BAB II PERAMBATAN GELOMBANG SEISMIK
2.1 Teori Perambatan Gelombang Seismik Metode seismik adalah sebuah metode yang memanfaatkan perambatan gelombang elastik dengan bumi sebagai medium rambatnya. Perambatan ini bergantung pada sifat elastik dari batuan. Untuk memahami proses perambatan gelombang ini, berikut ini sedikit penjelasan mengenai konsep dasar elastisitas. Ukuran dan bentuk dari benda padat dapat diubah dengan memberikan gaya terhadap permukaan luar benda. Gaya yang berasal dari luar ini akan dilawan oleh gaya internal yang menghambat perubahan pada ukuran dan bentuknya. Sebagai hasilnya, benda tersebut cenderung untuk kembali kepada kondisi semula ketika gaya luarnya dihilangkan. Sifat dari kemampuan untuk melawan perubahan pada bentuk dan ukuran serta mengembalikan kondisi kepada bentuk dan ukuran semula ketika gaya luar dihilangkan dinamakan elastik (Telford et.al,1990).
2.1.1 Gelombang elastik Gelombang elastik adalah suatu gelombang yang merambat sebagai akibat terjadinya deformasi elastik, salah satu jenis dari gelombang elastik adalah gelombang seismik.
iv
Berdasarkan lokasi perambatannya, gelombang seismik terbagi menjadi dua, yaitu gelombang badan (body wave) dan gelombang permukaan (surface wave). Gelombang badan adalah gelombang yang merambat melewati interior bumi (Telford et.al,1990), sedangkan gelombang permukaan adalah gelombang yang merambat pada permukaan bumi.
2.1.1.1 Gelombang badan Gelombang badan adalah gelombang yang energinya ditransfer melewati interior bumi. Gelombang badan merupakan gelombang sinyal yang diprioritaskan dalam eksplorasi seismik. Gelombang badan merambat dalam batuan bawah permukaan bumi sebagai hasil dari sumber energi (pukulan, vibroseis, ledakan, dan lain lain) yang terpantulkan saat gelombang menyentuh lapisan dengan kontras impedansi yang berbeda. Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, gelombang badan dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P (pressure) dan gelombang S (shear). Tipe pertama dikenal sebagai gelombang dilatasi, longitudinal, kompresional atau gelombang P,indeks P juga diberikan berdasarkan fakta bahwa gelombang ini biasanya tiba paling awal
(primary) pada perekaman seismik. Gelombang P
menggerakkan partikel tanah searah dengan arah perambatan gelombang.Jika gelombang P merambat tanpa membangkitkan gelombang S, maka gelombang tersebut disebut sebagai gelombang akustik. Jika gelombang P merambat dan membangkitkan gelombang S, maka gelombang ini elastik.
v
disebut sebagai gelombang
Gb.2.1 Arah perambatan dari gelombang P (Reynolds,1998)
Gelombang S (shear) disebut juga gelombang rotasi (curl) atau transversal, yang berarti gerakan partikel berarah tegak lurus terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang S memiliki kecepatan yang lebih rendah dari gelombang P sehingga biasanya disebut sebagai gelombang sekunder. Gelombang S menggerakkan partikel tanah tegak lurus arah perambatan gelombang.
Gb.2.2 Arah perambatan dari gelombang S (Reynolds,1998)
vi
2.1.1.2 Gelombang permukaan Untuk medium homogen isotropis tak hingga, hanya terdapat gelombang P dan gelombang S. Namun, ketika mediumnya berhingga pada segala arah, terdapat sebuah tipe gelombang lain yang dibangkitkan. Gelombang ini disebut juga gelombang permukaan (Telford et.al,1990). Gelombang permukaan merupakan gelombang dengan amplitude besar dan berfrekuensi rendah yang merambat pada permukaan bebas (free surface). Kecepatan perambatannya berkisar antara 500 m/s sampai 600 m/s. Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, gelombang permukaan di bagi menjadi 2 yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang Love. Gelombang Rayleigh atau ground roll merupakan gelombang permukaan yang gerakan partikelnya merupakan kombinasi dari gerak gelombang longitudinal dan transversal. Amplitude dari gerak gelombang ini menurun secara eksponensial terhadap kedalaman. Dalam perjalanan nya, partikel gelombang ini melewati suatu lintasan elips, dengan sumbu mayor elips terletak pada sumbu vertikal (Telford et.al,1990).
Gb.2.3 Ilustrasi gerakan partikel dari gelombang Rayleigh (Mussett and Khan,2000)
ii
Gelombang Love adalah gelombang permukaan yang merambat dalam bentuk gelombang transversal. Gerakan partikelnya mirip dengan gelombang S, dan biasanya disebut dengan gelombang SH. Kecepatan perambatannya bergantung pada panjang gelombangnya dan bervariasi sepanjang permukaan.
Gb.2.4 Ilustrasi gerakan partikel dari gelombang Love (Mussett and Khan,2000)
2.2 Persamaan Rambat Gelombang Elastik Gelombang yang berada dalam keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut : ∇ ∇2 ψ =
1 ∂2ψ v2 ∂ t 2
(2.1)
dengan
r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = iˆ + j +k ∂x ∂y ∂z
(2.2)
Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke (Lampiran A) yang menyatakan hubungan antara stress (gaya persatuan luas) dan strain (perubahan dimensi) sebagai :
σ ii = λ Δ + 2 με ii
iii
(2.3)
σ ij = με ij ; i ≠ j
(2.4)
Dalam persamaan di atas i, j=x, y, z sedangkan λ dan μ dikenal sebagai konstanta Lame. Konstanta μ didefinisikan sebagai kemampuan menahan strain geser, sehingga μ seringkali disebut sebagai modulus geser. Δ adalah perubahan volume sebagai akibat dari tekanan: Δ =
∂u ∂v ∂w + + = ε xx + ε yy + ε zz ∂x ∂y ∂z
Persamaan (2.3) menyatakan hubungan antara stress (σii) dan strain (εii) pada keadaan satu arah sedangkan persamaan (2.4) menyatakan hubungan stress dan strain yang saling tegak lurus. Dalam Gambar 2.5 diperlihatkan hubungan antara stress dan strain. tekanan strain searah stress
strain tegak lurus stress
Kondisi benda pada keadaan awal Kondisi benda pada keadaan akhir
Gambar 2.5 Penggambaran stress dan strain yang ditimbulkan oleh tekanan.
iv
Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa benda (M) dikalikan percepatannya (a): F = M.a. Sehubungan dengan pergeseran (u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut diungkapkan sebagai berikut (lihat Lampiran 2): ∂ 2u ∂Δ ρ 2 = (λ + μ ) + μ ∇ 2u ∂x ∂t
(2.5)
di mana ρ adalah massa jenis bahan. Sehubungan dengan tekanan dalam arah sumbuy dengan pergeseran v: ∂ 2v ∂Δ ρ 2 = (λ + μ ) + μ ∇ 2 v ∂t ∂y
(2.6)
dan dalam arah sumbu-z dengan pergeseran w:
ρ
∂2w ∂Δ = (λ + μ ) + μ ∇2w 2 ∂z ∂t
(2.7)
Jika persamaan (2.5) didiferensiasikan terhadap x, persamaan (2.6) didiferensiasikan terhadap y dan persamaan (2.7) terhadap z lalu dijumlahkan, akan didapat
ρ
∂ 2Δ = (λ + 2μ )∇ 2 Δ 2 ∂t
(2.8)
Persamaan (2.8) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi pada arah sejajar (searah) dengan komponen gaya. Jika persamaan (2.8) dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (2.1), maka akan diperoleh perumusan kecepatan rambat gelombang P, yaitu
v
vp
=
λ + 2μ ρ
(2.9)
di mana λ adalah konstanta Lame dan ρ adalah massa jenis. Selanjutnya untuk gelombang S pada sumbu x, nilai kecepatan diperoleh dengan mengurangkan turunan dari persamaan (2.6) terhadap z dan turunan dari persamaan (2.7) terhadap y, diperoleh: ∂2 ρ 2 ∂t
⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = μ∇ 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠
sehingga 1 ∂ 2θ x = ∇ 2θ x 2 2 β ∂t
,β2 =
μ ρ
(2.10)
Persamaan (2.10) adalah persamaan untuk gelombang S, karena beroperasi pada arah tegak lurus terhadap komponen gaya. Jika persamaan (2.10) dibandingkan dengan persamaan umum gelombang (2.1), maka diperoleh perumusan kecepatan gelombang S, yaitu
vs =
μ ρ
(2.11)
di mana μ adalah modulus geser dan ρ adalah massa jenis. Berdasarkan persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.
vi
