FUNGSI HIPERBOLIK Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika FTP – UB

Matematika

Pokok Bahasan • • • • • • •

Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik Matematika



Pendahuluan • Diketahui cos  j sin  e j and cos  j sin  e j j  j e  e • Maka cos  2 jjx  jjx  x  ex e  e e • Jika   jx cos jx   2 2

• Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik x  e x e cosh x  2

Matematika

Pendahuluan • Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut sinus hiperbolik x  e x e sinh x  2

• Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus hiperbolik disebut tangen hipebolik sinh x ex  e x tanh x   x x cosh x e  e Matematika

Pendahuluan • Deret pangkat fungsi eksponensial ex

2 x3 x4 2 x3 x4 x x  x 1 x     ... and e 1 x    ... 2! 3! 3! 2! 3! 3!

• Sehingga diperoleh 2 x4 x6 3 x5 x7 x x cosh x 1    ... and sinh x  x     ... 2! 3! 6! 3! 5! 7!

Matematika



Grafik dari Fungsi Hiperbolik • Grafik sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik • Grafik tangen hiperbolik

Matematika



Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik • Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari dengan menggunakan kalkulator atau tombol eksponensial • Sebagai contoh: 1.275  e1.275 3.5790.279 e sinh1.275   1.65 to 2dp 2 2

Matematika



Fungsi Hiperbolik Invers • Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang dibutuhkan untuk menggunakan fungsi eksponensial • Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475 diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara: 1 2 x  2.950e x 1  0  2.950 so that e ex • Sehingga didapat: ex  3.257 or  0.307 so x 1.1808 ex 

Matematika



Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik Invers • Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka: y

e  e  2x so that e  2xe 1 0 y

• Sehingga:

2y

y

e  x  x 1 2

y





• Oleh karena itu, y  sinh-1 x  ln x  x 2 1

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik Invers • Dengan cara yang sama y  cosh-1 x   ln

x



x 1 2

1 1 x  -1 y  tanh x  ln   2 1 x 

Matematika



Identitas Hiperbolik • Seperti rasio trigonometrik lainnya, terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan coth x 

1 tanh x

1 sechx  cosh x cosechx 

1 sinh x Matematika

Identitas Hiperbolik • Dari definisi cosh x dan sinh x 2

2

 e  e   e e       2 2      e2 x  2 e2 x   e2 x  2 e 2 x        4 4     x

cosh 2 x  sinh 2 x 

x

x

x

1

cosh2 x  sinh2 x 1

Matematika

Identitas Hiperbolik • Dengan cara yang sama sech 2 x 1 tanh 2 x cosech 2 x  coth 2 x 1

sinh 2 x  2sinh x cosh x cosh 2 x  cosh 2 x  sinh 2 x 1 2sinh 2 x  2cosh 2 x 1 2 tanh x tanh 2 x  1 tanh 2 x Matematika



Hubungan antara Fungsi Trigonometrik dan Hiperbolik • Diketahui j  j j  j e  e e  e cos  and j sin  2 2 • Maka untuk   jx

cos jx  cosh x j sin x  sinh jx Matematika

Hubungan antara Fungsi Trigonometrik dan Hiperbolik • Dengan cara yang sama

cosh jx  cos x

• Lebih lanjut

sin jx  j sinh x tanh jx  j tan x tan jx  j tanh x Matematika

Hasil Pembelajaran • Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk fungsi eksponensial • Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret pangkat • Mengenal grafik fungsi hiperbolik • Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya • Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi hiperbolik invers • Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik • Memahami hubungan antara fungsi trigonometrik melingkar dan hiperbolik Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika

Recommend Documents