Jika sinxo = sin , maka: xo = + k. 360o atau xo = (180o - ) + k. 360o Jika cosxo = cos , maka: xo = + k. 360o atau xo = - + k. 360o Jika tanxo = tan , maka: xo = + k. 180o Latihan 4: Tentukan nilai dari: 1. sin105o 2. cos240o 3. tan135o 4. cos1.230o 5. Himpunan penyelesaian dari persamaan
3 tan x 1 , untuk 0 o x 180 o adalah ….
K. Mengubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub P( x, y ) P(r , ) Dengan r x 2 y 2 y tan x y x L. Mengubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius P(r , ) P( x, y ) Dengan x r cos y r sin
= antitangen
Latihan 5: Tentukan koordinat kutub dari: 1. (6, 30o) 2. (10, 60o) Tentukan koordinat cartesius dari: 3. (5, 13) 4. (-24, 7) 5. (-5, -5) M. Satuan derajat Satu derajat diartikan sebagai
1 putaran mengelilingi satu titik tertentu. 360
1 putaran = 1o 360 1 putaran = 360o
N. Satuan radian Ukuran radian =
panjang busur panjang jari - jari
O. Mengubah satuan derajat ke radian rad = 180o 1 1o = rad 180 Contoh: Ubahlah 30o menjadi satuan radian! Jawab: 30 30 o = rad 180 1 30 o = rad 6 P. Mengubah satuan radian ke derajat rad = 180o o
180 1 rad = 1 rad = 57,296o 57 o18'
Contoh: Ubahlah 5 rad menjadi satuan derajat! Jawab: 180 5 rad = 5 900 5 rad = 5 rad = 286,36o
o
Latihan 6: Ubahlah menjadi satuan radian: 1. 90o 2. 22,5o 3. 210o Ubahlah menjadi satuan derajat: 2 4. rad 3 5 5. 1 rad 6 Q. Grafik Fungsi Trigonometri 1. Grafik fungsi sinus 0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
210o
10
1 2
sin 225o
1 2 2
240o
270o
1 3 2
–1
300o
1 3 2
315o
1 2 2
330o
1 2
360o 0
y
8 6 4 2
x 0 2p
1p
-2
0
1p
2p
-4 -6 -8 -10
2. Grafik fungsi cosinus 0o
30o
45o
60o
90o
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
120o
1 2
135o
1 2 2
150o
1 3 2
cos 180o
–1
10
210o
225o
1 3 2
240o
1 2 2
y
8 6 4 2
x 0 2p
1p
-2 -4 -6 -8 -10
0
1p
2p
1 2
270o
300o
315o
330o
360o
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
3. Grafik fungsi tangen 0o
30o
45o
0
1 3 3
1
60o
90o
120o
135o
~
3
–1
3
tan 180o
150o
1 3 3
0
10
210o
225o
1 3 3
1
240o
3
270o
300o
315o
~
3
–1
330o
1 3 3
y
8 6 4 2
x 0 2p
1p
-2
0
1p
2p
-4 -6 -8 -10
Latihan 7: Gambarkan grafik dari: 1. y sin 2 x 2. y 2 sin x 3. y cos 2 x 4. y 2 cos x 5. y tan 2 x 6. y 2 tan x R. Aturan Sinus pada Segitiga A c
b
Untuk sembarang jenis segitiga berlaku: a b c sinA sinB sinC
C a S. Aturan Cosinus pada Segitiga A Untuk sembarang jenis segitiga berlaku: a 2 b 2 c 2 2bccosA b c b 2 a 2 c 2 2accosB C c 2 a 2 b 2 2abcosC B a atau b2 c2 a 2 cosA 2bc 2 a c2 b2 cosB 2ac 2 a b 2 c2 cosC 2ab B
Latihan 8: 1. Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm, dan C = 120o. Hitunglah c! 2. Diketahui segitiga KLM dengan k = 4 cm, l = 4 cm, dan m = 5 cm. Hitunglah besar sudut M!
360o 0
T. Luas Segitiga Menggunakan Trigonometri B a
A
c
1 (a b c) 2 L = s(s a)(s b)(s c)
s = b
C 1 absinC 2 1 L = acsinB 2 1 L = bcsinA 2
L=
a 2 sinBsinC 2sinA 2 b sinAsinC L= 2sinB 2 c sinAsinB L= 2sinC L=
Latihan 9: 1. Hitunglah luas segitiga yang diketahui a = 4 cm. b = 8 cm, dan C=150o ! 2. Diketahui segiempat ABCD dengan panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10 cm, dan sudut yang dibentuk oleh perpotongan kedua diagonal tersebut adalah 45o. Hitunglah luas segiempat ABCD tersebut ! U. Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari 1). Menentukan besar sudut elevasi dalam kehidupan sehari-hari Sudut elevasi adalah besar sudut dari garis horizontal ke atas. Contoh: Budi berdiri 100 m dari sebuah gedung bertingkat. Ia melihat puncak gedung tersebut sehingga membentuk sudut 60o. Jika tinggi Budi 150 cm, hitunglah tinggi gedung tersebut! Jawab: Jarak Budi ke gedung = 100 m t tan 60 o = 100 t t 3 = 100 60o t = 100 3 150 cm 100 m Jadi tinggi gedung tersebut = t + tinggi badan Budi = (100 3 1,5) m 2). Menentukan besar sudut depresi dalam kehidupan sehari-hari Sudut depresi adalah besar sudut dari garis horizontal ke bawah. Contoh: Suatu pesawat akan mengebom suatu menara di bawahnya. Jika ketinggian pesawat 500 m dan sudut depresi pesawat 60o. Hitunglah jarak horisontal pesawat ke menara! Jawab: s tan 60 o = 500 s 3 = 60o 500 500 m s = 500 3 , Jadi jarak horisontal pesawat ke menara = 500 3 m s
Latihan 10: 1. Rahmat melihat puncak suatu menara dengan sudut elevasi 26,75o. Jika jarak antara menara dengan Rahmat adalah 35 m. Hitunglah tinggi menara jika tinggi badan Rahmat 1,7 m! 2. Dari atas suatu jembatan sudut depresi suatu pelampung di atas air sungai adalah 63,5o. Berapa jarak pelampung ke tepi jembatan apabila tinggi jembatan di atas permukaan air adalah 65 m!
Uji Kompetensi: A. Pilihan Ganda
. cos 3 6 adalah …. 1 sec 3
sin
1. Nilai dari 1 3 4 3 b. 4 1 c. 2 4
a.
2. Bentuk sederhana dari
d.
3 2 2
e. 4 3
sin A cos A adalah …. 1 cos A sin A d. cot A e. sin A
a. csc A b. sec A c. tan A 3. Koordinat kutub pada titik (-3, 3 3 ) adalah …. a. (6, 120o) d. (6, 150o) b. (6, 240o) e. (6, 330o) o c. (6, 300 ) 4. Diketahui segitiga PQR dengan p = 10 cm, Q = 30o, dan R = 110o. Luas segitiga PQR adalah …. a. 78 cm2 d. 56,4 cm2 b. 73,1 cm2 e. 36,5 cm2 2 c. 68,2 cm 5. Kota X terletak 40 km dari kota Y pada arah 030o, sedangkan kota Z terletak 50 km dari kota Y pada arah 110o. Jarak kota X ke kota Z adalah …. a. 10 km d. 50,65 km b. 30 km e. 69,24 km c. 50 km B. Uraian 1. Tentukan himpunan peyelesaian dari 2 sec x cos x 1 , 0 x 2 ! cos x sin x 2. Sederhanakan bentuk ! 1 tan x cot x 1 3. Pada segienam beraturan ABC.DEF, panjang BE = 12 cm. Tentukan luas segienam tersebut! 4. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui AC=5cm, AB= 5 2 cm, C=45o, dan sin75o = p ! 5. Seorang anak yang tingginya 1 m berdiri di sebuah tanah datar. Ia melihat pohon dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak anak tersebut dengan pohon 100 m, hitunglah tinggi pohon tersebut!
