1. Identitas Trigonometri Pengertian Identitas Trigonometri adalah kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan berlaku untuk sembarang sudut yang diberikan. Jenis Identitas Trigonometri 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan. a.
=
atau
b.
=
atau
c.
=
atau
= = =
2. Identitas trigonometri dari hubungan perbandingan (kuosien) a.
=
b.
=
Identitas-identitas trigonometri dasar tersebut di atas diperoleh dari definisi perbandingan trigonometri. 3. Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras a. sin2 α + cos2 b. 1 + tan2 α = sec2 α c. 1 + cot2 α = cosec2 α Untuk membuktikan ketiga identitas ini, misalnya α adalah sebarang sudut pada posisi standar dan titik (x, y) terletak pada kaki sudut α, maka x2 + y2 = r2 ……………….(1)
Y
.
(x,y) r
y
α
X
x
jika kedua ruas dari persamaan (1) dibagi dengan r2, x2, dan y2, maka diperoleh : ;
;
;
( ) +( )
1+ =
;
atau
; 1+( ) =( ) ;( )
( )
Dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri, maka ketiga persamaan terakhir ekuivalen dengan : sin2 α + cos2
; 1 + tan2 α = sec2 α
; 1 + cot2 α = cosec2 α
Membuktikan Identitas Trigonometri Ada beberapa cara untuk membuktikan identitas trigonometri, diantaranya sebagai berikut : 1. Menyederhanakan ruas kiri menjadi sama dengan ruas kanan. 2. Menyederhanakan ruas kanan menjadi sama dengan ruas kiri. 3. Menyederhanakan kedua ruas menjadi bentuk yang sama. 4. Menurunkan dari atau ke bentuk yang sudah pasti berlaku.
Contoh : . sin α = cos α
1. Buktikan identitas sec Bukti :
Akan kita sederhanakan ruas kiri menjadi ruas kanan. sec α – tan α . sin α =
. sin α
-
=
-
=
= = cos α 2. Buktikan identitas 1- tan4 x = 2 sec2 x – sec4 x Bukti : Akan kita sederhanakan ruas kanan menjadi ruas kiri. 2 sec2 x – sec4 x = sec2 x ( 2 – sec2 x ) = ( 1 + tan2 x ) [
(
)]
= ( 1 + tan2 x )(1-tan2 x) = 1 – tan4 x
2.Rumus-Rumus Trigonometri Pada Segitiga a. Rumus Luas Segitiga b. Rumus Sinus dan Cosinus
Aturan Sinus Aturan sinus : dalam setiap segitiga, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.
Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut : =
=
Untuk segitiga ABC lancip
C a
b └ D
A
c
B
Perhatikan segitiga di atas. -
Segitiga ADC siku-siku di D, maka : Sin A = CD = b . sin A …………………..(1)
-
Segitiga BDC siku-siku di D, maka : Sin B = CD = a . sin B ………………..…(2) Dari (1) dan (2) didapat : b . sin A = a . sin B =
atau
…………………….(3)
C E a
b A
c
B
Perhatikan kembali segitiga di atas. -
Segitiga AEC siku-siku di E, maka : Sin c = AE = b . sin C …………………...(4)
-
Segitiga BEA siku-siku di E, maka : Sin B = AE = c . sin B ……………………(5) Dari (4) dan (6) didapat : b . sin c = c . sin B atau =
…………………………(6)
Dari (3) dan (6) didapat : =
=
Untuk Segitiga Tumpul Perhatikan segitiga di bawah ini.
C a
b D└
-
A
c
B
Segitiga ADC siku-siku di D, maka : Sin A = CD = b . sin A ………………………..(1)
-
Segitiga BDC siku-siku di D, maka : Sin B = CD = a . sin B ………………………..(2)
Dari (1) dan (2) didapat : b . sin A = a . sin B atau =
……………………………(3)
Perhatikan segitiga di bawah ini.
C E b
a A
-
c
B
Segitiga AEC siku-siku di E, maka : Sin C = AE = b . sin C ………………………………..(4)
-
Segitiga BEA siku-siku di E, maka : Sin B = AE = c . sin B …………………………………(5) Dari (4) dan (5) didapat : b . sin C = c . sin B atau =
……………………………………(6)
Dari (3) dan (6) didapat : =
=
Aturan Cosinus Aturan cosinus : pada segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua kali hasil perkalian antara sisi-sisi itu dengan cosinus sudut yang diapitnya.
Dengan rumus, dapat dituliskan sebagai berikut :
A
B
(i) (ii) (iii)
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A b2 = a2 + c2 – 2ac.cos B c2 = a2 + b2 – 2ab.cos C
(i)
Cos A =
(ii)
Cos B =
(iii)
Cos C =
Untuk segitiga ABC lancip
Perhatikan segitiga di samping
C
tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan teorema Pythagoras a
b
-
tc A
└
D
c
B
-
Pada segitiga siku-siku BCD diperoleh : a2 = tc + (BD)2…………..(1) Pada segitiga siku-siku ACD diperoleh : Sin A = tc = b.sin A ……………….(2) Cos A = AD = b.cos A, sehingga BD = AB-AD = c – b.cos A….(3) Dengan mensubstitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh : a2 = ( b.sin A)2 + ( c – b. cos A) a2 = b2.sin A + c2 – 2bc.cos A + b2.cos2 A a2 = b2( sin2 A + cos2 A) + c2 – 2bc.cos A a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A 2bc.cos A = b2 + c2 – a2 cos A =
A(i) dan B(i) terbukti
Pada gambar di samping, tc adalah garis tinggi pada sisi a. dengan penerapan teorema Pythagoras
A b
c ta
└
B
E
C
a
- Pada segitiga siku-siku AEC diperoleh : b2 + ta2 + (EC)2……………………..(1) - Pada segitiga siku-siku BEA diperoleh : ta2 = c. sin B……………………….(2) BE = c.cos B, sehingga EC= BC – BE = a – c. cos B………………………(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh : b2 = (c. sin B)2 + (a – c.cos B)2 b2 = c2.sin2 B + a2 – 2ac.cos B + c2. Cos2 B b2 = c2 (sin2 B + cos2 B) + a2 – 2ac.cos B b2 = a2 + c2 – 2ac. Cos B atau cos B = A(ii) dan B(ii) terbukti
Pada gambar di samping, tb adalah garis tinggi pada sisi b. dengan penerapan teorema Pythagoras
B c
a tb C
└ F
b
A
- Pada segitiga siku-siku AFB diperoleh : c2 + tb2 + (AF)2……………………..(1) - Pada segitiga siku-siku BFC diperoleh : Tb2 = a. sin C……………………….(2) CF = a.cos C, sehingga AF= AC – CF = b – a. cos C………………………(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh : c2 = (a. sin C)2 + (b – a.cos C)2 b2 = a2.sin2 C + b2 – 2ab.cos C + a2. Cos2 C c2 = c2 (sin2 C + cos2 C) + b2 – 2ab.cos C c2 = a2 + b2 – 2ab. Cos C atau cos C = A(iii) dan B(iii) terbukti
Untuk Segitiga ABC Tumpul
Pada gambar di samping, tc adalah garis tinggi pada sisi c. dengan penerapan teorema Pythagoras
C a tc
D
A
B c
- Pada segitiga siku-siku BCD diperoleh : a2 + tc2 + (BD)2……………………..(1) - Pada segitiga siku-siku ACD diperoleh : Tc2 = a. sin CAD = b.sin (180º-A) = b.sin …..…….(2) AD = b.cos CAD = b.cos (180º-A) = b.(-cos A) = -b.cos A, sehingga BD= AB +AD = c + (-b.cos A) = c-b.cos A ……(3) Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh : a2 = (b. sin A)2 + (c – b.cos A)2 a2 = b2.sin2 A + c2 – 2bc.cos A + b2. cos2 A a2 = b2 (sin2 A + cos2 A) + c2 – 2bc.cos A a2 = b2 + c2 – 2bc. cos A atau cos A = A(i) dan B(ii) terbukti
