oki neswan (fmipa-itb) Deret Taylor Sebelumnya kita telah melihat bagaimana sebuah deret pangkat membangkitkan sebuah fungsi dengan domain merupakan interval kekonvergenan deret pangat tersebut. Sekarang kita melakukan hal sebaliknya. Jika f (x) fungsi, maka ada dua pertanyaan yang ingin dijawab: 1. apakah ada deret pangkat yang membangkitkan f (x)? 2. jika ada, (a) apakah ada cara menentukan deret pangkat tersebut? (b) apakah deret pangkat konvergen pada seluruh domain f ? Deret pangkat tersebut disebut representasi dari f (x) dalam bentuk deret pangkat. Salah satu tujuan representasi sebuah fungsi dalam bentuk deret pangkat adalah untuk menghampiri fungsi dengan polinom, tidak hanya menghampiri, kita juga ingin tahu akurasi hampiran tersebut. Turunan ke n fungsi f ditulis sebagai f (n) (x) : Misalkan f (x) mempunyai representasi deret pangkat, f (x) =
1 X
cn (x
n
a) = c0 + c1 (x
2
a) + c2 (x
3
a) + c3 (x
a) +
n=0
dengan radius kekonvergenan positif. Maka, dengan menggunakan teorema turunan deret pangkat, f 0 (x) = c1 + 2c2 (x
2
a) + 3c3 (x
a) +
2
f 00 (x) = 2!c2 + 3!c3 (x
a) + 3 4c4 (x
f 000 (x) = 3!c3 + 4!c4 (x .. .
a) + 3 4 5c5 (x
f (n) (x) = n!cn + (n + 1)!cn+1 (x
3
a) + 4c4 (x
3
a) + 4 5!c5 (x
a) +
2
a) +
a) + 3 4
(n + 2) cn+2 (x
2
a) +
Jadi, f (a) = c0 ; f 0 (a) = c1 ; f 00 (a) = 2!c2 ; f (3) (a) = 3!c3 ; : : : ; f (n) (a) = n!cn ; : : : Secara umum, cn =
f (n) (a) n!
Jika f mempunyai representasi deret pangkat, maka f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2!
2
a) +
f 000 (a) (x 3!
3
a) +
salah satu alternatif representasi deret pangkat dari f: Ternyata tidak ada bentuk lain selain yang di atas. Theorem 1 (Ketunggalan) Jika f (x) = c0 + c1 (x
a) + c2 (x
untuk semua x dalam interval buka yang memuat a; maka cn =
f (n) (a) : n!
1
2
a) + c3 (x
3
a) +
De…nition 2 Misalkan f (x) mempunyai turunan ke n untuk tiap n = 1; 2; 3; : : : pada suatu interval buka yang memuat a: Maka deret pangkat 1 (k) X f (a)
k=0
k!
(x
k
1) = f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2!
f 000 (a) (x 3!
2
a) +
3
a) +
+
f (n) (0) (x n!
n
a) +
disebut deret Taylor yang dibangkitkan oleh f di x = a: Deret Taylor yang dibangkitkan oleh f di x = 0 disebut deret Maclaurin yang dibangkitkan oleh f; f (0) +
f 0 (0) f 00 (0) x2 2 f 000 (0) 3 x+ x + x + 1! 2! 3!
+
f (n) (0) n x + n!
Theorem 3 (Teorema Taylor) Jika f (n+1) (x) ada pada suatu interval buka J yang memuat a; maka untuk tiap x 2 J; terdapat c antara a dan x sehingga f (x) = f (a)+
f 0 (a) (x 1!
a)+
f 00 (a) (x 2!
2
a) +
f 000 (a) (x 3!
3
a) +
+
f (n) (x) (x n!
n
a) +
f (n+1) (c) (x (n + 1)!
n+1
a)
(1) dengan Rn (x) =
f (n+1) (c) (n+1)!
(x
n+1
a)
disebut suku sisa atau galat hampiran. f (x) = Pn (x) + Rn (x)
Theorem 4 (Teorema Estimasi Suku Sisa) Jika terdapat M sehingga f (n+1) (s) antara x dan a; maka suku sisa Rn (x) memenuhi hubungan
M untuk tiap s
n+1
jRn (x)j
jx aj (n + 1)!
M
Polinom Pn (x) = f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2!
2
a) +
f 000 (a) (x 3!
3
a) +
+
f (n) (x) (x n!
n
a)
pada teorema di atas disebut polinom Taylor orde n dari f berpusat di a: Akurasi hampiran f (x) oleh Pn (x) diberikan Teorema Estimasi Suku Sisa. Perhatikan bahwa untuk n = 0; f 0 (c) (x a) 1! yang tidak lain adalah Teorema Nilai Rata-rata. Jadi, Teorema Taylor dapat dipandang sebagai perumuman 0 dari Teorema Nilai Rata-rata. Hubungan f (x) = f (a) + f 1!(c) (x a) dapat dipandang menyatakan: jika f (x) = f (a) +
nilai f (x) dihampiri oleh fungsi konstan f (a) ; maka galatnya adalah n = 1 dan n = 2 :
f 0 (c) 1!
(x
a) : Sebagai contoh untuk
1. Dari hubungan (1) ; kita peroleh untuk n = 1; f (x) = f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (c) (x 2!
Artinya, jika f (x) dihampiri oleh fungsi linear P1 (x) = f (a) + f (x)
f (a) +
f 0 (a) 1!
(x
a)
=
f 00 (c) 2!
(x
2
a)
2
a) :
f 0 (a) 1!
(x
a) ; maka errornya adalah
= jR1 (x)j :
2. Selanjutnya, untuk n = 2; f (x) = f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2!
2
a) +
f 000 (c) (x 3!
yang berarti jika f (x) dihampiri oleh fungsi kudratik P2 (x) = f (a) + maka errornya adalah f (x)
f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2! 2
2
a)
=
f 0 (a) 1!
f 0000 (c) (x 2!
3
a) ; (x 2
a)
a) +
f 00 (a) 2!
= jR2 (x)j :
(x
2
a) ;
Secara umum, Rn (x) =
f (n+1) (c) (x (n + 1)!
n+1
a)
; untuk suatu c antara x dan a:
adalah error atau galat yang terjadi, bila f (x) dihampiri oleh polinom Taylor orde n; Pn (x) ; Pn (x) = f (a) +
f 0 (a) (x 1!
a) +
f 00 (a) (x 2!
2
a) +
f 000 (a) (x 3!
3
a) +
+
f (n) (x) (x n! 5
3
Contoh Tentukan deret Maclaurin dari f (x) = x2 tan 1 x: Karena tan 1 x = x x3 + x5 maka 1 j+1 X x5 x7 x9 ( 1) f (x) = x2 tan 1 x: = x3 + + = x2n+3 : 3 5 7 2n + 3 j=0
n
a) : x7 7
+
;
Latihan Tentukan deret Maclaurin untuk f (x) = cos2 x: Terdapat dua cara: (1) mengalikan deret pangkat sin x; yang kurang praktis, dan (2) gunakan identitas cos2 x = 12 + 12 cos 2x: 1 Contoh Tentukan deret Maclaurin dan deret Taylor (berpusat di x = 1) dari f (x) = x2 2x 3: Untuk deret Maclaurin 1 2x
x2
=
3
1 (x2
3
2x)
1 31
=
1 x2 2x 3
:
Jadi, f (x) =
1 3
2
x2 + 2x x2 + 2x 1+ + 3 32 2
= = = =
!
3
x2 + 2x + 33
+
3
4
x2 + 2x x2 + 2x x2 + 2x x2 + 2x 1 3 32 33 34 35 2 4 3 2 6 5 4 x + 6x + 12x + 8x3 x8 + 8x7 + 24x6 + 32x5 + 16x4 1 x + 2x x + 4x + 4x 3 32 33 34 35 2 1 4 4 8 12 16 1 1 + x+ x2 + x3 + x4 + 3 9 9 27 33 34 33 34 35 7 2 20 3 61 4 1 2 x x x x 3 9 27 81 243
Deret Maclaurin konvergen untuk
x2 2x 3
< 1 atau 3 < x2
2
x
2x
2x < 3
3 < 0 dan x2
2x + 3 > 0
Karena x2 2x + 3 mempunyai diskriminan 4 12 < 0 dan membuka ke atas, maka x2 2x + 3 > 0 untuk tiap x: Jadi, cukup diperhatikan syarat x2 2x 3 < 0 yang setelah difaktorkan menjadi (x + 1) (x 3) < 0; yaitu 1 < x < 3: Untuk deret Taylor, diperlukan sedikit modi…kasi sebagai berikut. 1 2x
x2
=
3
1 (x
2
1)
4
1 4
=
1
: x 1 2 2
1
Maka, deret Taylor dari f (x) berpusat di 1 adalah 1 4
f (x) = =
1 22
1 x 1 2 2 2
1 (x
1) 24
1
1X 4
=
k=0 4
(x
1) 26 3
x
2k
1
=
2 (x
1 X (x
k=0 6
1) 28
+
2k
1)
22k+2
dengan syarat
jx 1j 2
< 1 atau jx
1j < 2; yaitu 1 < x < 3:
Remark 5 (Hampiran Lokal) Polinom Taylor sekitar x = a memberikan hampiran fungsi secara lokal disekitar x = a: Latihan Berikan hampiran sin 4:8 dengan kesaahan tak lebih dari 10 4 : Karena 4:8 lebih dekat ke dibandingkan 0; maka akan digunakan polinom Taylor dengan pusat a = 32 : sin(n+1) (c) (n + 1)!
jRn (4:8)j =
Untuk tiap m; sin(m) x adalah
untuk suatu c antara 4:8 dan
cos x: Jadi, sin(m) x
sin x atau
sin(n+1) (c) (n + 1)!
jRn (4:8)j =
n+1
3 2
4:8
3 2
4:8
3 2
1 untuk tiap x: Maka n+1
n+1
3 2
4:8 32 (n + 1)!
<
9
n+1
10 2 (n + 1)!
karena 9 9
10 3! 10 4!
Maka dipilih n = 4
2 3
2 4
7000 25
10
8
1 = 3: Bangun polinom Taylor P3 (x) dengan a =
3 2
f 00 1+
6561 24
=
f
Maka P3 (x) =
4
= 0:000 121 5 > 10
(x
3 2
2!
3 2 3 2
10
=
1; f 0
=
sin
8
<
3 2 3 2
8
10
= cos
= 280
3 2
= 1; ; f (3)
= 2:8
10
6
< 10
4
:
= 0; 3 2
=
3 2
cos
=0
2
)
: Karena c3 = 0; maka sesungguhnya P3 (x) = P2 (x) :
Akibatnya menggunakan P3 (x) sama dengan menggunakan P2 (x) : Maka agar akurasi lebih terjamin kita gunakan P4 (x) 2 4 x 32 x 32 P4 (x) = 1 + : 2! 4! Jadi, sin (4:8) sin (4:8)
P4 (4:8) =
1+
3 2
4:8
2
3 2
4:8
2!
4!
0:996 164 609 463
Catatan sin 4:8
P3
sin (4:8)
P4
3 2 3 2
4
2:454215
10
6
6:638417
10
10
4
Apabila kita menggunakan polinom Maclaurin, a = 0; maka suku sisa adalah Rn (x) = 1 diantara 0 dan 4:8 Karena f n+1 (c)
f n+1 (c)(4:8 0)n+1 ; (n+1)!
c
n+1
j4:8j (n + 1)!
jRn (x)j
Untuk mencapai batas 10 4 ; diperlukan n = 21: Jadi, jauh lebih e…sien menggunakan polinom Taylor dengan a = 32 ; karena lebih dekat ke 4:8: 3 Contoh Tentukan semua nilai x sehingga sin x dapat dihampiri oleh P3 (x) = x x3! dengan kesalahan tak lebih dari 3 10 4 : Karena deret Maclaurin sin x merupakan deret berganti tanda, maka 5
jsin x Maka kesalahan jsin x
P3 (x)j = jsin x
P4 (x)j tak lebih dari 3
10
4
P4 (x)j
jxj 5!
; jika
5 p jxj 5 < 3 10 4 atau jxj < 5! 3 10 4 0:514 352 079 5! R1 2 Latihan Beri hampiran dari 0 e( x ) dx dengan kesalahan tak lebih dari 0:01: R1 Latihan Beri hampiran dari 0 cos x2 dx dengan kesalahan tak lebih dari 0:0001:
Beberapa Polinom Taylor fungsi f (x) = sin x
5
6
