Bab 3 Sifat gelombang dari partikel
BAB 3: Sifat Gelombang dari partikel
1923, ketika masih sebagai mhs pasca sarjana University of Paris, Louis de Broglie mempublikasikan tulisan ringkas dalam journal Comptes rendus yang berisi ide yang revolutionor terhadap pemahaman fisika pada level yang paling fundamental: yaitu bahwa partikel memiliki
Pendahuluan Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel dari gelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein ini diperkuat oleh hamburan Compton Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memiliki sifat gelombang?
Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifat gelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristal tunggal nikel.
Prince de Broglie
sifat gelombang intrinsic
Werner Heisenberg dan kemudian Erwin Schrödinger mengembangkan teori berdasarkan sifat gelombang dari partikel.
Heisenberg
Schrödinger
1
3.1 Gelombang de Broglie Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/λ, dan panjang gelombang λ=h/p. De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlaku juga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie
λ=
Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitungan relativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistik momentum:
λ=
h . γmv
Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuah permulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?
h . p partikel dgn momentum p Digambarkan sbg gelombang
Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baru untuk partikel.
Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesis yang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masih muda.*
h h λ= = p γmv
Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwa partikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama ini tdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untuk membuktikannya? Verifikasi dengan Eksperimen! Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel, panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkan dengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnya jarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalam kristal. *Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.
Gelombang partikel dgn panjang gelombang de Broglie λ = p/h
Partikel dgn momentum linear p
Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerak dengan kecepatan 30 m/s. Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanpa relativistik. h h
λ=
λ=
γmv
=
mv
non-relativistic: γ=1
6.63×10-34 J ⋅ s (46×10-3 kg)× ( 30 m/s ) λ = 4.8×10-34 m
Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34 m, dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya? Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksi gelombang bola golf?
2
Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerak dengan kecepatan 107 m/s. Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungan nonrelativistik sudah cukup.
λ= λ=
h mv
6.63×10-34 J ⋅ s (9.11×10-31 kg)× (107 m/s )
Gelombang Matter adalah fenomena quantum ¾
¾
Konstanta h yg kecil pada λ = h/p membuat karakteristik gelombang dari partikel susah untuk diobservasi
¾
jika h Æ 0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berarti perilaku gelombang dari partikel secara effektif akan “berhenti” dan akan kehilangan sifat gelombangnya apabila momentum partikel tidak sebanding dengan h ~ 10-34 Js
λ = 7.3×10-11 m Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkan dengan dimensi atomic, sehingga kita dapat mempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang dari elektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.
Sesuatu yang harus kita pikirkan : Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul ada disana dan gelombang yang berhubungan dengan partikel bukan partikel yang terhambur. Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikel memiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatan cahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memiliki interpretasi secara fisik. Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan: E = hf
p = h/λ
ω = 2πf
ħ = h/2π
E = ħω
p = ħk
k = 2π/λ
Efek gelombang partikel sulit diobservasi secara makroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)
¾
Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akan muncul jika skala momentum p sebanding dengan harga
h
Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatu fungsi –“fungsi gelombang”—yang menjelaskan sifat gelombang dari benda tsb. Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsi gelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalu kemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang dijelaskannya?
Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkan tentang matematika gelombang dan fungsi yang menjelaskannya.
3
3.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ? Gelombang air terdiri dari ketinggian air yang berbeda, gelombang suara terdiri dari perbedaan tekanan didalam medium, gelombang E&M terdiri dari osilasi medan listrik dan magnet. Bagaimana dengan gelombang partikel?
Ψ Ψ
Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalam gelombang partikel? Sesuatu dimana variasinya membentuk gelombang partikel adalah fungsi gelombang function, Ψ ("psi", biasa dibaca "si").
Ψ
Ψ adalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukur secara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari Ψ = 0. (ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapi gelombang sinus tdk sama dgn 0) Akan tetapi, Ψ dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentan partikel yang dia representasikan. Ψ*Ψ mengatakan kepada kita probabilitas menemukan benda yang direpresentasikan dengan Ψ. Secara umum, Ψ adalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu. Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan Ψ pada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding dengan harga Ψ*Ψ disana.
Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapat dilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang “langsung”. Ψ Adalah solusi Schrödinger. Seperti telah disinggung didepan, Schrödinger mengembangkan teori untuk sifat gelombang partikel. Kita akan mempelajarinya pada bab 5.
Secara umum, harga Ψ*Ψ adalah antara 0 dan 1. Harga yang kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitas menemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besar menunjukan probabilitas yang besar. Jika Ψ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidak ada disana. Jika Ψ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu , objek pasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukan bahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimana dengan tepat kita dapat meletakan objek.
jika Ψ complex, maka Ψ*Ψ = Ψ2 adalah real (dan positif).
4
Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadian itu sendiri. Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektron ada disana, tdk berarti 50% ada disana. Jika probabilitas menemukan elektron pada (xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron 50% ada disana. Ini berarti ½ dari pengukuran kita akan menemukan elektron disana, dan ½ nya lagi tidak menemukan elektron. Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka Ψ*Ψ proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita sering menyebut Ψ*Ψ sebagai “probability density” meskipun kita bicara tentang satu partikel.*
Mari kita lihat lebih jauh lagi … Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombang Ψ, Ψ*ΨdV adalah probabilitas menemukan partikel (atau sistem) dalam elemen volume dV. Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruh ruang. Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga
∫
Ψ*Ψ dV = 1 .
all space
Fungsi gelombang yang dinormalisasi.
Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kita kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalam ruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalam beberapa gelombang.
Berapa kecepatan gelombang de Broglie? ¾
momentum benda bergerak dihubungkan dengan kecepatan yang terukur lewat p = mv
Menentukan Ψ secara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpa memasuki bagian detil dari mana itu datang.
¾
Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang bergerak memiliki momentum dan panjang gelombang yang dihubungkan oleh p = h/λ
Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam dunia mekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5.
¾
Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie (sebut saja vp) harus sama dengan v Mari kita lihat apakah hal tsb betul
¾
Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang (tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baik mempelajari gelombang lebih detail.
5
Berapa kecepatan gelombang de Broglie? Berapa kecepatan gelombang de Broglie? ¾
Dimana panjang gelombang de Broglie λ dihubungkan dengan kecepatan benda yang terukur lewat λ = h/(mv)
¾
¾
¾
kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgn frekuensi gelombang dan panjang gelombang lewat v p=λ f
Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie adalah E=hf
Sehingga diperoleh, hf = mc ⇒ f = mc 2/h
2
Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm vp=λ f , kita peroleh
vp=(h/mv)(mc 2/h) =c 2/v
Energi E harus sama dengan energi relativistik dari benda bergerak, E = mc2
Berapa kecepatan gelombang de Broglie?
vp=c 2/v Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga vp= c Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selalu c2/v > c suatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitu kecepatan gelombang de Broglie vp tdk hanya tdk sama dgn v tapi juga > c
photon: faster than a speeding bullet
matter wave: faster than a speeding photon?
Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengan kecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itu gelombang. Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikan penurunan persamaan gelombang. Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi lalu ayunkan. Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:
Gerakan tangan
Ikatkan tali disini
Ada sesuatu yang salah disini
6
Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akan terbentuk gelombang berdiri.
pulsa
penjalaran gel tali
refleksi (& inverts)
bertemu pulsa lainnya pd perjalanan pulang
Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalen untuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y pada suatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.
x y = A cos 2πf (t - ) vp
f adl frekuensi dan vp adl kecepatan gelombang
x y = A cos 2π (f t - ) λ Dgn menggunakan vp = f λ, ω = 2πf, and k = 2π/λ, Kita dapatkan
y = A cos ( kx - ωt ) , or
r r r r y = A cos ( k ⋅ r - ωt ) in 3 dimensions.
Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdk merepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa. Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis "group velocity."
vp
y x
Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasi pada arah y. Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.
7
vp
3.4 Kecepatan Fasa dan Group
y
Group gelombang adalah superposisi dari gelombanggelombang yg berbeda.
x
Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang (and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (ada harganya disetiap tempat). Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb? Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatu tempat disepanjang sumbu x. Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel, kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyak gelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyai panjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.
Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwa dω dan dk adalah kecil dibanding ω dan k, Beiser menunnjukan : dω dk
tx) . y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx) ] cos ( 2 2
Gelombang dinyatakan oleh y1+y2 dibangun dari gelombang dgn frekuensi sudut ω dan bilangan gelombang k, dan mempunyai superposisi pada suatu modulasi frekwensi dω/2 dan bilangan gelombang dk/2.
y1 y2 y1+y2
Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentuk dari grup. Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thd λ, maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbeda dgn kecepatan group. Beiser menghitung kecepatan penjalaran, vg, dari grup sederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.
y1 = A cos (ωt - kx) y 2 = A cos [(ω + dω) t - (k + dk) x ] Dua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untuk membuat gelombang "paket" atau "grup."
dω dk tx) . y 1 + y 2 = 2A [ cos (ωt - kx)] cos ( 2 2
Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebab ini merupakan suatu snapshot pada suatu waktu dari gelombang yang h bergerak pada ruang dan waktu.
Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah vp=ω/k, sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatan vg=(dω/2)/(dk/2)=dω/dk.
vp =
ω k
vg =
dω dk
Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).
8
ω k
vp =
vg =
dω dk
Apakah vg konsisten dengan ide kita tentang kecepatan partikel? Frekuensi sudut :
vg dapat > vp atau < vp.
ω = 2πf =
2πγmc 2 2πmc 2 = 2 h h 1- v
Jika kecepatan fasa vp sama untuk seluruh panjang gelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, maka kecepatan fasa dan group adalah sama.
Bilangan gelombang: k =
Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumus matematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah vg?
Gunakan pers. Diatas untuk menghitung
vp =
Hasilnya: vp=c2/v (kita sudah tahu ini) dan vg=v (kecepatan partikel).
vg =
dω dk mc 2 2π (γ m0c2 ) = h h
ω = 2π f ⇒ ω = 2π ⇒
2π m0 v d ω 2π m0 c 2 d γ = = dv h dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
k=
2π
vg =
λ
=
2π m0 2π mv dk ⇒ = h dv h (1 − v 2 / c 2 )3/ 2
d ω d ω dk / = =v dk dv dv
ω k
2π 2πγmv 2πmv = = 2 λ h h 1- v
vg =
. c
2
. c
2
dω dk
Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasa gelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kita dapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasi lebih cepat dari kecepatan cahaya c? Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau “energi” ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdk dapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadian itu terjadi Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi, tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi, yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan vg, maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatu kecepatan lebih besar dari c
9
Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebih merepresentasikanpartikel:
Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -ωt ) . Ingat relasi Euler mengatakan ejθ dibentuk dari sinus dan cosinus.
Gelombang grup de Broglie’ diidentifikasi dengan partikel yg bergerak dgn kecepatan v
3.5 Diffraksi Partikel
Diffraksi adalah perilaku gelombang.
Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yg lainnya : Ψ(x) = exp(-x2/0.2) exp(10jπx).
modulasi
ossillasi
Coba plot Ψ vs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner.
Penjelasan diffraksi partikel dengan menggunakan cara klasik sangatlah sulit. Diffraksi partikel hanya dapat dijelaskan dengan mekanika kuantum.
Tidak ada “t” pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombang bervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat dia menjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.
10
Eksperimen Davisson and Gremer ¾
DG mengkonfirmasi perilaku gelombang dari elektron yang mengalami diffraksi Bragg
¾
Elektron Thermionik yang dihasilkan oleh hot filamen dipercepat dan difokuskan ke target pada kondisi vacuum.
¾
Menurut mekanika klasik seharusnya elektron akan dihamburkan kesegala arah
¾
Tapi kenyataannya elektron dihamburkan pada sudut φ ke detektor yang dapat digerakan
Davisson dan Gremer
Diffraksi konstruktif Bragg
Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG? ¾
Elektron didifraksikan oleh atom pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai gelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie
¾
Elektron didifraksikan oleh atom pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang
¾
Elektron berperilaku sebagai gelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie
Puncak yg tajam dr interferensi konstruktif antara gelombang elektron yg dihamburkan oleh atom yg berbeda pd permukaan kristal
¾
Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1 interferensi konstruktif : dsin φ = 1λ
¾
dimana φ = 50o untuk V = 54 V
¾
Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray yang dilakukan terpisah, kita mengetahui bahwa d = 2.15 A
¾
Sehingga panjang gelombang elektron adalah λ = dsinθ = 1.65 A
¾
1.65 A adalah hasil yg diperoleh dari eksperimen dan harus dicek dengan harga yang diprediksi secara teoritis oleh de Broglie
φ
11
Nilai teoriti λ elektron
Prediksi Teori cocok dgn pengukuran
¾
Potensial eksternal V mempercepat elektron melalui EV=EK
¾
Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir mirip dengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom)
¾
Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi ke EK = 54 eV (non-relativistic)
¾
Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimen telah dikonfirmasi
¾
Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang deakselerasi ke EK = p2/2me = 54 eV memiliki pajang gelombang ekuivalen λ = h/p = h/(2Kme)-1/2 = 1.67 A
¾
Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikel mikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapi juga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton, molekule dsb)
¾
Dalam bentuk potensial eksternal ,
λ = h/(2EVme)-1/2
Applikasi gelombang elektron: Mikroskop Elektron, Nobel Prize 1986 (Ernst Ruska)
¾
Panjang gelombang elektron de Broglie dapat diatur lewat λ = h/(2EVme)-1/2
¾
Mikroskop elektron dapat memiliki perbesaran sampai x500000 (EV 30kV) resolusi 0.1 nm
12
Manifestasi lainnya dari perilaku gelombang elektron ¾
Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar pola diffraksi
3.6 partikel dlm Box
Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilaku gelombang Apa artinya perilaku gelombang dari partikel? Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanya sesuatu yang ditemukan fisikawan? Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrödinger bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?
Apakah elektron itu gelombang atau partikel?
Kedua-duanya ada, tapi tidak simultan.
Pada beberapa eksperimen (atau pengamatan empirik) hanya satu aspek gelombang atau partikel saja yang dapat teramati.
Seperti coin dgn dua muka. Tapi kita hanya dapat melihat salah satu sisinya saja pada suatu waktu Ini yang disebut sebagai dualitas gelombang-partikel
elektron sbg partikel
elektron sbg gelombang
Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kita bahas didepan.
Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuat pd satu ujung karena interferensi antara gelombang datang dan gelombang pantul yang berbeda fasa 180° ketika mencapai ujung terikat. Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergerak naik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jika berbeda fasa 180° akan diperoleh minimum.
13
Kita hanya dapat melihat gelombang berdiri pada kecepatan dan panjang gelombang tertentu.
Misalnya gelombang berdiri pada partikel di dalam box sebelah ini. Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikel direpresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikel bergerak “dengan” partikel dan akan dipantulkan ketika mencapai dinding box.
Interferensi konstruktif terjadi bila panjang box adalah kelipatan integer dari ½ panjang gelombang dari gelombang partikel (L=nλ/2), sehingga panjang gelombang Broglie dari partikel yang terkrung adalah :
2L λn = , n = 1,2,3... n Karena KE = mv2/2 dan λ = h /mv, batasan pada λ juga merupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:
n2h2 En = , n = 1,2,3... 8mL2
Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombang partikel), gelombang partikel “terlipat dan terlipat lagi" setiap dipantulkan dinding. visualisai Segmen gelombang partikel dan pantulannya akan berinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikel dapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdk dapat eksis didalam box.
λn =
2L , n = 1,2,3... n
En =
n2h2 , n = 1,2,3... 8mL2
Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebut sebagai bilangan kuantum. Pikirkan box sebagai sumur potensial, dimana didlmnya terdapat partikel. partikel bebas, diluar box, dapat memiliki sembarang energi dan panjang gelombang. Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombang dan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkan energi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.
14
CONTOH 10 gram marble dlm 10 cm box :
En =
En =
elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) “box” :
n2h2 8mL2
En =
n2 ( 6.63×10-34 )
8 (10×10
-3
2
)(10 )
-1 2
En = 5.5×10-64 n2 Joules energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde 1030. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilaku kuantum marble dalam box.
3.7 prinsip ketidak pastian I – penurunan berdasarkan sifat gelombang partikel
Misalkan partikel dinyatakan dgn grup gelombang disamping ini.
En =
n2h2 8mL2
n2 ( 6.63×10-34 )
2
8 ( 9.11×10-31 )(10-10 )
2
En = 6.0×10-18 n2 Joules = 38 n2 eV energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkat energi cukup terpisah shg dapat terukur.
Sekarang partikel dinyatakan dgn grup gelombang disamping ini. Dimana partikel?
Dimana partikel? Berapa panjang gelombangnya?
Berapa panjang gelombangnya?
Posisi dapat didefinisikan dgn baik, tapi panjang gelombang tdk terdefinisi dengan baik.
panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibanding posisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar pada posisi partikel’s.
Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum saling berhubungan).
Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi dan momentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail pada transformasi Fourier dan representasi group gelombang dgn menjumlahkan masing-masing gelombang.
15
¾
grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyak gelombang yang berbeda ω dan k-nya sebesar ∆ω dan ∆k (atau ekuivalen dgn ∆λ)
Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik ¾
A1, k1
Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidak pastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secara matematis dgn beberapa pendekatan) ~
A3, k3
¾
A4, k4
. . .
¾
k = 2π/λ, maka ∆k/k = ∆λ/λ
gelombang partikel harus mengikuti relasi ketidak pastian yg sama ¾
dimana ¾
∆E∆t ≥
h 2
∆ν∆t ≥
1 4π
Hubungan Ketidakpastian Heisenberg ∆p x ∆x ≥ ¾
h 2
λ2 ≡ ∆k∆x ≥ 1 / 2 4π
Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang berada pd daerah sempit ∆x memerlukan rentang bilangan gelombang yang besar, yaitu ∆k besar. Kebalikannya, rentang sempit bilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paket gelombang pada lokasi jarak yang sempit.
Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) dan panjang gelombang (frekuensi) dihubungkan oleh p = h/λ (E = hν), hubungan ketidak pastian gelombang klasik di terjemahkan menjadi
∆p x ∆x ≥
~
Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpa pendekatan) memberikan relasi yg eksak
∆λ∆x ≥
∆x
∆t∆ν ≥ 1
∆λ∆x > λ2 ≡ ∆k∆x > 2π
A2, k2
h 2
∆E ∆ t ≥
h 2
Perkalian ketidakpastian momentum (energi) dan posisi (waktu) sedikitnya sebesar konstanta Planck
h = h / 2π
Buktikan sendiri (hint: mulai dr p = h/λ, ∆p/p = ∆λ/λ)
16
Apa artinya
∆p x∆x ≥
h 2
¾
Penetapan batas terendah mungkin ada pada ketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai px dan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatu eksperimen dilakukan.
¾
Adalah mustahil untuk menetapkan secara serempak dan dengan ketepatan yang tanpa batas momentum linear dan posisi suatu partikel yang bersesuaian.
¾
¾
¾
¾
{px,x}, {E,t} adalah konjugat
variables
Konjugat variabel pada prinsipnya tidak bisa diukur (atau diketahui) dengan ketepatan tanpa batas secara serempak
∆E∆t ≥
oleh karena itu, energi suatu objek atau sistem dapat diukur dengan ketepatan tanpa batas ( ∆E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatu waktu tak batas (∆t→∞)
CONTOH
Variabel Konjugat ¾
h 2 Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E pada suatu periode terbatas ∆t, maka energi ini adalah tidak-pasti dengan ketidakpastian sedikitnya sejumlah h/(4π∆t)
Apa artinya
Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%. Memiliki harga 5.00 x 103 m/s Cari ketidakpastian pada posisi elektron
SOLUSI ¾ v = 5.00 × 103 m/s; (∆v)/v = 0.003% ¾ Dart definisi, p = mev = 4.56 x 10-27 Ns; ¾ ∆p = 0.003% x p = 1.37x10-27 Ns ¾ maka, ∆x ≥ h/4π∆p = 0.38 nm
p = (4.56±1.37)×10-27 Ns ∆x = 0.38 nm
0
∆x
x
17
Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik
CONTOH SOAL ¾
Muatan meson π memiliki energi diam 140 MeV dan lifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energi π meson, dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya Solusi ¾ E = mπc2 = 140 MeV, ∆τ = 26 ns. ¾ ∆E ≥h/4π∆τ = 2.03×10-27J = 1.27×10-14 MeV; ¾ ∆E/E = 1.27×10-14 MeV/140 MeV = 9×10-17
Sekarang kita melihat
eksis untuk E ±∆E
∆τ = 26 ns
Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard (m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m Solusi Untuk ∆x ~ 1 m, we have ∆p ≥h/4π∆x = 5.3x10-35 Ns, ¾ Shg ∆v = (∆p)/m ≥ 5.3x10-34 m/s ¾ ∆v = 5.3x10-34 m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantum ¾ Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian ∆v = 5.3 x 10-34 m/s 100 g bola billard ukuran ~ 2 cm
Sekarang ??
panjang1 m meja billard
partikel yang berada pd daerah tertebatas harus memiliki minimal EK Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsip ketidak pastian adalah partikel yang diletakan pada suatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapat secara eksak pada keadaan diam. Kenapa ???, karena ………….
Berapa EKave partikel dlm box karena prinsip ketidak pastian? Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlm box prinsip ketidakpastian mensyaratkan ∆p ≥ (h/4π a) maka, besarnya p, secara rata-rata, harus sedikitnya sama dengan ∆p Shg EK, harus rata-rata berada disekitar
Jika dia betul-betul diam, momentumnya harus secara pasti = 0, artinya ∆p = 0, yang menyalahi prinsip ketidakpastian.
EK ave
| p | ≥ ∆p
2 p2 ( ∆p ) h2 > = > ~ 2m ~ 8ma 2 2 m ave
18
Zero-point energy EK ave
2 p2 ( ∆p ) h2 > > = 2 2m av ~ 2m ~ 8ma
Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerah selebar a a
LATIHAN SOAL Misalkan Vx dari benda bermasa 2x10-4 kg diukur dengan akurasi ±10-6m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapat meletakan partikel sepanjang sumbu x? Solusi :
h ∆p∆x ≥ ; p = mv; 2 ∆ ( mv ) ∆x = m∆v∆x ≥
Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal ketika membahas persamaan Schrodinger untuk partikel dalam box.
Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikel sama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapa minimal ketidak pastian kecepatan, vx? A. vx/4p D. vx
JAWAB: A
B. vx/2p E. vx/p
C. vx/8p
∆x ≥
h 2
h h = = 1.32 × 10−25 m 2m∆v 4π m∆v
Example 3.6
Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ±1.00x10-11 m. Cari ketidak pastian pd posisi proton 1 s kemudian. Assumsikan v << c. Pada waktu pengukuran, ketidak pastian posisi adalah ∆x1, dan h ∆x1 ∆p x ≥ 2
∆p x ≥
h 2∆x1
∆p x = ∆(mv x ) = m ∆v x ∆v x =
∆p x h ≥ m 2m ∆x1
19
t detik kemudian, ketidak pastian posisi ∆x2 adalah
∆x 2 = t ∆v x ≥
∆x 2 ≥
th 2m ∆x1
(1) (1.054×10-34 )
2 (1.67×10-27 ) (1.00×10-11 )
Contoh 3.7
Typical inti atom memiliki radius 5x10-15 m. Gunakan prinsip ketidak pastian untuk mencari batas terendah energy yg harus dimiliki elektron jika dia harus menjadi bagian dari inti atom. Soal menanyakan tentang energi elektron yg diletakan pada daerah ber-radius 5x1015 m. Maka langkah awal kita adalah
∆E∆t ≥
∆x 2 ≥ 3.15×103 m , or 1.96 miles.
h . 2
Bukan!
Kita hanya punya informasi tentang ∆x elektron. Yaitu ∆x = 2x5x10-15 m. Shg kita harus menggunakan proton tdk menyebar, krn pasti ada disuatu tempat, tapi gelombangnya pasti menyebar
∆x∆p x ≥
h . 2
∆p x ≥
h 2 ∆x
Sehingga minimum energi (kinetik) elektron adalah ∆x
EK =
Jika kita setuju bahwa
h p x,min = ∆p x ≥ , 2 ∆x Maka momentum elektron minimum adalah
h px = . 2 ∆x Secara klasik, EK = p2 / 2m, sehingga
h2
8 m ( ∆x )
2
.
(1.055×10 ) EK = ( 8 ) ( 9.11×10 ) (10×10 ) -34 2
-31
-15 2
.
EK = 1.53×10-11 joules .
2
h px ) ( h2 2 ∆x EK = = = . 2 2m 2m 8 m ( ∆x ) 2
20
EK=1.53x10-11 joules. Ada komentar? Seberapa besar energi ini untuk elektron? 1.53x10-11 joules x 1 eV / (1.6x10-19 joules) = 9.55x107 eV. 9.55x107 eV = 95.5 MeV.
Untuk energi dan kecepatan yg secara ekstrim besar, pc >> mc2 sehingga 2
(
E = mc
E=
Energi elektron “diam” =… 0.511 MeV/c2.
≈0
2
)
2
+p2 c 2
hc 2 ∆x p
(1.055×10 ) ( 3×10 ) E= 2 (1×10 ) -34
8
-14
KE = p2 / 2m
)
E = 1.58×10-12 joules = 9.89 MeV + p2 c 2 .
Example 3.9
Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihan energinya dengan cara mengemisikan photon. Periode waktu rata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8 s. Cari ketidak pastian frekuensi photon. Kita punya waktu, yg dicari ∆f, tapi E dan f memiliki relasi, shg
∆E∆t ≥
h 4π
E = hf ⇒ ∆E = h∆f h ∆f ∆t ≥ ∆f ≥
h 4π
1 4 π∆t
Untuk energi yang cukup besar, E≈pc.
∆f ≥
1 4 π (10-8 )
∆f ≥ 7.96×106 Hz Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnya intrinsic linewidth seperti dibawah ini. Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser yang sangat tajam, yaitu laser hanya memiliki satu warna. Lebar spektrum laser ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandaipandainya kita mendisain tidak akan pernah dapat lebih sempit dari yang ditentukan oleh prinsip ketidak pastian.
intensity
(
E2 = mc 2
2
frequency
21
