195. Diketahui tan a = Jawab : tan(a + b) =
1 1 1 , tan b = dan tan c = . Tentukan nilai tan (a + b + c) 2 5 8
1 + 1 tan a + tan b 7 = 2 1 51 = 1 − tan a tan b 1 − 2 . 5 9 7 + 1 tan(a + b) + tan c = 9 7 81 = 1 1 − tan(a + b) tan c 1 − 9 . 8
tan(a + b + c) =
196. a, b, c dan d adalah bilangan real yang memenuhi persamaan : a b c d + + + = 6 b c d a a b c d + + + = 8 c d a b a c Tentukan nilai + ! b d Jawab : a c Misal + = u dan b d Maka : u+ v = 6 ⇔ v = 6− u uv = 8 ⇒ u ( 6 − u ) = 8 ⇒ a c Jadi + = 4 atau b d
b d + = v c a u = 4 atau u = 2 a c + = 2 b d
197. Diketahui x log xy. y log xy + x log( x − y ).y log( x − y ) = 0 dan x > y > 0 . Tentukan nilai x + y ! Jawab : x log xy. y log xy + x log( x − y ).y log( x − y ) = 0 dan x > y > 0 log xy log xy log( x − y ) log( x − y ) . + . = 0 log x log y log x log y
( log xy ) 2 + ( log( x −
y)) 2 = 0 log xy = 0 ⇔ xy = 1 log( x − y ) = 0 ⇒ x − y = 1 ⇔ y = x − 1 Substitusi y = x – 1 ke xy = 1 x (x – 1) = 1 ⇒ x = 12 + 12 5 ⇒ y = 12 + jadi x + y =
(
1 2
+
1 2
) (
5 + −
1 2
+
)
5 =
1 2
1 2
5 − 1= −
1 2
+
1 2
5
5
198. Akar-akar persamaan ( x + 1) ( 2 x + 1) ( 3x − 1) ( 4 x − 1) + 6 x 4 = 0 adalah x1 , x2 , x3 dan x4 . Jika x1 < x2 < x3 < x4 dan x1 + x4 = m serta x2 + x3 = n maka tentukan mn ! Jawab : ( x + 1) ( 2 x + 1) ( 3x − 1) ( 4 x − 1) + 6 x 4 = 0 30 x 4 + 22 x 3 − 7 x 2 − 4 x + 1 = 0
(6x
2
)(
)
+ 2x − 1 5x2 + 2 x − 1 = 0
6x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x = −
±
1 6
7
5 x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇒ x = − 15 ±
1 5
6
Jadi x1 = − 15 −
1 5
1 6
6 , x2 = − 16 −
1 6
7 , x3 = − 16 +
1 6
7
dan x4 = − 15 +
1 5
6
2 5 1 n = x2 + x3 = − 3 2 1 2 mn = − . − = 5 3 15 m = x1 + x4 = −
199. Titik-titik A(a,6), B(b,1) dan C(c,-4) terletak pada kurva y 2 = 12 x . Tentukan luas daerah segitiga ABC ! Jawab : Titik-titik A, B dan C terletak pada kurva y 2 3 6 1 1 121 1 1 = 3− + Luas segitiga ABC = 4 2 3 − 4 2 3 3 6
= 12 x maka A(3,6), B( 121 ,1 ) dan C( 43 ,− 4 ) 1 4 8 − + − 12 = 10 152 2 3
200. Tentukan harga x yang memenuhi persamaan 3 + 2 2 x − 3 − 2 2 Jawab : 3 + 2 2 x − 3 − 2 2 x = 3 ⇔ 2 1 3 ⇔ 2 + 1 x− = x 2 2+1 1 3 Misal 2 + 1 x = p ⇒ p − = p 2 1 p = − tidak memenuhi 2 p = 2 memenuhi
(
(
) ( ( ) )
2+1
x
(
)
2 + 1 x − ( 2 − 1) x =
x
=
3 2
3 2
)
( 2 + 1)
= 2⇔ x=
x 201. Diketahui 3 + y ?
y 3 x
log 2 21
. Pada suku ke berapa x dan y mempunyai pangkat yang sama
Jawab : 21
21 x 1 1 y −1 −1 3 + 3 = x 3 . y 6 + x 6 . y 2 y x Andai x dan y mempunyai pangkat yang sama pada suku ke-k+1, maka : 21− k
k
x 3 y − 6 x − 6 y 2 = x 3 y Pangkat x = pangkat y 42 − 3k 4k − 21 = ⇒ k= 9 6 6 Jadi pada suku ke-9+1=10 1
1
1
1
21 − k
21 − k 6
−k
k
x 6 y2 = x
42 − 3 k 6
y
4 k − 21 6
202. Jika rataan a – 2, b + 3 dan c + 5 adalah 6, maka tentukan rataan a + 4, b + 6 dan c – 1 ! Jawab : a − 2+ b+ 3+ c + 5 = 6 ⇔ a + b + c = 12 3
a + 4 + b + 6 + c − 1 a + b + c + 9 12 + 9 = = = 7 3 3 3 203. Satu huruf diambil secara acak masing-masing dari kata “START” dan “STICK”. Tentukan peluang terambil dua huruf yang berbeda ! Jawab : 1 1 2 1 3 . + . = 5 5 5 5 25 3 22 = P(dua huruf yang berbeda) = 1 − 25 25 P(dua huruf yang sama) =
204. Diketahui x dan y bilangan nyata, x > 1999 dan y > 2000 . Jika 1999 ( x + 1999) ( x − 1999) + 2000 ( y + 2000 ) ( y − 2000 ) = +y! Jawab : 1999 ( x + 1999) ( x − 1999) + 2000
(y+
( x + 1999) ( x − 1999) +
2000
⇔ 2(1999
Misal : x 2 − 19992 = a 2
dan
2000 ) ( y − 2000) =
(y+
1 2
1 2
( x 2 + y 2 ) maka tentukan x
( x2 + y 2 )
2000 ) ( y − 2000) = x 2 + y 2
y 2 − 20002 = b 2 maka :
2.1999a + 2.2000b = a 2 + 19992 + b 2 + 20002 a 2 − 2.1999a + 19992 + b 2 − 2.2000b + 20002 = 0
( a − 1999) 2 + ( b −
2000) 2 = 0
a = 1999 ⇒ x 2 − 19992 = 19992 ⇒ x = 1999 2 b = 2000 ⇒ y 2 − 20002 = 20002 ⇒ y = 2000 2 Jadi x + y = 1999 2 + 2000 2 = 3999 2 205. Diketahui : a+ b+ c = 3 a 2 + b2 + c 2 = 9 a 3 + b3 + c 3 = 24 Hitung nilai a 4 + b 4 + c 4 ! Jawab : 2 a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) − 2(ab + ac + bc 9 = 9 − 2(ab + ac + bc) ⇔ ab + ac + bc = 0 a 3 + b3 + c 3 = ( a + b + c ) − 3(a + b + c)(ab + ac + bc) + 3abc 24 = 27 − 3.3.0 + 3abc ⇔ abc = − 1 3
( = (a
) + c )
2
(
a 4 + b 4 + c 4 = a 2 + b 2 + c 2 − 2 a 2b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2
)
2 2
+ b2 − 2(ab + ac + bc ) 2 − 2abc(a + b + c) = 81 − 20 − 2.(− 1).3) = 69 2
206. Pada segitiga ABC, M terletak pada sisi AB sehingga AM : MB = 1 : 3 dan N pada sisi AC Luas ∆ MNC sehingga AN : AC = 3 : 5. Tentukan nilai Luas ∆ ABC
Jawab :
B
M
1
3 N
3
5
A L∆ ABC =
C 1 2
bc sin A
L∆ MNC = L∆ AMC − L∆ AMN = L∆ MNC = L∆ ABC
5 64 1 2
. c.b sin A − 12 . 14 c. 83 b sin A =
5 64
1 1 2 4
bc sin A
bc sin A 5 = bc sin A 32
(
)(
)(
)(
)(
)(
)
207. Tentukan nilai 3 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 264 + 1 Jawab : 3 2 2 + 1 2 4 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 264 + 1
(
( (2 (2 (2 (2 (2
= 22 = = = = =
4
8
16
)( )( )( )( )( − 1) ( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 − 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 − 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1) − 1)( 2 + 1)( 2 + 1)( 2 + 1) − 1)( 2 + 1)( 2 + 1) − 1)( 2 + 1) 2
4
4
8
8
16
8
16
32
16
32
64
32
16
32
32
32
64
64
64
) + 1)( 2 + 1)
64
)
+1
64
64
= 2128 − 1
(
208. Pada segitiga ABC, besar sudut C = 52,5 dan panjang sisi AB = 4 + Tentukan luas lingkaran luar segitiga ABC ! Jawab : cos105 = cos ( 60 + 45) = 1 − cos105 = 2
sin 52,5 =
AB = 2R ⇒ 2R = sin C R=
2. 4 +
6−
2
1 4
2−
1 4
4+
6−
6 6− 8
4+
6−
2
4+
6− 8
2
=
2 8. 4 +
(
Luas lingkaran luar ∆ ABC = π R 2 = 2π 4 +
6−
6−
2
2
)
209. Tentukan nilai minimum fungsi f ( x) = 11cos 2 x + 3 sin 2 x + 6 sin x cos x + 7 Jawab : f ( x) = 11cos 2 x + 3 sin 2 x + 6 sin x cos x + 7 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x f ( x) = 11 + 3 + 3 sin 2 x + 7 2 2 11 11 3 f ( x) = + 2 cos 2 x + − 32 cos 2 x + 3 sin 2 x + 7 2 2 f ( x) = 4 cos 2 x + 3 sin 2 x + 14 f min = −
A2 + B 2 + C = − 42 + 32 + 14 = 9
210. U n menyatakan suku ke-n dari suatu barisan.
)
2 cm.
log 45 + log15 − log 25 n− 1 + + log 5n − 1 , maka tentukan 5 2 log125 1 + log 5 + log 5 + .....
Jika logU n = rumus U n ! Jawab :
log 4525.15 n − 1 3 log 3 + 1 + ( n − 1) log 5 = + ( n − 1) log 2 + ( n − 1) log 5 3 3 1− log 5
logU n =
logU n − log 3 = ( n − 1) ( log 2 + log 5) Un = 10n − 1 3 n −1 U n = 3.10 .10 = 0,3x10 n log
Un 3
= n− 1⇔
(
)
211. Diketahui f − 1og − 1oh − 1 ( x ) = 2 x − 4 dan ( hog ) ( x ) =
x− 3 1 ,x ≠ 2x + 1 2
Jawab :
x− 3 − x− 3 −1 ⇒ ( hog ) ( x) = 2x + 1 2x − 1 −1 −1 −1 f og oh ( x ) = 2 x − 4
( hog ) ( x ) =
( (g
)
−1
oh
( hog )
−1
−1
) ( x) =
f (2 x − 4)
( x) = f ( 2 x − 4)
f ( 2.6 − 4) = (hog ) − 1 (6) − 6− 3 9 f (8) = = − 2.6 − 1 11
(
212. Tentukan nilai x yang memenuhi 3125 52 x
2
− 6x
) − 6 (5
x 2 − 3x+ 2
)< −1
Jawab : 2 2 3125.52 ( x − 3 x ) − 6.5 x − 3 x.52 + 1 < 0 Misal 5 x
2
− 3x
= y maka :
3125 y − 150 y + 1 < 0 ⇔ (125 y − 1) ( 25 y − 1) < 0 1 1 < y< 125 25 2 1 1 < 5x − 3x < ⇔ − 3 < x 2 − 3x < − 2 ⇔ 1 < x < 2 125 25 2
213. Tentukan volume maksimum kerucut yang terletak di dalam bola yang berjari-jari R Jawab :
t-R
R r
R 2 = ( t − R ) + r 2 = t 2 − 2tR + R 2 + r 2 ⇔ r 2 = 2tR − t 2 2
(
)
(
V = 13 π r 2t = 13 π t 2tR − t 2 = 13 π 2t 2 R − t 3
)
V '= 0 ⇒
π ( 4tR − 3t 2 ) = 0 ⇔ t =
1 3
4R 3
V = 13 π t 2 (2 R − t ) Vmax = 13 π .
16 R 2 4R 2R − = 9 3
32 81
π R3
214. Jika cos a dan cos b adalah akar-akar persamaan 25 x 2 − 30 x + 7 = 0 dan cos a – cos b > 0 a+ b a− b , maka tentukan nilai tan tan 2 2 Jawab :
a+ b a− b sin sin − 1 (cos a − cos b) a+ b a− b 2 2 tan = 12 tan = (cos a + cos b) 2 2 cos a + b cos a − b 2 2 2 =
( cos a +
−
cos b ) − 4 cos a cos b 2
6 5
= −
5 6
36 28 − = − 25 25
1 3
2
215. AD dan BE merupakan garis tinggi pada segitiga ABC dan besar sudut ABC adalah t. Jika AD : CD = 4 : 3 dan BE : AE = 12 : 5, maka tentukan cos t ! Jawab :
C
D A
E
B AD 4 4 3 = ⇒ sin C = , cos C = CD 3 5 5 BE 12 12 5 tan A = = ⇒ sin A = , cos A = AE 5 13 13 cos t = cos 180 − ( A + C ) = − cos( A + C ) = − (cos A cos C − sin A sin C ) tan C =
(
)
5 3 12 4 33 = − . − . = 13 5 13 5 65 216. (a,b) dan (-a,b) merupakan dua titik pada parabola y = 1 − x 2 , a dan b bilangan positif. Kedua titik tersebut dengan titik (1,0) dan (-1,0) membentuk trapesium. Tentukan luas trapesium tersebut ! Jawab :
Y
(-a,b) (-1,0)
(a,b) 0
(1,0)
(a,b) terletak pada parabola y = 1 − x 2 berarti b = 1 − a 2
2a + 2 .b = (a + 1)(1 − a 2 ) = − a 3 − a 2 + a + 1 2 L ' = 0 ⇒ − 3a 2 − 2a + 1 = 0 ⇔ ( − 3a + 1)( a + 1) = 0 1 1 1 1 32 L maksimum jika a = ⇒ Lmax = − − + + 1= 3 27 9 3 27 L=
217. Diketahui ab = 6, bc = 7 12 , cd = 35, de = 4 23 , ea = 2 23 . Tentukan nilai a, b, c, d dan e yang mungkin ! Jawab : 6 b= a 15 6 15 5 bc = ⇒ c= ⇔ c= a 2 a 2 4 5 28 cd = 35 ⇒ ad = 35 ⇔ d = 4 a 14 28 14 a de = ⇒ e= ⇔ e= 3 a 3 6 8 a 8 ea = ⇒ a = ⇔ a = ± 4 3 6 3 3 2 a = 4 ⇒ b = , c = 5, d = 7, e = 2 3 3 2 a = − 4 ⇒ b = − , c = − 5, d = − 7, e = − 2 3 218. Jika
xy 1 yz 5 = , = , 3x + 2 y 2 3 y + z 6
Jawab : xy 1 = ⇔ 3x + 2 y 2 yz 6 = ⇔ 2y + z 5
xz 4 = maka hitung x + y + z ! x + 2z 5
3 2 3 2 + = 2 x1 + = 2 y x y x 2 1 5 3 6 5 + = x3 + = z y 6 y z 2 2 6 1 − = − x z 2
xz 4 1 = ⇔ + x + 2z 5 z 2 − x
2 5 = x 4 6 1 = − z 2
7 7 = ⇒ z = 4 ⇒ x = 2, z 4
y= 3
219. Buktikan bahwa untuk a > 0, b > 0, jika 1 + a + a 2 + .... + a n − 1 1 + b + b 2 + .... + b n − 1 x= dan y = 1 + a + a 2 + .... + a n 1 + b + b 2 + .... + b n maka x < y !
Jawab :
1 1 < a b 1 1 < 2 2 a b ……… 1 1 < n n a b
a> b> 0⇒
+ 1 1 1 1 1 1 + n − 1 + ...... + < n + n − 1 + ...... + n a a a b b b 2 n− 1 2 1 + a + a + ..... + a 1 + b + b + ...... + b n − 1 < an bn an bn > 1 + a + a 2 + ...... + a n − 1 1 + b + b 2 + ...... + b n − 1 an bn + 1 > +1 1 + a + a 2 + ...... + a n − 1 1 + b + b 2 + ...... + b n − 1 1 + a + a 2 + ..... + a n 1 + b + b 2 + ...... + b n > 1 + a + a 2 + ...... + a n − 1 1 + b + b 2 + ...... + b n − 1 1 + a + a 2 + ..... + a n − 1 1 + b + b 2 + ...... + b n − 1 < 1 + a + a 2 + ..... + a n 1 + b + b 2 + ...... + b n x< y 220.
C
R P
D
Q
A E F G B Segitiga ABC siku-siku di A. D pertengahan BC. Titik F membagi dua sama panjang sisi AB, sedangkan titik E dan G berturut-turut membagi AF dan FB menjadi dua bagian yang sama panjang. Garis AD memotong garis hubung CE, CF dan CG berturut-turut di titik P, Q dan R. Tentukan nilai perbandingan PQ : PR ! Jawab : C
H
D Q
R
P A E F G B ABHC berbentuk persegi. Misal AH = x Segitiga AEP sebangun dengan segitiga HCP AP AE 1 = = ⇔ AP = 15 AH = 15 x PH HC 4
Segitiga AFQ sebangun dengan segitiga HCQ
AQ AF 2 = = ⇔ AQ = 26 AH = 13 x QH HC 4 Segitiga AGR sebangun dengan segitiga HCR AR AG 3 = = ⇔ AR = 73 AH = 73 x RH HC 4 PQ = AQ − AP = 13 x − 15 x = 152 x PR = AR − AP =
x−
3 7
1 5
x=
8 35
x
2 8 : = 7 : 12 15 35
PQ : PR =
221. Panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku 4 5 cm. Jika perbedaan panjang sisi sikusikunya 4 cm, maka tentukan luas segitiga siku-siku tersebut ! Jawab : 4 5 x y x− y = 4 ⇔ x = y+ 4
(
)
( y + 4) 2+
1 2
.4.8 = 16 cm 2
x 2 + y 2 = 4 5 2⇒ Luas =
1 2
xy =
22.
A
y 2 = 80 ⇔ y 2 + 4 y − 32 = 0 ⇒ y = 4 ⇒ x = 8
B
F
O
C P
E
D
ABCDEF adalah segienam beraturan. Jika OP merupakan garis tinggi segitiga OCD dan panjang OP = 6 cm, maka tentukan luas lingkaran luarnya ! Jawab : OP 2 = R 2 −
( 12 R ) 2 ⇒
(
)
36 = R 2 −
1 4
R2 ⇒ R = 4 3
LΘ = π R 2 = π 4 3 2 = 48π 223. Tentukan nilai Jawab : 3+ 8 −
(
) (
8+
1 3−
8
) (
7 +
−
7+
1 + 8− 7
1 − 7− 6
1 + 6− 5
)
5) +
(
5+ 2 = 5
6 − ( 6+
1 5− 2
)
224. Ada dua orang mengendarai mobil menempuh jarak AB = 200 km. Satu orang berangkat dari A pukul 07.00 menuju B dengan kecepatan 70 km/jam. Seorang lagi berangkat dari B pukul 07.15 menuju A dengan kecepatan 80 km/jam. Pukul berapa dua orang tersebut berpapasan ?
Jawab : 1 v A .t A + vB .t B = 200 ⇒ 70t + 80 t − = 200 ⇔ t = 1.28 4 Jadi mereka berpapasan pada pukul : 7.00 + 1.28 = 8.28 225. Perbandingan umur ayah, ibu dan lima kali umur anak sekarang adalah 6 : 5 : 1. Lima belas tahun yang akan datang perbandingan umur ayah, ibu dan anak setelah dikurangi 6 adalah 9 : 8 : 2. Tentukan jumlah umur mereka lima tahun yang akan datang ! Jawab : Misal sekarang umur ayah = A, umur ibu = B dan umur anak = C, maka : A : B : 5C = 6 : 5 : 1 atau A = 30 C dan B = 25 C (A + 15) : (B + 15) : (c + 15 – 6) = 9 : 8 : 2 8 B + 15 = (C + 9) 2 25C + 15 = 4C + 36 maka C = 1 sehingga A = 30 dan B = 25 Jadi 5 tahun yang akan datang jumlah umur mereka : (30+5) + (25+5) + (1+5) = 71 226.
A
B P
U
Q
F
O T
C R
S E
D
ABCDEF adalah segienam beraturan dengan sisi 6 cm. Jika P, Q, R, S, T, U masing-masing pusat lingkaran dalam segitiga-segitiga , maka tentukan luas PQRSTU ! Jawab : .
A
B P
U
F
O
T
OM = OT =
C
R
M
S
E 6 −3 = 3 3 2
Q
D
2
2 .3 3 = 2 3 3
1 LPQRSTU = 6.L∆ OST = 6. .2 3.2 3 sin 60 = 18 3 2
227.
C
A B Segitiga ABC sama sisi dengan sisi p cm. Di dalam dibuat segitiga-segitiga. Tentukan jarijari lingkaran dalam segitiga yang ketiga ! Jawab :
R 1 4
30 tan 30 = 228.
p
R ⇔ R= p
1 8
1 24
p 3
D
C
F
A E B ABCD adalah jajaran genjang. AD = 10 cm, AE = 6 cm. Jika BE = DE, tentukan panjang BF ! Jawab : BE = DE = 10 2 − 62 = 8 ⇒ AB = 6 + 8 = 14 LABCD = BFxAD = ABxDE ⇒ BF .10 = 14.8 ⇔ BF = 11,2 cm 229. Ibu membeli jeruk jika 10 kg harganya Rp 100.000, 15 kg harganya Rp 145.000, 20 kg harganya Rp 185.000 dan seterusnya akan terjadi penyusutan harga maksimal sampai pembelian 40 kg. Berapa harus membayar untuk pembelian 40 kg ? Jawab : y = ax 2 + bx + c 100.000 = 100a + 10b + c ....(1) 145.000 = 225a + 15b + c ....(2) ⇒ a = − 100, b = 11.500, c = − 5000 185.000 = 400a + 20b + c .....(3) Jadi y = − 100 x 2 + 11500 x − 5000 x = 40 ⇒ y = 295.000
230. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3x = ( 0,3) x + 3 Jawab : 3 = ( 0,3) x
x
x+ 3
3 3 3 ⇔ 3 = (0,3) .( 0,3) ⇔ = ( 0,3) ⇔ 10 x = ( 0,3) ⇔ x = 3 log 0,3 0,3 x
x
3
231. Sisi-sisi suatu segitiga merupakan bilangan bulat. Jika keliling segitiga sama dengan 8 satuan, maka tentukan luas segitiga tersebut ! Jawab :
Sisi-sisi yang mungkin adalah 3, 3, 2 satuan sehingga Luas = 12 .2.2 2 = 2 2 232. x 3 + y 3 − 3 x 2 + 6 y 2 + 3x − 12 y + 6 = 0 . Jika x dan y adalah bilangan bulat, sedangkan ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) penyelesaian persamaan tersebut, maka nilai x1 + x2 = ..... Jawab : x 3 + y 3 − 3 x 2 + 6 y 2 + 3x − 12 y + 6 = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 + 3 x − 1 + y 3 + 6 y 2 − 12 y + 8 − 1 = 0
( x − 1) 3 +
( y + 2)3 = 1 Karena x dan y bulat, maka : Kemungkinan I : ( x − 1) 3 = 0 dan ( y + 2) 3 = 1 ⇒ x1 = 1, y1 = − 1 Kemungkinan II : ( x − 1) 3 = 1 dan ( y + 2) 3 = 0 ⇒ x2 = 2, y2 = − 2 Jadi x1 + x2 = 1 + 2 = 3 233. x dan y merupakan bilangan asli yang memenuhi sistem persamaan : x 2 + 2 xy = 40 y 2 + 12 xy = 15 Tentukan nilai x 2 − y 2 ! Jawab : x 2 + 2 xy = 40 y 2 + 12 xy = 15
x3 x8
3 x 2 + 6 xy = 120 8 y 2 + 4 xy = 120 -
3 x + 2 xy − 8 y = 0 ⇔ ( x + 2 y ) ( 3 x − 4 y ) = 0 x = -2y tidak memenuhi karena x dan y positif. Substitusi x = 43 y ke x 2 + 2 xy = 40 2
( y) 4 3
2
Jadi
2
+ 2 y ( 43 y ) = 40 ⇒ y = 3 ⇒ x = 4 x 2 − y 2 = 16 − 9 = 7
234. Tentukan banyaknya anggota himpunan pasangan berurutan dari penyelesaian sistem persamaan : x + xy + y = 11 x 2 y + xy 2 = 30 Jawab : x + xy + y = 11 ⇔ x + y = 11 − xy x 2 y + xy 2 = 30 ⇔ xy ( x + y ) = 30 ⇒ xy (11 − xy ) = 30 ⇔ ( xy − 6) ( xy − 5) = 0 xy = 6 ⇒ x + y = 5 ⇔ y = 5 − x xy = 6 ⇒ x (5 − x ) = 6 ⇒ x1 = 2, x2 = 3
( xy ) 2 − 11xy +
30 = 0
xy = 5 ⇒ x + y = 6 ⇔ y = 6 − x xy = 5 ⇒ x ( 6 − x ) = 5 ⇒ x3 = 1, x4 = 5 Jadi 4 anggota himpunan pasangan berurutan. 235. Diketahui x, y dan z adalah tiga bilangan positif. Jika xy = 15, yz = 12 dan xz = 5, maka tentukan nilai xyz ! Jawab : xy. yz.xz = 15.12.5 ⇔
( xyz ) 2 =
900 ⇔ xyz = 30
−1
2
1 1− x x − 2 236. Tentukan bentuk sederhana dari x − 1 2 − x 1 − x
3
Jawab : −1 2 3 (1 − x ) 2 ( x − 2 ) 3 1 1− x x − 2 = ( x − 1) ( 2 − x ) 2 (1 − x ) 3 x − 1 2 − x 1 − x = − (1 −
2 3 ( 1 − x ) ( x − 2) x) (1 − x ) 3 ( x − 2 ) 2
= − ( x − 2) = 2 − x
x 2 − 6 y 2 + xy + x + 8 y − 2 237. Tentukan bentuk sederhana dari 2 x + 2 y 2 − 3xy + 5 x − 8 y + 6 Jawab : x 2 − 6 y 2 + xy + x + 8 y − 2 x 2 + ( y + 1) x − (6 y 2 − 8 y + 2) = x 2 + 2 y 2 − 3xy + 5 x − 8 y + 6 x 2 + (− 3 y + 5) x + 2 y 2 − 8 y + 6
x 2 + ( y + 1) x − ( 3 y − 1)( 2 y − 2 ) x 2 + ( y + 1) x + ( 3 y − 1)( − 2 y + 2 ) = x 2 + (− 3 y + 5) x + ( y − 3)( 2 y − 2 ) x 2 + (− 3 y + 5) x + ( − y + 3)( − 2 y + 2 ) ( x + 3 y − 1)( x − 2 y + 2) = x + 3 y − 1 = ( x − y + 3)( x − 2 y + 2) x − y + 3 =
238. 52p34 adalah bilangan yang terdiri dari 5 angka. Tentukan peluang bilangan tersebut habis dibagi 6 ! Jawab : Kita pilih p dari 0 – 9. Jadi ada 10 kemungkinan. Agar habis dibagi 6 maka harus habis dibagi 2 dan 3. 52p34 pasti habis dibagi 2. Agar habis dibagi 3 maka 5+2+p+3+4 = 14 + p juga habis dibagi 3. Jadi p yang mungkin adalah 1, 4 atau 7. 3 Sehingga peluang 52p34 habis dibagi 6 adalah 10 239. Tersedia 15 kunci berbeda dan ada 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ke-10 ! Jawab : P1 = kemungkinan pengambilan pertama hingga ke-9 gagal. 14 13 12 11 10 9 8 7 6 6 P1 = . . . . . . . . = 15 14 13 12 11 10 9 8 7 15 1 P2 =kemungkinan pengambilan ke-10 berhasil = 6 Jadi peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ke-10 6 1 1 . = = P1 x P2 = 15 6 15
238. U1 , U 2 , U 3 , U 4 dan U 5 adalah 5 suku pertama deret geometri. Jika logU1 + log U 2 + log U 3 + logU 4 + log U 5 = 5 log 3 dan U 4 = 12 maka tentukan U 5 ! Jawab :
logU1.U 2 .U 3 .U 4 .U 5 = log 35 ⇔ U1.U 2 .U 3 .U 4 .U 5 = 35 a.ar.ar 2 .ar 3 .ar 4 = 35 ⇔ ar 2 = 3 U 4 = 12 ⇔ ar 3 = ar 2 .r = 12 ⇒ 3r = 12 ⇔ r = 4 U 5 = ar 4 = ar 3 .r = 12.4 = 48 239. Lima anak A, B, C, D dan E akan duduk secara acak pada lima kursi yang berderet dari kiri ke kanan. Tentukan peluang A dan B duduk selalu berdampingan ! Jawab : Banyak cara duduk sembarang = 5P5 = 120 Banyak cara A dan B duduk berdampingan = 2.4P4 = 48 48 2 = Peluang A dan B duduk berdampingan = 120 5 240. Segitiga PQR adalah segitiga siku-siku sama kaki. S adalah titik tengah sisi QR, sudut PQR siku-siku dan α adalah besar sudut SPR. Tentukan nilai cos α ! Jawab :
R x
α
S x
β
P
Q 2x PQ = QR = 2 x ⇒ QS = x, PS = x 5 x sin β = = 15 5 x 5 2x cos β = = 52 5 x 5
(
)
cosα = cos 45 − β = cos 45 cos β + sin 45 sin β =
1 2
2 . 52 5 +
1 2
2 . 15 5 =
3 10
10
n− 1 2 = 5 n= 1 x + 1 5
241. Tentukan nilai x yang memenuhi
∑
Jawab : 0 1 2 3 4 10 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5⇔ 2 = 5 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1 2 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 x +1 242. Titik-tiitk A, B, C dan D terletak pada lingkaran dan titik E terletak di luar lingkaran. Besar sudut ABD = 50 dan besar sudut AED = 15 . Tentukan besar sudut BAC !
Jawab : D C 50 A
15 B
E
∠ ACD = ∠ ABD = 50 ∠ ACE = 180 − ∠ ACD = 130 ∠ BAC + ∠ ACE + ∠ AEC = 180 ∠ BAC + 130 + 15 = 180 ⇔ ∠ BAC = 35 243. Pada barisan bilangan 4, x, y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai x + y ! Jawab : x y = ⇔ x2 = 4 y 4 x y − x = 12 − y ⇔ 2 y = x + 12
x 2 = 4 y ⇒ x 2 = 2 ( x + 12) ⇔ ( x − 6) ( x + 4 ) = 0 x = 6 ⇒ y = 9 ⇒ x + y = 15 x = −4⇒ y = 4⇒ x+ y = 0
244. A dan G berturut-turut merupakan rataan aritmetika dan geometri dari dua bilangan x dan y. Tentukan harga x 2 + y 2 ! Jawab : x+ y A= ⇔ x + y = 2 A ⇒ x 2 + y 2 + 2 xy = 4 A2 ......(1) 2 G = xy ⇔ xy = G 2 .......(2) Substitusi (2) ke (1) x 2 + y 2 + 2G 2 = 4 A2 ⇔ x 2 + y 2 = 4 A2 − 2G 2 245. Jika x +
1 1 = 3 maka tentukan nilai x − ! x x
Jawab : 2 1 1 2 x+ = 9⇔ x + 2 = 7 x x 1 1 1 ( x − )2 = x 2 + 2 − 2 = 7 − 2 = 5 ⇔ x − = ± 5 x x x 246. Diketahui sistem persamaan
123 x + 321y = 345 2 2 . Tentukan nilai x + y ! 321x + 123 y = 543
Jawab : 123x + 321y = 345 123x + 321y = 345 321x + 123y = 543 321x + 123y = 543 + 444x + 444y = 888 atau x + y = 2 ….(1) -198x+198y = -198 atau 3 1 5 Dari (1) dan (2) didapat x = dan y = sehingga x 2 + y 2 = 2 2 2 247. x, y dan z adalah tiga bilangan real dari sistem persamaan : ( x + y ) ( x + y + z ) = 120 ( y + z ) ( x + y + z ) = 96 ( z + x ) ( x + y + z ) = 72 Tentukan nilai 3x + 2y – z ! Jawab :
x – y = 1 …..(2)
( x + y ) ( x + y + z ) = 120 ( y + z ) ( x + y + z ) = 96 ( z + x) ( x + y + z ) = 72 + (2x + 2y + 2z) (x + y + z) = 288 ⇔ 2 ( x + y + z ) 2 = 288 ⇔ x + y + z = 12 ( x + y ) ( x + y + z ) = 120 ⇒ (12 − z ) .12 = 120 ⇔ z = 2 ( y + z ) ( x + y + z ) = 96 ⇒ (12 − x ).12 = 96 ⇔ x = 4 x + y + z = 12 ⇒ 4 + y + 2 = 12 ⇔ y = 6 Jadi 3 x + 2 y − z = 12 + 12 − 2 = 22 248. x dan y merupakan bilangan asli yang memenuhi sistem persamaan : x 2 + 2 xy = 40 y 2 + 12 xy = 15 Tentukan nilai x 2 − y 2 ! Jawab : x 2 + 2 xy = 40 y 2 + 12 xy = 15
3 x 2 + 6 xy = 120 8 y 2 + 4 xy = 120
x3 x8
3 x + 2 xy − 8 y = 0 2
2
x x 3 + 2 − 8 = 0 ⇔ y y x = − 2 tidak memenuhi y
2
: y2
x x + 2 3 − 4 = 0 y y
2
x 4 4 4 4 4 = ⇔ x = y ⇒ y + 2 y y = 40 ⇒ y = 3 ⇒ x = .3 = 4 y 3 3 3 3 3 2 2 Jadi x − y = 16 − 9 = 7 249. Luas sisi-sisi sebuah balok berturut-turut 9 cm 2 , 6 cm 2 dan 3 cm 2 . Tentukan panjang diagonal ruangnya ! Jawab : pl = 9 ⇔ p = pt = 6 ⇔
9 l
9 t= 6⇔ t= l
lt = 3 ⇔ l. 23 l = 3 ⇒ l = d=
(
)
2
3 3 2 + + 2 2
2 3
l
3 ⇒ p = 3 2, t = 2
( 2)
2
=
7 2
2 cm
2
