X
matematika WAJIB IDENTITAS TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami jenis-jenis identitas trigonometri. 2. Dapat menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian masalah. 3. Dapat membuktikan kebenaran identitas trigonometri dengan menggunakan rumus hubungan perbandingan trigonometri. 4. Dapat mengubah koordinat kutub menjadi koordinat Cartesius dan sebaliknya. 5. Dapat menerapkan identitas trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.
A. Jenis-Jenis Identitas Trigonometri Identitas trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan bernilai benar untuk setiap konstanta anggota domain fungsinya. Identitas trigonometri dasar dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.
1.
Identitas Kebalikan Identitas kebalikan diperoleh dari definisi perbandingan trigonometri. 1 1 sin θ = atau cosec θ = a. cosec θ sin θ b.
cos θ =
1 1 atau sec θ = sec θ cos θ
c.
tan θ =
1 1 atau cotan θ = cotan θ tan θ
Kela s
Kurikulum 2013
2. Identitas Perbandingan (Kuosien) Sama halnya dengan identitas kebalikan, identitas perbandingan juga diperoleh dari definisi perbandingan trigonometri. r y θ a.
y tan θ = x y r = ÷ x r y = r x r sin θ = cos θ
b.
x
Jadi, identitas perbandingan tan θ =
sin θ . cos θ
x y x r = ÷ y r x = r y r cos θ = sin θ
cotan θ =
Jadi, identitas perbandingan cotan θ =
2
cos θ . sin θ
3. Identitas Pythagoras Identitas ini diperoleh dari teorema Pythagoras. Perhatikan gambar berikut. Y P (x, y) r
O
y
θ x
X
Pada gambar tersebut, berlaku: x2 + y2 = r2 y sin θ = → y = r sin θ r x cos θ = → x = r cos θ r Berdasarkan definisi tersebut, titik P (x, y) dapat kita tuliskan menjadi P(r cos θ, r sin θ). Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh: x2 + y2 = r2 ⇔ ( r cos θ ) + ( r sin θ ) = r 2 2
2
⇔ r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ = r 2 ⇔ r 2 ( cos2 θ + sin2 θ ) = r 2 r2 r2 ⇔ cos2 θ + sin2 θ = 1 ⇔ cos2 θ + sin2 θ =
Jadi, identitas Pythagoras adalah sin2 θ + cos2 θ = 1. Identitas Pythagoras yang lain dapat diperoleh dengan membagi persamaan Pythagoras dengan sisi kuadrat lainnya, misalnya dengan sisi x2. x2 + y2 = r2 x2 x2 y2 r2 ⇔ 2+ 2= 2 x x x 2
2
y r ⇔ 1+ = x x ⇔ 1+ tan2 θ = sec2 θ Jadi, identitas Pythagoras yang lain adalah1+ tan2 θ = sec2 θ .
3
Jika persamaan dari teorema Pythagoras dibagi dengan sisi y2, diperoleh: x2 + y2 = r2 y2 2 x y2 r2 ⇔ 2+ 2= 2 y y y 2 2 x r ⇔ + 1= y y ⇔ cotan2 θ + 1 = cosec2 θ Jadi, identitas Pythagoras yang lain adalah cotan2 θ + 1 = cosec2 θ.
Contoh Soal 1 Jika tan A = −
a.
sec A
b.
sin A
5 dengan 90o < A < 180o , tentukan nilai berikut. 12
Pembahasan: a.
Dengan menggunakan identitas Pythagoras, diperoleh: 2
2
1+ tan A = sec A 2
2 5 ⇔ 1+ − = sec A 12 2 25 ⇔ sec A = 1+ 144 2 144 + 25 ⇔ sec A = 144 169 ⇔ sec A = ± 144 13 ⇔ sec A = ± 12
Oleh karena 90o < A < 180o, maka A terletak dikuadran II, sehingga sec A = −
Jadi, sec A = −
13 . 12
4
13 . 12
b.
Dengan menggunakan identitas kebalikan, diperoleh: cos A =
1 sec A
1 13 − 12 12 ⇔ cos A = − 13 ⇔ cos A =
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas perbandingan, diperoleh: sin A tan A = cos A ⇔ sin A = tan A × cos A
5 12 ⇔ sin A = − − 12 13 5 ⇔ sin A = 13 5 Jadi, sin A = . 13
Contoh Soal 2
7 Diketahui cos A − sin A = . Nilai dari cos A + sin A = …. 5 Pembahasan: Mula-mula, kuadratkan bentuk cos A − sin A. 2 ( cos A − sin A ) = cos2 A − 2 sin A cos A + sin2 A 2
7 ⇔ = (cos2 A + sin2 A ) − 2 sin A cos A 5 49 ⇔ = 1− 2 sin A cos A 25 24 ⇔ 2 sin A cos A = − 25
5
Selanjutnya, kuadratkan bentuk cos A + sin A.
( cos A + sin A ) = cos2 A + 2 sin A cos A + sin2 A 2 ⇔ ( cos A + sin A ) = (cos2 A + sin2 A ) + 2 sin A cos A 2
2 24 ⇔ ( cos A + sin A ) = 1+ − 25 25 24 2 ⇔ ( cos A + sin A ) = − 25 25 1 2 ⇔ ( cos A + sin A ) = 25 1 ⇔ cos A + sin A = ± 5 1 Jadi, nilai dari cos A + sin A = ± . 5
B. Membuktikan Kebenaran Identitas Trigonometri Suatu identitas trigonometri perlu dibuktikan kebenarannya. Cara membuktikannya adalah dengan menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan sebelumnya. Secara umum, ada tiga cara yang dapat digunakan dalam pembuktian ini, yaitu sebagai berikut. 1.
Ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan.
2.
Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri.
3.
Ruas kiri dan kanan diubah menjadi bentuk lain sehingga kedua bentuk hasil pengubahan tersebut tepat sama.
Dalam proses pembuktian, selain yang disebutkan di atas, ada hal-hal penting yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut. 1.
Perubahan-perubahan bentuk yang dilakukan harus diarahkan ke bentuk yang menjadi tujuan pembuktian. Bentuk-bentuk yang dituju biasanya adalah bentuk yang lebih sederhana dan dapat disesuaikan dengan bentuk-bentuk lainnya.
2.
Selain menggunakan hubungan antara sekan dan tangen, serta kosekan dan kotangen, fungsi-fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosekan dapat diubah menjadi fungsi sinus atau kosinus.
6
Contoh Soal 3 Buktikan identitas berikut.
a.
sin α ⋅ cos α ⋅ tan α = (1− cos α )(1+ cos α )
b.
sin β ⋅ tan β + cos β = sec β
Pembahasan: a.
Kita ubah bentuk ruas kiri. sin α ⋅ cos α ⋅ tan α = sin α ⋅ cos α ⋅
sin α cos α
= sin α ⋅ sin α = sin 2 α = 1− cos2 α = (1− cos α ) (1+ cos α )
Jadi, terbukti bahwa sin α ⋅ cos α ⋅ tan α = (1− cos α )(1+ cos α ).
b.
Kita ubah bentuk ruas kiri.
sin β ⋅ tan β + cos β = sin β ⋅
sin β + cos β cos β
=
sin2 β + cos β cos β
=
sin2 β cos2 β + cos β cos β
=
sin2 β + cos2 β cos β
=
1 cos β
= sec β
Jadi, terbukti bahwa sin β ⋅ tan β + cos β = sec β .
Contoh Soal 4 2 2 2 Buktikan bahwa sec α (1− cos α ) = tan α .
7
Pembahasan: Kita ubah bentuk ruas kiri. 1 sec2 α (1− cos2 α ) = ( sin2 α ) cos2 α =
sin2 α cos2 α
= tan2 α Jadi, terbukti bahwa sec2 α (1− cos2 α ) = tan2 α .
Contoh Soal 5
Buktikan bahwa sin2 α + sin2 α cos2 α + cos4 α = 1 . Pembahasan: Kita ubah bentuk ruas kiri. sin2 α + sin2 α cos2 α + cos4 α = sin2 α + sin2 α cos2 α + cos2 α cos2 α = sin2 α + ( sin2 α + cos2 α ) cos2 α = sin2 α + (1) cos2 α = sin2 α + cos2 α =1 jadi, terbukti bahwa sin2 α + sin2 α cos2 α + cos4 α = 1 .
Contoh Soal 6 Buktikan bahwa sec A = tan A +
cos A . 1+ sin A
Pembahasan: Kita ubah bentuk ruas kanan. tan A +
cos A sin A cos A = + 1+ sin A cos A 1+ sin A =
sin A (1+ sin A ) + cos A ⋅ cos A cos A (1+ sin A )
=
sin A + sin2 A + cos2 A cos A (1+ sin A )
=
sin A + 1 cos A (1+ sin A )
=
1 cos A
= sec A
8
cos A (1+ sin A ) =
sin A + sin2 A + cos2 A cos A (1+ sin A )
=
sin A + 1 cos A (1+ sin A )
=
1 cos A
= sec A Jadi, terbukti bahwa sec A = tan A +
cos A . 1+ sin A
Contoh Soal 7 Buktikan bahwa sec 4 θ − sec2 θ = tan4 θ + tan2 θ .
Pembahasan: Cara 1: Kita ubah bentuk ruas kiri. sec 4 θ − sec2 θ = sec2 θ ( sec2 θ − 1) = sec2 θ.tan2 θ
= (1+ tan2 θ ) tan2 θ = tan2 θ + tan4 θ Cara 2: Kita ubah bentuk ruas kanan. tan4 θ + tan2 θ = tan2 θ ( tan2 θ + 1)
= ( sec2 ‚ − 1) sec2 θ = sec 4 θ − sec2 θ
Jadi, terbukti bahwa sec 4 θ − sec2 θ = tan4 θ + tan2 θ.
C. Koordinat Kutub Perhatikan gambar berikut ini. Y P (3, 3) 3 2 O
9
X
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri, diketahui nilai θ pada gambar tersebut adalah 45o. Titik P(3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu P 3 2 , 45° . Titik P(3, 3) merupakan koordinat Cartesius, sedangkan P 3 2 , 45° merupakan koordinat kutub.
(
)
(
)
Secara umum, koordinat Cartesius ditulis P (x, y), sedangkan koordinat kutub ditulis P ( r, θ). Untuk mengetahui hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub, perhatikan penjabaran berikut. y sin θ = r x cos θ = r Dengan demikian, diperoleh: y y = r ⋅ sin θ → r = sin θ x = r ⋅ cos θ → r =
x cos θ
r = x2 + y2
Contoh Soal 8 Tentukan koordinat Cartesius dari titik R (4, 150o).
Pembahasan: Diketahui: r=4 θ = 150o Dengan menggunakan rumus hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub, diperoleh: R (4, 150o)
y
O
x
10
x = r cos θ = 4 cos150° 1 = 4 − 3 2 = −2 3 y = r sin θ = 4 sin150° 1 = 4 2 =2
(
)
Jadi, koordinat Cartesius dari titik R (4, 150o) adalah R −2 3 , 2 .
Contoh Soal 9 Tentukan koordinat kutub dari titik Q (6, 3).
Pembahasan: Diketahui: x = 6 dan y = 3 Dengan menggunakan rumus hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub, diperoleh: r = x2 + y2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45 =3 5 sin θ =
y r
⇔ sin θ =
3
3 5 1 ⇔ sin θ = 5 = 0 , 4472 5 ⇔ θ = arc sin( 0 , 4472 ) ⇔ θ ≈ 27°
(
)
Jadi, koordinat kutub dari titik Q (6, 3) adalah Q 3 5 , 27° .
11
D. Aplikasi Identitas Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh Soal 10 Simpangan suatu partikel yang bergerak di sekitar titik tetap O dinyatakan sebagai y = 4sin 2 t. Jika cos2 t − sin2 t = cos 2t , nyatakan simpangan partikel tersebut dalam bentuk cos 2t.
Pembahasan: Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh: y = 4 sin2 t = 2 sin2 t + 2 sin2 t
= 2 ( sin2 t + sin2 t )
= 2 (1− cos2 t + sin2 t )
= 2 (1− (cos2 t − sin2 t ) = 2(1− cos 2t ) = 2 − 2 cos 2t Jadi, simpangan partikel tersebut dalam bentuk cos2t adalah y = 2 − 2 cos2t.
Contoh Soal 11 Sebuah benda dilemparkan ke atas hingga membentuk sudut θ dengan 45o < θ < 90o terhadap bidang mendatar. Diketahui kecepatan objek adalah vo dalam meter per detik dan dasar bidang membentuk sudut 45o seperti ilustrasi berikut.
Jika gesekan dengan udara diabaikan, jarak tempuh R benda diberikan dalam bentuk fungsi berikut. R ( θ) = = =
v 02 2 [sin 2θ − cos 2θ − 1] 32 v 02 2 sin 2θ − (cos2 θ − sin2 θ) − 1 32
12
v
2 0
2 sin2θ − (1− sin2 θ − sin2 θ) − 1 32
a.
Nyatakan fungsi jarak tempuh R benda dalam sinus.
b.
Hitunglah jarak yang ditempuh benda jika kecepatannya 32 meter per detik dan θ = 60o.
Pembahasan: a.
Untuk menyatakan fungsi jarak tempuh R dalam sinus, gunakan identitas trigonometri.
R ( θ) =
v 02 2 [sin 2θ − cos 2θ − 1] 32
=
v 02 2 sin 2θ − (cos2 θ − sin2 θ) − 1 32
=
v 02 2 sin2θ − (1− sin2 θ − sin2 θ) − 1 32
=
v 02 2 sin2θ − (1− 2 sin2 θ) − 1 32
=
v 02 2 sin2θ − 1+ 2 sin2 θ − 1 32
=
v 02 2 sin2θ + 2 sin2 θ − 2 32
Jadi, fungsi jarak tempuh benda dalam sinus adalah v 02 2 sin2θ + 2 sin2 θ − 2 32
R ( θ) =
b.
Jika vo = 32 meter per detik dan θ = 60o maka:
R ( θ) = =
v 02 2 sin2θ + 2 sin2 θ − 2 32
( 32 )
2
32
2
sin120° + 2 sin2 60o − 2
2 1 1 3 − 2 = 32 2 3 + 2 2 2
3 1 = 32 2 3 + − 2 2 2 1 1 = 32 2 3 − 2 2 1 1 = 32 (1, 41) (1, 73 ) − 2 2 = 45,12 ( 0 , 365 ) = 16 , 47 ≈ 16 ,5 5 meter
13
3 1 = 32 2 3 + − 2 2 2 1 1 = 32 2 3 − 2 2 1 1 = 32 (1, 41) (1, 73 ) − 2 2
= 45,12 ( 0 , 365 ) = 16 , 47 ≈ 16 ,5 5 meter Jadi, jarak yang ditempuh benda jika kecepatannya 32 meter per detik dan θ = 60o adalah 16,5 m.
14
