FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd.
Disusun Oleh: 1. Mukhammad Rif’an Alwi
(23070160022)
2. Duvan Guramzig
(23070160027)
3. Arnindia Hani Safitri
(23070160063)
4. Afifah Khoirun Nida
(23070160078)
TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA 2017
1
DAFTAR ISI A. Fungsi Trigonometri ........................................................................................ 3 1. Definisi ..................................................................................................... 3 2. Fungsi Trigonometri ........................................................................... 3 3. Rumus Sinus dan Cosinus .................................................................. 4 4. Luas Segitiga ........................................................................................... 4 5. Rumus Dua Sudut ................................................................................. 4 B. Fungsi Eksponen ................................................................................................ 6 1. Definisi ..................................................................................................... 6 2. Grafik Fungsi Eksponen ..................................................................... 6 C. Fungsi Logaritma ............................................................................................. 10 1. Definisi ................................................................................................... 10 Daftar Pustaka .......................................................................................................... 13
2
PEMBAHASAN A. Fungsi Trigonometri 1. Definisi Arti trigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga. Trigonometri mempelajari sudut dan fungsinya. Aplikasi matematika dalam bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara sudut-sudut dan sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut fungsi trigonometri. 2. Fungsi Trigonometri
r y ∝ x
Sin ∝ =
y de = r mi
Cot ∝ =
x sa = y de
Cos ∝ =
x sa = r mi
Sec ∝ =
r mi = x sa
Tan ∝ =
y de = x sa
Cosec ∝ =
Fungsi trigonomeri sudut-sudut istimewa. Sin ∝ 0 1 30° 2 1 2 45° 2 1 3 60° 2 90° 1 (Elyas H.,2016:1-2) ∝ 0°
Cos ∝ 1 1 3 2 1 2 2 1 2 0
Tan ∝ 0 1 3 2 1
3 ∞
3
r mi = y de
3. Rumus Sinus dan Cosinus Dalam segitiga lancip berlaku rumus sinus dan cosinus sebagai berikut
α b
a
γ
β c
Rumus Sinus a b c = = sin α sin β sin γ
Rumus Cosinus a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + c 2 − 2ab cos γ 4. Luas Segitiga Apabila diketahui dua sudut segitiga yang diapit, maka luassegitia dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut: 1 Luas segitiga = ab sin α , atau 2 1 Luas segitiga = ab sin β , atau 2 1 Luas segitiga = ab sin γ . 2 Apabila yang diketahui hanya ketiga siinya, maka luas segitiga dihitung dengan rumus: Luas segitiga =
1 s ( s − a)( s − b)( s − c) , dengan s = (a + b + c) . 2
5. Rumus Dua Sudut Untuk dua sudut dalam pada segitiga berlaku persamaan atau umus dua sudut sebagai berikut: Jumlah dua sudut sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
4
tan(α + β ) =
tan α − tan β 1 − tan α tan β
Selisih dua sudut sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan(α − β ) =
tan α − tan β 1 + tan α tan β
Apabila α = β , maka α + β = 2α , sehingga:
sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
tan 2α =
2 tan α 1 − tan 2 α
(Sunar Rochmadi,3-4)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA 1. Buktikan
1 1 ( 2 − 1) = 1 2 tan x cos x
Jawab: 1 1 ( − 1) 2 tan x cos 2 x 1 = cos 2 x ( − 1) cos 2 x cos 2 x 1 − cos 2 x = ( ) sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x = × sin 2 x cos 2 x =1
5
B. Fungsi Eksponen Perhatikan dua buah fungsi elementer dalam bentuk seperti berikut ini: y = f ( x) = x3
x dany = f ( x) = 3
Dalam fungsi y = x 3 dengan pangkat variabel adalah konstanta, sehingga fungsi ini termasuk ke dalam salah satu contoh fungsi aljabar. Sedangkan pada contoh yang kedua, yaitu y = 3x merupakan contoh sebuah fungsi yang bukan fungsi aljabar melainkan contoh fungsi eksponen. Seatu fungsi yang memuat variabel sebagai pangkat atau eksponen kita namakan fungsi eksponen. Secara lengkapnya, fungsi eksponen didefinisikan sebagai berikut: 1. Definisi Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum f ( x) = ka x dengan k dan a adalah konstanta, a >0, dan a ≠ 1 .
2. Grafik Fungsi Eksponen Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi eksponen adalah fungsi dengan variabelnya (variabel bebasnya) merupakan pangkat dari suatu bilangan tertentu, sehingga secara singkat dapat kita tulis dalam bentuk: y = f ( x) = a x dengan a > 0 dan a ≠ 1
Untuk mempermudah menggambarkan grafik fungsi eksponen ini, kita tinjau nilai konstanta atau bilangan tertentunya, yaitu kemungkinankemungkinan dari nilai a . Berdasarkan pengertian fungsi eksponen y = a x dengan a > 0 dan a ≠ 1 , maka kita dapat membagi grafik fungsi eksponen menjadi dua bagian besar, yaitu: 1. y = a x dengan a > 1 Dari sini kita dapat melihat, bahwa untuk x semakin besar, maka harga y tentunya akan semakin besar pula. Sedangkan jika x semakin kecil, maka tentunya y akan semakin kecil pula.
x menuju ~ → y akan menuju ~
6
x menuju − ~ → y akan menuju 0 2. y = a x dengan 0 < a < 1 Untuk a yang lebih kecil dari satu dan lebih besar dari nol, maka jika x semakin besar tentunya y semakin kecil, dan jika x semakin kecil tentunya y semakin besar.
x menuju ~ → y akan menuju 0 x menuju − ~ → y akan menuju ~ Untuk lebih jelasnya lagi tentang grafik fungsi eksponen ini kita lihat beberapa contoh berikut ini. Contoh 1.6 Gambarlah fungsi eksponen f ( x) = 2 x Penyelesaian: 1) Titik-titik pada grafik Untuk mempermudah menggambarnya, terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang terletak pada grafik tersebut dengan tabel seperti berikut ini.
x
− ~←
...
y = f ( x)
0←
. ..
Titik
potong
dengan
-2 1 4
-1 1 2
0
1
2
...
→−~
1
2
4
...
→~
sumbu
4,5
y : f (0) = 2 = 1 . Grafik memotong
4
sumbu y di titik (0,1). Selanjutnya
3,5
dengan mengambil beberapa harga
3
x di sebelah kiri dan sebelah kanan
2,5
x = 0 . Kita dapatkan beberapa titik
2
yang terletak pada grafik. Ternyata
1,5
0
untuk x → ~ maka
y → ~ , dan
1
untuk x → − ~ ternyata y → 0
0,5 0 -4
7
-2
0
2
4
Contoh 1.7 1 Gambarkan grafik fungsi f ( x) = ( ) x 2
Penyelesaian:
x
− ~←
...
-3
-2
-1
0
y = f ( x)
0←
. ..
8
4
2
1
2 1 4
...
→−~
...
→~
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4
-2
0
2
4
Dengan memperhatikan kedua contoh terakhir diatas, kita dapat melihat bahwa grafik fungsi eksponen f ( x) = a x dengan a > 1 selalu naik untuk setiap bertambah, dengan kata lain f ( x) = a x dengan a > 1 merupakan fungsi naik. Sedangkan grafik fungsi eksponen f ( x) = a x dengan 0 < a < 1 selalu turun untuk setiap bertambah, dengan kata lain fungsi f ( x) = a x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi turun. (Karso,2012:5-10)
8
9
C. Fungsi Logaritma Alami 1. Definisi Fungsi logaritma alami dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai x1 ln x = ∫ dt , x > 0 1 t
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif (Edwin J. Purcell,1987:372-376)
Jika x > 1, ln (x) = luas dari R
Turunan fungsi logaritma alami adalah x1 1 Dx ∫ dt = Dx ln x = , x > 0 1 t x
Selanjutnya
1
∫ u du = ln u + C , u ≠ 0 Ini melengkapkan rumus pengintregalan (Edwin J. Purcell, 1987) Contoh 4
5
Tentukan
∫ 2 x + 7dx
Penyelesaian
Andaikan u = 2x + 7. Jadi du= 2dx. Sehingga
10
5
5
1
5 1
∫ 2 x + 7dx = 2 ∫ 2 x + 7 2dx = 2 ∫ u du 5 5 = ln u + C = ln 2 x + 7 + C 2 2
Teorema A
Apabila a dan b5bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilang rasional, = 2 maka
1)
Bukti
i.
In 1= 0
ii.
In ab= In a + In b;
iii.
In
iv.
In ar = r In a
1
a = In a – In b; b
1
∫ t dt = 0
(i)
In 1=
(ii)
Oleh karena untuk x > 0,
1
1 1 .a = ax x 1 Dx ln x = , x
DX ln ax =
(iii)
dan menurut ( Teorema 4.8B) kita peroleh In ax = In x + c Untuk menghitung C, ambil x=1, maka In a= C, sehingga In ax = In x + In a Kemudian ambil x = b Dalam (ii), ambilah a = 1/b, maka
1 1 In + Inb = In( .b) = In1 = 0 b b Jadi
1 In = − Inb b Dengan menggunakan (ii), kita peroleh a 1 1 ln = ln(a. ) = ln a + ln = ln a − ln b b b b
11
(iv)
Untuk x > 0 berlaku ln x r = r ln x
Dan
1 r Dx (r ln x) = r. = x x Ini bearti menurut theorema yang kita gunakan diatas dalam (ii) bahwa ln x r = r ln x + C
Misalkan x=1 maka, memberikan C = 0. Ini bearti bahwa ln x r = r ln x
Contoh soal:
1 2 Tentukan dy/dx untuk Dx ln x = , y = ln ( x − 1) / x , x > 1 x Penyelesaian untuk mencari turunan tersebut, kita tulis y sebagai berikut x − 1 1/3 1 x − 1 ) = ln( 2 ) x2 3 x 1 1 = ln( x − 1) − ln x 2 = [ ln( x − 1) − 2 ln x ] 3 3 y = ln(
Sehingga dy 1 1 2 2− x = − = 2 dx 3 x − 1 x 3 x − 3 x
12
DAFTAR PUSTAKA Handayani,Elyas. 2016. Kupas Tuntas UN. Sukoharjo:CV Sindunata Karso. 2012. Modul 7: Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Beserta Beberapa Aplikasinya. (online) 195509091980021-KARSO, ( http://www.file.upi.edu/ Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021KARSO/Modul_7_S1_PGSD.pdf, Diakses pada 27 Februari 2017).
Rocmadi,
Sunar.
Matematika
trigonometri.
(staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/dr-ir-sunarrochmadi-mes/matematika-trigonometri.pdf, Diakses pada Sabtu, 4 Maret 2017. Purcell, Edwin J, et.al. 1987. Calculus With Analitic Geometry. Prentice-Hall. Inc:New York.
13
