MATA P12
Užití derivací Funkce rostoucí a klesající:
Definice rostoucí a klesající funkce Funkce f je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí:
∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 〈 x2 ⇒ f ( x1 ) 〈 f ( x2 ) Funkce f je klesající v intervalu (a, b), právě když platí:
∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 〈 x2 ⇒ f ( x1 )〉 f ( x2 )
Význam první derivace pro průběh funkce: Nechť funkce f je spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě intervalu existuje derivace. Pak platí: 1) ∀x ∈ I : f ′ ( x )〉 0 ⇒ f je rostoucí v I 2) ∀x ∈ I : f ′ ( x ) 〈 0 ⇒ f je klesající v I.
Lokální extrémy funkcí:
Definice lokálních extrémů: Nechť f je funkce definovaná v intervalu (a, b): Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 ∈ (a, b ) lokální maximum, existuje-li δ 〉 0 tak, že platí: ∀x ∈ ( x 0 − δ ,x 0 +δ ) : f ( x ) ≤ f ( x 0 ) . Říkáme, že funkce f má v bodě x 0 ∈ (a, b ) lokální minimum, existuje-li δ 〉 0 tak, že platí: ∀x ∈ ( x 0 − δ ,x 0 +δ ) : f ( x ) ≥ f ( x0 ) .
Nutná podmínka pro existenci lokálního extrému: Nechť f je funkce definovaná v intervalu (a, b) a nechť existuje derivace f ′( x 0 ) v bodě x 0 ∈ (a, b ) : Potom platí: f má v bodě x 0 lokální extrém
⇒
f ′( x 0 ) = 0 .
Důležité poznámky: • Má-li funkce v bodě x 0 derivaci f ′( x 0 ) různou od nuly, nemá v tomto bodě lokální extrém (obměna implikace). • Funkce může mít lokální extrémy pouze v bodech, kde je první derivace nulová nebo neexistuje. Tyto body nazýváme „body podezřelé z lokálního extrému“ – stacionární body. • Obrácená věta neplatí. Nulovost první derivace nebo neexistence první derivace ve vnitřním bodě definičního oboru funkce nezaručuje existenci lokálního extrému.
Postačující podmínka pro lokální extrém: Nechť f ′( x ) existuje v jistém okolí bodu x 0 . Potom platí: f ′( x 0 ) = 0 ∧ f ′′( x 0 )〈0 ⇒ funkce f má v bodě x 0 lokální maximum f ′( x0 ) = 0 ∧ f ′′( x 0 )〉 0 ⇒ funkce f má v bodě x 0 lokální minimum
Funkce konvexní a konkávní:
Význam druhé derivace pro průběh funkce: Nechť f je funkce spojitá v intervalu I a nechť existuje f ′′( x ) v každém vnitřním bodě intervalu I. Potom platí:
f ′′( x ) > 0 v každém vnitřním bodě I ⇒ f je konvexní v I f ′′( x ) < 0 v každém vnitřním bodě I ⇒ f je konkávní v I
Průběh funkce: Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
určíme definiční obor funkce, vyšetříme, zda funkce je sudá, resp. lichá, vyšetříme limity v krajních bodech intervalů definičního oboru, stanovíme nulové body funkce (průsečíky jejího grafu s osou x, určíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí, případně klesající, určíme body, v nichž nastávají lokální extrémy a určíme jejich povahu, 7. určíme intervaly, v nichž je funkce konvexní, případně konkávní, 8. nakreslíme graf funkce.
Příklady: 1. Určete intervaly, kde je funkce rostoucí a klesající a lokální extrémy: 2 a) f : y = 3 x − 2 x + 1 ,
2 b) f : y = −2 x + x − 3 .
2. Určete intervaly, kdy je funkce rostoucí a klesající, vyšetřete lokální extrémy a určete, kdy je funkce konvexní a konkávní: 3 2 3 2 a) f : y = 2 x + 3 x − 36 x + 6 , b) f : y = x − x − x + 1 ,
d) f : y = (2 − x )( x + 1) ,
4 3 c) f : y = x − 4 x ,
2
e) f : y = ( x + 1)( x − 2 ) , 2
3 2 f) f : y = x + 6 x + 9 x .
3. Vyšetřete průběh funkce: a) f : y = x +
1 , x
b) f : y =
2x . x2 +1
4.Číslo 100 rozdělte na dva sčítance tak, že a) jejich součin je největší, b) součin jejich druhých mocnin je nejmenší. 3
5. Nádrž na vodu má mít čtvercové dno, objem 256 m a tvar kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tak, aby spotřeba materiálu na vyzdění stěn a dna byla co nejmenší. 2 6. Na válcovou konzervu se smí spotřebovat 5 dm plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší rozměr?
7. Šedesát metrů dlouhým pletivem se má ohradit obdélníkový záhon, jednou stranou přiléhající ke stěně domu. Jaké má mít rozměry, aby měl co největší obsah.
L´Hospitalovo pravidlo L´Hospitalovo pravidlo slouží pro výpočet limit typu xlim → x0
f ( x)
g ( x)
.
Nechť platí: lim f ( x ) = 0 a lim g ( x ) = 0 (neurčitý limitní typ „ “) x→x x→ x 0 0
0
0
nebo lim f ( x ) = +∞ a lim g ( x ) = +∞ (neurčitý limitní typ „ x→ x x→ x 0
0
f ′( x )
f (x)
Nechť existuje xlim . Potom existuje xlim a platí: → x g ′( x ) → x g( x ) 0
0
lim
x → x0
f (x) f ′( x ) = lim . g ( x ) x → x0 g ′( x )
∞ “). ∞
Poznámky: 1) Hlavní význam l´Hospitalova pravidla spočívá v tom, že výpočet lim
limity
x → x0
f ′( x ) f (x) lim může být jednodušší než výpočet limity . x → x0 g ( x ) g ′( x )
2) V zápisech limit může x 0 znamenat reálné číslo i symbol
±∞.
Příklady: 8. Pomocí l´Hospitalova pravidla vypočtěte limity: a) lim x →0
ln x arcsin x cos 2 x e x −1 lim lim , b) lim , c) , d) . π x → +∞ x 3 π x →0 sin x sin x x→ 2 x − 2
9. Pomocí l´Hospitalova pravidla vypočtěte limity: x3 − 2x 2 − x + 2 a) lim , x →1 x3 − 7x + 6
c) xlim → −2
x3 − 2x2 + 2x −1 b) lim , x →1 x 2 −1
x+6 −2 2− x −3 6+ x − 2− x lim , b) lim , c) . 2 2 x →7 x → −2 x+2 x −4 x − 49
