Konsep Deret & Jenis-jenis Galat

Metode Numerik (IT 402) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 2

Konsep Deret & Jenis-jenis Galat ALZ DANNY WOWOR

Thursday, March 22, 2012

1. Pengatar Dalam Kalkulus, deret sering digunakan untuk mengintegralkan fungsi yang 4dak mempunyai an4 turunan elementer, menyelesaikan persamaan diferensial, dan menghampiri fungsi dengan polinom. Contoh: Untuk menghitung

dan

Masalah integral dan limit di atas 4dak dapat diselesaikan apabila integran dan fungsi pada limit 4dak dinyatakan kedalam bentuk deret.

2 Thursday, March 22, 2012

Deret menjadi bagian yang pen4ng dalam metode numerik, karena digunakan untuk menghampiri suatu fungsi yang rumit kedalam bentuk polinomial, sehingga fungsi tersebut menjadi lebih sederhana. Selanjutnya akan deret yang akan digunakan adalah deret Taylor dan deret Maclaurin


2. Deret Taylor Defenisi Deret Taylor Dimisalkan fungsi f dan semua turunannya f ’, f ’’, f ’’’, ... berada pada selang [a, b]. Diambil x0 ∈ [a, b], maka untuk nilai-‐nilai di sekitar x0, x x0

dan x ∈ [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor: (1)


Pada persamaan (1), jika dimisalkan x -‐ x0 = h, maka diperoleh (2)


Contoh 1. Deret Taylor Hampiri fungsi f(x)= sin (x), ke dalam deret Taylor di sekitar x0 = 1 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan, harus menentukan turunan dari sin (x) terlebih dahulu. f(x)= sin (x), f’(x)= cos (x), f’’(x)= -‐sin (x), f’’’(x)= -‐cos (x) f 4(x)= sin (x)

dan seterusnya 6 Thursday, March 22, 2012

Maka, berdasarkan persamaan (1), sin (x) dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut

Jika dimisalkan x - 1 = h, maka berdasarkan persamaan (2), diperoleh


Deret Maclaurin Deret Maclaurin merupakan suatu deret yang diperluas berdasarkan deret Taylor. Jadi suatu fungsi yang diperluas dengan mengambil x0 = 0, yang merupakan deret Taylor baku. Dengan mengambil x0 = 0 pada persamaan (1) diperoleh (3)


Contoh 2. Deret Maclaurin Uraikan f(x)= sin (x), ex, cos (x), ln (x + 1) masing-‐masing ke dalam deret Maclaurin Penyelesaian: ✴

Beberapa turunan untuk sin (x) f(0)= sin (0), f ’(0)= cos (0), f ’’(0)= -‐sin (0), f’’’(0)= -‐cos (0) f 4(0)= sin (0) dan seterusnya


✴

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk ex, harus menentukan turunan dari ex f(x)= ex , f ’(x)= ex, f ’’(x)= ex, f’’’(x)= ex f 4(x)= ex dan seterusnya

Deret Maclaurin dari ex adalah


✴

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk cos(x) , harus menentukan turunannya f(x)= cos(x) , f ’(x)= - sin(x), f ’’(x)= - cos(x), f’’’(x)= sin(x), f 4(x)= cos(x) , dan seterusnya

Deret Maclaurin dari cos(x) , adalah


✴

Untuk menentukan deret Maclaurin untuk ln (x + 1), harus menentukan turunan dari ln (x + 1) f(x)= ln (x+1), f ’(x)= (x+1)-‐1, f ’’(x)= -‐(x+1)-‐2, f’’’(x)= 2(x+1)-‐3 f 4(x)= -‐6(x+1)-‐4 dan seterusnya

Deret Maclaurin dari ln (x + 1) adalah


Contoh 3. Nilai hampiran deret Maclaurin Hitunglah hampiran nilai untuk cos(0.2), dengan deret Maclaurin sampai suku orde n = 6. Penyelesaian Dari hasil deret Maclaurin untuk cos(x) pada contoh sebelumnya, maka diperoleh:


Deret Taylor Terpotong ✴

Karena deret Taylor 4dak berhingga banyaknya, maka untuk alasan prak4s deret tersebut dipotong sampai suku orde tertentu.

✴

Deret Taylor yang dipotong sampai orde ke-‐n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh: (4)

yang dalam hal ini

(5)

disebut galat atau sisa (residu) 14 Thursday, March 22, 2012

Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-‐n dapat ditulis sebagai:

yang dalam hal ini


Sebagai contoh, sin (x) pada contoh 1, jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 adalah

yang dalam hal ini


Deret Taylor terpotong di sekitar x0 = 0, disebut sebagai deret Maclaurin terpotong. Berdasarkan Contoh 2, maka deret Maclaurin terpotong untuk sin (x), ex, cos (x), dan ln (x + 1) adalah: (sampai suku orde 5) (sampai suku orde 4) (sampai suku orde 6) (sampai suku orde 4)

dimana


3. Analisis Galat Solusi dengan metode numerik adalah solusi hampiran (aproksimasi) Hampiran terhadap solusi eksak, oleh karena itu solusi numerik mengandung galat. Galat (ε): selisih antara solusi hampiran dengan solusi eksak. Misalkan adalah nilai hampiran terhadap nilai seja4 a, maka galat didefenisikan Jika tanda galat (posi4f dan nega4f) 4dak diperhitungkan maka didefenisikan galat mutlak sebagai


Galat ε kurang bermakna sebab 4dak menunjukan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai seja4nya. ★

Misalnya seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99cm, padahal 100cm dan anak yang lain memberitahukan panjang pensil 9cm, tetapi panjang sebernanya 10cm.

★

Galat dari panjang kawat dan pensil sama 1cm.

Untuk mengatasi kesalahan interpretasi, maka galat dinormalkan terhadap nilai seja4nya, gagasan ini melahirkan galat rela@f.

atau dalam persentase


Kadang dalam penggunaan nilai seja4 a 4dak diketahui, karena itu galat ε seringkali dinormalkan dengan solusi hampirannya, sehingga galat rela4fnya dinamakan dengan galat rela@f hampiran.

Sebagai contoh, misalkan nilai seja4 = 10/3 dan nilai hampiran = 3.333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat rela4f, dan galat rela4f hampiran.


Sumber Utama Galat Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dalam perhitungan numerik: 1. Galat Pemotongan (trunca.on error) 2. Galat pembulatan (round-‐oﬀ error)


Galat Pemotongan Galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran (aproksimasi) sebagai pengganti formula eksak Contohnya, hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret taylor di sekitar x = 0

pemotongan


Galat pemotongan tidak dapat dihitung dengan pasti, karena jumlah seluruh suku-suku setelah dipotong tidak mengkin dihiutng. Namun dapat dihampiri dengan rumus suku sisa.

maka untuk cos(x) diperoleh


Nilai Rn yang tepat hampir 4dak pernah diperoleh, karena 4dak diketahui nilai c sebernanya. Oleh karena itu dicari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan.


Contoh 4. Nilai Galat Pemotongan Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1, untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat. Penyelesaian

f(x) = ln(x) f(1) = 0 f’(x) =1/x f ’(1) = 1 f’’(x) = -‐1/x2 f ’’(1) = -‐1 f’’’(x) =2/x3 f ’’’(1) = 2 f4(x) = -‐6/x4 f4(1) = -‐ 6 f5(x) =24/x5 f5(1) = 24/c5

Deret Taylornya adalah: 25 Thursday, March 22, 2012

Sehingga untuk ln(0.9) adalah

juga dan nilai Max|24/c5| di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9, dengan berdasar pada suatu pecahan nilainya semakin besar apabila penyebutnya dibuat manjadi lebih kecil

Jadi ln(0.9) = -‐0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034 26 Thursday, March 22, 2012

Galat Pembulatan Menurut Sahid dalam (Pengantar Numerik dengan Matlab, hal 23)

Galat Pembulatan sering dilakukan dalam proses komputasi. Pembulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut: •

Jika digit pertama yang dibuang kurang dari 5, digit didepanya tidak berubah

•

Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, maka angka didepannya ditambah 1 nilainya.


Sebagai contoh Nilai-‐nilai 2.324, 2.316, dan 2.315 jika dibulatkan sampai dua angka desimal (di belakang koma), hasilnya adalah 2.32 Nilai 3.14159, -‐0.0025, dan 84.009974 jika dibulatkan berturut sampai dua, 4ga, dan empat angka desimal (di belakang koma), hasilnya berturut-‐turut adalah 3.14, -‐0.003, dan 84.0100. Catatan:

•

Pengulangan pembulatan 4dak disarankan, karena akan memperbesar galat

•

Misalnya nilai 18.34461 dibulatkan sampai 3 angka desimal hasilnya 18.345, jika dibulatkan lagi sampai dua angka desimal menjadi 18.35. Akan tetapi, jika langsung dibulatkan sampai dua anga desimal hasilnya adalah 18.34. Galat dua kali pembulatan sampai 2 angka desimal adalah 0.00539, sedangkan galat sekali pembulatan senilai 0.00461 28


Menurut Rinaldi Munir:

Galat Pembulatan merupakan galat yang timbul akibat keterbatasan komputer dalam merepresentasikan bilangan riil. Contoh:

1/6 = 0.1666666666..., dalam mesin dengan 6-digit direpresentasikan sebagai 0.166667. Galat pembulatan = 1/6 – 0.166667 = -‐0.000000333. Dalam sistem biner misalnya 1/10 = 0.00011001100110011001100110011...2 direpresentasikan di dalam komputer dalam jumlah bit yang terbatas.


Represenatasi Bilangan Riil dalam Komputer 1.

Bilangan titik-tetap (fixed-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah tempat desimal yang tetap

Contoh: 62.358, 0.013, 1.000. 2.

Bilangan titik-kambang (floating-point) Setiap bilangan riil disajikan dengan jumlah digit berar4 yang sudah tetap

Contoh: 0.6238 × 103, 0.1714 × 10-‐13


Angka Bena (signifikan) Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti Contoh: 43.123

memiliki 5 angka bena (yaitu 4, 3, 1, 2, 3)

0.1764

memiliki 4 angka bena (yaitu 1, 7, 6, 4)

0.0000012

memiliki 2 angka bena (yaitu 1, 2)

278.300

memiliki 6 angka bena (yaitu 2, 7, 8, 3,0,0)

270.0090

memiliki 7 angka bena (yaitu 2, 7, 0, 0,0,9,0)

0.0090

memiliki 2 angka bena (yaitu 9, 0)

1360, 1.360, 0.001360 semuanya memiliki 4 angka bena


4.3123 x 101

memiliki 5 angka bena

1.764 x 10-1


1.2 x 10-6


2.78300 x 102


0.2700090 x 103


9.0 x 10-3


13.60 x 102, 0.1360 x 101, 1.360 x 10-3 semuanya memiliki 4 angka bena

Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan. 32 Thursday, March 22, 2012

Galat Total Galat total adalah galat akhir pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya pada contoh 3, deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2)

galat pemotongan

galat pembulatan

Galat pemotongan timbul karena cos(0.2) dihmapiri sampai suku orde-4, sedangkan galat pembulatan timbul karena membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena. 33 Thursday, March 22, 2012

Latihan 1. Dengan menggunakan deret Maclaurin sampai orde 8, Hitunglah (a) (b)

2. Dari hasil integaral pada soal 1(a), hitunglah nilai integral dengan batas 0 ≤ x ≤ 1


Konsep Deret & Jenis-jenis Galat

Recommend Documents