f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

Matematika15.wordpress.com

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa

: ___________________

Kelas

: ___________________

y f (a  h)  f (a)  x (a  h)  a

y f (a  h)  f (a)  x h

Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013):

Limitkan kedua ruas (perubahan h mendekati nol)

3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau

lim

h 0

konteks lain dan menerapkannya. 3.22 Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi. 3.23 Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan

y f (a  h)  f (a)  lim  f ' (a) x h0 h

f’(a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a Contoh :

matematika yang melibatkan turunan dan memeriksa kebenaran langkah-

f(x) = 4x + 1  f’(2) = …….

langkahnya. 3.24 Memahami konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi

f’(2)= lim

h0

f (2  h)  f (2) h

naik dan fungsi turun.

= lim (4(2  h)  1)  (4.2  1) h h0

3.25 Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis singgung kurva, garis tangen, dan garis normal. 3.26 Memahami konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya

= lim 8  4h  1  9  lim 4h h h0 h 0 h

untuk menentukan titik stasioner (titik maximum, titik minimum dan titik belok).

= lim 4  4

3.27 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta

h 0

menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah maximum dan minimum. 4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar. 4.18 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam

 Definisi turunan (rumus) Misal fungsi f memetakan x ke y atau y = f(x), x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat. Turunan y = f(x) terhadap x adalah:

memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun. 4.19 Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maximum, titik minimum dan titik belok). 4.20 Menyajikan

data

dari

situasi

nyata,

memilih

variabel

dan

mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam

 Notasi turunan Notasi lain dari turunan:

d dx

f(x) atau

df dx

atau

dy dx

Contoh:

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut terhadap x.

memecahkan masalah maximum dan minimum.

A. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f ’(x).

1

Jawab:

King’s Learning Be Smart Without Limits


Langkah-langkah penyelesaian turunan:  Perhatikan soal apakah soal perlu disederhanakan atau dijabarkan 

n

U

Perhatikan bentuknya: apakah U + V, U , U.V, , turunan V

berantai, atau komposisi fungsi. Kemudian gunakan rumus yang sesuai dan rumus dasar (1 – 4) Contoh: Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = 3. b. f(x) =

3

x2

x 3 − 3x 2 +2x x

c. f(x) = (6x – 3) (5x + 2) d. f(x) =

4x

x−5 e. f(x) = x 2

+ 3

Jawab: B. ATURAN-ATURAN DARI TURUNAN (RUMUS-RUMUS) Jika U dan V adalah fungsi dalam x, sedangkan k dan n adalah konstanta, maka dari definisi turunan diperoleh rumus sebagai berikut: y’ atau f ’(x) atau

No

y atau f(x)

𝐝𝐲 𝐝𝐱

1

k

2

kx

k

3

xn

n. x n−1

4

k.x n

k.n. x n−1

5

U±V

0

(konstanta)

(Penjumlahan/pengurangan

U’ ± V’

fungsi)

6

Un U.V

n. U n – 1 . U’ (perkalian antara fungsi)

U’.V + U.V’ U’.V.W +

7

U.V’.W +

U.V.W

U.V.W’

8

U V

(Pembagian antara fungsi)

y = f(u) dan u = g(x)

dy dx

=

dy du . du dx

(Aturan Berantai)

9 y = f(u) , u = g(v) , dan v = h(x) 10

U ′ . V − U. V′ V2

(fog)(x) = f(g(x))

(komposisi

dy dx

=

dy du dv . . du dv dx

f‘ (g(x)) . g’(x)

fungsi)

2



Latihan 1

6.

1.

Jawab:

Jawab:

2. 7. Jawab:

Jawab:

3.

Jawab:

8.

4. Jawab:

Jawab:

9. 5.

Jawab: Jawab:

3



10.

14.

Jawab: Jawab:

11.

15. Jawab:

Jawab:

12.

Jawab:

16.

Jawab:

13.

Jawab:

4



17.

C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA 1. Menetukan Gradien Garis Singgung

Jawab:

Dik: P = titik singgung g = garis singgung h = garis normal (garis yang tegak lurus (⊥) dengan garis singgung)  Jika kurva y = f(x) disinggung garis g di titik (x1,y1), maka gradien garis singgung g adalah: 18.

m = f ‘ (x1) atau m =

𝑑𝑦 𝑑𝑥 x = x 1

 Persamaan garis singgung g melalui melalui titik tersebut adalah: Jawab:

y – y1 = m(x – x1)  Persamaan garis normal atau garis h melalui titik P(x1,y1) dan tegak lurus garis g adalah: 1

y – y1 = − m (x – x1)

Contoh: 2 Tentukanlah gradien garis singgung kurva f(x) = x + 3x = 4 pada titik (2,14). Jawab:

19.

Jawab:

Contoh: 2 Tentukanlah persamaan garis normal kurva y = 3x – 4x dititik (1,1). Jawab:

5



4.

1. Sifat-sifat gradien garis singgung Jika: garis g ≡ y = mx + c1 Garis h ≡ y = mx + c2

Jawab:

 Garis g // h (sejajar) → mg = mh  Garis g ⊥ h (tegak lurus) → mg = −

1 mh

Contoh: 1 2 4

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x = x – 4 yang tegak lurus dengan garis -2x – 6y + 7 = 0 Jawab: 5.

Jawab:

Latihan 2 1.

6. Jawab:

Jawab: 2.

Jawab: 7.

3. Jawab:

Jawab:

6



8.

12.

Jawab:

Jawab:

13.

9.

Jawab:

Jawab:

10.

14.

Jawab:

Jawab:

11. 15.

Jawab: Jawab:

7



16.

Jawab:

20.

Jawab:

17.

21. Jawab:

Jawab:

18.

22. Jawab:

Jawab:

19.

Jawab:

8



D. FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN, DAN STASIONER 1. Fungsi Naik Garis singgung membentuk sudut lancip dengan sb x positip maka tangen sudutnya positif atau gradien (m) > 0 dimana m = f‘ (x) maka syarat fungsi naik adalah :

f ‘ (x) > 0 2. Fungsi Turun Garis singgung

3. Titik Stasioner Titik stasioner adalah titik tempat fungsi berhenti naik atau turun untuk sementara (titik bergradien sama dengan nol)

Garis singgung sejajar sb x maka gradien m = 0 maka syarat titik stasioner adalah :

membentuk

sudut

f’(x) = 0

tumpul dengan sumbu x positip maka ’

m < 0 maka syarat fungsi turun adalah :

f ’ (x) < 0

dari f (x) = 0 akan diperoleh nilai–nilai x Mis : x1 dan x2 maka :  f(x1) dan f(x2) disebut nilai stasioner (nilai kritis)  [x1, f(x1] dan [x2,f(x2)] disebut titik stasioner (titik kritis)

Contoh:

4. Jenis-jenis titik Stasioner

Jawab:

 TITIK A  TITIK STASIONER MAX 

Koord. Titik max [x1, f(x1)]



f(x1) = nilai max



Syarat :

f” (x1) < 0

 TITIK B  TITIK STASIONER MIN 

Koord. Titik min [x2, f(x2)]



f(x2) = nilai min



Syarat :

f” (x2) > 0

 TITIK C  TITIK STASIONER BELOK 

Koord. Titik belok [x3, f(x3)]



f(x3) = nilai belok



Syarat :

f’’ (x) = 0

Langkah penyelesaian : ’

1. 2.

3.

9

Syarat stasioner f (x) = 0 ”

Substitusi. x1 dan x2 pada f (x) ”



f (x) < 0 (max)



f (x) > 0 (min)

”

”

Titik belok : f (x) = 0



Contoh:

Latihan 3 1.

Jawab: Jawab:

2.

Jawab:

Contoh:

3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

10



6.

10.

Jawab:

Jawab:

7. 11.

Jawab: Jawab:

8. 12. Jawab:

9.

Jawab:

13.

Jawab:

11



14.

18.

Jawab: Jawab:

15.

Jawab:

19.

Jawab: 16.

Jawab:

20.

17.

Jawab:

Jawab:

12



E. PENERAPAN TURUNAN

Latihan 5 1.

Contoh: Jawab:

2. Contoh:

Jawab:

Contoh: 3.

Jawab:

13



4.

7.

Jawab:

Jawab:

5.

Jawab:

8.

6. Jawab:

Jawab:

"Fokus pada kelebihanmu.. bukan kekuranganmu”

14


f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

Recommend Documents