MATEMATIKA EKONOMI BAB IV FUNGSI DAN KURVA NONLINIER By Bambang Suprayitno
1
FUNGSI NONLINIER DENGAN SATU VARIABEL INDEPENDENT Fungsi nonlinier adalah fungsi yang dibentuk dari persamaan yang membentuk selain garis lurus. Beberapa jenis fungsi nonlinier dari Y=f(x): 1.Polynomial Function 2.Rational Function 3.Exponential Function 4.Logarithmic Function 2
Polynomial Function Yang dimaksudkan dengan Polynomial di sini adalah multiterm dimana setiap “term” terdiri atas koefisien eksponen bilangan bulat nonnegatif. Fungsi yang mempunyai bentuk umum: y=f(x)=a0+ a1x1+ a2x2 +a3x3+…+ anxn
3
Yang dimaksud dengan fungsi nonlinier dalam hal ini adalah fungsi polinomial yang mempunyai pangkat tertinggi lebih dari 1, yaitu: y=f(x)=a0+ a1x1+ a2x2 (fungsi kuadrat) y=f(x)=a0+ a1x1+ a2x2 +a3x3 (fungsi kubik) y=f(x)=a0+ a1x1+ a2x2 +a3x3+ a4x4 y=f(x)=a0+ a1x1+ a2x2 +a3x3+ a4x4+ a5x5 4
Rational Function Fungsi rasional adalah fungsi yang diperoleh dari hasil rasio dari fungsi polinomial x. Contoh:
a y x
5
Exponential Function Fungsi eksponensial yang dimaksud adalah fungsi dimana variabel x atau fungsi polinomial x menjadi eksponennya. Contoh:
x y=a
6
Logarithmic Function Contoh:
y=logax
7
FUNGSI NONLINIER DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABEL INDEPENDENT Secara sederhana, fungsi yang mempunyai lebih dari satu variabel independent adalah sebagai berikut: Z=g(x,y) jika variabel bebasnya x dan y Z=g(x,y,….) jika variabel bebasnya x,y, dan seterusnya
8
Penerapan Fungsi dan Kurva NonLinier dalam Ekonomi dan Bisnis
9
Kurva Parabola Fungsi Parabola mempunyai bentuk persamaan umum: Ax2+Dx+Ey+F=0 (untuk y=f(x)) Ay2+Dy+Ex+F=0 (untuk x=f(y)) Jika y=f(x) maka parabola mempunyai garis simetri (disebut axis) yang parallel atau sejajar dengan sumbu y (y-axis) Jika x=f(y) maka parabola mempunyai garis simetri (disebut axis) yang parallel atau sejajar dengan sumbu x (x-axis)
10
Bentuk Umum Persamaan Kurva Parabola 2
Persamaan Ax +Dx+Ey+F=0 dapat diubah menjadi bentuk: (x-h)2=4p(y-k) Dimana (h,k) adalah poin perpotongan antara sumbu simetri parabola dengan kurva parabola itu sendiri. Jika p<0 maka parabola membuka ke bawah Jika p>0 maka parabola membuka ke atas 11
y=f(x)
Y-Axis
Y-Axis
(h,k)
X-Axis
X-Axis
(h,k)
(x-h)2=4p(y-k), p<0
(x-h)2=4p(y-k), p>0
12
Bentuk Umum Kurva Parabola (simetri x) Persamaan Ay2+Dy+Ex+F=0 dapat diubah menjadi bentuk standar: (y-h)2=4p(x-k) Dimana (k,h) adalah poin perpotongan antara sumbu simetri parabola dengan kuva parabola itu sendiri. Jika p<0 maka parabola membuka ke kiri Jika p>0 maka parabola membuka ke kanan 13
X=f(y)
Y-Axis
(h,k) X-Axis
(y-k)2=4p(x-h), p>0
Y-Axis
(h,k)
X-Axis
(y-k)2=4p(x-h), p<0 14
Dari kedua gambar di atas terlihat bahwa (h,k) adalah poin maksimal maupun minimal dari fungsi tersebut. Dengan demikian maka poin (h,k) bisa digunakan untuk mencari poin minimal ataupun maksimal dengan cara membentuk persamaan standar yang di dalamnya ada substansi h dan k. 15
Kurva Circle (Lingkaran) Circle adalah kurva yang dibentuk oleh titik-titik yang semuanya mempunyai jarak yang sama pada satu titik tertentu yang disebut center (pusat lingkaran). Jarak yang sama tersebut disebut radius.
16
Kurva Circle (Lingkaran) Kurva Circle mempunyai bentuk persamaan umum: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0 Di mana A≠0, untuk selanjutnya maka persamaan circle bisa diubah menjadi persamaan standar sebagai berikut: (x-h)2+(y-k)2=r2 Dari persamaan tersebut maka dapat dengan mudah didapatkan radius sebesar r dan pusat lingkaran pada 17 titik (h,k).
10
(h,k)
Y-Axis
5
r X-Axis
18
Kurva Ellipse Ellipse adalah kurva yang dibentuk oleh titik-titik seperti lingkaran yang hanya mempunyai 2 sumbu simetri. Kedua sumbu simetri tersebut berpotongan pada titik yang disebut center (pusat dari ellipse). Sumbu simetri yang pajang disebut sumbu mayor sedangkan yang pendek disebut minor. Kurva Ellipse mempunyai bentuk persamaan umum: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 Di mana A≠C, dan A,C mempunyai tanda yang sama. Selanjutnya maka persamaan Ellipse bisa diubah menjadi persamaan standar sebagai berikut: (x-h)2+(y-k)2=12 a2 b2 19
Kurva Ellipse (lanjutan) Dari persamaan tersebut maka dapat dengan mudah didapatkan sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu x sebesar 2a, sumbu simetri yang sejajar dengan sumbu y sebesar 2b, dan pusat ellipse pada titik (h,k). Sekali lagi kita lihat persamaan standar dari ellipse: (x-h)2+(y-k)2=12 a2 b2 Jika a=b=r, maka persamaan ellipse berubah menjadi persamaan lingkaran dengan demikian lingkaran bisa disebut bentuk khusus dari ellipse. 20
10 (h,k)
a
Y-Axis
5 b X-Axis
10
(x-h)2+(y-k)2=1 a2 b2 (x-10)2+(y-5)2=1 82 52
21
Kurva Hyperbola Hyperbola adalah kurva yang secara sederhana dibentuk 2 parabola yang saling berkebalikan vertexnya. 2 parabola (yang membentuk hyperbola) tersebut mempunyai pusat yang tepat berada pada perpotongan garis asymptote yang berada di luar kedua parabola tersebut. Kurva Hyperbola mempunyai bentuk persamaan umum: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 Di mana A,C mempunyai tanda yang berlawanan. Selanjutnya maka persamaan Hyperbola bisa diubah menjadi persamaan standar sebagai berikut: (x-h)2-(y-k)2=12 atau (y-k)2-(x-h)2=12 22 a2 b2 b2 a2
Kurva Hyperbola (x-h)2-(y-k)2=12 atau (y-k)2-(x-h)2=12 a2 b2 b2 a2 Di mana (h,k) adalah pusat dari hyperbola. Pusat ini diindikasikan menjadi titik perpotongan antara 2 asymptote. Asymptote dapat diperoleh: 1. Buat 1 menjadi 0 2. Cari akar dari persamaan tersebut 3. Hasilnya ada 2 maka keduanya adalah asymptote dari hyperbola tersebut
23
Contoh Hyperbola lihat Webe r hal 87 6 x 2 12 x 4 y 2 16 y 34 0 6 x 2 12 x 4 y 2 16 y 34 6( x 2 2 x) 4( y 2 4 y ) 34 6( x 2 2 x 1) 4( y 2 4 y 4) 34 6 16 6( x 1) 2 4( y 2) 2 24 ( x 1) 2 ( y 2) 2 1 4 6 ( x 1) 2 ( y 2) 2 1 2 2 2 ( 6) karena (-) ada di depan kuadrat y maka posisi parabola2nya membentuk transverse axis yang sejajar dengan sumbu x sebaliknya jika (-) ada di depan kuadrat x maka posisi parabola2nya membentuk transverse axis 24 yang sejajar dengan sumbu y
Contoh Hyperbola M encari asymptote: ( x 1) 2 ( y 2) 2 1 2 2 2 ( 6) Jadikan 1 menjadi 0 ( x 1) 2 ( y 2) 2 2 2 ( 6)2 ( y 2) ( x 1) 2 ( 6) ( y 2)
6 ( x 1) 2
6 ( x 1) y 2 maka asymptote- nya 2 6 ( x 1) 6 ( x 1) y 2 dan y 2 2 2 25
Y-Axis
(-5,2)
X-Axis
(x-h)2-(y-k)2=1 a2 b2 (x+5)2-(y-2)2=1 82 32
26
Karena pusatnya (-5,2) dan mempunyai transvers axis yang sejajar dengan x maka cari lah ujungnya pada saat y=2
27
Y-Axis
X-Axis
(2,-5)
(y-k)2-(x-h)2=1 b2 a2 (y+5)2 -(x-5)2=1 82 32
28
Karena pusatnya (2,-5) dan mempunyai transvers axis yang sejajar dengan y maka cari lah ujungnya pada saat x=2
29
Bentuk-Bentuk Khusus Hyperbola Bentuk umum Hyperbola: (x-h)2-(y-k)2=12 a2 b2 Jika a=b maka akan diperoleh berbagai bentuk khusus dari Hyperbola yang mempunyai asymptote yang sejajar dengan sumbu koordinat (x dan y). Asymptote-nya adalah x=h dan y=k.
30
Bentuk-Bentuk Khusus Hyperbola (lanjutan) 1. (x-h)(y-k)=c Ciri-ciri kurvanya: -mempunyai pusat di (h,k) -Jika c>0 maka kedua parabola berada di kuadran I dan III dari garis asymptote -Jika c<0 maka kedua parabola berada di kuadran II dan IV dari garis asymptote
2. xy=c Ciri-ciri kurvanya: -mempunyai pusat di titik origin (0,0) -Jika c>0 maka kedua parabola berada di kuadran I dan III -Jika c<0 maka kedua parabola berada di kuadran II dan IV 31
Bentuk-Bentuk Khusus Hyperbola (lanjutan) 3. xny=c atau xym=c Ciri-ciri kurvanya: -mempunyai pusat di titik origin (0,0) Jika n, m bilangan ganjil dan: • c>0 maka kedua parabola berada di kuadran I dan III • c<0 maka kedua parabola berada di kuadran II dan IV
32
Bentuk-Bentuk Khusus Hyperbola (lanjutan) 3. xny=c atau xym=c Ciri-ciri kurvanya: -mempunyai pusat di titik origin (0,0) Jika n bilangan genap dan: • c>0 maka kedua parabola berada di kuadran I dan IV • c<0 maka kedua parabola berada di kuadran III dan II
33
Bentuk-Bentuk Khusus Hyperbola (lanjutan) 3. xny=c atau xym=c Ciri-ciri kurvanya: -mempunyai pusat di titik origin (0,0) Jika m bilangan genap dan: • c>0 maka kedua parabola berada di kuadran I dan II • c<0 maka kedua parabola berada di kuadran III dan IV
34
Application of Nonlinear Curve in Business and Economic (1) KURVA PARABOLA Q=40-5P adalah fungsi permintaan dari suatu barang maka hitunglah P dan Q yang memaksimumkan penerimaan? Jawab: Diketahui Q=40-5P Ditanyakan P dan Q agar TR maksimal. TR=P.Q=P.(40-5P)=40P-5P2 TR=f(P) Bentuk umum (P-h)2=4p(TR-k) adalah sebagai berikut: TR=40P-5P2 40P-5P2=TR P2-8P=-1/5(TR) P2-8P+16=-1/5(TR)+16 (P-4)2=-1/5(TR-80) Didapatkan bahwa (h,k) adalah (4,80), artinya TR akan maksimal (p bernilai -) jika P adalah 4. Jika P=4 maka Q yang diminta adalah 20.
35
Application of Nonlinear Curve in Business and Economic (2) KURVA ELLIPSE Kurva kemungkinan produksi dari suatu negara dengan jumlah sumber daya tertentu dinotasikan dalam suatu persamaan sebagai berikut: 8x2+2y2=72 Dimana x adalah mobil dan y adalah beras. Berapakah maksimal beras atau mobil yang dapat diproduksi dari sejumlah sumber daya yang dimiliki tersebut? Jawab: Jika x=0 maka 2y2=72, 2y2=72, y=6 Jika y=0 maka 8x2=72, x2=9, x=3 Jadi banyaknya masimal beras yang dapat diproduksi adalah 6 dan maksimal mobil yang dapat diproduksi adalah 3.
36
Application of Nonlinear Curve in Business and Economic (2)
Untuk mendapatkannya juga bisa diperoleh dengan cara : 8x 2 2y 2 72 x2 y 2 1 9 36 Ingat persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan standar kurva ellipse: x2 y 2 2 1 2 3 6 artinya persamaan tersebut berbentuk kurva ellipse dengan pusat (0,0) dengan titik terjauh (3,0) dan (0,6) dengan kata lain x maksimal 3 dan y maksimal adalah 6. Dengan demikian mobil bisa diproduksi maksimal 3 dan beras bisa diproduksi maksimal 6.
37
Application of Nonlinear Curve in Business and Economic (3) KURVA HYPERBOLA Kemungkinan produksi dari suatu perusahaan yang memproduksi sepatu (x) dan sandal (y) adalah (x-10)(y-25)=100. Berapakah sandal dan sepatu maksimal yang dapat diproduksi (dengan catatan x<10)? Berapakah sandal dan sepatu yang dapat diproduksi jika rasio sandal terhadap sepatu adalah 2:1?
38
Jawab: (x-10)(y-25)=100, x=sepatu dan y=sandal Jika x=0 maka: -10.(y-25)=100 y-25=-10 sehingga y=15 Jika y=0 maka: (x-10).-25=100 x-10=-4 sehingga x=6 Jadi sepatu bisa diproduksi maksimal sebesar 6 dan sandal maksimal sebesar 15.
Jika y/x=2 Sehingga 2x=y maka: (x-10)(y-25)=100 (x-10)(2x-25)=100 2x2-45x+250=100 2x2-45x+150=0 Ingat rumus ABC X12=(-bb2-4ac)2a X12=(45(-45)2-4.2.150)2.2 X12=(45825)4 X12=(4528,7)4 X1=(45+28,7)4=18,425 X2=(45-28,7)4=4,075
39
X1=(45+28,7)4=18,425 X2=(45-28,7)4=4,075 Karena X1 melebihi dari batas yang disyaratkan maka yang dipakai adalah x=4,075 Jika x=4,075 maka y=2.x=2.4,075=8,15 Jadi sandal yang bisa diproduksi adalah 8 dan sepatu yang diproduksi adalah 4.
40
41
Fungsi Parabola y=Ax2 + Bx + C Ciri2: Jika A<0 maka kurva maksimal Jika A>0 maka kurva minimal Kurva akan menghasilkan y=0 jika B2>4AC. Jika B2<4AC maka kurva tidak bisa menghasilkan y=0 atau tidak mempunyai akar 0.
42
43
