Deret Taylor dan Analisis Galat
Deret Taylor Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor : ( x xo ) ' ( x xo ) 2 '' ( x xo ) m ( m ) f ( x) f ( xo ) f ( x0 ) f ( xo ) .... f ( xo ) ... 1! 2! m!
2
Jika (x-xo)=h, maka : h ' h 2 '' h m (m) f ( x) f ( xo ) f ( x0 ) f ( xo ) .... f ( xo ) ... 1! 2! m! Contoh : Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst.
maka : h2 h3 h4 f ( x) sin( x) sin(1) h cos(1) sin(1) cos(1) sin(1) ... 2 6 24
f ( x) 0,8415 0,5403h 0,4208h 2 0,0901h 3 0,0351h 4 ...
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku. Contoh-1 : f(x)= sin(x) dimana xo = 0
Penyelesaian : h2 h3 f ( x) sin( x) sin(0) h cos(0) sin(0) cos(0) 2 6 x3 x5 f ( x) sin( x) x 6 120
Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0 Penyelesaian : ( x 0) 0 ( x 0) 2 0 ( x 0)3 ( x 0) 4 0 f ( x) e e e e e ... 1! 2! 3! 4! x 2 0 x3 x 4 x f ( x) e 1 x e ... 2! 3! 4! x
0
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: ( x xo ) ' ( x xo ) 2 '' ( x xo ) n ( n ) f ( x) f ( xo ) f ( x0 ) f ( xo ) .... f ( xo ) Rn ( x) 1! 2! n!
( x xo ) ( n 1) Rn ( x) f (c); xo c x disebut galat / sisa (residu ) (n 1)!
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis : f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
dimana : ( x xo ) k k Pn ( x) f ( xo ) k! k 1 n
( x xo ) ( n 1) ( n 1) Rn ( x) f (c ) (n 1)!
Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n Penyelesaian ( x 1) ( x 1) 2 ( x :1)3 ( x 1) 4
P4 ( x) sin(1)
1!
cos(1)
2!
sin(1)
3!
cos(1)
( x 1) ( 41) ( 41) ( x 1) 5 Galat R4 ( x) f (c ) cos(c) (4 1)! 5!
4!
sin(1)
Analisis Galat • Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul
Misalkan : ^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka : ^
a a disebut galat
Contoh : ^
a 10,5; a 10,45
10,45 10,5 0,05 ^
Galat Mutlak a a
Galat relatif : R
a
x 100%
Galat relatif hampiran : RA
^
a
x 100%
• Contoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat ! (b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif ! (d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian : (a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333
(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333 (c). 0,000333
Galat relatif : R
a
x 100%
Galat relatif hampiran : RA
(10/3)
(d). ^
a
x 100%
x 100% 0,01%
0,000333 1 x 100% 3,333 999
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg menggunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan cara : ar 1 ar RA ar 1
dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya
• Proses lelaran dihentikan bila : |єRA| < єS єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya • Contoh : Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3 Xo= 0,5; єs= 0,00001 Hitung : єRA !
Penyelesaian : Xo = 0,5 (X1 X o ) X 0,043478 s RA 1 = 0,4791667; X1 (X 2 X1 ) X 0,0051843 s RA = 0,4816638; 2 X2 (X 3 X 2 ) RA 0,0005984 s X3 = 0,4813757; X3 (X 4 X 3 ) X 0,0000693 s RA = 0,4814091; 4 X4 (X 5 X 4 ) X 0,0000081 s , berhenti ! RA = 0,4814052; 5 X5
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK • Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman
(1). Galat Pemotongan (truncation error). Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.
Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :
f
'
f ( xi 1 ) f ( xi ) ( x1 ) h
dimana : h = lebar absis xi+1 Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’(x) = - sin(x) f’’(x) = - cos(x)
Maka x : 2
x4 x6 x8 x10 f ( x ) cos( x ) 1 ...... 2! 4! 6! 8! 10!
Nilai hampiran
Galat pemotongan
Galat pemotongan : ( x xo ) ( n 1) ( n 1) Rn ( x) f (c ) (n 1)! ( x 0) ( 61) ( 61) x7 R6 ( x) f (c ) cos(c) (6 1)! 7!
Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :
Rn ( x) Maks xo c x
( n 1) (x x ) o f ( n 1) (c) x (n 1)!
• Contoh-1 : Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat ! Penyelesaian : f(x) = ln(x)
f(1) = 0
f’(x) = 1/x
f’(1) = 1
f’’(x) = -1/x2
f’(1) = -1
f’’’(x) = 2/x3
f’’’’(1) = 2
f(4)(x) = - 6/x4
f(4)(1) = -6
f(5)(x) = 24/x5
f(5)(c) = 24/c5
Deret Taylor : ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4 ln( x) ( x 1) R4 ( x) 2 3 4 (0,1) 2 (0,1)3 (0,1) 4 ln(0,9) 0,1 R4 ( x) 2 3 4 ln(0,9) 0,1053583 R4 ( x)
R5 (0,9) Maks 0 , 9 c 1
24 (-0,1)5 x 0,0000034 5 c 5!
Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan < 0,0000034.
Contoh-2 : Hampiri nilai e dx secara numerik,yaitu : f ( x) e x dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian : x2 Deret Maclaurin orde 8 dari f ( x) e adalah : 1
x2
0
2
ex
2
4 6 8 x x x 1 x2 2! 3! 4!
1
1
x 4 x 6 x8 0 e dx 0 (1 x 2! 3! 4! )dx x
2
2
x3 x5 x7 x9 x 1 1 1 1 1 x 1 1,4617724 3 10 42 216 x 0 3 10 42 216
GALAT PEMBULATAN • Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.
• Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667. Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).
ANGKA BENA • Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. • Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
GALAT TOTAL Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Contoh :
(0,2) 2 (0,2) 4 Cos (0,2) 1 0,9800667 2 24 Galat pemotongan
Galat pembulatan
• Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.
ORDE PENGHAMPIRAN • Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh).
• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h). Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis dgn : f(h) = p(h) + O(hn) O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.
• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula. Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :
( xi 1 xi ) ' ( xi 1 xi ) 2 '' ( xi 1 xi ) n ( n ) f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi ) .... f ( xi ) Rn ( xi 1 ) 1! 2! n!
h ' h 2 '' hn (n) f ( xi 1 ) f ( xi ) f ( xi ) f ( xi ) .... f ( xi ) Rn ( xi 1 ) 1! 2! n!
Dalam hal ini : h ( n 1) ( n 1) Rn ( xi 1 ) f (t ) O(h n 1 ); xi t xi 1 (n 1)!
Jadi, kita dapat menuliskan :
hk k f ( xi 1 ) f ( xi ) O(h n 1 ) k 0 k! n
Contoh : 2 3 4 h h h f ( x) e x 1 h O(h 5 ) 2! 3! 4!
x 2 x3 x 4 x5 f ( x) ln( x) x O(h 5 ) 2 3 4 4 h3 h5 f ( x) sin(h) h O(h 7 ) 3! 5! h2 h4 h6 f ( x) cos(h) 1 O(h8 ) 4! 6! 6!
BILANG TITIK AMBANG Bilangan riil di dalam komputer umumnya disajikan dalam format bilangan titik-ambang Bilangan titik-ambang a ditulis sebagai a = ± m × B p = ± 0.d1d2d3d4d5d6 ...dn × Bp m = mantis/mantisa (riil), d1d2d3d4d5d6 ...dn adalah digit mantis. B = basis sistem bilangan yang dipakai (2, 8, 10, 16, dsb) p = pangkat(berupabilanganbulat), dari–Pmin sampai+Pmaks Contoh: 245.7654 = 0.2457654 × 103
BILANG TITIK AMBANG Bilangan Titik-ambang Ternormalisasi Syarat: digit yang pertama tidak boleh 0 a = ± m × Bp = ± 0.d1d2d3d4d5d6... dn× Bp 1 ≤ d1 ≤ B -1 dan 0 ≤ dk ≤ B-1 untuk k > 1. Pada sistem desimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Pada sistem desimal, 1 ≤ d1 ≤ 9 dan 0 ≤ dk ≤ 9, Sedangkan pada sistem biner, d1 =1dan 0 ≤ dk ≤ 1. Contoh: 0.0563 × 10-3 0.563 × 10-4, 0.00023270 × 106 0.23270 × 103
BILANG TITIK AMBANG Pembulatan pada Bilangan Titik-ambang Bilangan riil di dalam komputer mempunyai rentang nilai yang terbatas. Bilangan titik-ambang yang tidak dapat mencocoki satu dari nilai-nilai di dalam rentang nilai yang tersedia, dibulatkan kesalah satu nilai di dalam rentang Galat yang timbul akibat penghampiran tersebut diacu sebagai galat pembulatan. Ada dua teknik pembulatan yang lazim dipakai oleh komputer, yaitu pemenggalan (chopping) dan pembulatan ke digit terdekat (inrounding).
PEMENGGALAN (CHOPPING) Pemenggalan (chopping) Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p flchop(a) = ±0. d1d2d3 ... Dn-1dn × 10p Contoh: π = 0.314159265358... × 100p flchop(π) = 0.3141592 × 100p ( 7 digit mantis) Galat= 0.000000065...
PEMBULATAN Pembulatan ke digit terdekat (in-rounding) Misalkan a = ±0. d1d2d3 ... dndn+1 ... × 10p flround(a) = ±0. d1d2d3 ... dn × 10p
PEMBULATAN Contoh: a = 0.5682785715287 × 10-4 : Di dalamkomputer 7 digit dibulatkan menjadi flround(a) = 0.5682786 × 10-4 Di dalam komputer 8 digit dibulatkan menjadi? Di dalam komputer 6 digit dibulatkan menjadi Didalam komputer 9 digit dibulatkan menjadi?
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Kasus1: Penjumlahan (termasuk pengurangan) bilangan yang sangat kecil ke (atau dari) bilangan yang lebih besar menyebabkan timbulnya galat pembulatan. Contoh: Misalkan digunakan komputer dengan 4 digit (basis 10). Hitunglah: 1.557 + 0.04381 = 0.1557 × 101 + 0.4381 × 10-1. Cari Galat dari penyelesaian penjumlahan aritmetika terhadap bilangan pendekatan yang didapat dengan pemotongan dan pembulatan!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Kasus2: Pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama besar (nearly equal). Bila dua bilangan titik-ambang dikurangkan, hasilnya mungkin mengandung nol pada posisi digit mantis yang paling berarti (posisi digit paling kiri). Keadaan ini dinamakan kehilangan angka signifikan (loss of significance). Baik pemenggalan maupun pembulatan ke digit terdekat menghasilkan jawaban yang sama
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Contoh: Kurangi 0.56780 × 105 dengan 0.56430 × 105 (5 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan! Kurangi 3.1415926536 dengan 3.1415957341 (11 angka signifikan) serta tentukan bilangan galat yang didapat dari pembulatan dan pemenggalan!
ARITMETIKA BILANGAN TITIK AMBANG Contoh:
Diberikan. f ( x) x( x 1 x ) hitunglah f(500) dengan menggunakan 6 angka bena dan pembulatan ke digit terdekat! Penyelesaian: f (500 ) 500( 501 500 )
500(22.3830 22.3607) 500 * 0.223 11.15 (Solusi eksak adalah: 11.174755300747198…)! Kenapa hasil tidak akurat? Apakah ada cara penyelesaian yang lebih baik?
Perambatan Galat • Pada suatu proses komputasi yang memiliki error akan menyebabkan penumpukkan error apabila proses tersebut dilakukan secara beruntun. • Menyebabkan hasil yang menyimpang dari sebenarnya kondisi tidak stabil (ketidakstabilan numerik) • Kondisi Stabil : error pada hasil antara memiliki pengaruh yang sedikit pada hasil akhir. • Ketidakstabilan matematik : kondisi yang timbul karena hasil perhitungan sangat peka terhadap perubahan kecil data.
44
Ketidakstabilan • Dikatakan tidak stabil jika hasil tidak teliti sebagai akibat metode komputasi yang dipilih. • Contoh : – F(x) =x (√(x+1)- √ x), hitung f(500) sampai 6 angka penting, solusi asli =11.174755300747198… – F(x) = √(x+1)- √ x, hitung f(12345) sampai 6 angka penting , solusi asli = 0.00450003262627751 – Cari akar-akar polinom x2 – 40x + 2 = 0 sampai 4 angka penting – F(x) = (ex -1- x) / x2 hitung f(0.01) sampai angka 6 penting
45
Kondisi Buruk • Persoalan dikatakan berkondisi buruk bila jawabannya sangat peka terhadap perubahan kecil data atau error pembulatan. • Contoh : – x2 -4x + 3.999 = 0 akar-akar x1 = 2.032 dan x2 = 1.968 – x2 -4x + 4.000 = 0 akar-akar x1 = x2 = 2.000 – x2 -4x + 4.001 = 0 akar-akarnya imajiner
46
Bilangan Kondisi • Bilangan kondisi didefinisikan sebagai : • Bilangan Kondisi = |εRA [f(â)]/ εRA (â)| = |â f’(a)/f(â)| • Arti bilangan kondisi : – Bilangan kondisi = 1, galat relatif hampiran fungsi sama dengan galat relatif x – Bilangan kondisi >1, galat relatif hampiran fungsi besar – Bilangan kondisi <1, galat relatif hampiran fungsi kecil
• Kondisi buruk bilangan kondisi besar • Kondisi baik bilangan kondisi kecil
47
