Koordinátageometria összefoglalás Vektorok Két pont távolsága
A helyvektor hossza
r
x2 y2
dAB
x 2 x1
2
y2 y1
2
A két pontot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit.
Vektor elforgatása 90°-kal Egy vektort úgy forgatunk el 90°-kal, hogy a koordinátáit felcseréljük, és valamelyiket szorozzuk mínusz eggyel. Vektorműveletek koordinátákkal
Két vektor összegét megkapjuk, ha megfelelő koordinátákat összeadjuk. a b x1 x2 ; y1 y2 A vektorok kivonását úgy végezzük el, hogy a kisebbítendő vektor végpontjából kivonjuk a kivonandó koordinátáit. A különbségvektort helyvektorként kapjuk meg! a b x1 x2 ; y1 y2 Vektort úgy szorzunk számmal, hogy a koordinátákat szorozzuk. R a x1; y1
A felezőpont koordinátái A szakasz felezőpontjának a koordinátáit megkapjuk, ha képezzük a végpontok megfelelő
x1 x 2 y1 y2 ; 2 2
koordinátáinak a számtani közepét. FAB A harmadoló pontok koordinátái A (x1;y1)
A (x1;y1)
2x 1x 2 2y1 1y2 H1 1 ; 3 3
1
2
2
1x 2x 2 1y1 2y2 H2 1 ; 3 3
B(x2;y2)
1
B(x2;y2)
A háromszög súlypontjának koordinátái A háromszög súlypontjának a koordinátáit megkapjuk, ha kiszámoljuk a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepét.
S s1;s2 s1
a1 b1 c1 ; 3
s2
a 2 b2 c 2 3
Gyakorló feladatok:
1. Egy szabályos hatszög C csúcsából a szomszédos két csúcsba az a, illetve b vektor mutat. Fejezze ki ezek segítségével a többi hatszögcsúcsba mutató vektort! 2. Egy szabályos hatszög két szomszédos csúcsába a hatszög középpontjából az a, illetve a b vektor mutat. Állítsa elő ezek segítségével a középpontból a hatszög többi csúcsába mutató vektort! 3. Egy A pont helyvektora a, a B ponté b. Fejezze ki ezek segítségével a.) az AB szakasz felezőpontjának; b.) az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképének; c.) a B pontnak az A pontra vonatkozó tükörképének a helyvektorát! 4. Egy szabályos háromszög egyik csúcsából a másik két csúcshoz mutató vektorok a és b. ab ab Szerkessze meg az vektorokat, és bizonyítsa be, hogy ezek merőlegesek ; 2 2 egymásra! 5. Mutassa meg, hogy a háromszög súlypontjából a csúcsokhoz vezető vektorok összege a zérusvektor! 6. Egy kocka A csúcsából kiinduló élvektorok: a, b, c. Fejezze ki ezek segítségével a kocka testátló vektorait! 7. Egy kocka A csúcsából kiinduló élvektorok: a, b, c. Fejezze ki ezek segítségével az A-ból a kocka középpontjába vezető vektort! Egyenesek Egyenesekkel kapcsolatos alapfogalmak
Az egyenes irányszöge forgásirányba bezárt szöge Jele: α
az
x
tengelyjel
pozitív
P0(x0;y0)-lal jelöljük az egyenes egy ismert pontját (másképpen fix pont). Futópont: az egyenes bármely pontja lehet. Jele: P( x; y) (Azért hívjuk futópontnak, mert ha x végigfut a valós számokon, akkor a P pont végigfut az egyenesen) Az egyenes irányvektorának nevezünk vektort, amelyik párhuzamos vele. Jele: v = (v1; v2)
minden
olyan
Az egyenes normálvektorának nevezünk minden olyan vektort, amelyik merőleges az egyenesre. Jele: n = (n1; n2) m = tg α az egyenes meredeksége
90 v v1;v2 v2 ;v1 n n n 1 2
m tg
v2 v1
tg
n1 n2
Az irányvektoros egyenes egyenlet: v2 x v1y v2 x0 v1y0 A normálvektoros egyenes egyenlet: n1x n2 y n1x0 n2 y0 Az iránytényezős egyenes egyenletek: y yo m x xo
y mx b
Az egyenesek egymáshoz viszonyított helyzete Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha meredekségük ugyanakkora. Két egyenes akkor és csak akkor merőleges, ha meredekségük szorzata mínusz egy. Két egyenes akkor esik egybe, ha ugyanakkora a meredekségük, és ugyanaz az y tengely metszetük. Gyakorló feladatok: 1. Egy egyenes irányvektora v (3;–2). Az egyenes egy pontja (1; 4). Add meg az egyenletét! Ábrázold az egyenest koordináta rendszerben. Add meg az egyenes meredekségét és irányszögét! Add meg az egyenes 13 abszcisszájú pontját! 2. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy A(–3;1) és a B(6;4) pontokon! 3. Adott három pont: P( –2;3) Q(5;4) R(19; 5). Egy egyenesbe esnek-e? Állítását számítással igazolja! 4. Egy egyenes normálvektora n (4;1). Az egyenes egy pontja (3; 2). Add meg az egyenletét! Ábrázold az egyenest koordináta rendszerben. Add meg az egyenes meredekségét és irányszögét! Add meg az egyenes 7 ordinátájú pontját! 5. Adott három pont: P(5;–2) Q(2,3) R(3;4). Adja meg a PQ ponton átmenő e egyenes egyenletét, az R ponton átmenő PQ-val párhuzamos f egyenes egyenletét! Írja fel h egyenes egyenletét, ha átmegy R-en és merőleges e-re! 6. A háromszög csúcspontjai: A 2; 3 B 5;2 C 1;8 Adja meg az sa és az mc egyenes egyenletét! Adja meg az AB-vel párhuzamos középvonal egyenesének egyenletét! 7. Adott egy pont Q(5;7) és egy egyenes 3x–5y = 8. Adja meg a Q ponton átmenő és az adott egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét! 8. Egy háromszög csúcspontjai: A(2;1) B(8;3) C(4;7). Számítsd ki az egyenes a.) A csúcson átmenő magasságvonalának egyenletét, b.) C csúcson átmenő súlyvonalának egyenletét, c.) AB oldallal párhuzamos középvonal egyenesének egyenletét, d.) AB oldallal oldal felezőmerőleges egyenesének egyenletét! 9. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(–2;–1), B(4;–3) és C(4; 5). Számítsa ki a B csúcsból induló magasságvonal és az AC oldal metszéspontjának koordinátáit!
10. Írja fel annak az egyenesnek annak az egyenletét, amely átmegy a P 4;1 ponton és párhuzamos a
2x 3y 4 egyenletű egyenessel! 11. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az origón és merőleges a 3x y
1 0 2
egyenletű egyenesre! 12. Számítsa ki az y 2x 3 és a 4x y 9 0 egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 13. Számítsa ki a P 1;3 pont és a 4x 3y 12 egyenletű egyenes távolságát! 21. Írja fel a P 2;5 és Q 6;7 pontok által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
14. Mi annak az egyenesnek az egyenlete, amely átmegy a 3;7 ponton, és egyenlő távolságra van a
4; 2 és a 2;4
pontoktól?
4 2
15. Egy háromszög két csúcspontjának koordinátái: A 5; 2 és B 3;1 . Súlypontja, S ; 2 . Írja fel a C csúcs koordinátáit! 16. Az a és b mely értékeire lesz a 2 x ay 1 0 és a 4 x y b 0 egyenletű egyenes – egymással párhuzamos; – egymásra merőleges; – azonos?
A kör A köregyenlet:
x u
2
y v r2 2
C(u;v)
Két alakzat metszéspontját megkapjuk, ha megoldjuk az egyenletükből álló egyenletrendszert. 1. Adja meg a kör egyenletét, ha a középpontja C, és a sugara r! a) C( 3; 5) r=4 b) C( –3; 5) r = 6 2. Adott a kör átmérőjének két végpontja: A(–1;2), B(3; 8). Határozza meg a kör egyenletét! 3. Adja meg a kör középpontját, és sugarát, ha az egyenlete x2 + y2– 6x + 10y –10 = 0! 4. Köregyenletet alkotnak-e a következő egyenletek? Ha igen, akkor adja meg a kör középpontját és a sugarát! a) –x2 + –y2– 6x + 10y +40 = 0 b) x2 + y2– 6x + 10y +40 = 0 c) 2 x2 + y2– 8x + 10y –10 = 0 d) –x2 + y2+ 8x + 10y –10 = 0 e) x2 + y2– 6x + 10y +xy– 40 = 0 5. Egy kör egyenlete (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25. a) Adja meg a kör 2 abcisszájú, ill. a 6 ordinátájú pontjainak a koordinátáit! / (2;6), (2;–2), ill.(–5;6), (3;6) / b) Adja meg a kör legnagyobb, illetve legkisebb ordinátájú pontjait! / (–1;7), (–1;–3) / c) Adja meg a kör legnagyobb, illetve legkisebb abcisszájú pontjait! /(4;2), (–6;2) / d) Adja meg azt az intervallumot, amit a kör pontjainak az első koordinátái alkotnak! /x[–6;4] / e) Adja meg azt az intervallumot, amit a kör pontjainak a második koordinátái alkotnak! /y [–3;7] f) Adja meg a b) és az c) részben kapott pontokba húzható érintők egyenletét! g) Adja meg a kör 3 abszcisszájú pontjaiba húzható érintőinek az egyenletét!
6. Számítsa ki az (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16 metszéspontjainak koordinátáit!
egyenletű kör és az y = x – 7 egyenletű egyenes
A parabola Az origó tengelypontú az y szimmetriatengelyű parabolák egyenlete a.) A parabola felfelé nyílik. Az origó tengelypontú az y szimmetriatengelyű parabola egyenlete: y A fókuszpont koordinátái: F(0; p/2) A vezéregyenes egyenlete: y
p 2
b.) A parabola lefelé nyílik. Az origó tengelypontú az y szimmetriatengelyű parabola egyenlete:
y
1 2 x 2p
A fókuszpont koordinátái: F(0; – p/2) A vezéregyenes egyenlete: y
p 2
1 2 x 2p
