001
y
Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) ≥ 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} Luas daerah D adalah
Dx
f D 0
a
x
b
L = lim
x
|| P|| Æ 0
Dx
f D g a
x
b
a
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), dengan f (x) ≥ g(x), garis x = a, dan garis x = b. D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)}. Luas daerah D adalah
y
0
 i =1 f (x) Dx = Ú f (x) dx . n
b
 i =1( f (x)- g (x)) Dx = Úa ( f (x)- g (x)) dx . || P|| Æ 0
x
b
n
L = lim
Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2p , 0 £ y £ sin 2x}. 1
Luas daerah D adalah
y Dx
L = lim
1
|| P|| Æ 0
y = sin 2x
=
D 0
1 p 4
x
1 p 2
x
=
 i =1sin 2 x Dx = Ú n
0
1 p /2 sin 2 x d (2 x) 2 0 1 - 2 -1 - 1 = 1.
Ú
(
p /2
)
sin 2 x dx p /2
= - 2 (cos 2 x )0 1
APL INT
002
Contoh Hitunglah luas daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, 0 £ y £ 4x - x2}. y
Daerah D dibatasi parabol y = 4x - x , garis x = 1, dan sumbu x. 2
Dx
4 y = 4x - x2
3 2
Luas daerah D adalah L = lim
D
1
|| P|| Æ 0
D
0
1
2
x
4
 i =1 (4 x- x 2) Dx = Ú (4 x- x 2) dx 4
n
1
(
1
= 2 x 2 - 3 x3
x
)
4
1
= 32 -
64 3
1
- 2 + 3 = 9.
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos x dan y = sin x dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan. Fungsi y = cos x dan y = sin x mempunyai periode 2p. Pada selang [0,2p] kedua kurva ini berpotongan di titik
y Dx
1 y = sin x p
D 1 p 4
0
1 p 2
5 p 4
x
y = cos x 2p 3 p 2
( p , 2) 1 4
x
1 2
dan
(1 p , - 2 ) . 1 4
1 2
Pada selang [ 4p ,4p ] kurva y = sin x 1
-1
5
terletak di atas kurva y = cos x.
Dx
Luas daerah D adalah
5p / 4
 i =1(sin x - cos x ) Dx = Úp / 4 (sin x - cos x ) dx || P|| Æ 0 n
L = lim
5p / 4
= ( - cos x - sin x )p / 4 =
1 2
1
1
1
2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 2.
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = x, sumbu x, dan garis y = x - 2. y
y= x
2
(4,2)
y DD 0
1
2
y=x+2 3
4
Dy
Integralkan dalam peubah y: y = x, x ≥ 0 ¤ x = y2 dan y = x - 2 ¤ x = y + 2. Luas daerah D adalah L = lim
|| P|| Æ 0
x
=
(
 i =1 (y + 2- y 2) Dy = Ú (y + 2- y 2) dy 2
n
)
1 2 1 3 2 y + 2 y y 2 3 0
0
2
1
= 2 + 4 - 23 = 3 3 .
APL INT
003 y
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. Luas daerah D adalah
Dx
Dx
f
|f|
0 a
xD c
|| P|| Æ 0
x b
x
f
g
D
b
a
c
|| P|| Æ 0
f
g
 i =1| f (x) - g (x)| Dx = Ú | f (x) - g (x)| dx . b
n
L = lim
f
a x
c
Daerah D dibatasi kurva y = f (x), kurva y = g(x), garis x = a, dan garis x = b. Luas daerah D adalah
Dx
0
a
L = Ú ( - f (x) ) dx + Ú f (x) dx
y
D
b
Pada gambar di samping,
Dx
Dx
 i =1| f (x)| Dx = Ú | f (x)| dx n
L = lim
D
a
Pada gambar di samping, c x b
( f (x) - g (x)) dx + Úc ( g (x) - f (x)) dx . a
L=Ú
x
c
b
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y = cos 2x, 0 £ x £ 4p 3
dan sumbu x. y
Kurva y = cos 2x memotong sumbu x di titik
Dx
y = -cos 2x
1
0, 4p , dan 4p . 1
3
Pada selang [0, 4p ] kurva terletak di atas 1
D 0
x
1 p 4
x
3 p 4
1 p 2
D
-1
x
y = cos 2x
p /4
0
=
(
3
letak di bawah sumbu x.
 i =1|cos 2x| Dx = Ú n
|| P|| Æ 0
=Ú
1
Luas daerah D adalah
Dx
L = lim
sumbu x dan pada selang [ 4p ,4p ] kurva ter-
3p /4
0
cos 2x dx + Ú
) (
3p /4
p /4
|cos 2x| dx
(-cos 2x) dx
)
p /4 3p /4 1 1 sin 2 x sin 2 x 2 2 0 p /4
1
(
1
1
)
1
= 2 - - 2 - 2 = 12 .
APL INT
004
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y = x2, -2 £ x £ 2, garis y = x + 2, -2 £ x £ 2, dan sumbu x. y Dx
Dx
4
Parabol y = x2 dan garis y = x + 2 pada selang [-2,2] berpotongan di titik (-1,1) dan (2,4).
(2,4)
y = x2 y=x+2
Pada selang [-2,-1] parabol terletak di atas garis dan pada selang [-1,2] parabol terletak di bawah garis.
y=x
2
D (-1,1) 1
-2 x -1
D
x
0
|| P|| Æ 0 -1
-2
( = (=
 i =1| x 2 - (x + 2)| Dx = Ú | x 2 - (x + 2)| dx 2
n
L = lim =Ú
Luas daerah D adalah
x
2
-2
( x - (x + 2)) dx + Ú ((x + 2) - x ) dx 2
2
-1
) ( + 2 + - 4) + ( 2 + 4 -
-1 1 3 1 2 x x 2 x 3 2 -2 1 3
2
1
-2
5
1
+
)
1 2 1 3 2 x + 2 x x 2 3 -1
8 3
8 3
1
1
- 2 +2- 3
)
1
= 16 + 4 2 = 6 3. y
Ilustrasi Perhatikan daerah D1, D2, D3, dan D4 beserta parabol dan garis pembatasnya. Jika luas daerah Di adalah Li, i = 1, 2, 3, 4, maka
9 (-1,8)
D1
D2
y=5
((9- x ) - (7- x)) dx L = Ú ((9- x ) - 5) dx + Ú ((7- x) - 5) dx L = Ú ((9- x ) - (4+ x) ) dx + Ú (5 - (4+ x)) dx L1 = Ú
y=7-x
7 (-2,5)
y = 9 - x2
(2,5)
1
3
3
y=x+3 1 2 3
x
L4 =
2
2
-2
-2
D4
-3 -2 -1 0
2
-1
5
2
D3
2
-1
2
2
-3
-2
2 Ú-3 (4+ x ) dx + Ú2 (9 - x ) dx 2
3
APL INT
005
y
y Dx
cakram lingkaran tinggi Dx, jari-jari f (x)
f Dx
f
D
a
0
Dx
f (x)
x
b
x
0
a
f (x)
x
b
x
sb putar
D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.
Dx
volum cakram DVi = p f 2 (x) Dx
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah
p f 2 (x) Dx = p Ú f 2(x) dx . Â 1 = i a || P|| Æ 0 b
n
V = lim
Contoh Jika daerah D = {( x, y ) : 0 £ x £ p ,0 £ y £ sin x} diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y
Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D diputar terhadap sumbu x adalah
Dx
1
y = sin x
D
x
0
2 p sin x Dx  i =1 || P|| Æ 0
p
x
p
= p Ú sin 2 x dx 0
y y = sin x 0
x
p
n
V = lim
x
=pÚ
p 1
0
(
=p
1 2
x - 4 sin 2 x
(
1
1
= p ◊ 2 p = 2 p 2. 1
)
- 2 cos 2 x dx 2
1
)
p 0
APL INT
006
Contoh Buktikan volum bola berjari-jari a > 0 adalah V = 3 p r 3. 4
y a
y = a2 - x2
Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a adalah daerah
Dx
D
-a
x a
0
x
Volum benda putarnya adalah volum bola yang dicari, yaitu
y a y = a2 - x2
-a
x a
00
D = {( x,y )| -a £ x £ a,0 £ y £ a 2 - x 2 } diputar terhadap sumbu x.
x
V = lim
|| P|| Æ 0
=pÚ
a
(
a -x 2
a -x
2
= 2p a 2 x - 3 x3
)
-a
(
-a
 i =1p ( n
2
1
)
2
a 0
2
) Dx 2
a
(
)
dx = 2p Ú a 2 - x 2 dx 0
= 2p ◊ 3 a3 = 3 p a3 . 2
4
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y 4
y=4
(2,4) Dy
y
D y = x2 0
2
x
y (-2,4)
4
(2,4)
0
2
Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya terhadap sumbu y, diperoleh D = {(x,y) | 0 £ y £ 4, 0 £ x £ y }. Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,2], batas kirinya x = 0 dan batas kanannya x = y . Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D diputar terhadap sumbu y adalah
 i =1p ( || P|| Æ 0
y = x2 -2
Notasi D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} berarti bahwa proyeksi D pada sumbu x adalah selang [0,2], batas bawahnya y = x2 dan batas atasnya y = 4.
V = lim x
=p
( )
1 2 4 y 2 0
n
)
2
4
y Dy = p Ú y dy
= p (8 - 0) = 8p .
0
APL INT
007
y
y Dx
f Dx
D
f
a
x
b
x
0
Dx
g g (x) x
g 0
cincin lingkaran, tinggi Dx, jari-jari f (x) dan g(x).
a
f (x) -g (x)
f (x) x
b
sb putar
D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.
Dx
volum cakram DVi = p ( f 2 (x) -g 2 (x)) Dx
Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah V = lim
|| P|| Æ 0
 i =1p ( f 2(x)- g 2(x)) Dx = p Ú ( f 2(x)- g 2(x)) dx . b
n
a
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £ 2 x } diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y
Dx
4
(4,4)
y =2 x
D
0
1 x y
y=x
4
4
x (4,4)
Daerah D dibatasi oleh kurva y = 2 x , garis x = 1, dan garis y = x. Kurva y = 2 x dan garis y = x berpotongan di titik (0,0) dan (4,4). Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D diputar terhadap sumbu y adalah
 i =1p ((2 || P|| Æ 0
V = lim 01
4
x
(-4,4)
=pÚ
n
4
4
x )2 - x 2) dx = p Ú (4 x - x 2) dx
((2 1
(
x )2 - x 2) Dx
= p 2 x 2 - 3 x3 1
)
4
1
(
= p 32 -
1
64 3
)
- 2 + 3 = 9p . 1
APL INT
008
Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran ( x - 2) 2 + y 2 £ 1 diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y y 1 Dy
y D
0
2
1 x = 2 - 1- y 2
3
-1
-3
x
0
1
x
3
x = 2 + 1- y 2
Bentuk Donat
Cakram lingkaran ( x - 2)2 + y 2 £ 1 berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran ( x - 2)2 + y 2 = 1. Batas sebelah kirinya ada-
lah fungsi x = 2 - 1 - y 2 dan sebelah kanannya adalah x = 2 + 1 - y 2 . Volum benda putar yang terjadi adalah
(
) (
2 Ê 2 V = lim  i =1p Á 2 + 1 - y - 2 - 1 - y 2 || P|| Æ 0 Ë n
(
) (
2 Ê 2 = p Ú Á 2 + 1 - y - 2 - 1 - y2 Ë -1 1
= 16p Ú
1
0
)
) ˜¯ Dy 2ˆ
2ˆ
1
2 ˜¯ dy = p Ú-18 1 - y dy
1 - y 2 dy = 16p ◊ 4 p = 4p 2 .
Untuk menghitung
1
1
Ú0
1 - y 2 dy , buatlah penggantian y = sin t ,0 £ t £ 2 p . 1
Akibatnya dy = cos t dt dan 1 - y 2 = 1 - sin 2t = cos 2t = cos t . Batas integralnya berubah, y = 1 ¤ t = 2 p dan y = 0 ¤ t = 0 . Dari sini diperoleh 1
1
Ú0
1 - y 2 dy = Ú =
(
p /2
0 1 t 2
cos t ◊ cos t dt = Ú 1
- 4 sin 2t
)
0
p /2 0
(
p /2 1
)
1
- 2 cos 2t dt 2
= 2 ◊ 2p - 4 ◊0 = 4p. 1 1
1
1
APL INT
009
y
y
f
Dx
a
0
y
x
kulit
b
-b
x
b
tabung
-x
x
sumbu putar
x
x
Metode kulit tabung: DV = 2p x f (x) Dx
sumbu putar
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, 0 £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah V = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 2p x f (x) Dx = 2p Ú x f (x) dx . b
n
a
Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang dibatasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah
V = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 2p x ( f (x) - g (x)) Dx = 2p Ú x ( f (x) - g (x)) dx b
n
a
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 1 £ x £ 4, x £ y £ 2 x } diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y
Volum benda putar yang terjadi adalah
Dx
4
(4,4)
V = lim
y =2 x
D
0
1 x
|| P|| Æ 0
y=x
4
x
= 2p
(
4 5
(
)
(
)
 i =1 2p x 2 x - x Dx = 2p Ú 2 x x - x 2 dx n
1
x 2 x - 3 x3
) = 2p (25 4
1
4
1
3 5
)
- 21 3 - 5 + 3 = 7 5p . 1
4
1
3
APL INT
010
Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4} diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung. y
y 4
y=4
D
4
(-2,4)
(2,4)
Volum benda putar yang terjadi adalah (2,4)
y = x2
y = x2
2 2 p x ( 4 x ) Dx  i =1 || P|| Æ 0 n
V = lim
2
(
= 2p Ú (4 x - x ) dx = 2p 2x 3
0
x 2
0
-2
x
0
2
x
2
)
1 4 2 - 4x 0
= 2p (8 - 4) = 8p .
Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran ( x - 2) 2 + y 2 £ 1 diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y
y Dx
1 y = 1- ( x-2) 2
D
1 x
0
3
2
-3
x
-1
0
1
3
x
y =- 1- ( x-2) 2
Cakram lingkaran ( x - 2)2 + y 2 £ 1 berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, dan batasnya adalah lingkaran ( x - 2) 2 + y 2 = 1 . Batas sebelah atasnya adalah fungsi y = 1 - ( x - 2)2 dan sebelah bawahnya adalah y = - 1 - ( x - 2) 2 . Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah
 i =1 2p x ( || P|| Æ 0
V = lim
n
(u + 2) -1
= 4p Ú
1
)
3
1 - ( x -2) 2 + 1 - ( x -2)2 Dx = 4p Ú x 1 - ( x - 2)2 dx 1
1- u 2 du ; u = x - 2, du = dx, x = u + 2, 1£ x £ 3 ¤ -1£ u £1
1
1
-1
-1
= 4p Ú u 1- u 2 du + 8p Ú
1- u 2 du = 0 +16p Ú
1
0
1- u 2 du =16p ◊ 4p = 4p 2. 1
berdasarkan sifat integral tentu fungsi ganjil dan hasil sebelumnya.
APL INT
011
Metode Cakram
Metode Cincin
y
y f
irisan sejajar ^ sb-x
f 0
a
irisan sejajar ^ sb-x
g x
b
0
x
a
x
b
x
-g
-f
-f
bidang yang ^ sb-x
bidang yang ^ sb-x
Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang tegak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x Π[a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu DL = L(x) = p f 2(x) . Pada metode cincin, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang tegak lurus sumbu x selalu berbentuk cincin lingkaran. Untuk x Π[a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu DL = L(x) = p ( f 2 (x) - g 2 (x)) . Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah V = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 L(x) Dx = Ú L(x) dx , b
n
a
dengan penampangnya L(x) = p f 2(x) atau L(x) = p ( f 2 (x) - g 2 (x)) . Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini untuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x. Luas irisan sejajar adalah L(x) bidang ^ sb-x L(x) sb-x
a x=a
x b x=b
Metode irisan sejajar Suatu benda padat terletak antara dua bidang yang tegak lurus sumbu-x dari a ke b. Jika luas irisan sejajar benda dengan bidang tegak lurus sumbu x adalah L(x) dan L kontinu pada [a,b], maka volume benda padat tersebut adalah
 i =1 L(x) Dx = Úa L(x) dx . || P|| Æ 0
V = lim
n
b
APL INT
012
Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a > 0. Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut. benda padat C
y
D
x = -a B(x,y)
x = 0 A(x,-y)
x=a
x
y a B(x,y) y= a - x 2
-a
0
a
x
x
sisi persegi adalah AB = 2y = 2 a 2 - x 2 , sehingga luas ABCD adalah L(x) = 4(a 2 - x 2) . Karena L kontinu pada [-a,a], maka volum benda padatnya adalah 4(a 2 - x 2) Dx = Ú 4(a 2 - x 2) dx  1 = i -a || P|| Æ 0 a
n
V = lim
(
a
= 8 Ú (a 2 - x 2) dx = 8 a 2 x - 3 x3
A(x,-y)
-a
2
Persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = a 2. Irisan benda padat dengan bidang yang tegak lurus sumbu x pada selang [-a,a] berbentuk persegi ABCD. Jika A(x,-y) dan B(x,y), maka
(
0
1
)
1
)
a -a
1
= 8 a 3 - 3 a3 = 5 3 a3.
Contoh Alas suatu benda padat adalah D = {(x, y) |0 £ y £1,0 £ x £ 2 1 - y } . Jika irisan sejajar dengan bidang yang tegak lurus sumbu y selalu berbentuk cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut. y x = 2 1- y
1 y
diameter lingkaran 2 x
0
y benda padat 1
Irisan sejajar yang berbentuk cakram setengah lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter 2 1 - y , sehingga jari-jarinya 1 - y . Luas cakramnya adalah L( y) = 2 p 1
(
)
2
1 - y = 2p (1 - y ) . 1
Karena L kontinu pada [0,1], maka volum benda padatnya adalah
 i =1 2p (1- y) Dy = 2p Ú0 (1- y) dy || P|| Æ 0
V = lim 0
cakram 2 setengah lingkaran
x
(
n
1
= 2p y - 2 y 2 1
1
1
1
)
1 0
( )
= 2p 1 - 2 = 4p . 1
1
1
APL INT
013
Pusat Massa Batang Dxi m2 x2
m3 x3
O
m1 x1
mi xi
mn xn
O x0
L xi-1 ci xi
xn
x
Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º, mn yang terletak di titik x1, x2, º , xn. Massa, momen terhadap titik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut. h Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn h Momen terhadap O adalah M0 = m1x1 + m2x2 + º + mnxn M
h Titik pusat massa adalah x = M0 . Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara x = 0 dan x = L. Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah r (x), dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang. Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i dan panjangnya Dxi. Jika ci adalah titik tengah [xi-1,xi] dan rapat massanya pada selang bagian ini konstan sebesar r (ci), maka massanya Dmi = r (ci) Dxi dan pusat massanya di ci. Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel dengan massa Dm1, Dm2, º , Dmn di c1, c2, º , cn yang massa, momen terhadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas. Untuk batang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa r (x), r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.
h Massa batang adalah M = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 r (ci ) Dxi = Ú r (x) dx . L
n
0
 i =1ci r (ci ) Dxi = Ú0 x r (x) dx . || P|| Æ 0
h Momen terhadap O adalah M 0 = lim
M
h Titik pusat massa batang adalah x = M0 .
n
L
APL INT
014
Contoh Tentukan pusat massa batang tak homogen yang panjangnya 4 satuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah r (x) = 6x + 4. Massa batang adalah
2 6 c + 4 D x = 6 x + 4 dx = 3 x + 4 x ) = 48 + 16 = 64 . ( ) ( ) ( Â i i Ú i =1 0 0 || P|| Æ 0 4
4
n
M = lim
Momen terhadap O adalah
ci (6ci + 4) Dxi = Ú x (6 x + 4) dx = Ú (6 x 2 + 4 x ) dx  1 = i 0 0 || P|| Æ 0
M 0 = lim
4
n
(
= 2 x3 + 2 x 2
)
4
4
= 128 + 32 = 160.
0
M
160
1
Titik pusat massa batang adalah x = M0 = 64 = 2 2 . 1
Jadi titik pusat massa batang terletak 2 2 satuan dari ujung kiri batang. Pusat Massa Keping Datar y m2 (x2,y2)
y1
m3 (x3,y3)
x1
0
m4 (x4,y4)
m1 (x1,y1)
mi (xi,yi)
mn (xn,yn)
x
Sistem partikel pada suatu bidang terdiri dari n partikel dengan massa m1, m2, º , mn yang terletak di titik (x1,y1), (x2,y2) , º , (xn,yn). Massa, momen terhadap titik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut. h Massa adalah M = m1 + m2 + º + mn h Momen terhadap sumbu x adalah Mx = m1 y1 + m2 y2 + º + mn yn
h Momen terhadap sumbu y adalah My = m1 x1 + m2 x2 + º + mn xn. h Pusat massa sistem adalah ( x , y ) , dengan x = M dan y = Mx . My
M
Gagasan ini akan digunakan untuk menentukan pusat massa suatu keping datar homogen dengan rapat massa konstan r (x) = k yang berbentuk daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x), f dan g kontinu pada [a,b]}.
APL INT
015 y
Keping datar homogen D berbentuk daerah D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} dengan f, g kontinu pada [a,b], dan rapat massa di setiap (x,y) Œ D adalah r (x) = k. Akan ditentukan pusat massa keping D.
f D g 0 a
b x
Buatlah partisi untuk [a,b] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i, yang menghasilkan n persegi panjang dengan alas Dxi = xi - xi-1 dan tinggi f (ci) - g(ci), ci titik tengah selang [xi-1,xi].
y f Pi
g 0 a
xi-1 xi ci
Hampiran massa keping adalah massa persegi panjang ke-i, yaitu Dmi = k ( f (ci) - g(ci)), i = 1, 2, º, n.
b x
Karena rapat massanya konstan dan ci titik tengah [xi-1,xi], maka pusat
(
)
massa persegi panjang ke-i terletak di titik Pi = ci , 2 ( f (ci ) + g (ci )) , i = 1
1, 2, º, n. Jadi diperoleh sistem partikel pada bidang dengan n partikel yang massanya Dm1, Dm2, º , Dmn dan terletak di titik P1, P2, º , Pn. Untuk keping datar homogen D = {(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} dengan rapat massa r (x) = k pusat massanya ditentukan sebagai berikut. h Massa keping: M = lim
 i =1 k ( f (ci ) - g (ci )) Dxi = kÚ n
|| P|| Æ 0
b
a
( f (x) - g ( x)) dx
h Momen terhadap sumbu x:
 i =1(k ( f (ci ) - g (ci )) Dxi ) ( 2 ( f (ci ) - g (ci ))) || P|| Æ 0 n
M x = lim
1 k || P|| Æ 0 2
= lim
1
 (f n
i =1
2
h Momen terhadap sumbu y: M y = lim
|| P|| Æ 0
 i =1( n
)
(ci ) - g 2 (ci ) Dxi = 2 k Ú 1
b
a
)
(f
2
)
(x) - g 2(x) dx.
k ( f (ci ) - g (ci )) Dxi (ci ) = k Ú x ( f (x) - g ( x) ) dx . b
a
h Pusat massa keping D adalah ( x , y ) , dengan x = M dan y = Mx . Untuk k = 1, pusat massa ∫ pusat daerah (centroid) D, dengan M = luas D. My
M
APL INT
016
Contoh Tentukan pusat daerah D = {(x,y) | 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4}. y y=4
4 3 p.m 2 D 1 0
Luas daerah D adalah M=
y = x2 1 2
(4+c )
2
) dx = (4 x - )
1 3 2 x 3 0
Mx =
x
1 2 2 0
Ú
(16 - x ) dx = (16 x - )
Ú ( 2
0
)
2
1 5 2 x 5 0
1 2
4
Momen daerah D terhadap sumbu x adalah My =
2
1
= 8- 23 = 53.
Momen daerah D terhadap sumbu x adalah
2 i
1 ci 2
Ú0 (4 - x 2
(
)
(
x 4 - x 2 dx = Ú 4 x - x3 dx = 2 x 2 - 4 x 4 0
Pusat daerah D adalah ( x , y ) , x =
My M
=
4 5 13
1
=
Jadi pusat daerah D adalah
(
3 4
)
1
2 0
dan y =
3 2 , 2 4 5
).
4
= 16 - 3 5 = 12 5 .
= 8 - 4 = 4. Mx M
=
12 54 5
1 3
2
= 25.
Teorema Pappus (Kaitan volum benda putar dan pusat daerah) sumbu putar garis g g pm
d D
y
Ilustrasi (Solusi soal sebelumnya dengan teorema Pappus)
y=4 4 y = x2 3 p.m 2 1 4 + ci2 D 2 1
(
0
Jika daerah D yang terletak pada salah satu sisi dari garis g diputar terhadap garis g, maka volum benda putarnya adalah luas D dikalikan jarak tempuh pusat daerahnya. V = 2p d A , d = jarak (pm,g) dan A = luas D.
1 ci 2
1
Daerah D di atas luasnya M = 5 3 dan pusatnya
)
x
y
-2 -1 0
D 1 2 pm 3 x
(
3 2 ,2 4 5
).
Jika D diputar terhadap sumbu y, maka jarak tempuh pu3 3 satnya adalah p = 2p ◊ 4 = 4p . Jadi volum benda putarnya adalah V = Mp = 5 3 ◊ 2 p = 8p . 1 3
Daerah D = {(x,y) | ( x - 2)2 + y 2 £ 1 } diputar terhadap sumbu y, luasnya M = p, dan pusatnya (2,0). Jarak tempuh pusatnya adalah p = 2p ◊ 2 = 4p. Jadi volum benda putarnya adalah V = Mp = p ◊ 4p = 4p 2.
APL INT
017
Suatu objek bergerak sejauh D sepanjang sebuah garis dipengaruhi gaya tetap F yang searah geraknya. Kerja dari F untuk memindahkan objek itu sejauh D adalah gaya dikalikan perpindahannya, yaitu W = F ◊ D. Suatu objek bergerak sepanjang sumbu x dari a ke b dipengaruhi gaya tidak tetap sebesar F(x) di titik x, F kontinu pada [a,b]. Akan ditentukan kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b. Buatlah partisi untuk [a,b], maka dengan asumsi sepanjang [xi-1,xi] bekerja gaya tetap sebesar F(ci), besarnya kerja untuk memindahkan objek dari x ke x + Dxi adalah DWi = F(ci) Dxi. Dengan menggunakan hampiran dan limit jumlah, besarnya kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b adalah W = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 F(ci ) Dxi = Ú F(x) dx . b
n
a
Contoh Panjang asal sebuah pegas adalah 40 cm dan untuk meregangnya sehingga menjadi 50 cm diperlukan gaya sebesar 2 kg. Tentukan kerja untuk meregang pegas itu dari 40 cm menjadi 60 cm. panjang pegas asal
panjang setelah diregang x
0 1 2 3
4 x (dm)
0
1x 2 3
4 x (dm)
Tempatkan pegas secara horisontal dengan titik ujung pegas di 0. Berdasarkan hukum Hooke, besarnya gaya untuk meregang pegas sebanding dengan regangannya. Jika gaya untuk meregang pegas sejauh x m adalah F(x) kg, maka F(x) = kx. Karena untuk meregang pegas 0,1 m diperlukan gaya sebesar 2 kg, maka F(0,1) = 0,1k = 2, sehingga k = 20. Akibatnya F(x) = 20x kg. Kerja untuk meregang pegas sejauh 0,2 m (dari 40 cm menjadi 60 cm) adalah W = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 20ci Dxi = Ú n
0,2
0
(
20 x dx = 10 x 2
)
0,2 0
= 0,4 kgm.
APL INT
018 y
Sebuah tangki tingginya h meter berisi zat cair yang berat jenisnya tetap sebesar w kg/m3 sampai pada ketinggian b m dari alasnya. Akan ditentukan kerja untuk memompa zat cair dari y = a sampai y = b. Untuk mengangkat suatu benda harus melawan gaya gravitasi, sehingga kerja yang diperlukan adalah hasilkali berat benda dengan jarak terangkatnya.
h h-dj
b dj
yj yj-1
a 0
x
Buatlah partisi untuk [a,b] dan asumsikan pada ketinggian dj Π[yj-1,yj] berat zat cairnya wA(dj) Dyj dengan A(dj) luas bidang irisan sejajarnya, A kontinu pada [a,b]. Kerja untuk memompa zat cair pada selang [yj-1,yj] sejauh h - dj adalah DWj = (h - dj) wA(dj) Dyj = w (h - dj) A(dj) Dyj. Kerja untuk memompa zat cair keluar tangki dari a sampai b adalah W = lim
|| P|| Æ 0
 i =1 w(h - d j ) A(d j ) Dy j = wÚ (h - y) A(y) dy b
n
a
Contoh Sebuah tangki setengah bola berjari-jari 10 m berisi zat cair yang beratnya w kg/m3 sampai pada ketinggian 8 m. Tentukan kerja untuk memompa zat cair keluar tangki sehingga ketinggiannya menjadi 6 meter. y 10
Pada ketinggian dj luas bidang irisan sejajarnya adalah cakram lingkaran berjari-jari r > 0,
10
dengan r = 100 - (10 - d j ) 2 = 20d j - d 2j . 8
6
0
x y
10-dj
Berat zat cair pada [yj-1,yj] adalah B = wp r2Dyj = wp (20d j - d 2j ) Dyj, dengan jarak terangkat (10 - dj). Kerja untuk mengangkatnya adalah
10 8 6 dj
(
r
0
)
DWj = wp (20d j - d 2j ) Dy j (10 - d j )
10
x
Jadi kerja untuk memompa zat cair keluar dari tangki sehingga ketinggiannya 6 meter adalah
8
8
W = wp Ú (20 y - y 2 )(10 - y ) dy = wp Ú (200 y - 30 y 2 + y 3) dy 6
(
= wp 100y 2 -10y 3 + 4 y 4 1
)
6
8 6
= wp (2304 - 1764) = 540wp kgm.
