FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
SKRIPSI Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 untuk memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama
: Susanto
Nim
: 4150403010
Program Studi : Matematika S1 Jurusan
: Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2007
PENGESAHAN SKRIPSI Fungsi Hiperbolik dan Inversnya Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada: Hari
:
Tanggal
: Panitia Ujian
Ketua,
Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S NIP. 130781011
Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130815345
Pembimbing Utama,
Ketua Penguji,
Drs. Moch. Chotim, M.S NIP. 130781008
Drs. Kartono, M.Si NIP. 130815346
Pembimbing Pendamping,
Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si NIP. 131281225
Drs. Moch. Chotim, M.S NIP. 130781008 Anggota Penguji,
Drs. Wuryanto, M.Si NIP. 131281225
ii
ABSTRAK
Susanto. 4150403010. 2007. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya. Skripsi. Program Studi Matematika. Jurusan Matematika. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang. Dalam persoalan matematika terapan digunakan banyak sekali kombinasi tertentu fungsi-fungsi eksponen e x dan e − x . Sehingga fungsi-fungsi yang memuat kombinasi tersebut diberi nama khusus salah satunya adalah fungsi hiperbolik. Telah banyak buku-buku kalkulus yang menulis tentang fungsi hiperbolik, namun tidak banyak yang menulis tentang penurunan rumus atau formula dari fungsi hiperbolik. Permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini adalah bagaimana membangun fungsi hiperbolik dan menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Pertimbangan lebih jauh dari masalah ini adalah bahwa tidak semua fungsi hiperbolik mempunyai invers pada daerah asalnya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Penelitian ini dilakukan melalui tinjauan pustaka terhadap buku-buku atau literatur. Teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini adalah teori tentang fungsi, limit fungsi, turunan dan integral, fungsi invers, fungsi logaritma serta fungsi eksponen. Dari pengertian tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam. Hasil dari penelitian ini adalah fungsi hiperbolik dibangun oleh dua ex e−x + + dan q : R → R , q ( x) = . fungsi p dan q dengan p : R → R , p ( x) = 2 2 Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) dan g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) . Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi f dan g memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi trigonometri, salah satunya adalah kesamaan dasar fungsi f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 yang memiliki kemiripan dengan sifat cos 2 x + sin 2 x = 1 pada fungsi trigonometri. Dengan mengacu pada sifat-sifat tersebut, kemudian dikembangkan suatu ide untuk menyatakan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai bahan bacaan atau referensi bagi mahasiswa matemetika khususnya dan masyarakat pada umumnya.
Kata Kunci : fungsi eksponen, fungsi hiperbolik, turunan, dan invers.
iii
MOTTO DAN PERUNTUKAN
MOTTO ]
With passion, with terminations, and with hard work we can to reach our dream come true.
]
Remember, the problems ahead of you are never as great as the power behind you.
PERUNTUKAN Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini. Kuperuntukan karya ini kepada: 1. Bapak Suyanto dan Ibu Kikis atas doanya 2. Semua Saudara dan Kerabat 3. Guru dan sahabatku 4. All My lovely friends..
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan petunjuk dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul ”Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Drs. Kasmadi Imam S., M.S, Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 2. Drs. Supriyono, M.Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Moch Chotim, M.S, Pembimbing utama yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini. 4.
Drs. Wuryanto, M.Si, Pembimbing pendamping yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
5. Bapak dan ibu yang senantiasa mendoakan serta memberikan dorongan baik secara moral maupun spiritual dan segala yang tak ternilai. 6. Semua keluarga yang telah memberikan dukungan dan semangat serta doa hingga terselesaikanya skripsi ini. 7. Teman-temanku Gandhi, Iwan, Bambang, dan semua angkatan 2003, terima kasih atas semuanya. 8. Kelurga Besar ” Pandawa Kost ” Bapak Sodri sekeluarga, Rudi, Eko Budi, dan Mas Arief yang tiada henti memotivasi penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.
v
9. Orang-orang yang tanpa sengaja memberikan inspirasi, motivasi, dan semangat agar cepat diselesaikannya skripsi ini. Akhirnya penulis berharap skripsi ini bermanfaat dan dibaca.
Semarang, Penulis,
vi
Agustus 2007
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ ii ABSTRAK ...................................................................................................... iii MOTTO DAN PERUNTUKAN ................................................................... iv KATA PENGANTAR.................................................................................... v DAFTAR ISI................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ix
BAB I PENDAHULUAN............................................................................ 1 A. Latar belakang .............................................................................. 1 B. Permasalahan................................................................................ 2 C. Tujuan penelitian.......................................................................... 2 D. Manfaat penelitian........................................................................ 2 E. Sistematika penulisn skripsi ......................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5 A. Fungsi ........................................................................................... 5 B. Limit Fungsi ................................................................................. 6 C. Kekontinuan Fungsi ..................................................................... 7 D. Turunan ........................................................................................ 9 E. Integral.......................................................................................... 14 F. Fungsi Invers, Logaritma, dan Eksponen..................................... 20
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................... 32 A. Menentukan masalah.................................................................... 32 B. Merumuskan masalah................................................................... 32 C. Studi pustaka ................................................................................ 32 D. Analisis dan pemecahan masalah ................................................. 33 E. Penarikan simpulan ...................................................................... 33
vii
BAB IV PEMBAHASAN............................................................................... 34 A. Fungsi Hiperbolik......................................................................... 34 B. Turunan Fungsi Hiperbolik .......................................................... 42 C. Invers Fungsi Hiperbolik.............................................................. 46 D. Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ............................................... 59 E. Anti Turunan Invers Fungsi Hiperbolik ....................................... 63 BAB V PENUTUP........................................................................................ 64 A. Simpulan....................................................................................... 64 B. Saran............................................................................................. 66
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 67
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1
Diagram fungsi f : D → R ................................................. 1
Gambar 2
Grafik fungsi f kontinu di titik a.......................................... 8
Gambar 3
Grafik fungsi p : R → R + , p ( x) =
ex ................................ 34 2
Gambar 4
Grafik fungsi q : R → R + , q ( x) =
e−x ............................... 35 2
Gambar 5
Grafik fungsi f : R → [0, ∞ ) , f ( x ) = p ( x ) + q ( x ) ............. 35
Gambar 6
Grafik fungsi g : R → R , g ( x ) = p ( x ) − q ( x ) .................... 36
Gambar 7
Grafik fungsi f : R → ( −1,1) , f ( x ) = tanh x ..................... 41
Gambar 8
Grafik fungsi f : R → ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) , f ( x ) = coth x ..... 41
Gambar 9
Grafik fungsi f : R → (0,1] , f ( x ) = sec hx ........................ 42
Gambar 10
Grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x ......................... 48
Gambar 11
Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → [1, ∞ ) , f ( x) = cosh x ................ 49
Gambar 12
Grafik fungsi f : [1, ∞ ) → [0, ∞ ) , f ( x) = cosh −1 x ............. 50
Gambar 13
Grafik fungsi f : ( −1,1) → ( −∞ , ∞ ) , f ( x) = tanh −1 x ......... 53
Gambar 14
Grafik fungsi f : ( −∞,−1) ∪ (1, ∞ ) → ( −∞, ∞ ) , f ( x) = coth −1 x .................................................................... 55
Gambar 15
Grafik fungsi f : [0, ∞ ) → (0,1] , f ( x ) = sec hx .................. 56
Gambar 16
Grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞ ) , f ( x) = sec h −1 x ............... 58
ix
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH Kalkulus sebagai salah satu cabang ilmu matematika merupakan ilmu yang berintikan teori tentang diferensiasi dan integrasi yang telah dikembangkan secara terpisah oleh matematikawan asal Inggris Issac Newton pada abad ke 17 dan matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz. Diferensiasi dan integrasi merupakan dua operasi matematis yang saling berkebalikan. Pada intinya, diferensial (teori diferensiasi ) berkenaan dengan penentuan tingkat perubahan suatu fungsi, sedangkan integral (teori integrasi) berkenaan dengan pembentukan suatu fungsi apabila tingkat perubahan fungsi yang bersangkutan diketahui. Keampuhan Kalkulus, baik berupa turunan maupun integral tak perlu diragukan lagi sebagai sarana ampuh untuk memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi dalam kehidupan nyata. Fungsi logaritma dan fungsi eksponen sebagai bagian dari kalkulus telah memberi pengaruh yang besar dalam perkembangan Kalkulus. Dalam persoalan matematika terapan banyak sekali digunakan kombinasi-kombinasi tertentu fungsi eksponen e x dan e − x sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus, salah satunya adalah fungsi hiperbolik. Namun bagaimana membangun fungsi hiperbolik merupakan suatu permasalahan yang menarik untuk kita kaji secara mendalam untuk kemudian ditemukan solusinya.
1
2
Dalam penelitian ini juga akan dikaji mengenai invers fungsi hiperbolik. Fungsi invers pada dasarnya ditentukan untuk memperluas dan memperkaya fungsi-fungsi. Invers merupakan salah satu cara yang dapat ditempuh untuk memproduksi fungsi baru yakni dengan mengambil fungsifungsi lama kemudian membalikan atau menginverskan fungsi-fungsi tersebut. Dengan mengacu pada konsep invers pada fungsi biasa tersebut, kemudian akan dikembangkan untuk menentukan invers pada fungsi hiperbolik. Selanjutnya konsep diferensi dan integrasi yang merupakan inti dari Kalkulus akan diterapkan untuk menentukan turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. Dari uraian di atas maka penulis ingin mengangkat judul “Fungsi Hiperbolik dan Inversnya”, sebagai judul skripsi.
B. PERMASALAHAN Permasalahan yang akan dikaji dalam penulisan ini adalah: 1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik? 2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. TUJUAN PENELITIAN Mengetahui rumus atau formula fungsi hiperbolik dan inversnya serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
3
D. MANFAAT PENELITIAN Mendapatkan suatu wawasan dan pengetahuan tentang fungsi hiperbolik dan inversnya.
E. SISTEMATIKA PENULISAN SKRIPSI Penulisan skripsi nantinya akan dibagi menjadi tiga bagian, yakni bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir. Bagian awal, memuat halaman judul, abstrak, halaman pengesahan, halaman motto, halaman peruntukan, kata pengantar, dan daftar isi. Bagian isi terbagi atas 5 bab, yakni: BAB I
PENDAHULUAN Membahas tentang alasan pemilihan judul, permasalahan yang diangkat, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan skripsi.
BAB II
LANDASAN TEORI Mencakup pembahasan materi-materi pendukung yang digunakan dalam pemecahan masalah.
BAB III METODE PENELITIAN Memaparkan
tentang
prosedur
dan
langkah-langkah
yang
dilakukan dalam penelitian ini meliputi menemukan masalah, perumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan masalah, dan penarikan simpulan.
4
BAB IV PEMBAHASAN Dalam bab ini berisikan pembahasan dan analisis dari penelitian. BAB V PENUTUP Berisi tentang kesimpulan dari hasil pembahasan dan saran yang ditujukan untuk pembaca umumnya dan bagi penulis sendiri khususnya. Bagian akhir berisikan daftar pustaka sebagai acuan penulis dan lampiranlampiran yang mendukung kelengkapan skripsi.
BAB II LANDASAN TEORI
A. FUNGSI Definisi 1. Dipunyai D dan R dua himpunan dengan elemen real. Sebuah fungsi f adalah padanan yang mengawankan setiap elemen x di D dengan tepat satu elemen f(x) di R ditulis dengan simbol f: D →R. Dengan kata lain jika a ∈ D, b, b’ ∈ R dan (a, b), (a, b’) ∈ f maka b = b’. Himpunan D dinamakan daerah asal (domain) f, dan himpunan R dinamakan daerah hasil atau jelajah (range) f, dan himpunan semua peta unsur di D oleh f disebut daerah hasil f. Contoh fungsi deberikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Diagram fungsi f : D → R Contoh 1 Dipunyai f: D →R, D ⊂ R, f(x) = x2 + 5. Tujukan f suatu fungsi.
5
6
Penyelesaian: Ambil sembarang a, b∈ D dengan a = b. Jelas f(a) – f(b) = a2 + 5 – b2 - 5 = a2-b2 = 0. Jadi ∀a, b ∈ D, a = b, f (a ) = f (b) .
Jadi f suatu fungsi. Contoh 2
Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f(x, y) = x2 + 2y. Tunjukan f suatu fungsi. Penyelesaian: Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ) . Jelas x1 = x 2 dan y1 = y 2 Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = ( x12 + 2 y1 ) − ( x 22 + 2 y 2 ) = ( x12 + 2 y1 ) − ( x12 + 2 y1 )
= 0. Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) = ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) = f ( x 2 , y 2 ) . Jadi f suatu fungsi. B. LIMIT FUNGSI Definisi 2.
Milsalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka I, yang memuat a, kecuali mungkin pada a itu sendiri. Maka limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, ditulis:
7
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 ∋ f ( x) − L < ε apabila 0 < x − a < δ . x →a
Contoh 3
Buktikan lim(4 x + 2) = 22 . x →5
Bukti: Tulis f(x) = 4x+2. Ambil sebarang ε > 0 . Pilih δ =
ε 4
.
Dipunyai 0 < x − 5 < δ Jelas f ( x) − 22 = 4 x + 2 − 22 = 4 x − 20 = 4x−5 < 4δ <4
ε 4
=ε. Jadi ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ f ( x) − 22 < ε apabila 0 < x − 5 < δ Jadi lim(4 x + 2) = 22 . x →5
C. KEKONTINUAN FUNGSI Definisi 3.
Misalkan f terdefinisi pada selang buka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika lim f ( x) = f (a) . x→a
8
Definisi tersebut menysaratkan tiga hal berikut yang harus dipenuhi agar suatu fungsi f kontinu di a, yakni: a. f(a) ada b. lim f ( x) ada x→ a
c. lim f ( x) = f (a) x →a
Ilustrasi fungsi kontinu diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2: Fungsi f kontinu di titik a Contoh 4
Buktikan fungsi f dengan f(x) = x2 + 2 kontinu di x = 1. Bukti: Dipunyai f(x) = x2 + 2. Jelas f(1) = 1+2 = 3 dan lim f ( x) = lim x 2 + 2 = 1 + 2 = 3 . x →1
Jadi lim f ( x) = f (1) = 3 . x →1
Jadi f kontinu di x = 1.
x →1
9
D. TURUNAN (DIFERENSIAL) Definisi 4.
Turunan fungsi f pada bilangan x dinyatakan dengan f’(x) adalah f’(x) = lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) , jika limitnya ada. h
Jika f’ ada maka dikatakan f terdiferensial di x. Contoh 5
Carilah turunan fungsi f ( x) = x 2 − 8 x + 9 pada bilangan a. Penyelesaian: Dipunyai f ( x) = x 2 − 8 x + 9 . Jelas f ' (a ) = lim h→0
f ( a + h) − f ( a ) h
[(a + h) 2 − 8(a + h) + 9] − [a 2 − 8a + 9] h →0 h
= lim
a 2 + 2ah + h 2 − 8a − 8h + 9 − a 2 + 8a − 9 h →0 h
= lim
2ah + h 2 − 8h h →0 h
= lim
= lim(2a + h − 8) h→0
= 2a − 8 .
Konsep Turunan (Derivative Formulas)
a. Aturan Perpangkatan (Power of x Rule) Jika f(x) = xn, dengan n bilangan real, maka f’(x) = nxn-1. b. Aturan Fungsi Konstan (Constant Function Rule)
10
Jika f(x) = c, dimana c adalah konstanta, maka f’(x) = 0. c. Aturan Koefisien (Coefficient Rule) Jika f terdiferensial pada x, c konstanta, maka cf terdiferensial pada x dan (cf )' ( x) = cf ' ( x) . d. Aturan Jumlah (Sum Rule) Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x dan ( f + g )' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x) . e. Aturan Selisih (Difference Rule) Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f + g) terdiferensialkan pada x dan ( f − g )' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) . f. Aturan Perkalian (Product Rule) Jika f dan g terdiferensialkan pada x maka (f. g) terdiferensialkan pada x dan ( f .g )' ( x) = f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x) . g. Aturan Hasil Bagi (Quotient Rule) Jika f dan g terdiferensialkan pada x, g ( x) ≠ 0 maka
f terdiferensialkan g
⎛f ⎞ g ( x) f ' ( x) − f ( x) g ' ( x) . pada x dan ⎜⎜ ⎟⎟( x ) = [ g ( x)]2 ⎝g⎠ h. Aturan Rantai (Chain Rule) Jika f dan g fungsi yang terdiferensial dengan y = f(u) dan u = g(x), maka y fungsi yang terddiferensial pada x, dan dy d d dy dy du = f (u ). g ( x) , atau dapat dituliskan = . . dx du dx dx du dx
11
Bukti: (a) Dipunyai f(x) = xn. Jelas f ' ( x) = lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
( x + h) n − x n h →0 h
= lim
n(n − 1) n − 2 2 ⎡ n n −1 n −1 n⎤ n ⎢⎣ x + nx h + 2! x h + ... + nxh + h ⎥ − x ⎦ = lim h →0 h
= lim
nx n −1 h +
h →0
= lim nx n −1 + h →0
n(n − 1) n −2 2 x h + ... + nxh n −1 + h n 2! h
n(n − 1) n − 2 x h + ... + nxh n − 2 + h n −1 2!
= nx n −1 . Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = nx n −1 . (b) Dipunyai f fungsi konstan, f(x) = c. Jelas f ' ( x) = lim h →0
= lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) h c−c h
0 h →0 h
= lim
= lim 0 = 0 . h→0
Jadi terbukti bahwa f ' ( x) = 0 .
12
(c) Dipunyai c konstanta dan f dan cf terdiferensial. (cf )( x + h) − (cf )( x) h
Jelas (cf )' ( x) = lim h →0
= lim h →0
cf ( x + h) − cf ( x) h
⎡ f ( x + h) − f ( x ) ⎤ = lim c ⎢ ⎥⎦ h →0 h ⎣ = c lim h →0
f ( x + h) − f ( x ) h
= cf ' ( x) . Jadi terbukti bahwa (cf )' ( x) = cf ' ( x) . (d) Dipunyai f, g, dan f + g terdiferensial. ( f ( x + x) + g ( x + x)) − ( f ( x) + g ( x)) h →0 h
Jelas (f + g)’(x) = lim
= lim
f ( x + h) − f ( x ) + g ( x + h) − g ( x ) h
= lim
f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + lim h→0 h h
h →0
h →0
= f’(x) + g’(x). Jadi terbukti bahwa (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x). (f) Dipunyai f, g, dan f g terdiferensial. Jelas (fg)’(x) = lim h →0
= lim h →0
f ( x + h).g ( x + h) − f ( x).g ( x) h
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) + f ( x ) g ( x + h) − f ( x ) g ( x ) h
g ( x + h) − g ( x ) ⎤ ⎡ f ( x + h) − f ( x ) = lim ⎢( ) g ( x + h) + f ( x)( )⎥ h →0 h h ⎣ ⎦
13
= lim h→ x
f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) lim g ( x + h) + lim f ( x) lim h → 0 h → 0 h → 0 h h
= f’(x)g(x) + f(x)g’(x) Jadi terbukti bahwa (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x). (g) Dipunyai f, g, dan
f terdiferensial. g
f ( x + h) f ( x ) − f g ( x + h) g ( x ) Jelas ( )' ( x) = lim h →0 g h f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) g ( x + h) g ( x ) = lim h →0 h = lim h →0
f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) [ g ( x + h) g ( x)]h
1 f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) lim h →0 [ g ( x + h) g ( x )] h →0 h
= lim
=
1 f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) {lim } 2 h →0 h [ g ( x)]
=
1 g ( x + h) − g ( x ) ⎤ ⎡ f ( x + h) − f ( x ) {lim ( ) g ( x) − f ( x)( )⎥ } 2 h→0 ⎢ h h [ g ( x)] ⎣ ⎦
= 1 f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x) {lim( ) lim g ( x) − lim f ( x) lim( )} 2 h→0 h→0 h→0 h →0 h h [ g ( x)] 1 = { f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)} [ g ( x)]2 =
f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) . [ g ( x)]2
14
f f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) . Jadi terbukti bahwa ( )' ( x) = g [ g ( x)]2 Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan dari konsep diatas. Contoh 6
Diberikan fungsi-fungsi f ( x) = 5 , g ( x) = 4 x 2 dan h( x) = x + 1 . Tentukan f ' ( x) , g ' ( x) dan ( g + h)' ( x) . Penyelesaian: Jelas f ' ( x) = 0 . Jelas g ' ( x) = 8 x . Jelas ( g + h)' ( x) = g ' ( x) + h' ( x) = 8x + 1.
E. INTEGRAL Definisi 5.
Fungsi F dinamakkan anti turunan dari fungsi f jika turunan dari F adalah f. Contoh 7
Dipunyai f ( x) = x 2 , F1 ( x) =
1 1 1 3 x , F2 ( x) = x 3 + 5 dan F3 ( x) = x − π . 3 3 3
Tunjukan bahwa F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) merupakan anti turunan dari f (x) . Penyelesaian: ⎡1 ⎤ d ⎢ x3 ⎥ d [ F1 ( x)] 3 ⎦ 1 d (x3 ) 1 2 Jelas = = .3 x = x 2 . = ⎣ 3 dx 3 dx dx ⎤ ⎡1 d ⎢ x 3 + 5⎥ d [ F2 ( x)] 3 ⎦= Jelas = ⎣ dx dx
⎡1 ⎤ d ⎢ x 3 ⎥ + d (5) 1 d (x3 ) 1 ⎣3 ⎦ = + 0 = .3x 2 = x 2 . 3 dx 3 dx
15
⎤ ⎡1 d ⎢ x3 − π ⎥ d [ F2 ( x)] 3 ⎦= Jelas = ⎣ dx dx
⎡1 ⎤ d ⎢ x 3 ⎥ − d (π ) 1 d (x3 ) 1 ⎣3 ⎦ = − 0 = .3x 2 = x 2 3 dx 3 dx
Jadi F1 ( x), F2 ( x) dan F3 ( x) semuanya merupakan anti turunan dari f (x) . Definisi 6.
Jika F (x) pada selang buka I merupakan anti turunan dari f (x) dan C sembarang konstanta, maka F ( x) + C juga merupakan anti turunan dari f (x) . d [ F ( x) + C ] d [ F ( x)] d (C ) = + = f ( x) + 0 = f ( x) . dx dx dx Definisi 7.
Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F suatu anti turunan f pada selang I. Proses menentukan anti turunan dari fungsi f dinamakan imtegral tak tentu f pada I, dinyatakan dengan
∫ f ( x)dx = F ( x) + C dengan C sembarang konstanta dan di baca integral tak tentu dai f terhadap variabel x. Contoh 8
Tentukan ∫ cos xdx . Penyelesaian: Tulis f ( x) = cos x dan F ( x) = sin x Jelas F ' ( x) =
d [ F ( x)] d (sin x) = = cos x = f ( x) . dx dx
Jadi F (x) suatu anti turunan dari f (x) .
16
Teorema 2.1
Jika n adalah sebarang bilangan rasional, n ≠ −1 , maka n ∫ x dx =
x n +1 +C. n +1
Bukti: Tulis F suatu anti turunan dari f. Jelas
∫ f ( x)dx = F ( x) + C .
Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔
d [ F ( x)] = f ( x) . dx
⎤ ⎡ x n +1 d⎢ + C⎥ n +1 ⎦ ⇔ ⎣ dx ⇔
1 d ( x n +1 ) n + 1 dx
⇔
1 (n + 1) x n = x n = f ( x) . n +1
Teorema 2.2
(1) ∫ cf ( x)dx = c ∫ f ( x)dx , c suatu konstanta. (2) ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx (3) ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . Bukti: (1) Tulis F suatu anti turunan dari f . Jadi F ' ( x) = f ( x) ⇔
d [ F ( x)] = f ( x) dx
17
⇔ c.
⇔
d [ F ( x)] = c. f ( x) dx
d [c.F ( x)] = c. f ( x) . dx
Jadi cF ( x) suatu anti turunan dari cf ( x) . Jadi ∫ c. f ( x)dx = c.F ( x) = c ∫ f ( x)dx . (2) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g . Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) . Jadi
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dan
∫ g ( x)dx = G( x) + C .
Jadi ( F + G )' ( x) = ( f + g )( x) . Jadi ( F + G ) suatu anti turunan dari ( f + g ) . Jadi ∫ ( f + g )( x)dx = ( F + G )( x) + C = [ F ( x) + C1 ] + [G ( x) + C 2 ]
= ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . (3) Tulis F dan G suatu anti turunan dari f dan g . Jadi F ' ( x) = f ( x) dan G ' ( x) = g ( x) . Jadi
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
dan
∫ g ( x)dx = G( x) + C .
Jadi ( F − G )' ( x) = ( f − g )( x) . Jadi ( F − G ) suatu anti turunan dari ( f − g ) . Jadi ∫ ( f − g )( x)dx = ( F − G )( x) + C = [ F ( x) + C1 ] − [G ( x) + C 2 ]
18
= ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx . Contoh 9
Tentukan: (a) ∫ 4 cos xdx dan (b) ∫ ( x + x 2 )dx . Penyelesaian: (a) Jelas ∫ 4 cos xdx = 4 ∫ cos xdx = 4(sin x + C ) = 4 sin x + 4C = 4 sin x + K , K = 4C .
(b) Jelas ∫ ( x + x 2 )dx = ∫ xdx + ∫ x 2 dx =
1 2 1 x + C1 + x 3 + C 2 2 3
=
1 2 1 3 x + x + C1 + C 2 2 3
=
1 2 1 3 x + x + C , C = C1 + C 2 . 2 3
Teorema 2.3
Dipunyai g suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang buka I dan F anti turunan dari f. Jika u = g ( x) ,
∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = ∫ f (u )du = F (u) + C =F[ g ( x)] + C . Bukti: Dipunyai R g ⊂ I . Jadi F '[ g ( x)] = f [ g ( x)] ⇔
d (F [ g ( x)]) = f [ g ( x)] . dx
19
Jadi
⇔
∫ f [ g ( x)]d[ g ( x)] = F[ g ( x)] + C
∫ f [ g ( x)]g ' ( x)dx = F[ g ( x)] + C .
Contoh 10
Tentukan: (a) ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx dan (b) ∫ sin 2 x cos xdx . Penyelesaian: (a) Tulis u = x 2 + 1 . Jelas
du = 2 x ⇒ du = 2 xdx dx
Jelas ∫ ( x 2 + 1)10 .2 xdx = ∫ u 10 .du
=
1 11 u +C 11
=
1 2 ( x + 1) + C . 11
(b) Tulis u = sin x . Jelas
du = cos x ⇒ du = cos xdx . dx
Jelas ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du 1 = u3 + C 3 1 = sin 3 x + C . 3
20
Teorema 2.4
Jika U = U ( x) dan V = V ( x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada selang buka I, maka
∫ UdV = U .V − ∫ V .dU . Bukti: Dipunyai d (U .V ) = U .dV + V .dU . Jadi ∫ d (U .V ) = ∫ (U .dV + V .dU )
⇔ U .V = ∫ U .dV + ∫ V .dU ⇔ ∫ U .dV = U .V − ∫ V .dU . Contoh 11
Tentukan
∫ x. cos xdx .
Penyelesaian: Jelas
∫ x. cos xdx = ∫ xd (sin x) = x. sin x − ∫ sin x.dx = x. sin x + sin x + C .
F. FUNGSI INVERS, LOGARITMA, DAN EKSPONEN 1. Fungsi Invers Definisi 8.
Dipunyai f fungsi dengan daerah definisi D. invers fungsi f , ditulis
g= f
−1
, adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
g ( f ( x)) = x
∀x∈D.
21
Contoh 12
Dipunyai
g ( x) =
f ( x) = 2 x , x ∈ (−∞, ∞) . Tunjukan bahwa inversnya adalah
1 x. 2
Penyelesaian: Tulis y = f ( x) Jelas y = 2 x . Jelas g ( y ) =
1 1 y = .2 x = x . 2 2
Jelas g ( f ( x)) =
1 1 f ( x) = .2 x = x , x ∈ (−∞, ∞) . 2 2
Contoh 13
Dipunyai f ( x) = x , x ≥ 0 . Tujukan bahwa inversnya adalah g ( x) = x 2 .
Penyelesaian: Tulis y = f (x) Jelas y = x Jelas g ( y ) =
( x)
2
= x.
Jelas g ( f ( x)) = [ f ( x)] 2 =
( x)
2
= x , x ≥ 0.
Deinisi 9.
Dipunyai f fungsi, f disebut fungsi satu-satu jika untuk setiap x1 , x 2 di domain f, x1 ≠ x 2 maka f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) . Contoh 14
Dipunyai f: D →R, D ⊂ R2, f ( x) = 2 x 2 + y .
22
Tunjukan f fungsi satu-satu. Penyelesaian: Ambil sembarang ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) . Jelas x1 ≠ x 2 dan y1 ≠ y 2 . Jelas f ( x1 , y1 ) − f ( x 2 , y 2 ) = (2 x12 + y1 ) − (2 x 22 + y 2 )
= (2 x12 − 2 x 22 ) + ( y1 − y 2 ) ≠ 0.
Jadi ∀( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ D, ( x1 , y1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ), f ( x1 , y1 ) ≠ f ( x 2 , y 2 ) . Jadi f fungsi satu-satu. Teorema 2.5
Dipunyai f suatu fungsi yang didefinisikan f : D → R . Jika f fungsi satusatu maka (i) f
−1
ada, dan
(ii) daerah definisi f
−1
adalah range f.
Bukti: Definisikan pemadanan
g : Rf → Df dengan g ( y ) = x , ∀ x ∈ R f dan y = f (x) .
Ditunjukan g suatu fungsi. Ambil y1 , y 2 ∈ R f dengan y1 = y 2 . Jelas y1 = f ( x1 ) dan y 2 = f ( x 2 ) untuk suatu x1 , x 2 ∈ D f .
23
Karena y1 = y 2 , maka f ( x1 ) = f ( x 2 ) . Dipunyai f satu-satu. Jadi x1 = x 2 . Jadi g suatu fungsi. Jelas g ( f ( x)) = g ( y ) = x , ∀ x ∈ D f . Jadi terdapat fungsi invers g untuk f. Tulis g = f
−1
.
Jelas D f −1 = D g = R f . Contoh 15
Tentukan invers dari fungsi f ( x) = 2 x − 4 , x ∈ (−∞, ∞) . Penyelesaian: Dipunyai f ( x) = 2 x − 4 . Tulis y = f ( x) . Jelas y = 2 x − 4
⇔ 2x = y + 4 ⇔x=
y+4 y = + 2. 2 2
Jadi f −1 ( y ) =
y +2. 2
Jelas f −1 ( y ) =
1 (2 x − 4) + 2 = x , x ∈ (−∞, ∞) . 2
Jadi f −1 ( x) =
x + 2. 2
24
2. Fungsi Logaritma Asli Definisi 10.
Fungsi logaritma asli adalah fungsi yang didefinisikan oleh ln x = ∫
x 1
1 dt t
x > 0.
Definisi 11.
Dipunyai f suatu fungsi yang terdiferensialkan pada selang (0, ∞ ) , dengan f ( x) = ln x , turunan dari f didefinisikan sebagai d (ln x) 1 = , dx x
x > 0.
Definisi 12.
Dipunyai u fungsi yang terdiferensialkan pada x pada selang buka I, dengan u = ln u , maka turunanya didefinisikan sebagai d (ln u ) 1 du = . , dx u dx
u >0.
Contoh 16
Tentukan turunan dari: (a) f ( x) = ln( x + x 2 ) dan (b) f ( x) = x ln(1 + x 2 ) . Penyelesaian: (a) Jelas f ' ( x) =
d [ln( x + x 2 )] dx
=
d [ln( x + x 2 )] d ( x + x 2 ) . dx d (x + x2 )
=
1 .(1 + 2 x) (x + x2 )
25
=
(b) Jelas f ' ( x) =
=
(1 + 2 x) . (x + x2 ) d [ f ( x)] dx d [ x ln(1 + x 2 )] dx
= ln(1 + x 2 ).
d ( x) d [ln(1 + x 2 )] + x. dx dx
d [ln(1 + x 2 )] d (1 + x 2 ) = ln(1 + x ) + x. . dx d (1 + x 2 ) 2
= ln(1 + x 2 ) + x.
= ln(1 + x 2 ) +
1 .2 x (1 + x 2 )
2x 2 . (1 + x 2 )
Teorema 2.6
Jika a, b ∈ R , a > 0 , b > 0 , dan r rasional maka: (1) ln(ab) = ln a + ln b ⎛a⎞ (2) ln⎜ ⎟ = ln a − ln b , ⎝b⎠ (3) ln(a r ) = r ln a . Bukti: (1) Ambil sembarang x > 0 . Pilih f ( x) = ln ax dan g ( x) = ln x . Jelas
d [ f ( x)] d (ln ax) d (ax) 1 1 = = .a = dan dx d (ax) dx ax x
26
d [ g ( x)] d (ln x) 1 = = . dx dx x Jadi f ( x) = g ( x) + C untuk suatu konstanta C. Jelas f (1) = g (1) + C ⇔ ln a = C . Jadi f ( x) = g ( x) + ln a ⇔ ln ax = ln x + ln a .
Pilih x = b . Jelas ln ab = ln a + ln b . (2) Dipunyai ln ab = ln a + ln b . Pilih a =
1 . b
1 ⎛1 ⎞ Jelas ln + ln b = ln⎜ .b ⎟ = ln 1 = 0 . b ⎝b ⎠ Jadi ln
1 = ln 1 − ln b = 0 − ln b = − ln b . b
1 ⎛ 1⎞ ⎛a⎞ Jadi ln⎜ ⎟ = ln⎜ a. ⎟ = ln a + ln = ln a − ln b . b ⎝ b⎠ ⎝b⎠ (3) Dipunyai a x = e x. ln a , ∀ x ∈ R . Pilih r bilangan rasional. Jelas r ∈ R . Jadi a r = e r . ln a . Jadi ln a r = ln e r . ln a
⇔ ln a r = r. ln a. ln e ⇔ ln a r = r. ln a.1
27
⇔ ln a r = r. ln a .
Jadi ln a r = r. ln a, ∀ a ∈ R, a > 0 dan r bilangan rasional. Definisi 13.
Bilangan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan ln e = 1 . Telah ditunjukan e merupakan bilangan irasional dengan ketelitian sampai 12 desimal yakni e ≈ 2,718281828459 . Berdasarkan teorema 2.6 point (3) diperoleh ln e n = n ln e = n.1 = n . Teorema 2.7
Logaritma asli sebagai anti turunan dinyatakan 1
∫ x dx = ln x + C ,
x ≠ 0.
Bukti: Ambil sembarang x ∈ R , x ≠ 0 . Kasus x > 0 . Jelas x = x Jadi
d (ln x ) dx
=
d (ln( x) d (ln( x)) d ( x) 1 1 . = = .(1) = . dx d ( x) dx x x
Kasus x < 0 . Jelas x = − x . Jelas
d (ln x ) dx
=
d (ln(− x) d (ln(− x)) d (− x) 1 1 . .(−1) = . = = dx d (− x) dx x −x
Contoh 17
Tentukan
1 + cos x
∫ x + sin x dx ,
x + sin x ≠ 0 .
28
Penyelesaian: Tulis u = x + sin x Jelas du = (1 + cos x)dx . Jelas
1 + cos x
∫ x + sin x dx = ∫
du u
= ln u + C = ln x + sin x + C .
3. Fungsi Eksponen Definisi 14.
Fungsi eksponen asli merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai y = exp(x) jika dan hanya jika x = ln y . Definisi 15.
exp( x) adalah fungsi yang didefinisikan sebagai exp( x) = e x , dengan x bilangan rasional dan e adalah bilangan yang didefinisikan oleh persamaan ln e = 1 .
Teorema 2.8
Dipunyai x1 , x 2 , dan r di R, r rasional maka: (i) e x1 .e x2 = e x1 + x2 , e x1 (ii) x2 = e x1 − x2 , dan e (iii) [e x1 ] r = e rx1 . Bukti: (i) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 .
29
Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 . Jadi x1 + x 2 = ln y1 + ln y 2 ⇔ x1 + x 2 = ln( y1 . y 2 )
⇔ e x1 + x2 = y1 . y 2 ⇔ y1 . y 2 = e x1 + x2
⇔ e x1 e x2 = e x1 + x2 . (ii) Tulis y1 = e x1 dan y 2 = e x2 . Jelas y1 = e x1 ⇔ x1 = ln y1 dan y 2 = e x2 ⇔ x 2 = ln y 2 . Jadi x1 − x 2 = ln y1 − ln y 2 ⎛y ⇔ x1 − x 2 = ln⎜⎜ 1 ⎝ y2 ⇔
⎞ ⎟⎟ ⎠
y1 = e x1 − x2 y2
e x1 ⇔ x2 = e x1 − x2 . e (iii) Dipunyai ln a r = r. ln a . Tulis y = (e x1 ) r . Jadi ln y = ln(e x1 ) r = r. ln e x1 = r.x1 ln e = r.x1 .1 = rx1 . Jadi y = e rx1 . Jadi (e x1 ) r = e rx1 .
30
Teorema 2.9
d (e x ) = ex , ∀ x ∈ R . dx Bukti: Ambil sembarang x ∈ R . Dipunyai ln e x = x . Jelas
d (ln e x ) d ( x) = dx dx
d (ln e x ) d (e x ) ⇔ . =1 dx d (e x ) ⇔
1 d (e x ) . =1 e x dx
⇔
d (e x ) = ex . dx
d (e x ) Jadi = e x untuk setiap x ∈ R . dx Contoh 18
Tentukan turunan dari fungsi f ( x) = e x sin x . Penyelesaian: Jelas f ' ( x) =
d [ f ( x)] dx
=
d (e x sin x ) dx
=
d (e x sin x ) d ( x sin x) . d ( x sin x) dx
= e x sin x [sin x + x cos x] .
31
Teorema 2.10
Teorema 2.9 diatas memberikan formula integrasi sebagai berikut
∫e
x
dx = e x + C .
Bukti: Dipunyai ∫ e x dx = e x + C . Jelas
(
d ∫ e x dx dx
) = d [ F ( x) + C ] dx
=
d (e x + C ) dx
=
d (e x ) d (C ) + dx dx
= e x = f (x) . Jadi F ( x) + C suatu anti turunan dari f. Contoh 19
Tentukan ∫ e −3 x dx . Penyelesaian: Tulis u = −3 x . Jelas du = −3dx . 1 Jelas ∫ e −3 x dx = ∫ e u (− )du 3 =−
1 u e du 3∫
1 1 = − e u + C = − e −3 x + C . 3 3
BAB III METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode yang digunakan penulis adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: A. Menentukan Masalah Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan.
B. Merumuskan Masalah Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah ditemukan yakni 1. Bagaimana membangun fungsi hiperbolik? 2. Bagaimana menentukan invers fungsi hiperbolik dan turunan serta anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya?
C. Studi Pustaka Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan dengan permasalahan, mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan.
Sehingga
didapat
suatu
pengembangan upaya pemecahan masalah.
32
ide
mengenai
bahan
dasar
33
D. Analisis dan Pemecahan Masalah Analisis dan pemecahan masalah dilakuan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mempelajari dan mengkaji menggunakan referensi yang ada tentang bagaimana menurunkan model matematikanya. 2. Mengetahui secara jelas tentang sifat-sifat fungsi hiperbolik. 3. Mencari penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
E. Penarikan Simpulan Dalam tahap ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulakan data atau informasi yang berkaitan denagn permasalahan, mengumpulakan konsep pendukung seperti definisi dan teorema serta membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan.
Sehingga
didapat
suatu
pengembangan upaya pemecahan masalah.
ide
mengenai
bahan
dasar
BAB IV PEMBAHASAN
A. FUNGSI HIPERBOLIK Dalam masalah matematika terapan sering kita jumpai kombinasikombinasi tertentu dari fungsi eksponen e x dan e − x sehingga kombinasi fungsi-fungsi tersebut diberi nama khusus. Untuk itu pada bagian ini akan dibahas secara khusus suatu fungsi yang memuat kombinasi dari kedua fungsi tersebut yakni fungsi hiperbolik. Untuk keperluan tersebut, dibangun fungsifungsi p dan q sebagai berikut. ex e−x + p : R → R , p ( x) = dan q : R → R , q ( x) = . 2 2 +
Grafik fungsi p dan q diberikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Grafik fungsi p naik
34
35
Gambar 4. Grafik fungsi q turun Selanjutnya dibangun fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai jumlah dan selisih fungsi-fungsi p dan q. Dengan demikian
f ( x) = p ( x) + q( x) dan g ( x) = p ( x) − q( x) . Grafik fungsi f dan g disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5. Grafik fungsi f : R → [1, ∞)
f ( x) = p ( x) + q ( x)
36
Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) =
Jelas f ' ( x) =
e x − e−x >0 2
e x + e−x . 2
∀ x > 0 dan f ' ( x) =
e x − e−x <0 2
Jadi grafik f naik pada [0, ∞) dan turun pada (−∞,0] . Jelas f (− x) =
e−x + e x e x + e−x = = f ( x) ∀ x ∈ R . 2 2
Jadi f suatu fungsi genap. e x + e−x Jelas f ' ' ( x) = = f ( x) > 0 . 2
Jadi grafik f cekung ke atas pada (−∞, ∞) .
Gambar 6. Grafik fungsi g : R → R
g ( x) = p ( x) − q( x) Dipunyai g : R → R , g ( x) =
e x − e−x . 2
∀x < 0.
37
Jelas g ' ( x) =
e x + e−x > 0 ∀x∈R. 2
Jadi grafik fungsi g naik pada daerah asalnya. e−x − e x e x − e−x Jelas g (− x) = =− = − g ( x) ∀ x ∈ R . 2 2
Jadi f suatu fungsi ganjil. Jelas g ' ' ( x) =
e x − e−x = g ( x) 2
⎧+ , x > 0 . ⎨ ⎩ −, x < 0
Jadi grafik g cekung ke bawah pada (−∞,0] dan cekung ke atas pada [0, ∞) . Berikut disajikan beberapa sifat fungsi f dan g. Sifat 4.1
(1) f (0) = 1 dan g (0) = 0 , (2) f ' ( x) = g ( x) ∀ x ∈ R , (3) g ' ( x) = f ( x) ∀ x ∈ R , (4) f 2 ( x) − g 2 ( x) = 1 , (5) f ( x + y ) = f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) , (6) g ( x + y ) = f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) , 2
⎡ f ( x) ⎤ 1 =− 2 , dan (7) 1 − ⎢ ⎥ g ( x) ⎣ g ( x) ⎦ 2
⎡ g ( x) ⎤ 1 (8) 1 − ⎢ = 2 . ⎥ f ( x) ⎣ f ( x) ⎦ Bukti: Dipunyai f ( x) =
e x + e−x e x − e−x dan g ( x) = . 2 2
38
(1) Jelas f (0) =
e0 + e0 2 e0 − e0 0 = = 1 dan g (0) = = = 0. 2 2 2 2
(2) Jelas f ' ( x) =
e x − e−x = g ( x) . 2
(3) Jelas g ' ( x) =
e x + e−x = f ( x) . 2
⎛ e x + e−x (4) Jelas f ( x) − g ( x) = ⎜⎜ 2 ⎝ 2
2
2
⎞ ⎛ e x − e−x ⎟⎟ − ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
e 2 x + 2 + e −2 x e 2 x − 2 − e −2 x = − 4 4
=
4 = 1. 4
e x+ y + e −( x+ y ) (5) Jelas f ( x + y ) = 2
=
e xe y + e−xe− y 2
=
1 x y e e + e −x e− y 2
=
1 [( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) + ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))] 2
=
1 ⎡ f ( x ) f ( y ) + f ( x ) g ( y ) + g ( x ) f ( y ) + g ( y ) g ( x) + f ( x) f ( y ) ⎤ ⎥ 2 ⎢⎣− f ( x) g ( y ) − g ( x) f ( y ) + g ( x) g ( y ) ⎦
=
1 [2 f ( x) f ( y) + 2 g ( x) g ( y)] 2
[
]
= f ( x). f ( y ) + g ( x).g ( y ) .
39
e x+ y − e −( x+ y ) 2
(6) Jelas g ( x + y ) =
=
e xe y − e−xe− y 2
=
1 x y e e − e −x e− y 2
=
1 [( f ( x) + g ( x))( f ( y) + g ( y)) − ( f ( x) − g ( x))( f ( y) − g ( y))] 2
=
1 ⎡ f ( x) f ( y ) + f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) + g ( y ) g ( x) − f ( x) f ( y ) ⎤ ⎥ 2 ⎢⎣+ f ( x) g ( y ) + g ( x) f ( y ) − g ( x) g ( y ) ⎦
=
1 [2 f ( x) g ( y) + 2 g ( x) f ( y)] 2
[
]
= f ( x).g ( y ) + g ( x). f ( y ) . 2
⎡ f ( x) ⎤ f 2 ( x) (7) Jelas 1 − ⎢ ⎥ = 1− 2 g ( x) ⎣ g ( x) ⎦ =
g 2 ( x) − f 2 ( x) g 2 ( x)
f 2 ( x) − g 2 ( x) =− g 2 ( x) =−
1 . g ( x) 2
2
⎡ g ( x) ⎤ g 2 ( x) (8) Jelas 1 − ⎢ ⎥ = 1− 2 f ( x) ⎣ f ( x) ⎦ =
f 2 ( x) − g 2 ( x) f 2 ( x)
40
=
1 . f ( x) 2
Sifat-sifat dari fungsi f dan g yang diberikan pada sifat 4.1 memperlihatkan adanya kemiripan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi trigonometri. Hal ini memberikan suatu ide untuk mendefinisikan fungsi f dan g sebagai fungsi hiperbolik sebagai berikut. Sifat 4.2
(1) Dipunyai f : R → R , fungsi sinus hiperbolik didefinisikan sebagai sinh x =
e x − e−x , 2
(2) Dipunyai f : R → [1, ∞) , fungsi cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai cosh x =
e x + e−x , 2
(3) Dipunyai f : R → (−1,1) , fungsi tangen hiperbolik didefinisikan sebagai tanh x = (4)
sinh x e x − e − x = , cosh x e x + e − x
Dipunyai
f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ,
fungsi
cotangen
hiperbolik
didefinisikan sebagai cosh x e x + e − x coth x = = , dan sinh x e x − e − x (5) Dipunyai f : R → (0,1] , fungsi secan hiperbolik didefinisikan sebagai sec hx =
1 2 = x . cosh x e + e − x
41
Gambar grafik fungsi tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik masing-masing diberikan pada Gambar 7, Gambar 8, dan Gambar 9.
Gambar 7. Grafik fungsi f ( x) = tanh x
Gambar 8. Grafik fungsi f ( x) = coth x
42
Gambar 9. Grafik fungsi f ( x) = sec hx B. TURUNAN FUGSI HIPERBOLIK
Berdasarkan sifat 4.2, diperoleh: Teorema 4.1
(1)
d (sinh x) = cosh x dx
(2)
d (cosh x) = sinh x dx
(3)
d (tanh x) = sec h 2 x dx
(4)
d (coth x) = − csc h 2 x dx
(5)
d (sec hx) = − tanh x. sec hx . dx
Bukti: e x − e−x (1) Dipunyai sinh x = . 2
43
⎛ e x − e−x d ⎜⎜ 2 d (sinh x) Jelas = ⎝ dx dx
⎞ ⎟⎟ ⎠
1 d (e x − e − x ) = 2 dx =
1 x (e + e − x ) 2
= cosh x .
Jadi
d (sinh x) = cosh x . dx
e x + e−x . (2) Dipunyai cosh = 2
⎛ e x + e−x d ⎜⎜ 2 d (cosh x) Jelas = ⎝ dx dx
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
1 d (e x + e − x ) dx 2
=
1 x (e − e − x ) 2
= sinh x .
Jadi
d (cosh x) = sinh x . dx
(3) Dipunyai sinh x =
e x − e−x e x + e−x dan cosh = . 2 2
⎛ sinh x ⎞ d⎜ ⎟ d (tanh x) cosh x ⎠ ⎝ = Jelas dx dx
44
⎛ e x − e−x d ⎜⎜ x e + e −x ⎝ = dx
=
(e x + e − x )
⎞ ⎟⎟ ⎠
d (e x − e − x ) d (e x + e − x ) − (e x − e − x ) dx dx (e x + e − x ) 2
=
(e x + e − x )(e x + e − x ) − (e x − e − x )(e x − e − x ) (e x + e − x ) 2
=
( e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2 (e x + e − x ) 2
= 1−
(e x − e − x ) 2 (e x + e − x ) 2
⎛ e x − e−x = 1 − ⎜⎜ x −x ⎝e +e
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
= 1 − tanh 2 x
= sec h 2 x . Jadi
d (tanh x) = sec h 2 x . dx
(4) Dipunyai sinh x =
e x − e−x e x + e−x dan cosh = . 2 2
⎛ cosh x ⎞ d⎜ ⎟ d (coth x) sinh x ⎠ ⎝ Jelas = dx dx ⎛ e x + e−x d ⎜⎜ x e − e −x ⎝ = dx
⎞ ⎟⎟ ⎠
45
=
d (e x + e − x ) d (e x − e − x ) − (e x + e − x ) dx dx x −x 2 (e − e )
(e x − e − x )
=
(e x − e − x )(e x − e − x ) − (e x + e − x )(e x + e − x ) (e x − e − x ) 2
=
( e x − e − x ) 2 − (e x + e − x ) 2 (e x − e − x ) 2
= 1−
(e x + e − x ) 2 (e x − e − x ) 2
⎛ e x + e−x = 1 − ⎜⎜ x −x ⎝e −e
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
= 1 − coth 2 x = − csc h 2 x . Jadi
d (coth x) = − csc h 2 x . dx
(5) Dipunyai cosh =
e x + e−x . 2
⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ d (sec hx) cosh x ⎠ ⎝ = Jelas dx dx 2 ⎛ ⎞ d⎜ x −x ⎟ e +e ⎠ = ⎝ dx
=
=
(e x + e − x )
d ( 2) d (e x + e − x ) −2 dx dx x −x 2 (e + e )
− 2(e x − e − x ) (e x + e − x ) 2
46
=−
(e x − e − x ) 2 x −x x (e + e ) (e + e − x )
= − tanh x. sec hx .
Jadi
d (sec hx) = − tanh x. sec hx . dx
C. INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi invers sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, tangen hiperbolik, cotangen hiperbolik, dan secan hiperbolik, masing-masing dinyatakan dengan
sinh −1 , cosh −1 , tanh −1 , coth −1 , dan sec h −1 , didefinisikan sebagai (1) y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y , (2) y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y , (3) y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y , (4) y = coth −1 x ⇔ x = coth y , dan (5) y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy . Lebih jauhnya tentang invers fungsi hiperbolik disajikan dalam uraian berikut. (1) Invers Fungsi Sinus Hiperbolik Dipunyai f : R → R , f ( x) = sinh x . Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 . Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = sinh x1 − sinh x 2 =
e x1 − e − x1 e x2 − e − x2 − 2 2
47
(e x1 − e x2 ) + (e − x2 − e − x1 ) ≠ 0. 2
= Jadi fungsi f satu-satu.
Berikutnya ditunjukan f fungsi pada. Ambil sembarang x ∈ R . Tulis x = sinh y , untuk suatu y ∈ R . Jelas x =
e y − e− y 2
⇔ 2x = e y − e − y ⇔ 2 xe y = e y (e y − e − y )
⇔ 2 xe y = e 2 y − 1 ⇔ e 2 y − 2e y x − 1 = 0
[
]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − (1 + x 2 ) = 0
(
⇔ (e y − x ) 2 − 1 + x 2
) =0 2
⇔ e y = x − 1+ x2 ∨ e y = x + 1+ x2 . Jelas e y = x + 1 + x 2 ⇔ y = ln( x + 1 + x 2 ) . Jadi ∀ x ∈ R ∃ y = ln( x + 1 + x 2 ) ∈ R ∋ x = f ( y ) . Jadi f suatu fungsi pada. Jadi f : R → R , f ( x) = sinh x memiliki invers. Jelas y = sinh −1 x ⇔ x = sinh y Jadi sinh −1 x = ln( x + 1 + x 2 ) .
48
Gambar grafik fungsi f : R → R , f ( x) = sinh −1 x diberikan pada Gambar 10.
Gambar 10. Grafik fungsi f ( x) = sinh −1 x (2) Invers Fungsi Cosinus Hiperbolik Dipunyai f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x . Ambil x1 = −1, x 2 =1 ∈ R . Jelas x1 ≠ x 2 . akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =
e + e −1 = f (1) = f ( x 2 ) . 2
Jadi f bukan fungsi satu-satu. Jadi fungsi f : R → [1, ∞) , f ( x) = cosh x tidak memiliki invers. Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x .
49
Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x diberikan pada Gambar 11.
Gambar 11. Grafik fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) f ( x) = cosh x Jelas f ' ( x) > 0 ∀ x ∈ [0, ∞) . Jadi f monoton naik pada daerah asalnya. Jadi fungsi f : [0, ∞) → [1, ∞) , f ( x) = cosh x memiliki invers. Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) . Tulis x = cosh y , untuk suatu y ∈ [1, ∞) . Jelas x =
e y + e− y 2
⇔ 2x = e y + e − y ⇔ 2 xe y = e y (e y + e − y )
50
⇔ 2 xe y = e 2 y + 1
⇔ e 2 y − 2e y x + 1 = 0
[
]
⇔ (e y ) 2 − 2e y x + x 2 − ( x 2 − 1) = 0 ⇔ (e y − x ) 2 −
)
(
2
x2 −1 = 0
⇔ e y = x − x2 −1 ∨ e y = x + x2 −1 . Jelas e y = x + x 2 − 1 ⇔ y = ln( x + x 2 − 1) . Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln( x + x 2 − 1) ∈ [1, ∞) ∋ x = f ( y ) . Jelas y = cosh −1 x ⇔ x = cosh y . Jadi cosh −1 x = ln( x + x 2 − 1) . Gambar grafik fungsi f : [1, ∞) → [0, ∞) , f ( x) = cosh −1 x diberikan pada Gambar 12.
Gambar 12. Grafik fungsi f ( x) = cosh −1 x
51
(3) Invers Fungsi Tangen Hiperbolik Dipunyai fungsi f : R → (−1,1) , f ( x) = tanh x . Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 . Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = tanh x1 − tanh x 2 =
e x1 − e − x1 e x2 − e − x2 − e x1 + e − x1 e x2 + e − x2
(e x1 − e − x1 )(e x2 + e − x2 ) − (e x2 − e − x2 )(e x1 + e − x1 ) = (e x1 + e − x1 )(e x2 + e − x2 ) ≠ 0.
Jadi fungsi f satu-satu. Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang x ∈ R . Tulis x = tanh y , untuk suatu y ∈ (−1,1) . Jelas x =
e y − e− y e y + e−y
⇔ x (e y + e − y ) = e y − e − y ⇔ xe y (e y + e − y ) = e y (e y − e − y ) ⇔ x(e 2 y + 1) = e 2 y − 1 ⇔ e 2 y − 1 − x(e 2 y + 1) = 0 ⇔ e 2 y − xe 2 y − x − 1 = 0 ⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 − ( x + 1) = 0 ⇔ (1 − x)(e y ) 2 = x + 1
52
⇔ (e y ) 2 =
x +1 1− x
⇔ ln(e y ) 2 = ln
1+ x 1− x
⇔ 2. y. ln e = ln
1+ x 1− x
⇔ 2. y = ln
⇔ y=
1+ x 1− x
1 1+ x . ln 2 1− x
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =
1 1+ x ln ∈ (−1,1) ∋ x = f ( y ) . 2 1− x
Jadi f suatu fungsi pada. Jadi fungsi f : R → (−11) , f ( x) = tanh x memiliki invers. Jelas y = tanh −1 x ⇔ x = tanh y . Jadi tanh −1 x = Gambar
1 1+ x . ln 2 1− x grafik
diberikan pada Gambar 13.
fungsi f : (−1,1) → (−∞, ∞) ,
f ( x) = tanh −1 x
53
Gambar 13. Grafik fungsi f ( x) = tanh −1 x (4) Invers Fungsi Cotangen Hiperbolik Dipunyai f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x . Ambil sembarang x1 , x 2 ∈ R, x1 ≠ x 2 . Jelas f ( x1 ) − f ( x 2 ) = coth x1 − coth x 2 e x1 + e − x1 e x2 + e − x2 = x1 − e − e − x1 e x2 − e − x2 =
(e x1 + e − x1 )(e x2 − e − x2 ) − (e x2 + e − x2 )(e x1 − e − x1 ) (e x1 − e − x1 )(e x2 − e − x2 )
≠ 0.
Jadi fungsi f satu-satu. Selanjutnya ditunjukan f suatu fungsi pada. Ambil sembarang x ∈ R . Tulis x = coth y , untuk suatu y ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) .
54
Jelas x =
e y + e− y e y − e−y
⇔ x (e y − e − y ) = e y + e − y ⇔ xe y (e y − e − y ) = e y (e y + e − y ) ⇔ x(e 2 y − 1) = e 2 y + 1 ⇔ e 2 y + 1 − x(e 2 y − 1) = 0 ⇔ e 2 y − xe 2 y + x + 1 = 0 ⇔ (e y ) 2 − x(e y ) 2 + ( x + 1) = 0 ⇔ (1 − x)(e y ) 2 = −( x + 1) ⇔ (e y ) 2 =
− x −1 1− x
⇔ (e y ) 2 =
− x −1 − x +1
⇔ (e y ) 2 =
x +1 x −1
⇔ ln(e y ) 2 = ln
x +1 x −1
⇔ 2. y. ln e = ln
x +1 x −1
⇔ 2. y = ln ⇔ y=
x +1 x −1
1 x +1 ln . 2 x −1
Jadi ∀ x ∈ R ∃ y =
1 x +1 ln ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞) ∋ x = f ( y ) . 2 x −1
Jadi f suatu fungsi pada.
55
Jadi fungsi f : R → (−∞,−1) ∪ (1, ∞) , f ( x) = coth x memiliki invers. Jelas y = coth −1 x ⇔ x = coth y . Jadi coth −1 x = Gambar
1 1+ x . ln 2 1− x grafik
fungsi
f : (−∞,−1) ∪ (1, ∞) → (−∞, ∞) ,
f ( x) = coth −1 x diberikan pada Gambar 14.
Gambar 14. Grafik fungsi f ( x) = coth −1 x (5) Invers Fungsi Secan Hiperbolik Dipunyai f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx . Ambil x1 = −1, x 2 = 1 ∈ R . Jelas x1 ≠ x 2 . akan tetapi f ( x1 ) = f (−1) =
2 = f (1) = f ( x 2 ) . e + e −1
56
Jadi f bukan fungsi satu-satu. Jadi fungsi f : R → (0,1] , f ( x) = sec hx tidak memiliki invers. Agar f memiliki invers maka kita definisikan f sebagai f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx . Grafik fungsi
f : [0, ∞) → (0,1] ,
f ( x) = sec hx diberikan pada
Gambar 15.
Gambar 15. Grafik fungsi f : [0, ∞) → (0,1] f ( x) = sec hx Jelas f ' ( x) < 0 ∀ x ∈ [0, ∞) . Jadi f monoton turun pada daerah asalnya. Jadi fungsi f : [0, ∞) → (0,1] , f ( x) = sec hx memiliki invers. Ambil sembarang x ∈ [0, ∞) . Tulis y = sec hx , untuk suatu y ∈ (0,1] .
57
Jelas x =
2 e + e−y y
⇔ x (e y + e − y ) = 2 ⇔ xe y (e y + e − y ) = 2e y ⇔ x(e 2 y + 1) = 2e 2 y
⇔ xe 2 y + x − 2e 2 y = 0 ⇔ x(e y ) 2 − 2e y + x = 0 ⇔ e12y =
2 ± 4 − 4 x.x 2x
⇔ e12y =
2 ± 4 − 4x 2 2x
⇔ e12y =
2 ± 4(1 − x 2 ) 2x
2 ± 2 (1 − x 2 ) ⇔e = 2x y 12
⇔ e12y =
1 ± (1 − x 2 ) x
1+ 1− x2 1− 1− x2 y ⇔e = atau e2 = . x x y 1
Jelas e y =
⎛1+ 1− x2 1+ 1− x2 ⇔ y = ln⎜ ⎜ x x ⎝
⎛1+ 1− x2 Jadi ∀ x ∈ [0, ∞) ∃ y = ln⎜ ⎜ x ⎝ Jelas y = sec h −1 x ⇔ x = sec hy .
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ∈ (0,1] ∋ x = f ( y ) . ⎟ ⎠
58
⎛1+ 1− x2 Jadi sec h −1 x = ln⎜ ⎜ x ⎝
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
Gambar grafik fungsi f : (0,1] → [0, ∞) , f ( x) = sec h −1 x diberikan pada Gambar 16.
Gambar 16. Grafik fungsi f ( x) = sec h −1 x Perolehan tersebut disajikan dalam suatu teorema berikut. Teorema 4.2
( x = ln (x +
) − 1 ),
(1) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 ,
−∞ < x < ∞,
(2) cosh −1
x ≥ 1,
(3) tanh −1 x =
x2
1 1+ x , ln 2 1− x
−1 < x < 1 ,
59
(4) coth −1 x =
1 x +1 ln , 2 x −1
x > 1 , dan
⎛1+ 1− x2 (5) sec h −1 x = ln⎜ ⎜ x ⎝
⎞ ⎟, ⎟ ⎠
0 < x ≤ 1.
D. TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK Teorema 4.3
(1)
d (sinh −1 x) 1 , = dx 1+ x2
d (cosh −1 x) = (2) dx
1 x2 −1
,
(3)
1 d (tanh −1 x) = dx 1− x2
x < 1,
(4)
1 d (coth −1 x) = dx 1− x2
x > 1 , dan
(5)
d (sec h −1 x) 1 . =− dx x 1− x2
Bukti:
)
(
(1) Dipunyai sinh −1 x = ln x + 1 + x 2 . 2 d (sinh −1 x) d ln( x + 1 + x = Jelas dx dx
(
d ln( x + 1 + x 2 d x + 1 + x 2 = . dx d (x + 1 + x 2 )
=
⎛ x .⎜⎜1 + 2 x + 1+ x ⎝ 1+ x2 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
)
60
=
⎛ 1+ x2 + x ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ x + 1+ x ⎝ 1+ x ⎠ 1
x + 1+ x2
=
(x +
=
1
1+ x2
) 1+ x
2
.
1+ x2
)
(
(2) Dipunyai cosh −1 x = ln x + x 2 − 1 .
(
2 d (cosh −1 x) d ln x + x − 1 = Jelas dx dx
(
) (
d ln x + x 2 − 1 d x + x 2 − 1 . = dx d x + x2 −1
(
=
)
⎛ .⎜⎜1 + x + x2 −1 ⎝ 1
(
)
⎞ ⎟ ⎟ x2 −1 ⎠ x
⎛ x2 −1 + x ⎞ ⎜ ⎟ = 2 2 ⎜ x + x −1 ⎝ x − 1 ⎟⎠ 1
(
)
(x +
=
(x +
=
1
x2 −1
)
)
x −1 x −1 2
x2 −1
2
.
(3) Dipunyai tanh −1 x =
1 1+ x . ln 2 1− x
⎛ 1 1+ x ⎞ d ⎜ ln ⎟ d (tanh x) 2 1− x ⎠ ⎝ Jelas = dx dx −1
)
)
61
=
1 ⎡ d ( ln(1 + x) − ln(1 − x) ) ⎤ ⎢ ⎥ 2⎣ dx ⎦
=
1 ⎡ d ln(1 + x) d ln(1 − x) ⎤ − ⎢ ⎥ 2⎣ dx dx ⎦
=
1 ⎡ d ln(1 + x) d (1 + x) d ln(1 − x) d (1 − x) ⎤ − . . ⎢ ⎥ dx d (1 − x) dx ⎦ 2 ⎣ d (1 + x)
=
1⎡ 1 1 ⎤ + ⎢ 2 ⎣1 + x 1 − x ⎥⎦
=
1 ⎡1 − x + 1 + x ⎤ 2 ⎢⎣ 1 − x 2 ⎥⎦
1 1 2 = . = . 2 2 1− x 1− x2 (4) Dipunyai coth −1 x = Jelas coth −1 x =
1 x +1 ln . 2 x −1
1 x +1 ln 2 x −1
=
1 ⎡ d ( ln( x + 1) − ln( x − 1) ) ⎤ ⎢ ⎥ 2⎣ dx ⎦
=
1 ⎡ d ln( x + 1) d ln( x − 1) ⎤ − ⎢ ⎥ 2⎣ dx dx ⎦
=
1 ⎡ d ln( x + 1) d ( x + 1) d ln( x − 1) d ( x − 1) ⎤ − . . ⎢ ⎥ dx d ( x − 1) dx ⎦ 2 ⎣ d ( x + 1)
=
1⎡ 1 1 ⎤ − ⎢ 2 ⎣ x + 1 x − 1⎥⎦
=
1 ⎡ ( x − 1) − ( x + 1) ⎤ ⎥⎦ 2 ⎢⎣ x2 −1
62
1 ⎡ −2 ⎤ = .⎢ 2 ⎥ 2 ⎣ x − 1⎦ =−
1 1 . = x −1 1− x2 2
⎛1+ 1− x2 (5) Dipunyai sec h −1 x = ln⎜ ⎜ x ⎝
⎞ ⎟. ⎟ ⎠
⎛1+ 1− x2 d ln⎜ ⎜ x d (sec h −1 x) ⎝ = Jelas dx dx
=
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
d ln(1 + 1 − x 2 − d ln x dx
d ln(1 + 1 − x 2 ) d (1 + 1 − x 2 ) d (ln x) = − . dx dx d (1 + 1 − x 2 )
=
⎛ x ⎜− ⎜ 1+ 1− x2 ⎝ 1− x2
=−
=−
=−
=−
1
x
(1 +
1− x
2
⎞ 1 ⎟− ⎟ x ⎠
)( 1 − x ) 2
−
x 2 − 1 − x 2 + (1 − x 2 ) x( 1 − x 2 + (1 − x 2 ) 1− 1− x2 x 1 − x 2 (1 − 1 − x 2 ) 1 x 1− x2
.
1 x
63
E. ANTI TURUNAN INVERS FUNGSI HIPERBOLIK
Teorema 4.3 menyatakan bahwa
turunan sinh −1 x dan
1 x −1 2
Teorema 4.4
∫
(2)
∫
(3)
(4)
dx 1+ x
= sinh −1 x + C ,
2
dx
= cosh −1 x + C ,
x −1 2
⎧tanh −1 x + C , dx ⎪ ∫ 1 − x 2 = ⎨ −1 ⎪coth x + C , ⎩
∫x
dx 1− x
2
1+ x
2
merupakan suatu anti
, x ≠ 1 suatu anti turunan cosh −1 x . Akibatnya
dapat dimunculkan teorema 4.4 berikut.
(1)
1
= − sec h −1 x + C .
x <1 , dan x >1
64
F. CONTOH PENERAPAN TEORI DIFERENSI DAN INTEGRASI PADA FUNGSI HIPERBOLIK DAN INVERSNYA
Berikut diberikan beberapa penerapan teori diferensi dan integrasi dan penyelesaianya pada fungsi hiperbolik dan inversnya. dy dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut. dx
1. Tentukan
(a) y = cosh( x 4 )
(e) y = sec h(e 2 x )
⎛1⎞ (i) y = sinh −1 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
(b) y = sinh(4 x − 8)
(f) y = sec h x
(j) y = coth −1 x
(c) y = ln(tanh 2 x)
(g) y = cosh −1 (1 − x)
(d) y = coth(ln x)
(h) y = sec h −1 ( x 7 )
2. Tentukan integral dari masing-masing fungsi yang diberikan berikut. (a) ∫ cosh(2 x − 3)dx
(e)
∫
(b) ∫ sinh 6 x cosh xdx
(f)
∫
(g)
∫
(c)
∫
(d)
∫
tanh x sec h 2 xdx
dx 1 + 9x 2
Penyelesaian: 1. (a) Dipunyai y = cosh( x 4 ) . Jelas
dy d [cosh( x 4 )] = dx dx
dx 9 x 2 − 25 dx 2 − 2x + x 2 dx x2 − 2
65
=
d [cosh( x 4 )] d ( x 4 ) . dx d (x 4 )
= sinh( x 4 ).4 x 3 = 4 x 3 sinh( x 4 ) . (b) Dipunyai y = sinh(4 x − 8) . Jelas
dy d [sinh(4 x − 8)] = dx dx =
d [sinh(4 x − 8)] d (4 x − 8) . d (4 x − 8) dx
= cosh(4 x − 8).4 = 4 cosh(4 x − 8) . (c) Dipunyai y = ln(tanh 2 x) . Jelas
dy d [ln(tanh 2 x)] = dx dx =
d [ln(tanh 2 x)] d (tanh 2 x) d (2 x) . . d (tanh 2 x) d (2 x) dx
=
1 . sec h 2 2 x.2 tanh 2 x
=
2 sec h 2 2 x . tanh 2 x
(d) Dipunyai y = coth(ln x) . Jelas
dy d [coth(ln x)] = dx dx =
d [coth(ln x)] d (ln x) . d (ln x) dx
66
= − csc h 2 (ln x).
=−
1 x
csc h 2 (ln x) . x
(e) Dipunyai y = sec h(e 2 x ) . Jelas
dy d [sec h(e 2 x )] = dx dx d [sec h(e 2 x )] d (e 2 x ) d (2 x) . . = d (2 x) dx d (e 2 x ) = − tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ).e 2 x .2 = −2e 2 x tanh(e 2 x ). sec h(e 2 x ) .
(f) Dipunyai y = sec h x .
Jelas
dy d [sec h x ] = dx dx =
d [sec h x ] d ( x ) . dx d( x)
= − tanh x . sec h x .
=−
tanh x . sec h x 2 x
1 2 x .
(g) Dipunyai y = cosh −1 (1 − x) . Jelas
dy d [cosh −1 (1 − x)] = dx dx =
d [cosh −1 (1 − x)] d (1 − x) . d (1 − x) dx
67
1
=
(1 − x) 2 − 1
.(−1)
1
=−
(1 − x) 2 − 1
.
(h) Dipunyai y = sec h −1 ( x 7 ) . Jelas
dy d [sec h −1 ( x 7 )] = dx dx =
d [sec h −1 ( x 7 )] d ( x 7 ) . dx d (x7 ) 1
=− x =−
7
1 − (x )
7 2
7x6 x7 1 − (x7 )2
.7 x 6
.
⎛1⎞ (i) Dipunyai y = sinh −1 ⎜ ⎟ . ⎝ x⎠ ⎛1⎞ d [sinh −1 ⎜ ⎟] dy ⎝ x⎠ Jelas = dx dx ⎛1⎞ ⎛1⎞ d [sinh −1 ⎜ ⎟] d ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ . ⎝ x⎠ = dx ⎛1⎞ d⎜ ⎟ ⎝ x⎠
=
⎛ 1 ⎞ .⎜ − 2 ⎟ 2 ⎛1⎞ ⎝ x ⎠ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ 1
68
1
=−
⎛1⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
x2
2
.
(j) Dipunyai y = coth −1 x .
Jelas
dy d [ coth −1 x ] = dx dx =
d ( coth −1 x ) d (coth −1 x) . dx d (coth −1 x) 1
=
1 2 2 coth −1 x 1 − x
=
1
.
2(1 − x 2 ) coth −1 x
2. (a) ∫ cosh(2 x − 3)dx Jelas ∫ cosh(2 x − 3)dx = =
1 cosh(2 x − 3)d (2 x − 3) 2∫
1 sinh(2 x − 3) + C . 2
(b) ∫ sinh 6 x cosh xdx Tulis u = sinh x . Jelas du = cosh xdx Jelas ∫ sinh 6 x cosh xdx = ∫ u 6 du =
1 7 u +C 7
=
1 sinh 7 x + C . 7
69
(c)
∫
tanh x sec h 2 xdx
Tulis u = tanh x . Jelas du = sec h 2 xdx Jelas
∫
tanh x . sec h 2 xdx = ∫ u .du 3
2 = u2 +C 3
(d)
∫
=
2 u. u + C 3
=
2 tanh x tanh x + C . 3
dx 1 + 9x 2
Jelas
dx
∫
1 + 9x
2
=
1 d (3x) ∫ 3 1 + (3x) 2
1 = sinh −1 3x + C . 3 (e)
∫
dx 9 x 2 − 25
Jelas
∫
dx 9 x 2 − 25
=
⎛ 3x ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠
5 3 ∫ ⎛ 3x ⎞ 2 ⎜ ⎟ −1 ⎝ 5 ⎠
5 3x = cosh −1 +C . 3 5 (f)
∫
dx 2 − 2x + x 2
70
Jelas
∫
dx 2 − 2x + x
2
=∫
d (−1 + x) 1 + (−1 + x) 2
= sinh −1 (−1 + x) + C . (g)
∫
dx x2 − 2
Jelas
∫
dx x2 − 2
= 2∫
⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 2
⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝ 2⎠
= 2 cosh −1
x 2
+C.
BAB V PENUTUP
A. SIMPULAN Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Fungsi hiperbolik dibangun oleh dua fungsi p dan q dengan p : R → R + , p ( x) =
ex e−x dan q : R → R + , q ( x) = . Selanjutnya dibangun fungsi f 2 2
dan g yang dinyatakan sebagai jumlah dan selisih dari fungsi p dan q, dengan demikian f ( x) = p ( x) + q ( x) dan
g ( x) = p ( x) − q ( x) , dimana
fungsi f dan g memiliki kemiripan sifat dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi trigonometri. Berdasarkan sifat tersebut diturunakn formula fungsi hiperbolik. 2. Berdasarkan point (1) diperoleh formula fungsi hiperbolik sebagai berikut (a) sinh x =
e x − e−x 2
(d) coth x =
cosh x sinh x
(b) cosh x =
e x + e−x 2
(e) sec hx =
1 cosh x
(c) tanh x =
sinh x cosh x
3. Formula turunan fungsi hiperbolik (a)
d (sinh x) = cosh x , dx
64
65
(b)
d (cosh x) = sinh x , dx
(c)
d (tanh x) = sec h 2 x , dx
(d)
d (coth x) = − csc h 2 x , dan dx
(e)
d (sec hx) = − tanh x. sec hx . dx
4. Invers fungsi hiperbolik
( x = ln (x +
) − 1)
(a) sinh −1 x = ln x + 1 + x 2
−∞ < x < ∞
(b) cosh −1
x ≥1
x2
(c) tanh −1 x =
1 1+ x ln 2 1− x
−1 < x < 1
(d) coth −1 x =
1 x +1 ln 2 x −1
x >1
⎛1+ 1− x2 (e) sec h −1 x = ln⎜ ⎜ x ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
0 < x ≤ 1.
5. Formula turunan invers fungsi hiperbolik (a)
d (sinh −1 x) 1 = dx 1+ x2
(b)
d (cosh −1 x) = dx
(c)
1 d (tanh −1 x) = dx 1− x2
x <1
1 d (coth −1 x) = (d) dx 1− x2
x >1
1 x2 −1
66
(e)
d (sec h −1 x) 1 . =− dx x 1− x2
6. Formula anti turunan invers fungsi hiperbolik (a)
∫
(b)
∫
1+ x
2
= sinh −1 x + C
dx
= cosh −1 x + C
x −1 2
⎧tanh −1 x + C , dx ⎪ ∫ 1 − x 2 = ⎨ −1 ⎪coth x + C , ⎩
(c)
(d)
dx
∫x
dx 1− x
2
x <1 x >1
= − sec h −1 x + C .
B. SARAN
Dalam skripsi ini, penulis menentukan penurunan rumus fungsi hiperbolik dan invers serta turunan dan anti turunan fungsi hiperbolik dan inversnya pada fungsi hiperbolik bernilai real. Bagi pembaca yang beminat dapat mengembangkannya untuk fungsi hiperbolik pada bilangan kompleks.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1980. Calculus With Analytic Geometry. New York: John Wiley And Sons. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders Collage Publishing. Chotim, M. 2004. Kalkulus 2. Semarang: Penerbit FMIPA Universitas Negeri Semarang. Leithold, L. 1993. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 2, Edisi Kelima (diterjemahkan oleh Hutahean, Widianti Santoso, dan Koko Martono). Jakarta: Erlangga. Purcell, E. J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1 (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jakarta: Erlangga. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. 2003. Kalkulus Jilid 1, Edisi kedelapan (diterjemahkan oleh I Nyoman Susila). Jakarta: Erlangga. Thomas, George. B. 1962. Calculus, 2nd. Tokyo: Japan Publications Trading Company, LTD.
67
