BAB 3 PERAMBATAN GELOMBANG MONOKROMATIK Dalam bab ini, kita akan mengamati perambatan gelombang pada fluida ideal dengan dasar rata. Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 3.1 Aliran Fluida pada Dasar Rata Dalam kasus ini, gelombang yang merambat pada domain fluida ideal dituliskan dalampersamaan: 7, * = ;< =>? =@
(3.1)
Gelombang ini dinamakan gelombang monokromatik.
3.1 MODEL GELOMBANG DASAR RATA Hukum kekekalan massa dan kekekalam momentum pada fluida ideal yang telah kita bahas pada bagian sebelumnya berturut-turut diberikan oleh persamaan :
!
+ = 0
= −
= −
,
!
+
+
!
! ,
#−
#−
(3.2) 9 A
9 A
+ (
+ (
(3.3)
(3.4)
Di sini kita berikan asumsi bahwa aliran fluida adalah irrotasional, yang berarti bahwa partikel-partikel dalam gerakannya tidak mengalami perputaran (rotation). Secara matematis,
aliran fluida dengan sifat seperti ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut : curl = 0
(3.5)
di mana adalah komponen kecepatan dalam arah x dan y, atau = , . G
H
curl = F
I
F=0
(3.6)
Dengan memasukkan w=0 (karena pembahasan untuk 2 dimensi), maka diperoleh hubungan : !
=
(3.7)
Adanya persamaan curl = 0 memberikan ekivalensi (hubungan yang berlaku jika dan hanya jika) yang disebut fungsi potensial, yang dinotasikan dengan J, , * . Jadi dari pada kita harus mencari besaran-besaran seperti u, v,dan tekanan, lebih baik mencari fungsi
potensial. Hubungan dan J itu sendiri dituliskan dalam persamaan : = ∇J
(3.8)
Sehingga diperoleh :
=
8
dan
=
8
(3.9)
Dan jika kita terapkan pada persamaan kontinuitas untuk dua dimensi, diperoleh persamaan : J + J = 0
(3.10)
Persamaan di atas disebut dengan Persamaan Laplace, yang berlaku untuk seluruh domain fluida. Untuk dapat menyelesaikan Persamaan Laplace ini, diperlukan kondisi batas yang akan kita bahas berikut ini. Dasar Fluida Asumsikan bahwa partikel yang ada dibatas akan tetap di batas. Kalau dasar mendatar y = −ℎ$ (konstan), maka partikel bergerak mengikuti dasar, sehingga hanya mengalami
kecepatan horizontal saja (kecepatan vertikal = 0), maka = −ℎ$ = 0, sehingga :
J = 0
Permukaan Fluida
(3.11)
Sama seperti pada dasar, partikel yang berada di suatu permukaan S tetap di permukaan (bergerak mengikuti bentuk permukaan). Persamaan permukaan S untuk suatu partikel yang berada pada koordinat (x,y) dapat kita tuliskan secara implisit S(x,y,t)=0, dan partikel tersebut tetap pada permukaan, dinyatakan sebagai : 01 0
=0
(3.12)
Jika = 7, * merupakan permukaan bebas yang membatasi air dengan udara di atasnya, maka kita dapat menuliskan persamaan permukaan sebagai berikut : ., , * = − 7, * ≡ 0
(3.13)
Jika persamaan (3.13) diterapkan pada persamaan (3.12), maka diperoleh : L
+
L
+
L
− =0
(3.14)
Kedua kondisi batas di atas, yakni persamaan (3.11) dan persamaan (3.14) merupakan kondisi batas kinematik. Selain kondisi batas kinematik, terdapat kondisi batas dinamik, yang berlaku hanya pada permukaan bebas. Kita asumsikan bahwa dengan tidak adanya gerakan pada udara atau diabaikan, maka tekanan pada udara adalah konstan, dan dapat kita ambil nol sebagai tekanan referensi. Sehingga kita dapat menggunakan persamaan Bernoulli sepanjang permukaan bebas, yaitu : 8
+ $ $ + (7 = :* 9
(3.15)
Dengan demikian, perambatan gelombang monokromatik pada kedalaman y = −ℎ$ sudah
dapat kita amati dengan terlebih dahulu menyelesaikan persamaan Laplace : J + J = 0
dengan syarat batas : + + − = 0 M pada = 7 9 $ + + (7 = :* $
L
8
L
L
J = 0 pada = −ℎ$
(3.16) (3.17)
3.2 PENYELESAIAN MODEL LINEAR GELOMBANG MONOKROMATIK Untuk menyederhanakan permasalahan kita terkait penyelesaian Persamaan Laplace, kita menggunakan model linier dari kondisi batas yang telah kita peroleh di atas, sehingga persamaan (3.16) dan (3.17) menjadi : 7 − J = 0 Q pada = 0 J + (7 = 0 J = 0 pada = −ℎ$
(3.18) (3.19)
Dengan menggunakan metode separasi variabel, maka J, , * kita separasi menjadi hasil
perkalian dua buah fungsi ., * dan F sehingga J, , * = ., * R . Dari syarat batas J + (7 = 0 pada y =0, maka :
)., * R0 + ( 7, * = 0 )* ( 7, * )., * =− R0 )*
Dengan cara mengintegralkan kedua ruas kita peroleh :
., * = − =− =−
( S 7, * T* R0
( S ;< =>? =@ T* R0
( 1 U ;< =>? =@ + XY R0 GW
Sehinnga diperoleh :
., * = − [\ >@ 7, * + X# .......................... (pers.1) Z
9
Dengan syarat batas 7 − J = 0 pada y = 0, maka : 7 − ., * R ′ 0 = 0 7 ., * = ′ R 0
Dengan 7 , * = ;G < =>? =@ , maka :
;G < =>? =@ ., * = R ′ 0
Sehinnga diperoleh : ., * =
>@L [′ \
........................................... (pers.2)
Untuk mempermudah perhitungan, ambil R0 = 1. Dengan menyelesaikan (pers.1) dan (pers.2) diperoleh :
GW −( 7 − (X = ′ 7 R 0 GW Koefisien 7 :
=Z >@
= [′ \ , sehinnga diperoleh R ′ 0 = >@
@, Z
Koefisien 7\ : −(X = 0, maka X = 0, dan diperoleh : ., * = R0 = 1 , R ′ 0 =
W$ (
>Z @
;< =>? =@ , dan
Dari persamaan Laplace J + J = 0, maka :
. R + .R = 0 1]] 1
=−
[^^ [
R = −_R
= _ (konstan), dengan mengambil dua ruas kanan maka :
R + _R = 0
Solusi tak trivial ada kalau _ < 0, sebut _ = −a$
R − a$ R = 0, maka solusi umum adalah : R = b9 < A + b$ < =A
Dengan R0 = 1 dan R ′ 0 =
R0 = b9 + b$ = 1
R ′ 0 = ab9 − ab$ = W$ a+ ( b9 = 2a
W$ a− ( b$ = 2a
Maka diperoleh :
@, Z
@, Z
, maka :
, sehingga b9 dan b$ adalah :
1 A 1 =A W$ A W$ =A < − < = cosha + R = U < + < Y+ sinh a 2 2 2(a (a Jadi fungsi potensial adalah :
J, , * =
>Z @
7 icosha + ZA sin ha j @,
(3.20)
Dari syarat batas J = 0 pada = −ℎ$ , maka : J = . R =
>Z @
7 iakGlℎ a +
W$ kGlℎa + mnkℎa = 0 ( W$ = −( a W$ = ( a
@, ZA
a mnkℎ a j = 0
kGlℎa cosh a
kGlℎaℎ$ , pada = −ℎ$ cosh aℎ$
W$ = ( a tanhaℎ$
Tetapi p = k (perhatikan uraian di bawah ini). . =_ .
. ′′ − _. = 0 , _ = −a$
Di mana S‘‘ turunan kedua dari persamaan ., * = ., * = . = . =
G( ;< =>? =@ W
G( ;−GI < =>? =@ W
( I;< =>? =@ W
. = @ I;−GI < =>? =@ . =
Z
=>Z @
I $ ;< =>? =@
>Z @
7.
(3.21)
. =
=>Z @
I$7
. ′′ + a$ . = 0
−G( $ G( I 7 + a$ 7=0 W W >Z @
I $ 7 = a$
>Z @
7 ⟺ I = a. Maka persamaan (3.21) kita tuliskan menjadi : W = q( I tanhIℎ$
(3.22)
Persamaan (3.22) dikenal dengan persamaan dispersi gelombang. Dengan W merupakan
frekuensi gelombang yang selalu bernilai positif, sehingga persamaan (3.22) dapat dituliskan menjadi W = q( I tanhIℎ$
Ini berarti bahwa gelombang yang merambat dengan frekuensi W tertentu pada fluida dengan
kedalaman ℎ$ tertentu, memiliki bilangan gelombang I yang tertentu pula. Perhatikan tabel 3.1 di bawah ini. Untuk W tertentu, diperoleh bilangan gelombang yang mengecil untuk ℎ$
yang membesar. Untuk kedalaman tertentu, diperoleh I yang membesar untuk W yang
membesar.
Tabel 3.1 Hubungan W, ℎ$ , dan I pada gelombang. Hal ini bermanfaat dalam mengamati gelombang monokromatik : 7, * = ;< =>? =@
= ; mnkI − W* − G kGlI − W*
Dengan mengamati bagian riil-nya, maka persamaan gelombang monokromatik menjadi : 7, * = ; mnkI − W*
Misalkan amplitudo gelombang (A) adalah 1, maka :
7, * = mnk I − W* Jika * = 0
7, 0 = cosI
7 + _, 0 = cos I + _ = cos I I_ = 2r
_ = 2rsI Jika = 0
70, * = cos −W* = cos W* 70, * + t = cos W* + t Wt = 2r
t = 2rsW
Kita juga dapat menentukan cepat rambat gelombang , yaitu : _ W = = t I
Dengan mengetahui kedalaman dan frekuensi gelombang, maka nilai bilangan gelombang dapat dihitung. Lihat grafik 3.1 dan 3.2 di bawah. Grafik tersebut merupakan plot dari gelombang monokromatik untuk beberapa kondisi tertentu.
Grafik 3.1 Gelombang monokromatik dengan kedalaman tetap.
Grafik 3.2 Gelombang monokromatik dengan frekuensi tetap. Dalam hal kedalaman ℎ$ tetap dan W diperbesar (grafik 3.1), maka dengan menggunakan
tabel 3.1 diperoleh k yang membesar. Karena k membesar, panjang gelombang yang
dihasilkan adalah mengecil (perhatikan grafik 3.1).
Dalam hal W tetap dan kedalaman ℎ$ diperbesar (grafik 3.2), maka dengan menggunakan tabel 3.1 diperoleh k mengecil. Karena k mengecil, panjang gelombang yang dihasilkan
adalah membesar (perhatikan grafik 3.2).
