Analisa Numerik
Teknik Sipil
1 1.1
PENDAHULUAN Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah
Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya), fungsi trigonometri dan fungsi-fungsi lainnya yang bukan merupakan fungsi aljabar biasa. Contoh dari fungsi aljabar adalah sebagai berikut f (x) = 2x − 1,
g(x) =
3x − 2 , x3 + 2x2 − x + 1
dan lain-lain
Program komputer tidak mengenal fungsi-fungsi ini. Kalaupun ada, itu hanyalah suatu proses aproksimasi saja. Oleh karena itu, dalam subbab ini akan dipelajari cara kerja komputer untuk mengaproksimasi fungsi-fungsi tersebut. Ide dasar dari aproksimasi tersebut adalah bahwa fungsi tersebut dihampiri oleh suatu deret tak hingga sebagai berikut f (x) =
∞ X n=0
an (x − c)n = a0 + a1 (x − c) + a2 (x − c)2 + · · · + an (x − c)n + · · ·
Masalahnya sekarang adalah apakah a1 , a2 , ..., an , ...? Untuk mencarinya turunkan dulu fungsi f (x) terhadap x, sebagai berikut f ′ (x) = a1 + 1.2.a2 (x − c) + 1.3.a3 (x − c)2 + 1.4.a4 (x − c)3 + · · ·
f ′′ (x) = 1.2.a2 + 1.2.3.a3 (x − c) + 1.3.4.a4 (x − c)2 + · · ·
f ′′′ (x) = 1.2.3.a3 + 1.2.3.4.a4 (x − c) + · · · Secara umum untuk turunan ke−n diperoleh
f (n) (x) = n!an + penjumlahan dengan faktor (x - c) Tentu saja seluruh persamaan ini berlaku pada x = c, sehingga dapat dituliskan f (n) (c) = n!an + 0 Dengan demikian diperoleh apa yang kita cari an =
f (n) n!
untuk setiap n = 0, 1, · · · 1
Definisi Deret Taylor yang dibangkitkan oleh fungsi f (x) pada titik x = c adalah (x − c) (x − c)2 (x − c)n + f ′′ (c) + · · · + f (n) (c) + ··· 1! 2! n! ∞ X (x − c)n f (n) (c) = n! n=0
f (x) = f (c) + f ′ (c)
(1)
Secara khusus jika c = 0, maka deret di atas disebut sebagai deret MacLaurin f (x) = f (0) + f ′ (0) =
∞ X
f (n) (0)
n=0
x x2 xn + f ′′ (0) + · · · + f (n) (0) + · · · 1! 2! n!
xn n!
(2)
Contoh: Tentukan deret Taylor di sekitar x = 0 untuk fungsi f (x) = ex . Solusi: Fungsi f (x) = ex mempunyai turunan f (n) (x) = ex untuk n = 1, 2, .... Untuk x = 0, maka nilai f (n) (0) = 1, sehingga deret Taylor untuk fungsi f (x) = ex di sekitar x = 0 adalah xn x2 x3 + + ··· + + ··· ex = 1 + x + 2! 3! n! Tugas Mandiri Tentukan representasi deret Taylor untuk masing-masing fungsi berikut di tiap titik yang diberikan! 1. f (x) = sin x, c = 0 2. f (x) = cos x, c = 0 3. f (x) = ln(1 + x), c = 0 4. g(x) = ecos x , c = 0 Dalam praktik komputasi, adalah tidak mungkin untuk mensubstitusikan seluruh bentuk tak terhingga deret Taylor. Biasanya deret tersebut dipotong sampai bentuk ke−n sehingga menghasilkan sejumlah error yang bentuknya dapat ditulis sebagai berikut. Teorema Taylor untuk f (x) f (x) =
n X
f (k) (c)
k=0
(x − c)k + En+1 k!
dengan En+1 = f (n+1) (α)
(x − c)(n+1) (n + 1)!
α adalah titik di antara x dan c
Contoh: Deret Taylor untuk f (x) = ex telah diberikan pada contoh sebelumnya. Menurut Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai berikut ex =
n X xk k=0
k!
+
2
eα xn+1 (n + 1)!
Gambar di atas adalah grafik fungsi f (x) = ex dengan hampiran deret Taylor untuk n = 2 dan n = 4. Berikan analisisnya! Hitunglah nilai e1 dengan dua hampiran tersebut. Bagaimana dengan nilai e8 . Apa yang terjadi? Berikan analisisnya. Teorema Taylor untuk f (x + h) f (x + h) =
n X
f (k) (x)
k=0
(h)k + En+1 k!
dengan En+1 = f (n+1) (α)
(h)(n+1) (n + 1)!
α adalah titik di antara x dan x + h
√ √ √ Contoh: Ekspansikan 1 + h dalam bentuk h lalu hitung nilai 1.00001 dan 0.99999. Gunakan n = 2. √ Solusi: Ambil f (x) = x, maka untuk n = 2, perlu dihitung sampai turunan ketiga. 1 f ′ (x) = √ , 2 x
1 f ′′ (x) = − x−3/2 , 4
3 f ′′′ (x) = x−5/2 8
Gunakan teorema Taylor di atas untuk x = 1. √
1 1 1 1 + h = 1 + h − h2 + h3 α−5/2 2 8 16
(3)
Tugas Mandiri 1. Tentukan deret Taylor untuk menyatakan sin dengan mengunakan n = 3.
¡π 4
¢ + h dan hitung nilai dari sin(45.0005o )
2. Tentukan 4 suku pertama yang tak nol Deret MacLaurin dari f (x) = sin x + cos x dan g(x) = sin x cos x. Kemudian hitung f (0.001) dan g(0.0006)
3
1.2
Representasi Bilangan dalam Berbagai Bilangan Dasar
Bilangan yang kita gunakan sehari-hari adalah bilangan dengan basis 10 atau yang biasa disebu bilangan desimal. Bilangan -bilangan yang terdapat dalam basis 10 adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Komputer biasanya tidak menggunakan basis 10 untuk melakukan komputasi dan penyimpanan sehingga diperlukan cara untuk mengkonversi dari bilangan desimal ke basis yang dikenal komputer, antara lain basis 2 (biner), basis 8 (oktal) dan basis 16 (heksadesimal). Bilangan dalam basis 2 adalah 0 dan 1. Bilangan dalam basis 8 adalah 0,1,2,3,4,5,6,7. Sedangkan bilangan dalam basis 16 adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, dan F. Bilangan 37294 dalam bilangan desimal dapat ditulis sebagai 37294 = 4 × 100 + 9 × 101 + 2 × 102 + 7 × 103 + 3 × 104 Secara umum: an an−1 · · · a1 a0 = a0 × 100 + a1 × 101 + · · · + an−1 × 10n−1 + an × 10n Sebaliknya untuk bilangan pecahan 0, 7215 =
7 1 5 2 + 2+ 3+ 4 10 10 10 10
Secara umum: 0, b1 b2 b3 ... = b1 × 10−1 + b2 × 10−2 + ... Sehingga an an−1 · · · a1 a0 , b1 b2 b3 ... =
n P
ak 10k +
k=0
n P
bk 10k
k=1
Konversi dari Bilangan basis β ke Bilangan Desimal dan sebaliknya 1. (21467)8 = (· · · )10 (21467)8 = 7 × 80 + 6 × 81 + 4 × 82 + 1 × 83 + 2 × 84 = 7 + 8(6 + 8(4 + 8(1 + 8(2)))) = 9015
2. (0.36207)8 = (· · · )10 (0.36207)8 = 3 × 8−1 + 6 × 8−2 + 2 × 8−3 + 0 × 8−4 + 7 × 8−5 = 8−5 (7 + 2 × 82 + 6 × 83 + 3 × 84 )
= 8−5 (7 + 82 (2 + 8(6 + 8(3)))) = 0.47286987...
Sebaliknya untuk mengubah bilangan basis desimal ke basis β, perhatikan terlebih dahulu bentuk - bentuk berikut. Misalkan N adalah bilangan desimal yang dapat dinyatakan sebagai bilangan dalam basis β sebagai berikut. N = (cm cm−1 · · · c1 c0 )β = c0 + β(c1 + β(c2 + ... + β(cm )...)) 4
Akan dicari c1 , c2 , ..., cm . Bagi kedua ruas persamaan dengan β diperoleh sisa c0 dan hasil baginya c1 + β(c2 + ... + β(cm )...). Bagi lagi hasil bagi ini dengan β dan seterusnya. Contoh: Konversikan bilangan 3781 ke bilangan biner dengan cara di atas. Solusi: 2)3781 . 2)1890 1 = c0 2)945 0 = c1 2)472 1 = c2 2)236 0 = c3 2)118 0 = c4 2)59 0 = c5 2)29 1 = c6 2)14 1 = c7 2)7 0 = c8 2)3 1 = c9 2)1 1 = c10 0 1 = c11 Sehingga (3781) = (111 011 000 101)2 . Periksalah kebenaran dari proses konversi ini!. Contoh: Konversikan bilangan berikut ke bilangan biner 0.372 = (. . .)2 0.372 2 0.744 2 1.488 2 0.976 2 1.952 2 1.904 2 1.808 dst Jadi, 0.372 = (0.010 111 . . .)2 Untuk melakukan konversi dari basis 8 menjadi basis 2 atau sebaliknya, dapat dilakukan dengan cara mudah, yaitu kelompokkan tiga digit pada basis 2 menjadi 1 digit 5
pada basis 8 seperti pada tabel berikut ini biner oktal
000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7
(2576.35546875)10 = (. . .)8 = (. . .)2 8 |2576
8 |322 0
8 |40 2
8 |5 0
0 5
0.35546875 8 2.84375000 8 6.75000000 8 6 Jadi, (2576.35546875)10 = (5020.266)8 = (101 000 010 000.010 110 110)2 Pada basis 16, digit yang digunakan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, A, B, C, D, dan E. Hubungan basis 16 dengan basis 2 adalah biner heksadesimal
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7
biner heksadesimal
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F
(10 1011 1010 1101)2 = (2BAD)16 1. (110 111 001.101 011 101)2 = (. . .)8 = (. . .)10 = (. . .)16 2. (110 011.111 010 110 110 1)2 = (. . .)8 = (. . .)10 = (. . .)16 3. (. . .)2 = (. . .)8 = (51.694)10 = (. . .)16
6
