Metode Penelitian
Suryadi Siregar
Bab 6 Sumber dan Perambatan Galat ________________________________________________________________________
6.1
Sumber galat
1. Data masukan, misal hasil pengukuran (galat bawaan) 2. Selama komputasi (galat proses), galat yang timbul akibat komputasi 3. Galat pemotongan, galat yag timbul ketika suatu proses dipotong sebelum selesai 4. Penyederhanaan model matematika, misalnya linierisasi 5. Galat manusia (personal error) dan mesin, terjadi salah tulis, salah penafsiran. Media penyimpanan terkontaminasi, operator mesin yang tidak rinci, virus Definisikan x − nilai sebenarnya dan ex − galat absolut dalam x
x * −nilai hampiran dan ey − galat absolut dalam y Definisi
e= x − x *
Galat absolut : x Galat relative: x − x* x − x* ex = ≅ x x x* dalam prosen
x − x* ex = × 100% x x Variable x tidak selalu berbentuk scalar tapi dapat juga berbentuk vector, sehingga operasinya juga haruslah operasi vector.
6.2
Galat menurut operator +,-,x atau /
Tulis x x * + ex =
= y y * + ey Maka untuk operasi berikut berlaku;
6.3
Perkalian
KK Astronomi ITB
Page 55
Metode Penelitian
Suryadi Siregar
exy = xy − x * y* = xy − ( x − ex ) ( y − ey ) Sehingga; e= xey + yex xy exy ey ex = + xy y x
6.4
Pembagian
x x * x ( x − ex ) = − ex = − y y * y ( y − ey ) y Sehingga; e ex = y y y ex
ex e y − x y
6.5
Penambahan/pengurangan
y = x y
z= x ± y
{
}
ez = ( x ± y ) − ( x * ± y *) = ( x ± y ) − ( x − ex ) ± ( y − ey ) = ( x ± y ) − ( x − ex ) ( y − ey ) = ex ± ey ez ex ± ey = z x± y
Pada pengurangan kemungkinan galat mutlak kecil tapi galat relative besar
KK Astronomi ITB
Page 56
Metode Penelitian
6.6
Suryadi Siregar
Ilustrasi Persamaan Kuadrat
Tinjau persamaan kuadrat x 2 − 26 x + 1 = 0 Dapat diselesaikan dengan rumus a b c ax 2 + bx + c = 0 → akarnya x12 =
−b ± b2 − 4ac 26 ± 262 − 4 × 1 × 1 = = 13 ± 168 2a 2
Untuk soal diatas diambil 12,9614814 sebagai nilai sebenarnya 168 = 12,961 sebagai nilai hampiran x1 = 13 + √ 168= 25,96148 → x1*= 13 + 12,961= 25,961 x2= 13 − √ 168=0,038519 → x2* =13 –12,961= 0, 039 Dalam hal ini diambil akar x1
Jadi e X1 * = x1 – x1* ≤ 0, 005 , e X2 * = x 2 – x 2* ≤ 0, 005 Tetapi galat relatifnya e X1 * e X2 * 0, 005 0, 005 −5 ≤ ≅ × ≤ ≅ 1.9 ×10−2 1.9 10 , * * x1 25,9615 x2 0, 039 Kesimpulan x2* mempunyai galat relative 1000 kali lebih besar dari galat relatif x1 Hitung x2* dengan cara lain
x 2= 13 - √ 168=
(13- √ 168)
(13+ √ 168)= 1 = (13+ √ 168) (13+ √ 168)
1 x1
Jadi ∗ x= 2
1 1 = ∗ x1 25,961
Galat relatifnya e X2 * e1 e x1* e x1* 0,005 = − *= *≤ ≅ 1.9 × 10−5 galat relatif x2 diperkecil. * x2 1 x1 x1 25,9605 Kesimpulannya, secara umum jika kita mempunyai persamaan kuadratis ax 2 +bx + c = 0 dengan deskriminan b 2 − 4ac > 0, a > 0
KK Astronomi ITB
Page 57
Metode Penelitian
Suryadi Siregar
Strategi yang harus diambil agar galat relatif akar persamaan kuadrat tersebut minimum adalah mencari akarnya dengan rumus abc, kemudian periksa tanda aljabar konstanta b - b + √ ( b 2 – 4ac ) -b- √ ( b 2 – 4ac ) = x1 = , x2 2a 2a
Kasus b>0 dalam hal ini x1 memiliki galat relatif besar,untuk memperkecil ubah bentuk cara menghitungnya
- b + √ ( b 2 – 4ac ) - b + √ ( b 2 – 4ac ) - b- √ ( b 2 – 4ac ) 2c = = → x1 x1 = 2 2 2a 2a - b- √ ( b – 4ac ) - b- √ ( b – 4ac ) Cara ini akan memberikan galat relatif minimum pada x1 Kasus b<0 disini x2 memiliki galat relatif yang besar, untuk memperkecil ubah bentuknya
-b- √ ( b 2 – 4ac ) -b- √ ( b 2 – 4ac ) -b+ √ ( b 2 – 4ac ) 2c = = → x2 = x2 2 2 2a 2a -b+ √ ( b – 4ac ) -b+ √ ( b – 4ac ) Cara ini memberikan galat relatif minimum pada x2 Contoh lain : perhitungan fungsi f(x) = 1 – cos x Jika x ≈ 0 maka f(x) ≈ 0 Ubah bentuknya sin 2 x 1 + cos x f ( x ) =− (1 cos x ) → f ( x ) = (1 − cos x ) = 1 + cos x 1 + cos x Atau di uraikan dalam deret Taylor (Mc Laurin) x 2 x4 x6 cos x= 1 – + − + . . . 2! 4! 6! 2 4 x x2 x4 x6 x x6 f ( x ) =1 cos x → f ( x ) =1 1 – + - + . . . = - + - . . . 2! 4! 6! 2! 4! 6! karena x << 1, dapat dianggap x2 f ( x) = 2! Catatan: menurut uraian deret Taylor disekitar x ≅ x0 Untuk satu peubah
KK Astronomi ITB
Page 58
Metode Penelitian
f ( x )= f ( x0 ) + =
∞
∑
f(
k)
f ′ ( x0 ) 1!
( x0 )
k!
k =0
x+
( x − x0 )
f ′′ ( x0 ) 2!
( x − x0 )
2
+
f ′′′ ( x0 ) 3!
( x − x0 )
3
Suryadi Siregar
+. . .
k
untuk 2 peubah jika f (x,y) dapat diuraikan disekitar (x0 , y0) dan diferensiabel (n+1) kali kontinu maka: k
∂ 1 ∂ + η ) f ( x0 , y0 ) + ∑ x + η f ( x0 , y0 ) + Rn +1 ( x, y ) f ( x0 + x , y0= ∂x ∂y k =0 k ! Rn+1 (x,y) – suku sisa ∞
6.7
Grafik Proses
Suatu cara untuk memvisualisasikan galat dalam satu proses komputasi Ilustrasi grafik proses operasi V
= v
Simbol-simbol: titik simpul berbentuk lingkaran. Cabang ditandai dengan panah, setiap cabang diberi label tertentu. Pembacaan dari bawah ke atas.
.
x+y
z
+
x
6.8
( x + y) z
y
Aturannya adalah : galat relatif pada akhir proses merupakan hasil kali galat relatif dengan label dari cabang yang bersangkutan ditambah satu suku berupa galat pembulatan yang muncul setiap suatu operasi selesai dilakukan (rounding error)
Cara memberi label (Labeling)
Operator tambah “+”
KK Astronomi ITB
Page 59
Metode Penelitian r1
x+y
y x+y
x x+y
+ x
y
Suryadi Siregar
e cabang x : galat relatif x kali label= x x e cabang y:galat relatif y kali label= y y Galat akhir : e x+y x+y
=
x , x+y
y x+y
y ey x ex + + r1 x+y x x+y y
Operator kurang “ – “
r2
x-y
y x-y
x x-y
x
y
e cabang x : galat relatif x kali label= x x
x , x-y
e y cabang y:galat relatif y kali label= y y x-y Galat akhir : e x-y y ey x ex = + + r2 x-y x-y x x-y y
Operator kali “ . “
xy
r3 1 x
KK Astronomi ITB
.
1 y
e e cabang x : galat relatif x kali label= x (1) = x x x ey ey cabang y: galat relatif y kali= label = (1) y y Galat akhir : e xy ex ey = + + r3 xy x y
Page 60
Metode Penelitian
Suryadi Siregar
Operator bagi “/”
e e cabang x : galat relatif x kali label= x (1) = x , x x e e cabang y: galat relatif y kali label= y ( −1) = − y y y Galat akhir : e xy ex ey = − + r4 xy x y
x/y
r4 /
1
-1
x
v Contoh 1: =
y
( x + y) z ex + y ev e = (1) + z (1) + r2 v x+ y z dengan
V .
z
x+y
=
ev e x x e y y ez = + + r1 (1) + (1) + r2 v x x+ y y x+ y z e x ey y ez = x + + r1 + + r2 x x+ y y x+ y z
+
x
ex x ey y + + r1 x+ y x x+ y y x+ y Jadi galat akhir : ex + y
y
Bila setiap galat dibatasi oleh
1 −( n +1) maka; b 2
ev x y 1 −( n +1) ≤ + + 3 b v x + y x + y 2
kasus khusus : x dan y bertanda sama e x y − n +1 = + 1. Untuk contoh diatas v ≤ 2 β ( ) x+ y x+ y v
Contoh 2: w = (x+y) / (a-b)
KK Astronomi ITB
Page 61
Metode Penelitian
Suryadi Siregar
ew ex + y e Disini= (1) + a-b ( -1) + r3 w x+ y a -b dengan ex + y e e x x = x + y + r1 x+ y x x+ y y x+ y e a -b e a e b = a + b + r2 a --b a a b b a b
w / x+y
a-b
+ x
y
a
Dari ketiga persamaan ini diperoleh; b
ey x ea a ew e x x eb b = + + r1 -+ r2 + r3 w x x+ y y x+ y b b a b a a -1 - n +1 bila setiap galat dibatasi oleh b ( ) maka 2 ew 1 - n +1 1 - n +1 1 - n +1 x x b a -1 b ( ) + b ( ) ≤ + +1 b ( ) + + 2 2 w x+ y x+ y a -b a b 2 x 1 - n +1 x b a < + + + + 3 b ( ) b a b x + y x + y a -2
Catatan : x + y ≤ x + y
Soal latihan tentukan batas galat untuk : (buatkan dulu grafik prosesnya) (i) d = (a+b)+c dengan 0
ed 3a + 3b + 2c 1 −( n +1) ≤ b d a+b+c 2 e 3c + 3b + 2a 1 −( n +1) ( ii ) f ≤ b f c+b+a 2
(i )
KK Astronomi ITB
Page 62
Metode Penelitian
Suryadi Siregar
secara numeric; (a+b)+c ≠ a+(b+c) !! menghitung penjumlahan dari bilangan kecil ke bilangan besar lebih teliti dari sebaliknya
Latihan : bandingkan galatnya untuk semua soal berlaku; 0 < a < b < c < d ab dengan y a ( b / c ) = c ab a b dengan y = ( 2) x = cd c d a dengan y ( a / b ) / c = ( 3) x = bc 3ab ( 4 ) x =ab + ab + ab dengan y =
= (1) x
6.9
Angka signifikan (“benar”)
Misalkan x menyatakan nilai eksak suatu bilangan real dan x* menyatakan nilai hampiran suatu bilangan real Definisi : - angka ke k pada x* disebut signifikan jika 1 − n +1 x − x* ≤ β ( ) 2 Jumlah angka signifikan pada nilai x* adalah semua angka dari x* yang memenuhi syarat tersebut
Contoh : β = 10 x dan x* nilai sebenarnya dan nilai hampiran maka, (i) x = 0.48723 ..... x* = 0.4872 mempunyai empat angka signifikan (angka benar) (ii) x = 0.00256 x* = 0.0026 mempunyai empat angka siknifikan sebab
0, 00256 − 0, 0026 = 0, 00004 ≤ 10−4
KK Astronomi ITB
Page 63
